Một số ứng dụng của thặng dư và phép biến đổi laplace

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Giảng viên hướng dẫn : TS HOÀNG NHẬT QUY Sinh viên thực Lớp : TRẦN THỊ VY : 14ST ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Giảng viên hướng dẫn: TS HOÀNG NHẬT QUY Sinh viên thực hiện: TRẦN THỊ VY Chuyên ngành: Sư phạm Toán Lớp: 14ST ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② rữợ tr ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s s tợ s t ữớ t t ữợ õ t t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❊♠ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣ ✤➣ ❞↕② ❜↔♦ ❡♠ t➟♥ t➻♥❤ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❦❤♦❛✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔② ❡♠ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ❜➯♥ ❡♠✱ ❝ê ✈ơ✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✳ ✣➔ ◆➤♥❣✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✶ ▼ö❝ ❧ö❝ ✶ ❈❒ ❙Ð ▲➑ ❚❍❯❨➌❚ ✹ ✶✳✶ ❙è ♣❤ù❝ ✲ ❞➣② sè ♣❤ù❝ ✲ ❝❤✉é✐ sè ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷ ❍➔♠ sè ❜✐➳♥ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✸ ❈❤✉é✐ ❤➔♠ ❜✐➳♥ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷ ❚❍➄◆● ❉× ❱⑨ Ù◆● ❉Ư◆● ❈Õ❆ ❚❍➄◆● ❉× ✶✻ ✸ Ù◆● ❉Ö◆● ❈Õ❆ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ▲❆P▲❆❈❊ ✷✾ ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✷✳✷ ❈→❝❤ t➼♥❤ t❤➦♥❣ ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷✳✸ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ t❤➦♥❣ ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✸✳✶ ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✸✳✷ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✷ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ▲❮■ ▼Ð ✣❺❯ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥❣➔♥❤ ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝✱ ỵ tt ữủ t ỗ tứ t 19 t õ t sợ ỡ trữợ ✤â✳ ❚ỵ✐ t❤➳ ❦➾ 20 − 21✱ ✤➙② ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ✤❛♥❣ ♣❤→t tr✐➸♥ r➜t ♠↕♥❤ tỵ✐ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ữợ rở tr ữớ t ụ rt q✉❛♥ t➙♠ tỵ✐ ❦❤➼❛ ❝↕♥❤ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦❤→❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝â t➼♥❤ ♥ê✐ ❜➟t tr♦♥❣ ❣✐❛✐ ✤♦↕♥ ✤÷ì♥❣ ✤↕✐ ♣❤↔✐ ỵ tt tr ❝ì ❦❤➼✱ Ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♣❤ù❝ ❢r❛❝t❛❧ ✈➔ ỵ tt ỳ t q t ởt ỵ tt t ự ỹ tr ởt ỵ q trồ õ t ốt õ ỵ tt t ụ tứ ỵ tt ♥➔② ♠➔ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ ♥➯♥ ởt ỵ tt tr t ự ỵ tt t ữ ỵ tt t ữ ởt ❝ỉ♥❣ ❝ư q✉❛♥ trå♥❣ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜↔♥ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❦➻ ❞à✳ ◆❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❜❛♥ ✤➛✉ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ❞ị♥❣ ✤➸ t➼♥❤ ♠ët ❧ỵ♣ ❦❤→ rë♥❣ ❝→❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♠➔ ✤ỉ✐ ❦❤✐ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤÷đ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❦❤✐ ♠➔ ữợ t õ t tữớ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ q✉❛♥ trå♥❣✱ ✤÷đ❝ ✤➦t t❤❡♦ t➯♥ ❝õ❛ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ t❤✐➯♥ ✈➠♥ ❤å❝ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ♥❣÷í✐ P❤→♣ P✐❡rr❡ ❙✐♠♦♥ ▲❛♣❧❛❝❡ ✭✶✼✹✾✲✶✽✷✼✮✳ Ù♥❣ ợ t õ ữỡ tr t q ỗ ❣è❝ ❝õ❛ ù♥❣ ❞ö♥❣ ♥➔② ❧➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❝❤✉②➸♥ tø ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr➯♥ ❤➔♠ s❛♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✤↕✐ sè tr➯♥ ↔♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ q✉❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡✳ ❈→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❝❤✉②➸♥ ♥❤÷ ✈➟② ❣å✐ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ♣❤➨♣ t➼♥❤ t♦→♥ tû ✭♦♣❡r❛t✐♦♥❛❧ ❝❛❧❝✉❧✉s ✮✳ ❚r♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❡♠ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ❧÷đ❝ ✈➲ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ t❤➦♥❣ ❞÷ ✈➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t♦→♥✱ tr♦♥❣ ự tỹ t ố õ ỗ ữỡ ã ữỡ õ t❤è♥❣ ❧↕✐ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ♥❤➜t ✈➲ sè ♣❤ù❝✱ ❞➣② sè ♣❤ù❝✱ ❝❤✉é✐ sè ♣❤ù❝ ✈➔ ❤➔♠ ✲ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❜✐➳♥ sè ♣❤ù❝ ♥❤➡♠ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✈➔ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✭①❡♠[3]✮✳ • ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❧÷đ❝ ỵ tt t ữ ỵ ỡ t t ữ ứ õ ữ r ỵ tữ ự t ữ tr ởt số t ã ữỡ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tr➻♥❤ ❜➔② tâ♠ t➢t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ữ t t tỗ t↕✐ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡✳ ❙❛✉ ✤â✱ ✤÷❛ r❛ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ tr♦♥❣ ❦➽ t❤✉➟t ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈➔ t➼♥❤ t♦→♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝á♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ♥❣÷đ❝ ✈➔ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ữủ ởt trữợ t ❝❤➾ ❞ø♥❣ ð ♠ù❝ ✤ë ♥❤➡♠ ♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ♥❤÷ ✤➣ ♥➯✉ ð tr➯♥✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤✐➲✉✱ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➝♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❦❤✐ ❧➔♠ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➔ s❛✐ sât✳ ữủ sỹ õ ỵ ỳ þ ❦✐➳♥ ♣❤↔♥ ❜✐➺♥ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ✦ ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❈❒ ❙Ð ▲➑ ❚❍❯❨➌❚ ❈❤÷ì♥❣ tr ởt số ỵ tt ỡ sè ♣❤ù❝✱ ❞➣② ✲ ❝❤✉é✐ sè ♣❤ù❝✱ ❤➔♠ ✲ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❜✐➳♥ ♣❤ù❝ ❧➔♠ ❝ì sð ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ t t ữỡ ✈ö ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ t❤➦♥❣ ❞÷ ✈➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ð ✤➙② tæ✐ ①✐♥ ♣❤➨♣ t❤æ♥❣ q✉❛ ♣❤➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ õ ữủ tr t✐➳t ð ❝→❝ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ❤✐➺♥ ❤➔♥❤✳ ✶✳✶ ❙è ♣❤ù❝ ✲ ❞➣② sè ♣❤ù❝ ✲ ❝❤✉é✐ sè ♣❤ù❝ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ ●✐↔ sû t❛ ✤➦t C = {(a, b) : a, b∈R}✳ ❚r➯♥ C ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ s❛✉ ✿ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b).(c, d) = (ac − bd, ad − bc) ❑❤✐ ✤â✱ t➟♣ C ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ✈➔ t❛ ❣å✐ ❧➔ tr÷í♥❣ sè ♣❤ù❝✳ ▼é✐ ♣❤➛♥ tû z = (a, b) ❣å✐ ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝✳ ❑➼ ❤✐➺✉ a = Rez ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ t❤ü❝ ❝õ❛ z✱ b = Imz ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ↔♦ ❝õ❛ z ✳ ộ số ự z = (a, 0) ữủ ỗ ♥❤➜t ✈ỵ✐ sè t❤ü❝ a∈R✳ ✣ì♥ ✈à ↔♦✿ ✣➦t i = (0, 1)✱ t❛ ❝â ✿ i2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 ✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷ ✭❉↕♥❣ ✤↕✐ sè ❝õ❛ sè ♣❤ù❝✮ ●✐↔ sû z = (a, b)∈C✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❣å✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ z = a + bi ❧➔ ❞↕♥❣ ✤↕✐ sè ❝õ❛ z✳ ❱➔ t❛ ❣å✐ z = a − bi ❧➔ sè ♣❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ z✳ ∗ ✶✳ ✷✳ ✸✳ ✹✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t✿ z.z = a2 + b2 ≥0 ✳ z1 + z2 + + zn = z1 + z2 + + zn z1 z2 zn = z1 z2 zn ✳ ✳ z + z = 2.Rez ✱ z − z = 2.Imz ✱ z = z ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸ ✭▼æ✤✉♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝✮ ▼é✐ sè ♣❤ù❝ z = a + bi✱ ♠ỉ✤✉♥ ❝õ❛ z ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ |z| = ∗ ✶✳ ✷✳ ✸✳ ✹✳ ✺✳ √ √ z.z = a2 + b2 ≥ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t✿ |z|≥0✱ |z| = 0⇔z = |z1 + z2 |≤|z1 | + |z2 | |z1 z2 |≤|z1 |.