Phép biến đổi laplace (1)

a biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp nhưđạo hàm,tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thà

Phép biến đổi Laplace

Mục lục

1.1 Lịch sử 1

1.2 Định nghĩa 1

1.2.1 Biến đổi Laplace hai phía 1

1.2.2 Biến đổi Laplace ngược 1

1.3 Tính chất hàm gốc 2

1.4 Tính chất của biến đổi Laplace 2

1.4.1 Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm 2

1.4.2 Liên hệ với các biến đổi khác 2

1.5 Bảng các biến đổi Laplace 3

1.6 Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s 3

1.7 Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace 4

1.7.1 Giải phương trình vi phân 4

1.7.2 Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm 4

1.7.3 Hàm truyền 4

1.7.4 Phương pháp khai triển thừa số riêng phần 5

1.7.5 Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ 5

1.7.6 Sự trễ pha 5

1.8 Xem thêm 5

1.9 am khảo 6

1.10 Liên kết ngoài 6

2 Lôgarit tự nhiên 7 2.1 Lịch sử 7

2.2 Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên 7

2.3 Những định nghĩa 8

2.4 Tính chất 8

2.5 Logarit tự nhiên trong giải tích 8

2.6 Giá trị số 9

2.6.1 Độ chính xác cao 9

2.7 Xem thêm 9

2.8 am khảo 9

2.9 Liên kết ngoài 9

i

ii MỤC LỤC

2.10 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh 10

2.10.1 Văn bản 10

2.10.2 Hình ảnh 10

2.10.3 Giấy phép nội dung 10

Chương 1

Phép biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phâncủa hàm

số f(t) từ miền thời gian sang miền tần số phức F (s)

Biến đổi Laplace và cùng vớibiến đổi Fourierlà hai

biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải

các bài toán vật lý a biến đổi Laplace, các phép toán

giải tích phức tạp nhưđạo hàm,tích phân được đơn

giản hóa thành các phép tính đại số (giống như cách mà

hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành

phép cộng các logarit của chúng) Vì vậy nó đặc biệt

hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương

trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những

phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật

lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động

điều hòa, các hệ cơ học Bởi vì qua biến đổi Laplace

các phương trình này có thể chuyển thành các phương

trình đại số đơn giản hơn Giải ra nghiệm là các hàm

ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến đổi Laplace

ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t.

1.1 Lịch sử

Từ năm 1744,Leonhard Eulerđã đưa ra các tích phân

z =∫

X(x)e ax dx và z =∫

X(x)x A dx

để giải các phương trình vi phân

Joseph Louis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, khi

nghiên cứu cách tính tích phân củahàm mật độ xác

suất, ông đã đưa ra biểu thức tích phân

∫

X(x)e ax a x dx

Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của

Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của

Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải các phương

trình Năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các

phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã bắt

đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến

Ông sử dụng tích phân

∫

x s Φ (s)dx

- tương tự vớibiến đổi Mellin, để biến đổi phương trình

sai phân để tìm ra lời giải cho phương trình biến đổi

Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất

của biến đổi Laplace

Laplace cũng nhận ra rằng phương pháp củaJoseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn

1.2 Định nghĩa

Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống có ổn định hay không ổn định Phép biến đổi Laplace của hàm số

f (t), được định nghĩa cho tất cả số thực t ≥ 0, là hàm số F(s), Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa

bởi:

L{f(t)} = F (s) = ∞∫

0−

f (t)e −st dt

Trong đó s là biến số phức cho bởi s = σ + jω , s là

miền tần số và có đơn vị là nghịch đảo của giây (second)

s −1

Giới hạn 0− chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi

t = 0, chúng ta dùng giới hạn thấp 0−để lấy tận gốc

hàm số f(t) tại thời điểm t = 0

1.2.1 Biến đổi Laplace hai phía

Một khi nói “biến đổi Laplace” mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía Biến đổi Laplace

có thể được định nghĩa làbiến đổi Laplace hai phíabằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến âm vô cực

