Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học. Bởi vì qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t.

Mục lục • • • • • • • • Lịch sử Định nghĩa o 2.1 Biến đổi Laplace hai phía o 2.2 Biến đổi Laplace ngược Tính chất hàm gốc Tính chất biến đổi Laplace o 4.1 Biến đổi Laplace phép đạo hàm hàm o 4.2 Liên hệ với biến đổi khác  4.2.1 Biến đổi Fourier  4.2.2 Biến đổi Mellin  4.2.3 Biến đổi Z  4.2.4 Biến đổi Borel  4.2.5 Mối quan hệ Bảng biến đổi Laplace Trở kháng sơ đồ mạch điện tương đương mạch miền s Ứng dụng tính chất định lý biến đổi Laplace o 7.1 Giải phương trình vi phân o 7.2 Tổng trở Z(s) tụ điện cuộn cảm o 7.3 Hàm truyền o 7.4 Phương pháp khai triển thừa số riêng phần o 7.5 Tổng hợp hàm sin, cos hàm mũ o 7.6 Sự trễ pha Xem thêm I.LỊCH SỬ: Biến đổi Laplace biến đổi tích phân với biến đổi Fourier hai biến đổi hữu ích thường sử dụng giải toán vật lý Qua biến đổi Laplace, phép toán giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hóa thành phép tính đại số (giống cách mà hàm logarit chuyển phép toán nhân số thành phép cộng logarit chúng) Vì đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình thường xuất toán vật lý, phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, hệ học Bởi qua biến đổi Laplace phương trình chuyển thành phương trình đại số đơn giản Giải nghiệm hàm ảnh không gian p, dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc không gian thực t Trong toán học, biến đổi tích phân biến đổi T có dạng sau: Đầu vào biến đổi hàm f, đầu hàm Tf khác Có nhiều loại biến đổi tích phân Mỗi loại tương ứng với lựa chọn hàm K khác nhau, gọi nhân (tiếng Anh: kernel hay nucleus) phép biến đổi Một số nhân có nghịch đảo tương ứng K − 1(u,t), có nghĩa tồn phép biến đổi ngược: Lí để có phép biến đổi tích phân sau Có nhiều lớp toán mà khó giải hay việc biểu diễn góc nhìn đại số ban đầu Một biến đổi tích phân ánh xạ hàm từ "miền" gốc (ví dụ: hàm mà thời gian biến độc lập thuộc miền thời gian) sang miền khác (miền đích) Việc giải toán miền đích thuận lợi so với giải miền gốc Sau đó, kết ánh xạ trở lại miền gốc ban đầu Biến đổi tích phân dựa khái niệm spectral factorization hệ sở trực giao chuẩn Ý nghĩa hàm phức tạp tùy ý biễu diễn dạng tổng hàm đơn giản Ví dụ, dùng chuỗi Fourier, hàm theo thời gian (ví dụ: điện áp thiết bị điện tử) biểu diễn dạng tổng hàm sin hay cos, hàm nhân tỉ lệ (nhân với hệ số số) dịch (lên hay xuống theo thời gian) Các hàm sin cos chuỗi Fourier ví dụ hệ sở trực giao chuẩn Trực giao (từ ortho- orthonormal) có nghĩa hàm sở trực giao với nhau; tức tích hai hàm khác —lấy tích phân chu kì—là Tương tự, từ "chuẩn" (normal orthonormal) nghĩa lấy hàm sơ, nhân với lấy tích phân chu kì, cho kết Một biến đổi tích phân phép thay đổi biểu diễn hệ sở trực giao chuẩn sang hệ trực giao chuẩn khác Mỗi điểm biểu diễn hàm biến đổi miền đích tương ứng với phân bố hàm sở trực giao chuẩn cho trước khai triển Quá trình khai triển hàm từ biểu diễn chuẩn thành tổng hàm sở trực giao chuẩn, nhân tỉ lệ dịch, gọi trình "spectral factorization." Xem xét cách triệt để, đồ thị trục Descarte chuẩn hàm xem khai triển trực giao chuẩn Thực ra, điểm phản ánh đóng góp hàm sở trực giao chuẩn cho tổng Một cách trực quan, điểm (3,5) đồ thị hàm sở trực giao chuẩn δ(x3), với "δ" hàm delta Kronecker, nhân tỉ lệ hệ số đóng góp cho tổng dạng Với ý nghĩa đó, đồ thị hàm thực liên tục mặt phẳng tương ứng với tập vô hạn hàm sở; số hàm sở hữu hạn, đường cong bao gồm tập rời rạc điểm thay đường bao liên tục Lấy ví dụ biến đổi tích phân biến đổi Laplace Đây kĩ thuật ánh xạ phương trình vi phân hay phương trình