|z2 | ✳ ✳ ✳ ✳ |Rez|≤|z|✱ Imz≤|z| ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹ ✭❆r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ sè ♣❤ù❝✮ ●✐↔ sû z = a + bi=0✳ ●â❝ ϕ t↕♦ ❜ð✐ → ✈❡❝tì − Oz ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ trư❝ Ox ❣å✐ ❧➔ ❛r❣✉♠❡♥t ❝õ❛ z ✳ • ❆r❣✉♠❡♥t ❝❤➼♥❤ ✿ ❑➼ ❤✐➺✉ argz = ϕ✱ ợ ã rt Argz = argz + k2π ✱ ✈ỵ✐ k∈Z✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺ ữủ số ự ợ ộ z=0 t r = |z|✱ ϕ = argz ✳ ❑❤✐ ✤â✱ sè ự z õ t ữủ t ữợ s ||z1 | − |z2 ||≤|z1 − z2 | z = r(cosϕ+isinϕ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞↕♥❣ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ ❝õ❛ z✳ ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✺ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tốt t ú ỵ õ t ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✤➙② ✿ n z = rn (cosnϕ+isinnϕ) (cosϕ+isinϕ)n = cosnϕ+isinnϕ ✭❈æ♥❣ t❤ù❝ M oivre✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻ ✭❉↕♥❣ ♠ô ❝õ❛ sè ♣❤ù❝✮ ✣➦t eiϕ = cosϕ + isinϕ✳ ❑❤✐ ✤â✱ sè ♣❤ù❝ z ❝â t t ữủ ữợ s z = rei , r = |z|, ϕ = arg z ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞↕♥❣ ♠ô ❝õ❛ sè ♣❤ù❝✳ ∗ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t✿ ❈❤♦ z1 = r1eiϕ ✱ z2 = r2eiϕ ✱ t❛ ❝â ✿ ✶✳ z1.z2 = r1.r2ei(ϕ +ϕ ) ✳ ✷✳ zz1 = rr1 ei(ϕ −ϕ ) ✳ 2 ✸✳ ❈æ♥❣ t❤ù❝ Euler ✿ 1 2 cosϕ= eiϕ + e−iϕ eiϕ − e−iϕ , sin ϕ = 2i ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼ ✭ ❈➠♥ ❜➟❝ n ❝õ❛ sè ♣❤ù❝✮ ❱ỵ✐ n≥1 ✈➔ z∈C✱ ❝➠♥ ❜➟❝ n ❝õ❛ z ❧➔ sè ♣❤ù❝ w∈C t❤ä❛ ♠➣♥ ✿ wn = z✳ ▼é✐ sè ♣❤ù❝ z=0 s➩ ❝â n ❝➠♥ ❜➟❝ n ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ √z ✈➔ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ ✿ n √ n z= √ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ n r(cos + sin ), k = 0, 1, 2, , n − n n ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽ ✭❉➣② sè ♣❤ù❝ ❤ë✐ tö✮ ❈❤♦ (z )⊂C ✈➔ z∈C✳ ❚❛ ♥â✐ ❞➣② (z ) ❤ë✐ n n tư tỵ✐ z ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ ✿ lim zn = z ⇔ lim |z − zn | = n→∞ n→∞ ❚ù❝ ❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ε > tỗ t n0 s n > n0 t ❝â ✿ |zn − z| < ε✳ ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✻ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ◆➳✉ zn = xn + iyn✱ z = x + yi t❤➻ t❛ ❝â ✿ lim zn = z ⇔ n→∞   lim xn = x n→∞  lim y = y n n→∞ ❉➣② sè ♣❤ù❝ t✐➳♥ tợ ữủ ữ s ✿ lim zn = ∞ ⇔ lim |zn | = ∞ n→∞ n→∞ tù❝ ❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ M > 0✱ tỗ t n0 s n > n0 t õ |zn| > M ỵ Cauchy✮ ❉➣② (zn) ❤ë✐ tö tr♦♥❣ C ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ ❞➣② Cauchy✱ tù❝ ❧➔ ❞➣② t❤ä❛ ♠➣♥ ✿ ∀ε > 0✱ ∃n0 ✿ ∀m, n > n0 t❛ ❝â ✿ |zm − zn| < ε✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✾ ✭❈❤✉é✐ sè ♣❤ù❝✮ ❈❤♦ ❞➣② sè ♣❤ù❝ (un)⊂C✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❜✐➸✉ t❤ù❝ s❛✉ ✤➙② ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ sè ♣❤ù❝ ✿ ∞ u1 + u2 + + un + = un n=1 ❚ê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧➔ ✿ Sn = u1 + u2 + + un✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ (Sn)⊂C✳❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ sü ❤ë✐ tö ✈➔ ♣❤➙♥ ❦➻ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ sè ự ữ s tỗ t ợ n→∞ lim Sn = S=∞ t❤➻ t❛ ♥â✐ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣ S ✈➔ t❛ ✈✐➳t ✿ ∞ un = S n=1 ✲ ❈❤✉é✐ ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư t t õ ộ õ ỵ ✭❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ Cauchy✮ ❈❤✉é✐ ❤ë✐ tö ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ợ > tỗ t n0 s ✿ ∀n > n0✱ ∀p≥1 t❛ ❝â ✿ |un+1 + un+2 + + un+p | < ε ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❚ỉ ♣ỉ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ • r✲❧➙♥ ❝➟♥✿ r✲❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ a∈C ❧➔ ❤➻♥❤ trá♥ t➙♠ a ❜→♥ ❦➼♥❤ r✱ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ ✿ D(a, r) = {z ∈ C : |z − a| < r} ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✼ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ▲➙♥ ❝➟♥✿ ❚➟♣ U ⊂C ❣å✐ ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a tỗ t r > s D(a, r)⊂U ✳ • ❚➟♣ ♠ð✱ t➟♣ ✤â♥❣✿ ❚➟♣ G⊂C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ♠ð ♥➳✉ G ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ã aG F C ữủ t➟♣ ✤â♥❣ ♥➳✉ t➟♣ C\F ❧➔ t➟♣ ♠ð✳ • ✣✐➸♠ tr♦♥❣✿ ❈❤♦ t➟♣ X⊂C✳ ✣✐➸♠ a∈X ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝õ❛ X ♥➳✉ X ❧➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝õ❛ X ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ X ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ✿ IntX ✳ IntX ❧➔ t➟♣ ♠ð ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝❤ù❛ tr♦♥❣ X ã tử XC aC ữủ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ tư ❝õ❛ X ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❧➙♥ ❝➟♥ Ua ❝õ❛ a t❛ ❝â Ua ∩X\{a}=0✳ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ tư ❝õ❛ X ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔✿ X ✈➔ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❞➝♥ ①✉➜t t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ X ã ổ aX ữủ ổ X tỗ t ❝➟♥ Ua ❝õ❛ a s❛♦ ❝❤♦ ✿ Ua∩X = a✳ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ tư ✈➔ ✤✐➸♠ ❝ỉ ❧➟♣ ❝õ❛ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ X ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ X ✳ ▼é✐ a∈X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❞➼♥❤ ❝õ❛ X ✳ ❚➟♣ X⊂C ❧➔ ✤â♥❣ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ X = X ✳ • ✣✐➸♠ ❜✐➯♥✿ ✣✐➸♠ aC ữủ X ợ ♠å✐ ❧➙♥ ❝➟♥ Ua ❝õ❛ a t❤➻ Ua ∩X = φ✳ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜✐➯♥ ❝õ❛ X ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔✿ ∂X ✳ ❱➔ t❛ ❝â ✿ X = IntX X ã t XC ữủ ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ ♠å✐ ❞➣② tr♦♥❣ X ❝❤ù❛ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tư tỵ✐ ♠ët ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ X ✳ • ▼✐➲♥✿ ❚➟♣ D⊂C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✿ i ❉ ❧➔ t➟♣ ♠ð ii ❉ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣✱ tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ a, bD tỗ t ởt ữớ LD ố a ợ b ã ữợ tr ởt t ●✐↔ sû γ ❧➔ ♠ët ❝❤✉ t✉②➳♥ tr♦♥❣ C✳ ❑❤✐ ✤â✱ γ ❝❤✐❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♠✐➲♥ ❝â ❜✐➯♥ ❝❤✉♥❣ ❧➔ γ ✿ ▼✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ Dγ + ✭❤❛② Dγ ✮✱ ♠✐➲♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ Dγ −✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝❤✐➲✉ ❞÷ì♥❣ tr➯♥ γ ❧➔ ❝❤✐➲✉ ♠➔ ❦❤✐ ♥❣÷í✐ q✉❛♥ s→t ✤✐ t❤❡♦ ❝❤✐➲✉ ✤â t❤➻ s➩ ♥❤➻♥ t❤➜② ♠✐➲♥ Dγ + ð ❜➯♥ tr→✐✳ ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✽ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ⇒ lim |f (t)e−pt | = ⇒ lim f (t)e−pt = t→∞ t→∞ ✈ỵ✐ Rep = s > s0 + ε✳ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr➯♥ t❛ ✤÷đ❝ ✿ ∞ L {f (t)} = [e−pt f (t)] ∞ e−pt f (t)dt t=0 + p = p.F (p) − f (0) ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â ✿ L {f (t)} = pL {f (t)} − f (0) = p(pF (p) − f (0)) − f (0) = p2 F (p) − pf (0) − f (0) ❚ê♥❣ q✉→t✿ ❈❤♦ L{f (t)} = F (p)✳ ●✐↔ sû f (t), f (t), , f (n−1)(t), f (n)(t) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❣è❝ t❤➻ t❛ ❝â ✿ L f (n) (t) = pn F (p) − pn−1 f (0) − pn−2 f (0) − f (n1) (0) ỵ t ❝❤✉②➸♥ ↔♥❤ ◆➳✉ L{f (t)} = F (p)✱ f ❝â ❝❤➾ sè t➠♥❣ ❧➔ s0 t❤➻ L eat f (t) = F (p − a) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ ❝â ✿ ∞ e−(p−a)t f (t)dt = F (p a) at L e f (t) = ú ỵ ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â ✿ L e−at f (t) = F (p + a) ❱➼ ❞ö ✻✿ ❚➻♠ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❝õ❛ e cosωt ✈➔ e sinωt✳ ●✐↔✐✿ ❈❤➾ ❝➛♥ t❤❛② p ❜ð✐ p − a tr♦♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝õ❛ ❤➔♠ sinωt ✈➔ at cosωt at ð tr➯♥✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ p−a (p − a)2 + ω ω L {eat cosωt} = (p − a)2 + ω L {eat sin ωt} = ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✸✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ t ỵ ▲❛♣❧❛❝❡ ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥✮ ◆➳✉ L{f (t)} = F (p) ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ t❤➻ L    ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ✣➦t t f (τ )dτ    = F (p) p t g(t) = f (τ )dτ s❛♦ ❝❤♦ g(0) = 0✱ g (t) = f (t) ✈➔ g ❧✐➯♥ tö❝✳ ●å✐ s0 ❧➔ ❝❤➾ sè t➠♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ < ε < t❛ ❝â ✿ t t e(s0 +ε)τ dτ |f (τ )|dτ ≤ M |g(t)| ≤ 0 M = e(s0 +ε)τ s0 + ε t ❱➟② g ❧➔ ❤➔♠ ❣è❝✳ ❉♦ ✤â ✿ < M1 e(s0 +ε)t τ =0 F (p) = L {f (t)} = L {g (t)} = p.G(p) = pL    t f (τ )dτ    ❈❤✐❛ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ❝❤♦ p t❛ ữủ ự ỵ ỵ t➼❝❤ ❝❤➟♣✮ ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❣è❝ ❝â ❝❤➾ sè t➠♥❣ ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ s0✱ x0✳ ❑❤✐ ✤â ✿ L {f (t) ∗ g(t)} = L {f (t)} L {g(t)} = F (p)G(p) tr♦♥❣ ✤â✱ f (t) ∗ g(t) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ❝õ❛ f (t) ✈➔ g(t) ✈➔ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t f (t) ∗ g(t) = f (t − x)g(x)dx ●❤✐ t➢t ❧➔ f (t) ∗ g(t) = (f ∗ g)(t)✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳✹ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ♥❣÷đ❝✮ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ ❤➔♠ F (p) ❧➔ ❤➔♠ f (t) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [0; +∞) s❛♦ ❝❤♦ L{f (t)} = F (p)✱ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ✿ f (t) = L−1 {F (p)} ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✸✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✶✳✷✿ ❚r♦♥❣ t➼♥❤ t♦→♥✱ ✤➸ t➻♠ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ F (p) trữợ t õ t sỷ ữỡ s❛✉ ✿ ❉ị♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♣❤➙♥ t❤ù❝ ❉↕♥❣✿ • F (p) = P (p) Q(p) tr♦♥❣ ✤â✱ P (p) ✈➔ Q(p) ❧➔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ♠➔ ❜➟❝ ❝õ❛ P (p) ♥❤ä ❤ì♥ ❜➟❝ ❝õ❛ Q(p)✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔② ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ F (p) t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ♠➔ ❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷đ❝ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ♥❣÷đ❝ tø ❜↔♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡✳ ❱➼ ❞ö ✼✿ ❚➻♠ L−1{ p(p 1− a) }✱ tr♦♥❣ ✤â a ❧➔ ❤➡♥❣ sè ✳ ●✐↔✐✿ ❚❛ ❝â ✿ L−1 p(p − a) = L−1 = a −1 L a 1 − p−a p − L−1 p−a p = ❉ò♥❣ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ❱➼ ❞ư ✽✿ ❳❡♠ ✈➼ ❞ư ✼ ♥❤÷♥❣ →♣ ❞ö♥❣ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ✤➸ ❣✐↔✐✳ at (e − 1) a • ❚❛ ❝â ✿ t L −1 p(p − a) at eax dx = =1∗e = eat − a ❱➼ ❞ö ✾✿ ❚➻♠ L ●✐↔✐✿ ❚❛ ❝â ✿ L−1 −1 { }✳ + a2 ) p2 (p2 2 p (p + a2 ) =t∗ sin at = a a t (t − x) sin axdx t t t sin axdx − x sin axdx a0 a0 t −t.cosat sin at = (1 − cosat) − − a a a a 1 = t − sin at a a = ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✸✺ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✸✳✷ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ữỡ tr t t ợ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ ❝❤ú ❝→✐ t❤❛② ✤ê✐ ❝❤➾ ♠❛♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛♦ ❝❤♦ ❦❤ỵ♣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ữợ ã Pữỡ t ữỡ tr ợ t y(t) +ữợ ✶✿ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ t t ữủ ởt ữỡ tr t ợ ❤➔♠ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ Y (p) = L{y(t)} ✳ + ữợ õ t Y (p) t p + ữợ t y(t) = L1 {Y (p)} ú ỵ ỡ ❣✐↔♥✱ t❛ ✈✐➳t Y t❤❛② ❝❤♦ Y (p)❀ y t❤❛② ❝❤♦ y(t)✳ ❱➼ ❞ư ✶✵✿ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✿ y − 2y = 3et ; y(0) = −1✳ ●✐↔✐✿ ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❤❛✐ ✈➳✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ L{y − 2y} = L{3.et } ⇔ L{y } − 2L{y} = 3L{et } ✳ ⇔ pY − y(0) − 2Y = p−1 ❚❤❛② y(0) = −1 ✈➔ ❣✐↔✐ t❤❡♦ Y ✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ −p + Y (p − 2) = ⇒Y =− + ✳ p−1 p−1 p−2 ❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✿ 1 ) + 2L−1 ( ) p−1 p−2 = −3et + 2e2t ✳ y = −3L−1 ( ❱➼ ❞ö ✶✶✿ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✿ y + 3y = e−3t ; y(0) = 2✳ ●✐↔✐✿ ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❤❛✐ ✈➳✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ L{y + 3y} = L{e−3t } ⇔ L{y } + 3L{y} = L{e−3t } ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✸✻ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ⇔ pY − y(0) + 3Y = ⇒ (p + 3)Y = ⇒ Y = p+3 +2 p+3 1 + ✳ p + (p + 3)2 ❱➟② y = L−1{Y } = 2e−3t + te−3t✳ ❱➼ ❞ư ✶✷✿ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✿ ✳ ●✐↔✐✿ ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❤❛✐ ✈➳✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ y + y = t; y(0) = 1; y (0) = −2 L{y } + L{y} = L{t} ⇒ p2 Y − p.y(0) − y (0) + Y = ❚❤❛② y(0) = 1, y (0) = −2 ✈➔ ❣✐↔✐ t❤❡♦ Y ✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ Y = = p2 (p2 + 1) + ✳ p2 p−2 p2 + p + − ✳ p p +1 p +1 ❱➟② y = L−1{Y } = t + cost − 3sint✳ ❱➼ ❞ư ✶✸✿ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✿ y − 3y + 2y = 4e2t ; y(0) = −3; y (0) = 5✳ ●✐↔✐✿ ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❤❛✐ ✈➳✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ L{y } − 3L{y } + 2L{y} = 4L{e2t } ⇒ [p2 Y − s.y(0) − y (0)] − 3[pY − y(0)] + 2Y = ❚❤❛② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➛✉ ✈➔ ❣✐↔✐ t❤❡♦ ❨✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ Y = ✳ p−2 −3p2 + 20p − 24 4 =− + + (p − 1)(p − 2) p − p − (p − 2)2 ✳ ❱➟② y = −7et + 4e2t + 4te2t✳ ❱➼ ❞ư ✶✹✿ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✿ y + y = 1; y(0) = y (0) = y (0) = 0✳ ●✐↔✐✿ ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❤❛✐ ✈➳✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✸✼ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② L{y } + L{y } = L{1} ⇒[p3 Y − p2 y(0) − p.y (0) − y (0)] + [pY − y(0)] = ⇒Y = 1 1 = = ✳ − p(p3 + p) p2 (p2 + 1) p p2 + 1 p ❱➟② y = t − sint✳ ❱➼ ❞ư ✶✺✿ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✿ y + y = t; y(0) = 0, y (0) = −1✳ ●✐↔✐✿ ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ✷ ✈➳ t❛ ✤÷đ❝ ✿ L{y } + L{y} = L{t} ⇒[p2 Y − p.y(0) − y (0)] + Y = p ⇒Y = p2 (p2 + 1) − p2 1 1 = 2 − +1 p p +1 p +1 ✳ ❱➟② y = L−1{ p12 p2 1+ } − L−1{ p2 1+ }✳ y = t ∗ sint − sint t (t − x)sinxdx − sint = t t xsinxdx − sint tsinxdx − = 0 = (t − tcost) − (sint − tcost) − sint = t − 2sint ữỡ tr t t ợ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ❱➼ ❞ư ✶✻✿ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✿   x + 3x + y =0  y − x + y =0 ❱ỵ✐ x(0) = 1✱ y(0) = 1✳ ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✸✽ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ●✐↔✐✿ ✣➦t X = L{x}, Y = L{y}✳ ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❝↔ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ❤➺✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿    (p + 3)X + Y =  pX − x(0) + 3X + Y = ⇒  −X + (p + 1)Y =  pY − y(0) − X + Y = ●✐↔✐ ❤➺ ❜➡♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❈r❛♠❡r✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿     X= p − = p + (p + 2)2 (p + 2) p+4   +  Y = = p + (p + 2)2 (p + 2) ❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ❧➔ ✿   x = e−2t − 2te−2t  y = e−2t + 2te−2t ❱➼ ❞ö ✶✼✿ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✿   x − 2y =1  y + 2x = t ❱ỵ✐ x(0) = 0✱ y(0) = 0✳ ●✐↔✐✿ ✣➦t X = L{x}, Y = L{y}✳ ❚❛ ❝â ✿   1    pX − x(0) − 2Y =  pX − 2Y = p p ⇒   pY − y(0) + 2X =  2X + pY = p p2  p2 + 1 1    X= 2 = 2+ p (p + 4) p p +4 ⇒ −1 −1 1 p   = +  Y = p(p + 4) p p +4 ❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ❧➔ ✿ ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱②    x = t + sin 2t 1   y = − + cos2t 4 ❚r❛♥❣ ✸✾ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ✶✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❧➔ ❝ỉ♥❣ ❝ư ♠↕♥❤ ♠➩ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ ♥â ✈➲ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè ❝õ❛ ❤➔♠ ↔♥❤ ❞ị ✤↕♦ ❤➔♠ ❝â ❧ỵ♥ ❜❛♦ ♥❤✐➯✉✳ ✷✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❝â ♥❤÷đ❝ ✤✐➸♠ ❧➔ ❝❤➾ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè✳ ✸✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ sû ❞ö♥❣ ♥❣❛② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➛✉ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ t❤æ♥❣ q✉❛ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ✈ỵ✐ ❝→❝ t❤❛♠ sè✳ ◆❤í ✤â✱ ữủ ợ ố ữủ t t s ợ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ ❤➡♥❣ sè ▲❛❣r❛♥❣❡✳ ✸✳✷✳✸ ❚➼♥❤ t♦→♥ tr♦♥❣ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ t➼♥❤ t♦→♥ ❝→❝ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➲ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✳ ❱➻ t❤➳✱ ♥➳✉ ❝❤✉②➸♥ q✉❛ ↔♥❤ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ t❤➻ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤÷ t❤➳ s➩ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥✳ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ✤à♥❤ ❧✉➟t ✈➟t ❧➼ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠↕❝❤ RLC ✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧✉➟t ➷♠ ✭❖❤♠✬s ❧❛✇✮✱ ❧÷đ♥❣ ❣✐↔♠ ✤✐➺♥ t❤➳ ❦❤✐ ❞á♥❣ ✤✐➺♥ ✤✐ q✉❛ ✤✐➺♥ trð R ❧➔✿ VR (t) = R.i(t) ❚❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝ơ♥❣ ❝❤♦ ✤à♥❤ ❧✉➟t ✈➲ ❧÷đ♥❣ ❣✐↔♠ ✤✐➺♥ t❤➳ VL(t) ✤✐ q✉❛ ❝✉ë♥ ❝↔♠ ❝â ✤✐➺♥ ❝↔♠ L t➾ ợ t ữớ ỏ VL (t) = L di(t) dt ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧✉➟t ✈➲ ❧÷đ♥❣ ❣✐↔♠ ✤✐➺♥ t❤➳ VC (t) ❦❤✐ ❞á♥❣ ✤✐➺♥ i(t) ✤✐ q✉❛ tư ✤✐➺♥ C t➾ ❧➺ ✈ỵ✐ ✤✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ tö ✤✐➺♥ VC (t) = ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② [Q(t) + q0 ] C ❚r❛♥❣ ✹✵ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② tr♦♥❣ ✤â✱ C ❧➔ ✤✐➺♥ ❞✉♥❣ ❝õ❛ tö ✤✐➺♥ ✈➔ i(t) = dQ(t) dt q0 ❧➔ ✤✐➺♥ t➼❝❤ ❜❛♥ ✤➛✉ tr➯♥ ✈ä tư ✤✐➺♥✳ ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ①➨t ♠ët ♠↕❝❤ ✤✐➺♥ ✤ì♥ RLC ỗ õ L tr R ✤✐➺♥ ❞✉♥❣ C ✈➔ ♠ët ✤✐➺♥ →♣ E(t) ✭♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❑❤✐t✤â✱ ✤✐➺♥ →♣ ✤✐ q✉❛ ❝✉ë♥ ❝↔♠✱ ✤✐➺♥ trð ✈➔ tư ✤✐➺♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔✿ L di(t) ✱ Ri(t)✱ i(t)dt✳ dt C ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧✉➟t ✤✐➺♥ t❤➳ Kirchof f ✿ ✣✐➺♥ t❤➳ →♣ ❧➯♥ ♠ët ♠↕❝❤ ❦➼♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ ❧÷đ♥❣ ❣✐↔♠ t❤➳ tr♦♥❣ ❝↔ ♠↕❝❤✳ ❉♦ ✤â✱ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠↕❝❤ RLC t❤➻ t di(t) + R.i(t) + L dt C i(t)dt = E(t) (∗) tr♦♥❣ ✤â✱ L, R, C ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ✈➔ i(t) ❧➔ ❝÷í♥❣ ✤ë ❞á♥❣ ✤✐➺♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sü t➼❝❤ t tư ✤✐➺♥ t➼❝❤ Q tr➯♥ tư ✤✐➺♥ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ t✱ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ Q(t) = i(t)dt✳ ◆➳✉ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù❛ tư ✤✐➺♥ C ✭♠↕❝❤ RL✮✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (∗) trð t❤➔♥❤ ✿ L di(t) + R.i(t) = E(t) dt ◆➳✉ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ❝✉ë♥ ❝↔♠ L ✭♠↕❝❤ RC ✮✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (∗) trð t❤➔♥❤ ✿ t R.i(t) + C i(t)dt = E(t) ◆➳✉ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù❛ ✤✐➺♥ trð R ✭♠↕❝❤ LC ✮✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (∗) trð t❤➔♥❤ ✿ di(t) L + dt C ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② t i(t)dt = E(t) ❚r❛♥❣ ✹✶ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② Pữỡ ữợ ổ õ t ởt ữỡ tr + ữợ ❉ị♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ✤➸ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✤â ✭①→❝ ✤à♥❤ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ❝➛♥ t➻♠✮✳ ❱➼ ❞ư ✶✽✿ ▼➢❝ ♠ët s✉➜t ✤✐➺♥ ✤ë♥❣ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐ ✈➔♦ tr♦♥❣ ♠ët ỗ õ ởt ởt tr ❈✉ë♥ ❝↔♠ ù♥❣ ✈ỵ✐ ❤➺ sè tü ❝↔♠ L ♠➢❝ ♥è✐ t✐➳♣ ✈ỵ✐ ✤✐➺♥ trð R✳ ❚↕✐ t = tr♦♥❣ ♠↕❝❤ ❝â ♠➢❝ ♠ët s✉➜t ✤✐➺♥ ✤ë♥❣ E ✈➔ ❣✐↔ sû I(0) = 0✳ ❍➣② ①→❝ ✤à♥❤ ❞á♥❣ i(t) ❝õ❛ ❝❤➳ ✤ë ✈➟♥ ❤➔♥❤✳ + ●✐↔✐✿ ❑❤✐ ✤â♥❣ ♠↕❝❤✱ t❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥ ✿ L di + R.i(t) = E dt ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ E L(pI(p) − I(0)) + R.I(p) = ✳ p ❱➻ I(0) = ♥➯♥ ⇒ I(p) = E p(Lp + R) ❉↕♥❣ ❝õ❛ I(p) ❦❤æ♥❣ ❝â tr♦♥❣ ❜↔♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡✳ ❱✐➳t ❧↕✐ I(p) s❛♦ ❝❤♦ ❜➡♥❣ tê♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✿ ⇒ I(p) = E L R p(p + ) L = A + p B R p+ L (∗) ❱ỵ✐ A, B ❧➔ ❤❛✐ ❤➡♥❣ sè ❝➛♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✹✷ ❑❤â❛ tốt t ỗ ✈➔ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❤❛✐ ✈➳ t❛ ✤÷đ❝ ✿ R R ) + Bp A + (A + B)p L = L R R p(p + ) p(p + ) L L A(p + ❚ø ✤â t❛ ❝â ✿     A= E  AR = E R L L ⇒ E   A+B =0  B = −A = − R ❚❤❛② A, B ✈ø❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ✈➔♦ (∗)✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ I(p) = E − Rp E R(p + E = ( − R p R ) L R E L )= R R R p+ p(p + ) L L ❉ị♥❣ ❜↔♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ♥❣÷đ❝ ✤➸ t➻♠ i(t)✳ R − t E i(t) = (1 − e L ) R ✈ỵ✐ t ≥ ✳ ❱➼ ❞ư ✶✾✿ ❈❤♦ ♠↕❝❤ ❘❈ ♠➢❝ ♥è✐ t✐➳♣✭♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩✮✱ ❦❤â❛ K ✤â♥❣ ð t❤í✐ ✤✐➸♠ t = 0✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ❞á♥❣ i(t) ❝❤♦ tư t➼❝❤ ✤✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✈ỵ✐ ✤✐➺♥ t➼❝❤ q0 ✳ ❱➟② t❛ ❝â ✿ ●✐↔✐✿ ❑❤✐ ✤â♥❣ ♠↕❝❤✱ t❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥ ✿  t  C  idt + q0  + R.i(t) = V ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✹✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ V I(p) q0 [ + ] + R.I(p) = (1) C p p p ❞➜✉ (+∞) ð ❜↔♥ tö✱ ũ ợ ữỡ Pữỡ tr ữủ t q0 t t ỗ V ❝â trà q0 V I(p) + + R.I(p) = Cp Cp p q0 V − C ⇒ I(p) = R p+ RC ❉ò♥❣ ❜↔♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ♥❣÷đ❝ ✤➸ t➻♠ i(t)✳ V − ⇒ i(t) = R q0 t C e− RC ❱➼ ❞ö ✷✵✿ ❈❤♦ ❝÷í♥❣ ✤ë ❞á♥❣ ✤✐➺♥ tr♦♥❣ ♠↕❝❤ LC t❤ä❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✿ t di L + dt C i(t)dt = E tr♦♥❣ ✤â L, C ✈➔ E ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✱ I(0) = 0✳ ●✐↔✐✿ ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦✱ t❛ ✤÷đ❝ ✿ L(pI(p) − I(0)) + ❉♦ I(0) = ♥➯♥ I(p)(Lp + ⇔ I(p) = E )= Cp p EC = LCp2 + ▲➜② ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ ♥❣÷đ❝ t❛ ❝â ✿ i(t) = E ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② I(p) E = Cp p E L(p2 + ) LC C sin √ t L LC ❚r❛♥❣ ✹✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ❍➻♥❤ ✸✳✶✿ ❇❷◆● ❇■➌◆ ✣✃■ ▲❆P▲❆❈❊ ❙❱❚❍✿ ❚r➛♥ ❚❤à ❱② ❚r❛♥❣ ✹✺ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ●❱❍❉✿ ❚❙✳❍♦➔♥❣ ◆❤➟t ◗✉② ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✣â♥❣ ❣â♣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❜❛♦ ỗ tố ởt số tự ✈➲ sè ♣❤ù❝✱ ❞➣② sè ♣❤ù❝✱ ❝❤✉é✐ sè ♣❤ù❝ ✈➔ ❤➔♠ ✲ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❜✐➳♥ ♣❤ù❝✳ ✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ự ỵ t ữ ✤÷❛ r❛ ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛✳ ✣➲ ❝➟♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ þ t÷ð♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❞↕♥❣ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤÷í♥❣ ❣➦♣ ♥❤í ù♥❣ ❞ư♥❣ t❤➦♥❣ ❞÷✳ ✸✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ①♦❛② q✉❛♥❤ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡✳ ✣÷❛ r❛ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ❤❛② ✈➲ ❦➽ t❤✉➟t ❞ị♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ▲❛♣❧❛❝❡ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈➔ ❣✐↔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❞♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ ♥❤✐➲✉ ♥➯♥ ❝á♥ ♥❤✐➲✉ s❛✐ sât✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü ✤â♥❣ ❣â♣ qỵ t ổ r ❱② ❚r❛♥❣ ✹✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ✣➔♦ ❇→ ❉÷ì♥❣✱ ●✐→♦ tr➻♥❤ ❝ì sð ❤➔♠ sè ❜✐➳♥ sè ♣❤ù❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ❍å❝ ✈✐➺♥ ❦➽ t❤✉➟t q✉➙♥ sü ❍➔ ◆ë✐ ✭✷✵✵✵✮✳ ❬✷❪ ❇ò✐ ❚✉➜♥ ❑❤❛♥❣✱ ●✐→♦ tr➻♥❤ ❚♦→♥ ❝❤✉②➯♥ ✤➲✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣ ✭✷✵✵✹✮✳ ❬✸❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❑❤✉➯ ✲ ▲➯ ▼➟✉ ❍↔✐✱ ❍➔♠ ❜✐➳♥ ♣❤ù❝✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐ ✭✷✵✵✾✮✳ ❬✹❪ ❤tt♣s✿✴✴t❛✐❧✐❡✉✳✈♥✴❞♦❝✴t♦♠✲t❛t✲✈❛✲❝❛❝✲✈✐✲❞✉✲♣❤❛♥✲t✐❝❤✲♣❤❛♥✲♣❤✉❝✲✈❛✲♣❤❡♣✲❜✐❡♥✲❞♦✐✲ ❧❛♣❧❛❝❡✲✽✽✾✾✵✵✳❤t♠❧ ✳ ✹✼ ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Giảng viên hướng dẫn: TS HOÀNG NHẬT QUY Sinh viên thực hiện: TRẦN... ỵ r D số ự w = f (z)✱ ♥➳✉ ù♥❣ ✈ỵ✐ ♠é✐ ❣✐→ trà zD tữỡ ự ợ ởt ởt số tr w ✭❦➸ ❝↔ w = ∞✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❣å✐ ❜✐➳♥ z ❧➔ ❜✐➳♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ❤❛② ❧➔ ✤è✐ sè✱ ❝á♥ w ❣å✐ ❧➔ ❜✐➳♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ ❤❛② ❧➔ ❤➔♠ số ự ợ... ❧✉➟♥ ỗ tố ởt số t❤ù❝ ✈➲ sè ♣❤ù❝✱ ❞➣② sè ♣❤ù❝✱ ❝❤✉é✐ sè ♣❤ù❝ ✈➔ ❤➔♠ ✲ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ ❜✐➳♥ ♣❤ù❝✳ ✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ự ỵ t ữ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛✳ ✣➲ ❝➟♣ ♣❤➙♥ t ỵ tữ ởt số t t❤÷í♥❣ ❣➦♣