F (s) = L {f(t)} =∫−∞ ∞ f (t)e −st dt

Nếu như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân vớihàm bước nhảy Heaviside

1.2.2 Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngượcgiúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s) Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau

1

2 CHƯƠNG 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

L −1 {F (s)} = f(t) = 1

2πi

∫ γ+i ∞

γ −i∞

e st F (s)ds

Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân

này để tính hàm gốc mà dùng bảng “các hàm gốc –

hàm ảnh tương ứng” đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t)

1.3 Tính chất hàm gốc

Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân

∫∞

0 f (t)e −st dthội tụ ít nhất với một số phức p gọi là

lớp hàm gốc Trong khi đó tập hợp các giá trị của p

sao cho tích phân∫∞

0 f (t)e −st dttồn tại thì được gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ)

Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa

mãn các tính chất sau

• f(t) = 0, với mọi t < 0.

• Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các đạo hàm

cấp đủ lớn trên toàn trục t, trừ một số hữu hạn

điểm gián đoạn loại một

• Khi t → +∞ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức

là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao cho|f(t)| ≤

M e st , ∀t > 0 Khi đó sₒ = inf {s} được gọi là chỉ số

tăng của hàm f (Tức là hàm f(t) không được tăng

nhanh hơn hàm estđể đảm bảo tích phân Laplace

hội tụ)

1.4 Tính chất của biến đổi Laplace

• Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng

F(s) và G(s):

f (t) = L −1 {F (s)}

g(t) = L −1 {G(s)}

• Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace:

• Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)

f (0+) =lims →∞ sF (s)

• Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)

f ( ∞) = lim s →0 sF (s), trong nửa mặt phẳng (Re.s >

so)

1.4.1 Biến đổi Laplace của phép đạo hàm

của một hàm

ường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace

để tìm dạng đạo hàm của một hàm Ta có thể thu được

từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau:

L {f(t)} =

∫ +∞

0−

e −st f (t) dt

=

[

f (t)e −st

−s

]+∞

0− −

∫ +∞

0−

e −st

−s f ′ (t)dt

=

[

− f (0)

−s

] +1

s L {f ′ (t) } , L

{

df dt

}

= s · L {f(t)} − f(0),

Trong trường hợp 2 bên, ta có

L

{

df dt

}

= s

∫ +∞

−∞

e −st f (t) dt = s · L{f(t)}.

1.4.2 Liên hệ với các biến đổi khác

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tụctương đương với giá trị của biến đổi Laplace hai bên với argument là số phức s = iω

hay s = 2πfi

F (ω) = F {f(t)}

= L {f(t)} | s=iω = F (s) | s=iω

= ∫+∞

−∞ e −ıωt f (t) dt.

Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ √1

2π , điều này được tính đến trong định nghĩa của biến đổi Fourier

Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được dùng để xác định quang phổ tần

số của một tín hiệu hayhệ thống động lực học(dynamic

system).

Biến đổi Mellin

Biến đổi Mellinvà phép nghịch đảo của nó liên hệ với biến đổi Laplace hai bên bằng cách thay đổi biến Trong biến đổi Mellin

G(s) = M {g(θ)} =

0

θ s g(θ) dθ θ

Ta đặt θ = e-t, ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên

1.5 BẢNG CÁC BIẾN ĐỔI LAPLACE 3

Biến đổi Z

Biến đổi Zlà biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý

tưởng bằng cách thay thế

zdef= e sT , với T = 1/f s là chu kỳ (đơn vị là

giây), và f s là tần số (đơn vị là hertz)

đặt

∆T (t)def= ∑∞

n=0 δ(t − nT ) là xung lực thử

(còn gọi làlực Dirac)

và

x q (t)def= x(t)∆ T (t) = x(t)∑∞

n=0 δ(t − nT )

=

∞

∑

n=0

x(nT )δ(t − nT ) =∑∞

n=0

x[n]δ(t − nT )

là sự biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của

x(t) còn x[n]def= x(nT ) là biểu diễn sự rời rạc của x(t)

Biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử x(t) là

X q (s) =∫∞

0−x q (t)e −st dt

=

0−

∞

∑

n=0

x[n]δ(t − nT )e −st dt

=

∞

∑

n=0

x[n]

0−

δ(t − nT )e −st dt

=

∞

∑

n=0

x[n]e −nsT .

