Phép biến đổi Laplace mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE MỜ Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN THỊ KIM SƠN Học viên thực hiện: NGUYỄN THỊ NGỌC THÚY Khóa : 25 HÀ NỘI, 05/2017 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết tập mờ 1.1.1 Định nghĩa số mờ 1.1.2 Các phép toán tập mờ 1.2 Các tính chất giải tích hàm mờ 1.2.1 Tính liên tục 1.2.2 Tính khả vi 1.2.3 Tính khả tích 1.3 Phép biến đổi Laplace hàm thực 1.3.1 Phép biến đổi Laplace hàm thực 1.3.2 Các tính chất phép biến đổi Laplace 1.4 Kết luận chương Phép biến đổi Laplace mờ 2.1 Định nghĩa 2.2 Tính chất 2.2.1 Tính chất 2.2.2 Điều kiện tồn phép biến đổi Laplace 2.2.3 Biến đổi Laplace tích chập mờ 2.3 Phép biến đổi Laplace mờ đạo hàm 2.4 Kết luận chương mờ 8 11 11 12 16 16 16 18 20 21 21 22 22 23 26 28 32 Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ 33 3.1 Bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân mờ cấp 33 3.2 3.3 3.4 Bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân mờ cấp hai 38 Hệ động lực phương trình vi phân mờ 41 Kết luận chương 46 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô khoa Toán - Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Kim Sơn, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hoàn thành luận văn cách tốt Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên luận văn tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý quý báu thầy cô bạn Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Phép biến đổi Laplace mờ" hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Kim Sơn thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa, phát triển kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU Một số ký hiệu sử dụng luận văn này: • R tập số thực • Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R} • [u]0 = {x ∈ Rn : u(x) > 0} • [u]r = {x ∈ Rn : u(x) ≥ r} < r ≤ • D(u, v) khoảng cách Haussdorff u v • u v hiệu Hukuhara u v • l[f ] biến đổi Laplace hàm nhận giá trị thực f • L[f ] biến đổi Laplace hàm nhận giá trị mờ f • l−1 [F ] biến đổi Laplace ngược hàm thực F • L−1 [F ] biến đổi Laplace ngược hàm mờ F Mở đầu Lí chọn đề tài Phương trình vi phân mờ mô hình đơn giản hệ động lực mờ, xuất nhiều ứng dụng thực tế Lĩnh vực phương trình vi phân mờ nghiên cứu rộng rãi thời gian gần Phép biến đổi Laplace sử dụng để giải phương trình vi phân toán biên, toán giá trị ban đầu Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace, việc giải toán vi phân trở thành việc giải toán đại số Với ưu giải toán cách trực tiếp, phép biến đổi Laplace giúp giải toán giá trị ban đầu mà không cần định nghĩa nghiệm tổng quát, giải phương trình vi phân không mà không cần thông qua phương trình tương ứng Chính vậy, phép biến đổi