Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học. Bởi vì qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t.

M ục lục

• 1 Lịch sử

• 2 Định nghĩa

o 2.1 Biến đổi Laplace hai phía

o 2.2 Biến đổi Laplace ngược

• 3 Tính chất hàm gốc

• 4 Tính chất của biến đổi Laplace

o 4.1 Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm

o 4.2 Liên hệ với các biến đổi khác

 4.2.1 Biến đổi Fourier

 4.2.2 Biến đổi Mellin

 4.2.3 Biến đổi Z

 4.2.4 Biến đổi Borel

 4.2.5 Mối quan hệ cơ bản

• 5 Bảng các biến đổi Laplace

• 6 Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s

• 7 Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace

o 7.1 Giải phương trình vi phân

o 7.2 Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

gốc trong không gian thực t

Trong toán học, một biến đổi tích phân là biến đổi T có dạng sau:

Đầu vào của biến đổi là một hàm f , và đầu ra là một hàm Tf khác

Có nhiều loại biến đổi tích phân Mỗi loại tương ứng với một lựa chọn hàm K khác nhau, gọi là

nhân (tiếng Anh: kernel hay nucleus) của phép biến đổi

Một số nhân có nghịch đảo tương ứng K − 1(u,t), có nghĩa là tồn tại phép biến đổi ngược:

Lí do để có phép biến đổi tích phân là như sau Có nhiều lớp bài toán mà khó có thể giải quyết - hay ít nhất là việc biểu diễn nó dưới góc nhìn đại số ban đầu Một biến đổi tích phân sẽ ánh xạ

một hàm từ "miền" gốc (ví dụ: hàm mà thời gian là một biến độc lập thì nó thuộc miền thời gian) sang một miền khác (miền đích) Việc giải bài toán trên miền đích sẽ thuận lợi hơn so với giải trên miền gốc Sau đó, kết quả sẽ được ánh xạ trở lại miền gốc ban đầu

Biến đổi tích phân dựa trên khái niệm spectral factorization trên hệ cơ sở trực giao chuẩn Ý nghĩa của nó là các hàm phức tạp tùy ý đều có thể được biễu diễn dưới dạng tổng của các hàm đơn giản hơn Ví dụ, dùng chuỗi Fourier, các hàm theo thời gian (ví dụ: điện áp của một thiết bị điện tử) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các hàm sin hay cos, mỗi hàm sẽ được nhân tỉ

lệ (nhân với một hệ số là hằng số) và dịch (lên hay xuống theo thời gian) Các hàm sin và cos trong chuỗi Fourier là một ví dụ của hệ cơ sở trực giao chuẩn

Trực giao (từ ortho- trong orthonormal) có nghĩa là mỗi hàm cơ sở là trực giao với nhau; tức là

tích của hai hàm khác nhau —lấy tích phân trên một chu kì—là bằng 0 Tương tự, từ "chuẩn" normal trong orthonormal) nghĩa là lấy một hàm cơ sơ, nhân với chính nó và lấy tích phân trên

(-một chu kì, sẽ cho kết quả là 1 Một biến đổi tích phân là phép thay đổi một biểu diễn trên hệ cơ

sở trực giao chuẩn này sang hệ trực giao chuẩn khác Mỗi điểm trong biểu diễn của hàm được

biến đổi trong miền đích tương ứng với phân bố của hàm cơ sở trực giao chuẩn cho trước được khai triển Quá trình khai triển một hàm từ biểu diễn chuẩn của nó thành tổng của các hàm cơ sở

trực giao chuẩn, có thể được nhân tỉ lệ và dịch, gọi là quá trình "spectral factorization."