tích-vi phân (integro-differential) miền thời gian thành phương trình đa thức miền "tần số phức" (Tần số phức giống với tần số vật lí thực, tổng quát Đặc biệt, thành phần ảo tần số phức tương ứng với khái niệm thông thường tần số, viz., tốc độ mà đường sin lặp lại chu kì, thành phần thực tần số phức tương ứng với độ "giảm dần" (damping), nhân nghịch đảo hàm mũ đường sin Biểu thức toán exp([−s+jω]t) đánh giá exp(−st)exp(jωt), với exp(jωt) đường sin exp(−st) hệ số giảm (damping factor).) Biến đổi Laplace có ứng dụng rộng rãi vật lí, đặc biệt kĩ thuật điện, nơi mà phương trình đặc trưng mô tả hoạt động mạch điện tử miền tần số phức, tương ứng kết hợp tuyến tính hàm sin biến đổi tỉ lệ, dịch theo thời gian Các biến đổi tích phân khác có ứng dụng đặc biệt kiến thức toán học khoa học khác 2.ĐỊNH NGHĨA: Giả sử f hàm (có thể hàm phức) biến số thực t (t ≥ 0) cho tích phân hội tụ với số phức s = a + ib, ảnh hàm f qua biến đổi Laplace hàm F định nghĩa tích phân sau Một số trường hợp để đảm bảo cho trường hợp hàm gốc f(t) không xác định t=0, ta định nghĩa cách xác o 2.1 Biến đổi Laplace hai phía Một nói "biến đổi Laplace" mà không ý thêm gì, thường ta nói đến biến đổi phía Biến đổi Laplace định nghĩa biến đổi Laplace hai phía cách mở rộng giới hạn tích phân đến âm vô cực Nếu vậy, biến đổi Laplace phía đơn giản trở thành trường hợp đặc biệt biến đổi Laplace hai phía, xác định cách lấy hàm chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside 2.2 Biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược giúp tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(p) Biến đổi Laplace ngược định nghĩa tích phân sau Nhưng thông thường dùng đến tích phân để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t) • Tính chất hàm gốc Tập hợp hàm f biến số thực t cho tích phân hội tụ với số phức p gọi lớp hàm gốc Trong tập hợp giá trị p cho tích phân tồn gọi miền hội tụ (hay miền qui tụ) Ta chứng minh lớp hàm gốc phải thỏa mãn tính chất sau • • • f(t) = 0, với t < Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục với đạo hàm cấp đủ lớn toàn trục t, trừ số hữu hạn điểm gián đoạn loại Khi hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức tồn số s>0 M>0 cho Khi s o = inf {s} gọi số tăng hàm f (Tức hàm f(t) không tăng nhanh hàm est để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ) • • Tính chất biến đổi Laplace Cho hàm f(t) g(t), hàm ảnh tương ứng F(s) G(s): • • Sau bảng tính chất biến đổi Laplace: Hàm gốc Tuyến tính Hàm ảnh Đạo hàm hàm ảnh Đạo hàm hàm ảnh (tổng quát) Đạo hàm hàm gốc Đạo hàm bậc Tổng quát Tích phân hàm ảnh Tích phân hàm gốc Đồng dạng Biến đổi hàm ảnh Biến đổi hàm gốc Phép nhân chập Hàm tuần hoàn • Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn) • Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn) , nửa mặt phẳng (Re.s > so) o 4.1 Biến đổi Laplace phép đạo hàm hàm Thường dùng phép tính vi phân biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm hàm Ta thu từ biểu thức biến đổi Laplace sau: (Từng phần) Trong trường hợp bên, ta có 4.2Liên hệ với biến đổi khác Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị biến đổi Laplace hai bên với argument số phức s = iω hay s = 2πfi Chú ý biểu thức không tính đến hệ số tỉ lệ biến đổi Fourier , điều tính đến định nghĩa Mối quan hệ biến đổi Laplace biến đổi Fourier thường dùng để xác định quang phổ tần số tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system) Biến đổi Mellin Biến đổi Mellin phép nghịch đảo liên hệ với biến đổi Laplace hai bên cách thay đổi biến Trong biến đổi Mellin Ta đặt θ = e-t, ta thu biến đổi Laplace hai bên