Laplace phương pháp đặc biệt quan trọng toán học lý thuyết ứng dụng Luận văn nghiên cứu phép biến đổi Laplace cho hàm nhận giá trị tập mờ số ứng dụng phép biến đổi việc giải số toán giá trị ban đầu toán biên cho phương trình vi phân mờ Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu không gian hàm nhận giá trị mờ, khái niệm giải tích tính liên tục, tính khả vi, khả tích hàm nhận giá trị mờ Định nghĩa phép biến đổi Laplace mờ nghiên cứu số tính chất phép biến đổi không gian hàm nhận giá trị mờ Nêu lên số ví dụ ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ việc giải số phương trình vi phân mờ Nhiệm vụ nghiên cứu • Lý thuyết tập mờ • Các tính chất giải tích tập mờ • Phép biến đổi Laplace mờ, định nghĩa tính chất • Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ cho phương trình vi phân mờ Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Tập mờ, phép toán giải tích mờ phép biến đổi Laplace mờ • Phạm vi: Các lý thuyết giải tích liên quan đến phép biến đổi Laplace mờ ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số phương pháp công cụ giải tích bao gồm: • Sử dụng kiến thức giải tích cổ điển, giải tích hàm thực, giải tích tập hợp giải tích mờ • Sử dụng giải tích hàm đa trị Nội dung Luận văn dài 49 trang với nội dung gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, trình bày số kiến thức sở tập mờ, số mờ, khái niệm tính liên tục, khả vi, khả tích hàm mờ số kết phép biến đổi Laplace hàm nhận giá trị thực Chương 2: Phép biến đổi Laplace mờ: Trong chương này, giới thiệu phép biến đổi Laplace mờ số tính chất tuyến tính, biến đổi Laplace tích chập mờ điều kiện đủ để tồn phép biến đổi Laplace mờ Những kết trích từ hai báo "Fuzzy Laplace transforms", Tofigh Allahviranloo, M.Barkhordari Ahmadi [3] "Applications of fuzzy Laplace transforms", S Salahshour, T Allahviranloo [8] Chương 3: Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ: Trong chương này, trình số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ như: việc giải toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân mờ cấp một, cấp hai hệ động lực phương trình vi phân mờ Những kết tổng hợp từ hai báo [3, 8] Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày lý thuyết tập mờ, tính chất giải tích hàm mờ Mục 1.1, mục 1.2 tham khảo từ tài liệu [3, 8] trình bày định nghĩa số mờ, phép toán tập mờ số tính chất như: tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích hàm mờ Trong mục 1.3 giới thiệu phép biến đổi Laplace hàm nhận giá trị thực số tính chất Các kết tham khảo từ "Biến đổi tích phân" tác giả Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân [1] 1.1 1.1.1 Lý thuyết tập mờ Định nghĩa số mờ Định nghĩa 1.1.1 Kí hiệu R tập số thực Một số mờ u ánh xạ từ R vào [0,1] thỏa mãn