Xem xét một cách triệt để, đồ thị trong trục Descarte chuẩn của một hàm có thể xem là một khai triển trực giao chuẩn Thực ra, mỗi điểm phản ánh đóng góp của một hàm cơ sở trực giao chuẩn cho tổng đó Một cách trực quan, điểm (3,5) trên đồ thị chính là hàm cơ sở trực giao chuẩn δ(x-3), với "δ" là hàm delta Kronecker, được nhân tỉ lệ bởi một hệ số là 5 và đóng góp cho tổng dưới

dạng này Với ý nghĩa đó, đồ thị của một hàm thực liên tục trong mặt phẳng tương ứng với một

tập vô hạn các hàm cơ sở; nếu số hàm cơ sở là hữu hạn, đường cong sẽ bao gồm một tập rời rạc các điểm thay vì là một đường bao liên tục

Lấy ví dụ của biến đổi tích phân là biến đổi Laplace Đây là kĩ thuật ánh xạ các phương trình vi phân hay phương trình tích-vi phân (integro-differential) trong miền thời gian thành các phương

trình đa thức trong miền "tần số phức" (Tần số phức là giống với tần số vật lí thực, nhưng tổng quát hơn Đặc biệt, thành phần ảo của tần số phức tương ứng với khái niệm thông thường của tần

số, viz., là tốc độ mà tại đó đường sin lặp lại chu kì, trong khi thành phần thực của tần số phức tương ứng với độ "giảm dần" (damping), hay là nhân bởi nghịch đảo hàm mũ của đường sin

Biểu thức toán exp([−s+jω]t) đánh giá exp(−st)exp(jωt), với exp(jωt) là đường sin và exp(−st) là

hệ số giảm (damping factor).)

Biến đổi Laplace có ứng dụng rộng rãi trong vật lí, đặc biệt trong kĩ thuật điện, nơi mà các

phương trình đặc trưng mô tả hoạt động của một mạch điện tử trong miền tần số phức, tương ứng

là sự kết hợp tuyến tính của các hàm sin được biến đổi tỉ lệ, dịch theo thời gian Các biến đổi tích phân khác có ứng dụng đặc biệt trong các kiến thức toán học và khoa học khác

2.ĐỊNH NGHĨA:

Giả sử f là một hàm (có thể là hàm phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho tích phân

hội tụ ít nhất với một số phức s = a + ib, thì khi đó ảnh của hàm f qua biến đổi Laplace là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau

Một số trường hợp để đảm bảo cho cả những trường hợp hàm gốc f(t) không xác định tại t=0, ta

có thể định nghĩa một cách chính xác hơn

o 2.1 Biến đổi Laplace hai phía

Một khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía

Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới

hạn của tích phân đến âm vô cực

Nếu như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside

2.2 Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(p) Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau

Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm

gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t)

• 3 Tính ch ất hàm gốc

Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân hội tụ ít nhất với một

số phức p gọi là lớp hàm gốc Trong khi đó tập hợp các giá trị của p sao cho tích phân

tồn tại thì được gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ)

Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau

• f(t) = 0, với mọi t < 0

• Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các đạo hàm cấp đủ lớn trên toàn trục t, trừ một số

hữu hạn điểm gián đoạn loại một

• Khi hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao cho

Khi đó so = inf {s} được gọi là chỉ số tăng của hàm f (Tức là hàm f(t) không được tăng nhanh hơn hàm est

•

để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ)

4 Tính chất của biến đổi Laplace

• Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)

• Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)

, trong nửa mặt phẳng (Re.s > so)

o 4.1 Bi ến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm

Thường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm của một hàm Ta có

thể thu được từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau:

Biến đổi Fourier liên tụctương đương với giá trị của biến đổi Laplace hai bên với argument là số

phức s = iω hay s = 2πfi

Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ , điều này được tính đến trong định nghĩa

của biến đổi Fourier

Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được dùng để xác định quang

phổ tần số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system)

Biến đổi Z là biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý tưởng bằng cách thay thế

, với là chu kỳ (đơn vị là giây), và là tần số (đơn vị là hertz) đặt

là xung lực thử (còn gọi là lực Dirac)

