phep bien doi laplace

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NƠNG LÂM TPHCM KHOA CƠ KHÍ CƠNG NGHỆ BỘ MÔN CƠ ĐiỆN TỬ BÀI GiẢNG : LÝ THUYẾT ðiỀU KHIỂN TỰ ðỘNG GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc phucpfiev1@gmail.com •1 Mơ tả tốn học Phần tử hệ thống liên tục Chương 2: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Phương trình vi phân Phép biến đổi Laplace Hàm truyền Sơ đồ khối Hàm truyền khâu vật lý điển hình Graph tín hiệu Phương trình trạng thái •2 GV NGUYỄN THẾ HÙNG Mơ tả tốn học Phần tử hệ thống liên tục Chương 2: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Phương trình vi phân Phép biến đổi Laplace Hàm truyền Sơ đồ khối Hàm truyền khâu vật lý điển hình Graph tín hiệu Phương trình trạng thái •3 2.1 Phương trình vi phân Tổng quát, quan hệ tín hiệu vào, tín hiệu hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO mơ tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: an dn y dn−1y dmr dm−1r + a + + a y(t) = b + b + + b0r(t) n−1 m m−1 dtn dt n−1 dtm dt m−1 , bi : thông số hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…) r(t) : tín hiệu vào y(t) : tín hiệu n = bậc hệ thống = bậc ph.trình vi phân Với hệ thống thực tế : m ≤ n (nguyên lý nhân quả) •4 GV NGUYỄN THẾ HÙNG Ví dụ 2.1: Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : ñộ cứng lo xo, [N/m] Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N] Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] Áp dụng Định luật II Newton : d2 y m = ∑ Fi = F(t) − Fms − Flx dt dy Lực giảm chấn : Fms = b dt Lực lò xo : Flx = ky(t) F(t) (+) m Flx Fms ⇒ d2 y dy m +b + ky(t) = F(t) dt dt •5 Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff : uR + uL + uC = u Trong đó: du uC = ∫ idt ⇒ i = C C C dt duC uR = Ri = RC dt di d2 u uL = L = LC 2C dt dt Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc ⇒ LC d2uC du + RC C + uC = u dt dt •6 GV NGUYỄN THẾ HÙNG Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô v(t) b f(t) m dv + bv(t) = f(t) dt m : khối lượng xe b : hệ số cản khơng khí (ma sát nhớt) Tín hiệu vào: Lực đẩy động cơ, f(t) Tín hiệu ra: vận tốc xe , v(t) •7 Ví dụ 2.4: Bộ giảm xóc xe ơtơ, xe máy m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m] Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m] Tín hiệu ra: lượng di ñộng y(t), [m] m d2 y dy dr +b + ky(t) = b + kr(t) dt dt dt •8 GV NGUYỄN THẾ HÙNG Ví dụ 2.5: Mạch điện RLC d2uC du RLC + L C + RuC = Ru dt dt i RLC i d2uC du du + L C + RuC = L dt dt dt •9 Mơ tả tốn học Phần tử hệ thống liên tục Chương 2: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Phương trình vi phân Phép biến đổi Laplace Hàm truyền Sơ đồ khối Hàm truyền khâu vật lý điển hình Graph tín hiệu Phương trình trạng thái •10 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 2.2 Phép biến đổi Laplace Nghiệm y(t) Nghiệm Y(s) •11 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.1 Định nghĩa • Cho hàm thời gian f(t) xác định với t ≥0, biến đổi Laplace f(t) là: ∞ F(s) = L[f (t)] = ∫ f (t)e−st dt s : biến Laplace (biến số phức) L : tốn tử biến đổi Laplace F(s): biến ñổi Laplce hay ảnh Laplace f(t) Biến ñổi Laplace tồn tích phân biểu thức định nghĩa hội tụ (hữu hạn) •12 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 2.2 Phép biến đổi Laplace • Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược F(s) hàm thời gian f(t) xác định bởi: f (t) = L−1[F(s)] = F(s)e tsds 2πj ∫ t≥0 c Trong : C đường cong kín lựa chọn miền s j số ảo ñơn vị (j2 =-1) •13 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.2 Tính chất 1) Tuyến tính L [f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s) L[kf(t)] = kF(s) 2) Ảnh đạo hàm Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu: f (0 ), f& (0 ), && f (0 ), , f ( n −1) (0 ) Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mơ tả chuyển động bậc hai: & + 20 y(t) = 100 300&& y(t) + 5y(t) điều kiện đầu: y(0) vị trí ban ñầu (tại t=0) & 0) vận tốc ban ñầu (tại t=0) y( •Bộ mơn : Cơ ðiện Tử GV NGUYỄN THẾ HÙNG •14 2.2 Phép biến đổi Laplace 2a) Nếu điều kiện đầu khác n L[f ( n ) (t )] = sn F(s) − ∑ sn −i f ( i−1) (0) i=1 L[f&&(t)] = s F(s) − sf (0) − f& (0) L[f (3) (t)] = s F(s) − s f (0) − sf& (0) − && f (0) 2b) Nếu ñiều kiện ñầu = L[f ( n ) (t )] = sn F (s) & + 20 y(t) = 100r(t) 300&& y(t) + 5y(t) Ví dụ, xét ptvp: Biến ñổi Laplace vế với ðKð =0 ta ñược: 300s2 Y(s) + 5sY(s) + 20Y(s) = 100R(s) (300s + 5s + 20)Y(s) = 100R(s) •15 2.2 Phép biến đổi Laplace 3) Ảnh tích phân t  F (s) L  ∫ f (t )dt  = s 0  4) nh c a hàm tr f(t-T) = f(t) t≥ T = t