tính chất sau: i) u nửa liên tục ii) u lồi mờ, nghĩa với x, y ∈ R < λ ≤ u(λx + (1 − λ)y) ≥ min{u(x), u(y)} iii) Tồn x0 ∈ R cho u(x0 ) = iv) [u]0 = {x ∈ Rn : u(x) > 0} tập compact R Gọi E tập tất số mờ R Tập mức r số mờ u ∈ E, ≤ r ≤ ký hiệu [u]r , định nghĩa sau: [u]r = {x ∈ R| u(x) ≥ r} < r ≤ 1, cl(suppu) r = Chương Kiến thức chuẩn bị Tập mức r số mờ u ∈ E, ≤ r ≤ đóng bị chặn R Kí hiệu [u(r), u(r)] với u(r), u(r) đầu mút đầu mút [u]r Mỗi y ∈ R, số mờ y˜ định nghĩa sau: y˜(t) = t = y , t = y R nhúng E Tương tự ta gọi E n không gian tất số mờ u : Rn −→ [0, 1] 1.1.2 Các phép toán tập mờ a, Nguyên lý mở rộng Zadeh Nguyên lý mở rộng Zadeh hình thức mở rộng hàm giá trị thực sang hàm giá trị mờ (giá trị khoảng) Từ ta thực phép tính mờ với Nguyên lý mở rộng Zadeh Định nghĩa 1.1.2 Cho X, Y tập số thực hàm thực f : X → Y Các tập mờ tương ứng với X, Y E(X), E(Y ) Xét hàm mờ F : E(X) → E(Y ) cho y = F (x), y(s) = sup {x(t) : f (t) = s} f −1 (s) = ∅, f −1 (s) = ∅ Khi hàm mờ F gọi mở rộng Zadeh hàm thực f b, Các phép toán tập mờ Cho X = X1 X2 X3 Xn ( tích Decartes X1 , X2 , , Xn ) A1 , A2 , , An n tập số mờ X1 , X2 , , Xn tương ứng Xét ánh xạ f : X −→ Y (x1 , x2 , , xn ) −→ y = f (x1 , x2 , , xn ) Theo nguyên lý mở rộng Zadeh cho phép ta định nghĩa tập B sau B = {(y, u(y))| y = f (x1 , x2 , , xn ), (x1 , x2 , , xn ) ∈ X}, uB (y) =   sup (x1 , ,xn )∈f −1 (y)  {uA1 (x1 ), , uAn (xn )} f −1 (y) = 0, f −1 (y) = Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ 34 Phương trình (3.2) viết lại sau: l[f (t, y(t), r)] = pl[y(t, r)] − y(0, r), l[f (t, y(t), r)] = pl[y(t, r)] − y(0, r) với (3.4) f (t, y(t), r) = min{f (t, u)|u ∈ (y(t, r), y(t, r))} f (t, y(t), r) = max{f (t, u)|u ∈ (y(t, r), y(t, r))} Để giải hệ tuyến tính (3.4), ta giả sử: l[y(t, r)] = H1 (p, r), l[y(t, r)] = K1 (p, r) với H1 (p, r) K1 (p, r) nghiệm hệ (3.4) Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta có: y(t, r) = l−1 [H1 (p, r)], y(t, r) = l−1 [K1 (p, r)] Trường hợp 2: Nếu y (t) đạo hàm (2), ta có y (t) = (y (t, r), y (t, r) L[y (t)] = (−y(0)) (−p L[y(t)]) (3.5) Phương trình (3.2) viết lại sau: l[f (t, y(t), r)] = pl[y(t, r)] − y(0, r), l[f (t, y(t), r)] = pl[y(t, r)] − y(0, r) (3.6) Ta có: f (t, y(t), r) = min{f (t, u)|u ∈ (y(t, r), y(t, r))} f (t, y(t), r) = max{f (t, u)|u ∈ (y(t, r), y(t, r))} Để giải hệ (3.6) ta xét: l[y(t, r)] = H2 (p, r), l[y(t, r)] = K2 (p, r), H2 (p, r) K2 (p, r) nghiệm hệ (3.6) Bằng phép biến đổi Laplace ngược, y(t, r) y(t, r) xác định bởi: y(t, r) = l−1 [H2 (p, r)], y(t, r) = l−1 [K2 (p, r)] Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ 35 Ví dụ 3.1.1 Xét toán giá trị ban đầu: y (t) = −y(t), ≤ t ≤ T, y(0) = (y(0, r), y(0, r)) (3.7) Ta có: L[y (t)] = L[−y(t)], ∞ L[y (t)] = y (t) e−pt dt, Trường hợp 1: y (t) đạo hàm (1), ta có: L[y (t)] = (p L[y(t)] −L[y(t)] = (p L[y(t)]) y(0) Bởi y(0) Theo công thức (3.4), ta viết lại công thức sau: −l[y(t, r)] = pl[y(t, r)] − y(0, r), −l[y(t, r)] = pl[y(t, r)] − y(0, r) (3.8) Giải hệ (3.8) ta có: l[y(t, r)] = y(0, r) p p2 − − y(0, r) , p2 − l[y(t, r)] = y(0, r) p p2 − − y(0, r) p2 − Vì vậy: y(t, r) = y(0, r)l−1 p p2 − − y(0, r)l−1 p2 − , p −1 − y(0, r)l , p2 − p2 −  y(0, r) + y(0, r) y(0, r) − y(0, r)   + et , y(t, r) = e−t 2 ⇒ y(0, r) + y(0, r) y(0, r) − y(0, r)   y(t, r) = e−t + et 2 Trường hợp 2: giả sử y (t) đạo hàm (2), ta có y(t, r) = y(0, r)l−1 L[y (t)] = −(y(0)) (−p L[y(t)]) Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ 36 Bởi −L[y(t)] = (−y(0)) (−p L[y(t)]) Theo (3.6), ta viết lại công thức sau: −l[y(t, r)] = pl[y(t, r)] − y(0, r) −l[y(t, r)] = pl[y(t, r)] − y(0, r) (3.9) Công thức nghiệm hệ (3.9) là: l[y(t, r)] = y(0, r) , 1+p l[y(t, r)] = y(0, r) 1+p Bởi ta có y(t, r) = y(0, r)l−1 y(t, r) = y(0, r)l−1 , 1+p 1+p Suy y(t, r) = e−t y(0, r) y(t, r) = e−t y(0, r) Nếu điều kiện ban đầu cho số mờ đối xứng, ví dụ y(0) = (−a(1 − r), a(1 − r)) theo trường hợp 1: y(t, r) = −a(1 − r)et , y(t, r) = a(1 − r)et theo trường hợp 2: y(t, r) = −a(1 − r)e−t , y(t, r) = a(1 − r)e−t Ví dụ 3.1.2 Xét toán giá trị ban đầu y (t) = −y(t) + t + 1, ≤ t ≤ T, y(0) = (y(0, r), y(0, r)) Sử dụng phép biến đổi Laplace mờ ta có L[y (t)] = L[−y(t) + t + 1] (3.10) Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ 37 ∞ L[y (t)] = y (t) e−pt dt Từ trường hợp ta có L[y (t)] = (p L[y(t)]) y(0) Bởi ta có L[−y(t)] + l[t] + l[1] = (p L[y(t)]) y(0) Từ công thức (3.4) ta viết lại công thức dạng sau −l[y(t, r)] + l[t] + l[1] = pl[y(t, r)] − y(0, r), −l[y(t, r)] + l[t] + l[1] = pl[y(t, r)] − y(0, r) (3.11) Do nghiệm hệ (3.11) l[y(t, r)] = y(0, r) p + , p2 − p(p − 1) l[y(t, r)] = y(0, r) p + p2 − p(p − 1) Bởi et + e−t ) + et − 1, y(t, r) = y(0, r)( y(t, r) = y(0, r)( et + e−t ) + et − Từ trường hợp ta có L[y (t)] = (−y(0)) (−p L[y(t)]) Bởi ta có L[−y(t)] + l[t] + l[1] = (−y(0)) (−p L[y(t)]) Từ công thức (3.6), ta viết lại công thức dạng sau −l[y(t, r)] + l[t] + l[1] = pl[y(t, r)] − y(0, r), −l[y(t, r)] + l[t] + l[1] = pl[y(t, r)] − y(0, r) Do vậy, nghiệm hệ (3.12) là: l[y(t, r)] = y(0, r) 1+p + p(1 + p) + , + p) p2 (1 (3.12) Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ l[y(t, r)] = y(0, r) 1+p + p(1 + p) 38 p2 (1 + p) + Bởi y(t, r) = y(0, r)e−t + t y(t, r) = y(0, r)e−t + t 3.2 Bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân mờ cấp hai Ví dụ 3.2.1 Xét  phương trình vi phân mờ cấp hai: ”  y (t) = σ0 , σ0 = (α − 1, − α), y(0, α) = (α − 1, − α),   y (0, α) = (α − 1, − α) Trường hợp 1: Xét y(t) y (t) có đạo hàm (1), từ công thức (2.5) ta