Đây là định nghĩa chính xác của biến đổi Zđối với hàm x[n]

Biến đổi Borel

biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng chúng tương tự như nhau Biến đổi Borel tổng quát tạo ra biến đổi Laplace cho

những hàm không phải hàm mũ

Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ

biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các

biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích phân

5 M ối quan hệ cơ bản

Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên

• Biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các biến đổi Laplace của các số hạng

• Biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội số nhân cho biến đổi Laplace của hàm

Bảng so sánh giữa mạch miền t và mạch miền s

Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC

V R (s) = R.I(s)

V L (s) = s.L.I(s) − L.I o

Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau Riêng đối với cuộn cảm L và

tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối với cuộn cảm và áp ban đầu đối với tụ điện)

Biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và vật lý học Việc tính toán được chuyển sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân thông thường, khi đó ta có

thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp đại số

Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình vi phânvà được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện (electrical engineering) Phương pháp sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside

Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI

Bài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử

Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ

(1) N=N(t): số nguyên tử còn lại không bị phân rã ở thời điểm t(s) λ: hằng số phân rã

Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này

o 7.2 T ổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

Ví dụ này dựa vào lí thuyết giải tích mạch điện (electrical circuit)

Quan hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t

Với i(t) là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V(t) là điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t

Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s

V R (s) = R.I)(s)

V L (s) = s.L.I(s) − L.I o

I o = i(0): dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L

V o = V C(0): điện áp ban đầu qua tụ điện C

Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0

Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC

Z R (s) = R

Z L (s) = s.L

o 7.3 Hàm truy ền

Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần sốđược biểu diễn thông qua bảng sau:

Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập

Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với

h(t) = Ae − αtcos(ωd t − φd) (1)

: sự trễ pha

Ta biến đổi (1)

Với : thời gian trễ của hệ và u(t) là hàm bước nhảy Heviside

Hàm truyềnH(s) được suy ra bằng cách dùng biến đổi Laplace đối với hàm h(t)

với là tần số cộng hưởng của hệ(rad/s)

Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền

: biến đổi Laplace ngược của hàm truyền H(s)

Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp khai triển riêng phần

P, R là các hằng sốchưa biết Để tìm hằng sốnày ta dùng đồng nhất thức

Từ đây suy ra

và

Thay vào H(s) ta tìm được

Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace, ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s)

Hàm thời gian Biến đổi Laplace

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace

Ta tìm hàm ngược của X(s) bằng cách thêm và bớt hằng số vào tử số

Dựa vào định lý dịch chuyển ta có

Cuối cùng, dùng biến đổi Laplace cho hàm sin và cos, ta thu được

Thực hiện biến đổi ngược cho X(s), ta có

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác (trigonometric identity)

Ta suy ra

Tương tự ta cũng nhận được

_Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 1

_ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Ò DẪN NHẬP

ÒPHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

♦ Phép biến đổi Laplace

♦ Phép biến đổi Laplace ngược

ÒCÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

10.1 DẪN NHẬP

Phép biến đổi Laplace, một công cụ toán học giúp giải các phương trình vi phân, được

sử dụng đầu tiên bởi Oliver Heaviside (1850-1925), một kỹ sư người Anh, để giải các mạch điện

So với phương pháp cổ điển, phép biến đổi Laplace có những thuận lợi sau:

* Lời giải đầy đủ, gồm đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép, trong một phép toán

* Không phải bận tâm xác định các hằng số tích phân Do các điều kiện đầu đã được đưa vào phương trình biến đổi, là phương trình đại số, nên trong lời giải đầy đủ đã chứa các hằng số

Về phương pháp, phép biến đổi Laplace tương tự với một phép biến đổi rất quen thuộc: phép tính logarit