Biến đổi Z Biến đổi Z biến đổi Laplace tín hiệu thử lý tưởng cách thay , với chu kỳ (đơn vị giây), tần số (đơn vị hertz) đặt xung lực thử (còn gọi lực Dirac) biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) x(t) rời rạc x(t) Biến đổi Laplace tín hiệu thử x q (t) là biểu diễn Đây định nghĩa xác biến đổi Z hàm x[n] (thay ) So sánh phương trình cuối ta thấy mối liên hệ biến đổi Z biến đổi Laplace tín hiệu thử Biến đổi Borel Dạng tích phân biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có số nhầm lẫn cho chúng tương tự Biến đổi Borel tổng quát tạo biến đổi Laplace cho hàm hàm mũ Mối quan hệ Từ biến đổi Laplace ban đầu xem trường hợp đặc biệt biến đổi hai bên, từ biến đổi hai bên xem tổng hai biến đổi bên, điểm khác biệt riêng biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z liên quan biến đổi biến đổi tích phân • Bảng biến đổi Laplace Vì biến đổi Laplace toán tử tuyến tính nên • Biến đổi Laplace tổng tổng biến đổi Laplace số hạng • Biến đổi Laplace bội số hàm bội số nhân cho biến đổi Laplace hàm Tính đơn ánh biến đổi Laplace t số không âm, hàm miền thời gian bảng bội hàm nhảy Heaviside u(t) • Bảng cung cấp biến đổi Laplace hàm chung biến ST T Hàm ideal delay 1a unit impulse delayed nth power with frequency shift 2a nth power (for integer n) 2a.1 qth power (for real q) 2a.2 unit step 2b delayed unit step 2c ramp 2d nth power with frequency shift Hàm gốc (miền t) Hàm ảnh (miền s) Miền hội tụ s 2d.1 exponential decay exponential approach sine cosine hyperbolic sine hyperbolic cosine Exponentially -decaying sine wave Exponentially -decaying cosine wave 10 nth root 11 natural logarithm 12 Bessel function of the first kind, of order n 13 Modified Bessel function of the first _Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 21 (H P10.9) 10.10 Mạch (H P10.10) Xác định i(t) t>0 Cho v(0) = V i(0) = A (H P10.10) _ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT Biến đổi Fourier Mục lục • • • Ứng dụng Các dạng biến đổi Fourier o 2.1 Biến đổi Fourier liên tục o 2.2 Chuỗi Fourier o 2.3 Biến đổi Fourier rời rạc o 2.4 Các dạng khác Tham khảo Ứng dụng Biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ vật lý, số học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm học, hải dương học, quang học, hình học nhiều lĩnh vực khác Trong xử lý tín hiệu ngành liên quan, biến đổi Fourier thường nghĩ đến chuyển đổi tín hiệu thành thành phần biên độ tần số Sự ứng dụng rộng rãi biến đổi Fourier bắt nguồn từ tính chất hữu dụng biến đổi này: • • • • • • • Tính tuyến tính : Tồn biến đổi nghịch đảo, thực tế biến đổi Fourier nghịch đảo gần có dạng với biến đổi thuận Những hàm số sin sở hàm riêng phép vi phân, có nghĩa khai triển biến phương trình vi phân tuyến tính với hệ số không đổi thành phương trình đại số Ví dụ, hệ vật lý tuyến tính không phụ thuộc thời gian, tần số đại lượng không đổi, thành phần tần số khác tính toán cách độc lập Theo định lý tích tổng chập, biến đổi Fourier chuyển tích tổng chập phức tạp thành tích đại số đơn giản Biến đổi Fourier rời rạc tính toán cách nhanh chóng máy tính nhờ thuật toán FFT (fast Fourier transform) Theo định lý Parseval-Plancherel, lượng tín hiệu (tích phân bình phương giá trị tuyệt đối hàm) không đổi sau biến đổi Fourier Các dạng biến đổi Fourier o 2.1 Biến đổi Fourier liên tục Thông thường, tên gọi biến đổi Fourier gắn cho biến đổi Fourier liên tục, biến đổi biểu diễn hàm bình phương khả tích f(t) theo tổng hàm e lũy thừa phức với tần số góc ω biên độ phức F(ω): Đây biến đổi nghịch đảo biến đổi Fourier liên tục, biến đổi Fourier biểu diễn hàm F(ω) theo