có: s2 L[y(t)] s y(0) y (0) = σ0 s   s2 l[y(t, α)] − sy(0, α) − y (0, α) = α − , s ⇒ − α  s2 l[y(t, α)] − sy(0, α) − y (0, α) = s   l[y(t, α)] = α − + α − + (α − 1), s3 s ⇒ − α − α  l[y(t, α)] = + + (1 − α) s3 s   y(t, α) = (α − 1)l−1 [ + + ], s3 s s2 ⇒ 1  y(t, α) = (1 − α)l−1 [ + + ] s3 s s2 Ta có biểu diễn tập mức α nghiệm là:   y(t, α) = (α − 1)( t + t + 1), 22  y(t, α) = (1 − α)( t + t + 1) Trường hợp 2: Xét y(t) có đạo hàm (1), y (t) có đạo hàm (2) Từ công thức (2.6) ta có: −y (0) (−s2 ) L[y(t)] − s y(0) = σ0 s Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ 39   −y (0, α) + s2 l[y(t, α)] − sy(0, α) = α − , s ⇒ − α  −y (0, α) + s2 l[y(t, α)] − sy(0, α) = s   l[y(t, α)] = − − α + − α + − α , s3 s s2 ⇒ α − α −1 α −  l[y(t, α)] = − + + s s s   y(t, α) = (α − 1)l−1 [− + + ], s3 s2 s ⇒ 1  y(t, α) = (1 − α)l−1 [− + + ] s3 s2 s Ta có biểu diễn tập mức α nghiệm là:   y(t, α) = (α − 1)(− t + t + 1), 22  y(t, α) = (1 − α)( − t + t + 1) Trường hợp 3: Xét y(t) có đạo hàm (2), y (t) có đạo hàm (1) Từ công thức (2.7) ta có: −s y(0) (−s2 ) L[y(t)] − y (0) = σ0 s   −sy(0, α) + s2 l[y(t, α)] − y (0, α) = α − , s ⇒ 1−α  −sy(0, α) + s l[y(t, α)] − y (0, α) = s   l[y(t, α)] = α − + α − + − α , s3 s2 s ⇒ − α − α α−1  l[y(t, α)] = + + s3 s2 s Ta α nghiệm là:  có biểu diễn tập mức  y(t, α) = (α − 1)(− t − t + 1), 22  y(t, α) = (1 − α)( − t − t + 1) Trường hợp 4: Xét y(t) y (t) có đạo hàm (2) Từ công thức (2.8) ta có: σ0 s2 L[y(t)] s y(0) − y (0) = s Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ   s2 l[y(t, α)] − sy(0, α) − y (0, α) = α − , s ⇒ − α  s2 l[y(t, α)] − sy(0, α) − y (0, α) = s   l[y(t, α)] = α − − α − + α − , s s2 s3 ⇒ − α − α − α  l[y(t, α)] = − + , s s2 s3 Ta có biểu diễn tập mức α nghiệm là:   y(t, α) = (α − 1)( t − t + 1), 22  y(t, α) = (1 − α)( t − t + 1),  Ví dụ 3.2.2 Xét phương trình vi phân mờ cấp hai: ”  y (t) + y(t) = σ0 , σ0 = (α, − α), 40 y(0, α) = (α − 1, − α), y (0, α) = (α − 1, − α) Ta xét bốn trường hợp sau: Trường hợp 1: Xét y(t) y (t) có đạo hàm (1), theo công thức (2.5) ta có: σ0 s2 L[y(t)] s y(0) y (0) + L[y(t)] = s  s2 l[y(t, α)] − sy(0.α) − y (0, α) + l[y(0, α)] = α , s ⇒ s2 l[y(t, α)] − sy(0, α) − y (0, α) + l[y(0, α)] = α s  α (1 + s )l[y(t, α)] = + s(α − 1) + α − 1, s ⇒ (1 + s2 )l[y(t, α)] = − α + s(1 − α) + − α s  s α  + (α − 1) + (α − 1) , l[y(t, α)] = 2 s(1 + s ) 1+s + s2 ⇒ s  l[y(t, α)] = (2 − α) + (1 − α) + (1 − α) s(1 + s2 ) + s2 + s2   ] + (α − 1) cos t + (α − 1) sin t, y(t, α) = αl−1 [ 2) s(1 + s ⇒  y(t, α) = (2 − α)l−1 [ ] + (1 − α) cos t + (1 − α) sin t s(1 + s2 ) Ta có biểu diễn tập mức α nghiệm là:   Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ 41 y(t, α) = α(1 − cos t) − (α − 1) cos t + (α − 1) sin t, y(t, α) = (2 − α)(1 − cos t) + (1 − α) cos t + (1 − α) sin t Tương tự ta xét trường hợp lại sau: Trường hợp 2: Xét y(t) có đạo hàm (1), y (t) có đạo hàm (2) Từ công thức (2.6) ta có: −y (0) (−s2 ) L(y(t)) − s σ0 s y(0) + L(y(t)) = Ta có biểu diễn tập mức α nghiệm là: y(t, α) = α(1 + sinh(t)) − sinh(t) − cos(t), y(t, α) = (2 − α)(1 + sinh(t)) − sinh(t) − cos(t) Trường hợp 3: Xét y(t) có đạo hàm (2) y (t) có đạo hàm (1) Từ công thức (2.7) ta có: −s y(0) (−s2 ) L[y(t)] y (0) + L[y(t)] = σ0 s Ta có biểu diễn tập mức α nghiệm y(t, α) = α(1 − sinh(t)) + sinh(t) − cos(t), y(t, α) = (2 − α)(1 − sinh(t)) + sinh(t) − cos(t), Trường hợp 4: Xét y(t) y (t) có đạo hàm (2), từ công thức (2.8) ta có: s2 L[y(t)] s y(0) − f (0) + L[y(t)] = σ0 s Ta có biểu diễn tập mức α nghiệm là: y(t, α) = α(1 − sin(t)) + sin(t) − cos(t), y(t, α) = (2 − α)(1 − sin(t)) + sin(t) − cos(t), 3.3 Hệ động lực phương trình vi phân mờ Xét hệ sau x = f (t, x, u) y = g(t, x, u) (3.13) Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ 42 với x ∈ E n , y ∈ E p , u ∈ E m f : R × E n × E m −→ E n g : R × E n × E m −→ E p Ở t biến thời gian; u, y điều kiện vào, điều kiện ∂x tương ứng Chú ý x = tính theo đạo hàm Hukuhara ∂t Phương trình đầu công thức (3.12) gọi phương trình trạng thái mờ, phương trình thứ hai gọi phương trình điều kiện mờ Và hệ (3.12) gọi hệ động lực mô tả không gian trạng thái hệ thời gian liên tục mờ Trong trường hợp tuyến tính, công thức (3.12) viết sau: x = Ax + Bu, y = Cx + Du (3.14) với A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m u : R → E m hàm liên tục nhận giá trị mờ Trong công thức (3.13), x véctơ trạng thái mờ, u điều kiện vào, y điều kiện hệ Bây ta xét điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 ∈ E n , t0 ∈ R điều kiện vào u, tích phân phương trình thứ công thức (3.13), công thức biểu diễn trạng thái đạo hàm (1): t Φ(t, s)Bu(s)ds, t ∈ R φ(t, t0 , x0 ) = Φ(t, t0 )x0 + (3.15) t0 công thức biểu diễn trường hợp đạo hàm (2) t φ(t, t0 , x0 ) = Φ(t, t0 )x0 Φ(t, s)Bu(s)ds, t ∈ R, (−1) (3.16) t0 với Φ ma trận trạng thái mờ A Các tính toán với trường hợp đạo hàm (1) trường hợp đạo hàm (2) tương tự Giả sử ma trận A, B, C, D xác định dương ta có: t Φ(t, s)Bu(s)ds + Du(t), t ∈ R y(t) = CΦ(t, t0 )x0 + C (3.17) t0 Chú ý công thức (3.16) xem tổng hai thành phần , nghiệm với điều kiện đầu vào u = Ψ(t, t0 , x0 , 0) = CΦ(t, t0 )x0 (3.18) Chương Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace mờ 43 nghiệm với trạng thái ban đầu x(0) = x0 = t ρ(t, t0 , 0, u) = C Φ(t, s)Bu(s)ds + Du(t) (3.19) t0 Trong công thức (3.16) xét x0 = 0, sử dụng Dirac delta (δ) nghiệm hệ (3.13) là: t [CΦ(t, γ)B + Dδ(t − γ)]u(γ)dγ y(t) = t0 t = H(t, γ)u(γ)dγ, (3.20) t0 với H(t, γ) cho H(t, γ) = CΦ(t, γ)B + Dδ(t − γ), t ≥ γ 0, t