Đây là định nghĩa chính xác củabiến đổi Zđối với hàm

x[n]

X(z) =∑∞

n=0 x[n]z −n (thay z ← e sT )

So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa

biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu thử

X q (s) = X(z) 

z=e sT

Biến đổi Borel

Dạng tích phân củabiến đổi Borelcó liên hệ với biến

đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng

chúng tương tự như nhau.Biến đổi Borel tổng quáttạo

ra biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm

mũ

Mối quan hệ cơ bản

Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích phân

1.5 Bảng các biến đổi Laplace

Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên

• Biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các biến đổi

Laplace của các số hạng

L {f(t) + g(t)} = L {f(t)} + L {g(t)}

• Biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội

số nhân cho biến đổi Laplace của hàm đó

L {af(t)} = aL {f(t)}

Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội củahàm bậc thang Heavisideu(t)

• Bảng cung cấp những biến đổi Laplace đối với

những hàm chung một biến

1.6 Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s

Biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC

V R (s) = R.I(s)

V L (s) = s.L.I(s) − L.I o

V C (s) = s.C1 I(s) + V o

s

Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau Riêng đối vớicuộn cảmL vàtụ điệnC cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối với cuộn cảm và áp ban đầu đối với tụ điện)

4 CHƯƠNG 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Bảng so sánh giữa mạch miền t và mạch miền s

1.7 Ứng dụng các tính chất và định

lý của biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trongkỹ thuậtvà

vật lý học Việc tính toán được chuyển sang không gian

Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân

thông thường, khi đó ta có thể giải quyết vấn đề bằng

phương pháp đại số

Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giảiphương trình

vi phânvà được ứng dụng rộng rãi trongkỹ thuật điện

(electrical engineering) Phương pháp sử dụng biến đổi

Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển

bởi kỹ sư người AnhOliver Heaviside

Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vịSI

1.7.1 Giải phương trình vi phân

Bài toán trong vật lýhạt nhân nguyên tử

Phương trình biểu diễn sự phân rãphóng xạcủa một

chấtđồng vịphóng xạ

dN

dt =−λN (1) N=N(t): số nguyên tử còn lại không bị

phân rã ở thời điểm t(s)

λ:hằng số phân rã

Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này

Từ (1) ta có

dN

dt + λN = 0

ực hiện biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương

trình

(

s ˜ N (s) − N o

)

+ λ ˜ N (s) = 0

Với ˜N (s) = L{N(t)}

N o = N (0).

Giải phương trình ta có

˜

N (s) = N o

s+λ

Cuối cùng ta thực hiện biến đổi ngược để chuyển về

miền t

N (t) = L −1 { ˜ N (s) } = L −1{

N o s+λ

}

1.7.2 Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn

cảm

Ví dụ này dựa vào lý thuyết giải tích mạch điện

(electrical circuit)

an hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t

i R (t) = V R (t)

R

i C (t) = C dV C (t)

dt

V L (t) = L di L(t) dt

Với i(t) là lượngđiện tíchchạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V(t) là điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s

V R (s) = R.I)(s)

V L (s) = s.L.I(s) − L.I o

V C (s) = sC1 I(s) + V o

s

Với I(s) = Li(t) , V (s) = Lv(t)

I o = i(0): dòng điện ban đầu chạy quacuộn cảmL

V o = V C(0): điện áp ban đầu quatụ điệnC Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0

Z(s) = V (s) I(s)

V o=0

.

Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phầnRLC

Z R (s) = R

Z L (s) = s.L

Z C (s) = 1

sC

1.7.3 Hàm truyền

Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miềntần sốđược biểu diễn thông qua bảng sau:

Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập

Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với

h(t) = Ae −αt cos(ω d t − ϕ d)(1)

ω d t − ϕ d ≥ 0

0≤ ϕ d ≤ 2π : sự trễpha

Ta biến đổi (1)

h(t) = Ae −αt cos [ω d (t − t d)]· u(t − t d)

Với t d = ϕ d

ω d : thời gian trễ của hệ và u(t) làhàm bước nhảy Heviside

1.8 XEM THÊM 5

Hàm truyềnH(s) được suy ra bằng cách dùng biến đổi

Laplace đối với hàm h(t)

H(s) = L{h(t)} = Ae −st d (s+α)

(s+α)2+ω2

d

= Ae −st d (s+α)

(s2+2αs+α2)+ω2

d

= Ae −st d (s+α)

(s2+2αs+ω2 )

với ω0=√

α2+ ω2

dlà tần số cộng hưởng của hệ(rad/s)

1.7.4 Phương pháp khai triển thừa số

riêng phần

Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền

H(s) = (s+α)(s+β)1

h(t) = L −1 {H(s)} : biến đổi Laplace ngược của hàm

truyền H(s)

Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai

triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp khai triển

riêng phần

H(s) = (s+α)(s+β)1 = (s+α) P +(s+β) R

P, R là cáchằng sốchưa biết Để tìm hằng sốnày ta

dùng đồng nhất thức

s+α

s+β = P (s+β)+R(s+α) (s+α)(s+β)

Từ đây suy ra

P = 1

(s+β)

s= −α=

1

(β −α)

và

R = (s+α)1 

s= −β =

1

(α −β) = (β −1 −α) =−P

ay vào H(s) ta tìm được

H(s) =

(

1

β −α

)

·( 1

(s+α) − 1

(s+β)

)

Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace,

ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s)

h(t) = L −1 {H(s)} = 1

β −α

(

e −αt − e −βt)

1.7.5 Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace X(s) = s+β

(s+α)2+ω2

Ta tìm hàm ngược của X(s) bằng cách thêm và bớt hằng

số vào tử số

X(s) = s+α

(s+α)2+ω2 + β −α

(s+α)2+ω2

Dựa vào định lý dịch chuyển ta có

x(t) = e −αt L −1{

s

s2+ω2 + β −α

s2+ω2

}

= e −αt L −1{

s

s2+ ω2 +

(

β − α ω

) (

ω

s2+ ω2

)}

= e −αt[

L −1{

s

s2+ ω2

} +

(

β − α ω

)

L −1{

ω

s2+ ω2 }]

e −αt[

cos (ωt)u(t) +(

β −α ω

)

sin (ωt)u(t)]

x(t) = e −αt[

cos (ωt) +(

β −α ω

)

sin (ωt)]

u(t)

1.7.6 Sự trễ pha

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace

X(s) = s sin ϕ+ω cos ϕ s2+ω2

Suy ra

X(s) = s s2sin ϕ +ω2 +s ω2cos ϕ +ω2

= (sin ϕ)

(

s

s2+ ω2

) + (cos ϕ)

(

ω

s2+ ω2

)

ực hiện biến đổi ngược cho X(s), ta có

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

(trigonometric identity) a sin ωt + b cos ωt =

√

a2+ b2· sin (ωt + arctan(b/a))

Ta suy ra Tương tự ta cũng nhận được

L −1{

s cos ϕ −ω sin ϕ

s2+ω2

}

=cos (ωt + ϕ)

1.8 Xem thêm

• Pierre-Simon Laplace

• Biến đổi Fourier

• Analog signal processing

• Laplace transform applied to differential equations

6 CHƯƠNG 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

1.9 Tham khảo

1.10 Liên kết ngoài

• Online Computationof the transform or inverse

transform, wims.unice.fr

• Tables of Integral Transforms at EqWorld: e

World of Mathematical Equations

• Laplace Transform Module by John H Mathews

• Good explanations of the initial and final value

theorems

• Laplace and Heavisideat Interactive maths

• Laplace Transform Table and Examples at

Vibrationdata

• Laplace Transform Cookbook at Syscomp

Electronic Design

Chương 2

Lôgarit tự nhiên

- 6

- 4

- 2

2

Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên.

Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) làlogaritcơ

số edo nhà toán họcJohn Napiersáng tạo ra Ký hiệu là:

ln(x), logₑ(x) đôi khi còn viết là log(x)Logarittự nhiên

của một số x là bậc củasố eđểsố elũy thừa lên bằng

x Tức là ln(x)=a <=> ea=x Ví dụ, ln(7,389) bằng 2 vì

e2=7.389… Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và

logarit tự nhiên của 1 bằng 0

Logarit tự nhiên được xác định với mọisố thựca (trừ số

0) là vùng dướiđồ thịy=1/x từ 1 đến a Sự đơn giản của

định nghĩa được sánh với cáccông thứckhác kéo theo

logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ “tự nhiên” Định

nghĩa có thể được mở rộng đếnsố phức, được giải thích

dưới đây

Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số có

nghĩa của biến thực, làhàm sốcủahàm mũ Điều này

dẫn đến sự đồng nhất:

e ln(x) = x khi x > 0

ln(e x ) = x.

Như tất cả cáclogarit, logarit tự nhiên biến nhân thành

cộng:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

Do đó, hàm số logarit là mộthàm số đơn điệuđi từ tập

số thựcdương dưới phép nhân vào tập số thực dưới phép cộng Được miêu tả:

ln :R+→ R.

Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, không chỉ làsố e; tuy nhiên,logarit của các cơ số khác chỉ khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên

và thường được định nghĩa bằngthuật ngữsau cùng Logarit được sử dụng để tính cácphương trìnhcó số mũ

là biến số Ví dụ, Logarit được sử dụng để tínhchu kì bán rã,hằng số phân rã, hoặc thời gian chưa biết trong những vấn đề phân rã chứa mũ Logarit rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực củatoán họcvà khoa học và được

sử dụng trongtài chínhđể giải quyết những vấn đề liên quan đến lãi suất kép

2.1 Lịch sử

Người đầu tiên đề cập đến logarit tự nhiên làNicholas Mercatortrong tác phẩm Logarithmotechnia được công

bố vào năm1668, mặc dù giáo viên toán John Speidell

đã biên soạn một bản về logarit tự nhiên Ban đầu nó được gọi làlogarit hyperbol, vì nó tương ứng vớidiện tích của một hyperbol Nó cũng đôi khi được gọi là logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ này là hơi khác nhau

2.2 Nguồn gốc của thuật ngữ

logarit tự nhiên

Ban đầu, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơ

số này “tự nhiên” hơn cơ số e Nhưng theo toán học, số

10 không có ý nghĩa đặc biệt Ứng dụng của nó vềvăn hóa- làm cơ sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, có khả năng phát sinh từ đặc trưng các ngón tay của con 7

... biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z liên quan biến đổi biến đổi tích phân

1.5 Bảng biến đổi Laplace< /b>

Vì biến đổi Laplace tốn tử tuyến tính nên

• Biến đổi. ..

ra biến đổi Laplace cho hàm hàm

mũ

Mối quan hệ bản

Từ biến đổi Laplace ban đầu xem trường hợp đặc biệt biến đổi hai bên, từ biến đổi hai bên xem tổng hai biến đổi. .. đổi Laplace tổng tổng biến đổi< /i>

Laplace số hạng

L {f(t) + g(t)} = L {f(t)} + L {g(t)}

• Biến đổi Laplace bội số hàm bội

số nhân cho biến đổi Laplace