f(t) Trong toán học, biến đổi Fourier liên tục toán tử tuyến tính chuyển hàm khả tích (theo tích phân Lebesgue) sang hàm khả tích khác Theo ngôn ngữ chuyên ngành xử lý tín hiệu hay vật lý, biến đổi Fourier khai triển hàm số theo thành phần phổ nó, ngược lại biến đổi Fourier nghịch đảo xây dựng lại hàm số thông qua thành phân tần số Đây ý tưởng dạng khác biến đổi Fourier, bao gồm biến đổi Fourier rời rạc Xét hàm số phức khả tích Lebesgue x(t) Một biến đổi Fourier sang miền tần số góc ω cho hàm : cho tất số thực đơn vị số ảo, hàm nhận giá trị phức Biến đổi nghịch đảo có dạng tương tự Nếu hàm hàm liên tục bậc vô hạn, : dịnh nghĩa trên, cho tất số thực Bản sau ghi lại số biến đổi Fourier quan trọng G H kí hiệu biến đổi Fourier hàm số g(t) h(t), theo thứ tự g h hàm khả tích phân bố [sửa] Các mối liên quan Tín hiệu Biến đổi Fourier unitary, tần số góc Biến đổi Fourier unitary, tần số thường Chú thích 101 Tuyến tính 102 Shift thời gian 103 Shift tần số, đối ngẫu Nếu lớn, tập trung xung quanh 104 trải rộng phẳng dần Để ý đến giới hạn giá trị | a | vô cực - hàm số delta 105 Tính chất đối ngẫu biến đổi Fourier Kết từ việc hoán đổi biến 106 Đạo hàm tổng quát biến đổi Fourier 107 Đối ngẫu 106 108 denotes the convolution of and — this rule is the convolution theorem This is the dual of 108 109 110 is purely real, and an even function 111 is purely real, and an odd function and and are purely real, and even functions are purely imaginary, and odd functions [sửa] Square-integrable functions Signal Fourier transform unitary, angular frequency Fourier transform unitary, ordinary frequency Remarks 20 The rectangular pulse and the normalized sinc function 20 Dual of rule 201 The rectangular function is an idealized low-pass filter, and the sinc function is the noncausal impulse response of such a filter 20 tri is the triangular function 20 Dual of rule 203 20 Shows that the Gaussian function exp( − αt2) is its own Fourier transform For this to be integrable we must have 20 20 20 common in optics 20 a>0 21 the transform is the function itself 21 J (t) is the Bessel function of first kind of order 21 it's the generalizati on of the previous transform; T n (t) is the Chebyshev polynomial of the first kind 21 U n (t) is the Chebyshev polynomial of the second kind 21 Hyperbolic secant is its own Fourier transform [sửa] Distributions Signal Fourier transform unitary, angular Fourier transform unitary, ordinary Remarks frequency frequency 30 denotes the Dirac delta distribution 30 Dual of rule 301 30 This follows from and 103 and 302 30 30 Follows from rules 101 and 303 using Euler's formula: Also from 101 and 303 using Here, 30 is a natural number is the -th distribution derivative of the Dirac delta This rule follows from rules 107 and 302 Combining this rule with 1, we can transform all polynomials 30 Here is the sign function; note that this is consistent with rules 107 and 302 30 Generalization of rule 307 30 The dual of rule 307 31 Here u(t) is the Heaviside unit step function; this follows from rules 101 and 309 31 u(t) is the Heaviside unit step function and a > 31 The Dirac comb — helpful for explaining or understanding the transition from continuous to discrete time o 2.2 Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Biến đổi Fourier liên tục dạng tổng quát khái niệm có từ trước, chuỗi Fourier Chuỗi Fourier khai triển hàm tuần hoàn f(x) với chu kì 2π (hoặc hàm có tập xác định bị chặn) theo chuỗi hàm sin: F n biên độ phức Cho hàm thực, chuỗi Fourier viết dạng: a n b n số Fourier (giá trị thực) Khái niệm chung Cho