(H 10.1) cho ta so sánh sơ đồ của phép tính logarit và phép biến đổi Laplace

logarit của các

số

Tổng logarit của các số

Pt vi tích phân

Pt sau Biến đổi

MẠCH

_Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 2

_ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT

Biến đổi Laplace

Phép giải cổ điển Đk đầu Phép tính đại số

Để làm các phép tính nhân, chia, lũy thừa của các con số bằng phép tính logarit ta thực hiện các bước:

1 Lấy logarit các con số

2 Làm các phép toán cộng, trừ trên logarit của các con số

3 Lấy logarit ngược để có kết quả cuối cùng

Thoạt nhìn, việc làm có vẻ như phức tạp hơn nhưng thực tế, với những bài toán có nhiều số mã, ta sẽ tiết kiệm được rất nhiều thời gian vì có thể sử dụng các bảng lập sẵn (bảng logarit) khi biến đổi Hãy thử tính 1,43560,123789 mà không dùng logarit

Trong bài toán giải phương trình vi tích phân dùng phép biến đổi Laplace ta cũng thực hiện các bước tương tự:

1 Tính các biến đổi Laplace của các số hạng trong phương trình Các điều kiện đầu được đưa vào

2 Thực hiện các phép toán đại số

3 Lấy biến đổi Laplace ngược để có kết quả cuối cùng

Giống như phép tính logarit, ở các bước 1 và 3 nhờ sử dụng các bảng lập sẵn chúng ta

có thể giải quyết các bài toán khá phức tạp một cách dễ dàng và nhanh chóng

10.2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

10.2.1 Phép biến đổi Laplace

Hàm f(t) xác định với mọi t>0 Biến đổi Laplace của f(t), được định nghĩa

0

stdtf(t).eF(s)

[f(t)]

s có thể là số thực hay số phức Trong mạch điện s=σ+jω

Toán tử L thay cho cụm từ 'biến đổi Laplace của"

Điều kiện đủ để f(t) có thể biến đổi được là

∫∞ − δ <∞

0

tdt.e

δ là số thực, dương

Điều kiện này hầu như được thỏa đối với những hàm f(t) gặp trong mạch điện Vì e-δt

là hàm mũ giảm khi t tăng nên khi nhân với |f(t)| ta cũng được kết quả tương tự

MẠCH

_Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 3

_ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT

Thí dụ, với hàm f(t)=tn, dùng qui tắc Hospital, người ta chứng minh được

Với giá trị khác của n, tích phân trên cũng xác định với δ ≠ 0

Có những hàm dạng không thỏa điều kiện (10.2) nhưng trong thực tế với những kích thích có dạng như trên thì thường đạt trị bảo hòa sau một khoảng thời gian nào đó

tt,K

tt0,

e 2

v(t) trong điều kiện này thỏa (10.2)

Ta nói toán tử L biến đổi hàm f(t) trong lãnh vực thời gian sang hàm F(s) trong lãnh vực tần số phức Hai hàm f(t) và F(s) làm thành một cặp biến đổi

0t1

s

1e

s

1dte

st at at

1e

as

+

=

∞+

−

0

a (

Kết quả của 2 thí dụ trên cho một bảng nhỏ gồm 2 cặp biến đổi

f(t) F(s) u(t)

1

as

1+

Bằng cách tính biến đổi của một số hàm quen thuộc, ta sẽ xây dựng được một bảng dùng để tra sau này

10.2.2 Phép biến đổi Laplace ngược

Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa

MẠCH

_Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 4

_ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT

2

1F(s)

10.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính

Cho 2 hàm f1(t) và f2(t), với các hằng số a, b F1(s) và F2(s) lần lượt là biến đổi Laplace của f1(t) và f2(t) Ta có:

st -

1(t)e dt b f (t)e dtf

cos

t j t

t j t

j ω − − ω

=ω

Ap dụng (10.4) và dùng kết quả ở thí dụ 10.2

2 2

t j t j

s

s]

js

1j

s

1[2

1]2

ee[t]

[cos

ω+

=ω+

+ω

s

st]