hàm số f với giá trị phức biến thực t, f: R → C, mà f(t) liên tục khả vi gián đoạn, tuần hoàn với chu kì T, bình phương khả tích đoạn t đến t với chiều dài T, nghĩa là, với • • T = t − t chu kì, t t cận tích phân Chuỗi Fourier f • mà đó, với số nguyên không âm n, • tần số góc thứ n (theo radian) hàm số f, • hệ số Fourier chẵn f, • hệ số Fourier lẻ f Một cách tương đương, dạng mũ hàm phức, • với: • • i đơn vị ảo, • theo công thức Euler Công thức Euler, hay gọi đồng thức Euler, công thức toán học ngành giải tích phức, xây dựng nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler Công thức mối liên hệ hàm số lượng giác hàm số mũ phức Cụ thể, với số thực x, ta có: Ở e số logarit tự nhiên, i đơn vị số phức, : giác Khai triển từ công thức trên, hàm số : Trường hợp đặc biệt: : công thức rút gọn tiếng: : : hàm số lượng viết dạng sau: , ta có : , từ dẫn đến Chứng minh [sửa] Bằng cách sử dụng chuỗi Taylor Sau cách chứng minh công thức Euler cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor tính chất lũy thừa số i: Các hàm ex, cos(x) sin(x) (với giả sử x số thực) viết sau: Do bán kính hội tụ chuỗi nêu vô hạn, thay x iz, với z số phức Khi đó: Việc xếp lại số hạng thích hợp chuỗi chuỗi hội tụ tuyệt đối Lấy z = x số thực dẫn đến đẳng thức nguyên thủy mà Euler khám phá [sửa] Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phân Xét hàm số f xác định bởi: Ta chứng minh khác với x Thật ; giả sử ( vô lý ) Do mẫu : khác Bây tính đạo hàm : theo qui tắc chia; dễ thấy ; ; Vì : phải hàm hằng; có nghĩa với : Bây cho : ta thấy : ; : [sửa] Bằng cách sử dụng phương trình vi phân thường Xét hàm số f(x) xác định Chú ý i số, đạo hàm bậc bậc hai f(x) i2 = − theo định nghĩa Từ xây dựng phương trình vi phân thường tuyến tính có bậc sau: hay Đây phương trình vi phân thường bậc 2, có hai nghiệm độc lập tuyến tính là: Cả cos(x) sin(x) hàm số thực có đạo hàm bậc hai đồng với giá trị âm Ngoài ra, tổ hợp tuyến tính nghiệm phương trình vi phân lại nghiệm Do vậy, nghiệm tổng quát phương trình vi phân nêu với số A B Tuy nhiên, giá trị số thỏa mãn điều kiện ban đầu hàm f(x): Các điều kiện ban đầu giống (áp dụng cho nghiệm tổng quát) dẫn đến Từ cho sau 2.3 Biến đổi Fourier rời rạc Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc, gọi biến đổi Fourier hữu hạn, biến đổi giải tích Fourier cho tín hiệu thời gian rời rạc Đầu vào biến đổi chuỗi hữu hạn số thực số phức, làm biến đổi công cụ lý tưởng để xử lý thông tin máy tính Đặc biệt, biến đổi sử dụng rộng rãi xử lý tín hiệu ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng, để làm phép tích chập Biến đổi tính nhanh thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) [sửa] Định nghĩa Dãy N số phức :x , ,x N − biến đổi thành chuỗi N số phức X , , X N−1 công thức sau đây: với e sở log tự nhiên, đơn vị ảo (i2 = − 1), π pi Phép biến đổi kí hiệu , as in or or Phép biến đổi Fourier rời rạc ngược cho công thức sau ... 10 Phép biến đổi Laplace - Ò CHƯƠNG 10 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Ò DẪN NHẬP Ò PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ♦ Phép biến đổi Laplace ♦ Phép biến đổi Laplace ngược Ò CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE. .. Mellin Biến đổi Mellin phép nghịch đảo liên hệ với biến đổi Laplace hai bên cách thay đổi biến Trong biến đổi Mellin Ta đặt θ = e-t, ta thu biến đổi Laplace hai bên Biến đổi Z Biến đổi Z biến đổi Laplace. .. Vì biến đổi Laplace toán tử tuyến tính nên • Biến đổi Laplace tổng tổng biến đổi Laplace số hạng • Biến đổi Laplace bội số hàm bội số nhân cho biến đổi Laplace hàm Tính đơn ánh biến đổi Laplace