[cos

ω+

=ω

L

Tương tự:

MẠCH

_Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 5

_ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT

2 2

t j t j

s

]js

1j

s

1[2j

1]2j

ee[t]

[sin

ω+

ω

=ω+

−ω

st]

[sin

ω+

ω

=ω

L

a)F(sdtf(t)e

dtf(t)eef(t)]

[e

0

s)t 0

st at at

L

a)F(sf(t)]

Tìm biến đổi Laplace của e-atcosωt và e-atsinωt

Chỉ cần thay s bởi s+a trong các các kết quả biến đổi của hàm sinωt và cosωt ở trên

2 2 at

-a)(s

ast]

cos[e

ω++

+

=ω

L

2 2 at

-a)(st]

sin[e

ω++

ω

=ω

L

Thí dụ 10.5

Tìm f(t) ứng với

52ss

6sF(s) 2

++

=

Viết lại F(s) , sao cho xuất hiện dạng F(s+a)

21)(s

6-1)6(s2

1)(s

6sF(s)

++

+

=++

=

Dùng kết quả của thí dụ 10.4 với a = 1 và ω = 2

21)(s

23

21)(s

-1)(s6

+++

+

+

=

⇒ f(t) = L-1[F(s)]=6e-tcos2t - 3e-tsin2t

f(t-τ) là hàm f(t) trễ τ đơn vị thời gian (Lưu ý là f(t)=0 khi t<0 nên f(t-τ)=0 khi t<τ)

−τ

−

=τ

−τ

− ).u(t )] f(t ).u(t )e dt f(t ).e dt

−τ

− ).u(t )] f(x).e dx e f(x)e dx[f(t - s( - s - sx

0

) x

L

F(s)e)]

).u(t[f(t −τ −τ = -s τ

Hãy so sánh (10.5) và (10.6)

MẠCH

_Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 6

_ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT

* Ở (10.5), F(s+a) biểu thị sự chuyển dịch của F(s) từ s đến s+a trong lãnh vực tần số tương ứng với nhân hàm f(t) với e-at trong lãnh vực thời gian

* Ở (10.6), f(t-τ) biểu thị sự chuyển dịch của hàm f(t) từ t đến t-τ trong lãnh vực thời gian tương ứng với nhân F(s) với e-sτ trong lãnh vực tần số

1+

Nên L [e-3(t-2)u(t-2)]=

3s

e-2s

+

L [e-3tu(t-2)]= e-6(

3s

e

= − ∫t τ τ

0 2t ede

e-t * e-2t = e-t - e-2t

Thí dụ 10.8

Xác định L-1 [ 2 2

1)(s

1+ ]

Dùng định lý kết hợp với F(s)=G(s)=

1s

1+ ]=L-1[F(s).G(s)]

= g(t)*f(t) =sint*sint

=∫0tsin τsin(t −τ)dτ

Ap dụng công thức biến đổi lượng giác rồi lấy tích phân, ta được

MẠCH

_Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 7

_ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT

L-1 [ 2 2

1)(s

1+ ]=2

ddt

(t)df

Trong đó

dt

)df(0+

là giá trị của

dt

df(t) khi t → 0+

= snF(s) - sn-1f(0+) - sn-2

dt

)df(0+

- - n-1

1 - n

dt

)(0

_Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 8

_ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT

s

1f(t)dts

ef(t)dt

0

st t

0

st t

và f(t)dt 0

0 t

0 -

10.3.7 Biến đổi của tf(t)

Lấy đạo hàm hệ thức (10.1), đồng thời hoán chuyển các toán tử lấy đạo hàm và tích phân, ta được:

[f(t)e ]dt [-tf(t)e ]dtds

dds

dF(s)

0

st 0

s

1 ) ( ds

− s 1

f(t) = cosωt ⇒ F(s)= 2 2

s

s ω +

L [tcosωt] = 2 2 22 222

)(s

ss

sds

d

ω+