Đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận một số dạng tích phân

Nguyễn Văn Hào, Khóa luận tốtnghiệp chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ ĐẠO HÀM CỦA CHUỖILŨY THỪA TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN” được sựhoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản th

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Văn Hào

Hà Nội – Năm 2017

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào

đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóaluận này Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy côgiáo trong bộ môn Giải tích nói riêng, các thầy cô giáo giảng dạy tại khoaToán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 nói chung đã tạo điều kiện thuận lợitrong quá trình em học tập và nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới giađình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để em có thể hoàn thànhbản khóa luận này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không thể tránh khỏi nhữnghạn chế và còn có nhiều thiếu sót nhất định Em xin chân thành cảm ơn đãnhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô để khóa luận được hoànthành như hiện tại

Hà Nội, tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Liên

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, Khóa luận tốtnghiệp chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ ĐẠO HÀM CỦA CHUỖILŨY THỪA TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN” được sựhoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với bất

cứ Khóa luận nào khác Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Khóa luận, tácgiả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng vàbiết ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Liên

Mục lục

1.1 Số phức và mặt phẳng phức 5

1.2 Một số tập hợp trong mặt phẳng phức 6

1.3 Hàm chỉnh hình 7

1.4 Chuỗi lũy thừa 9

1.5 Tích phân phức 12

2 Khai triển tiệm cận 20 2.1 Một số khái niệm bậc 20

2.2 Dãy tiệm cận 22

2.3 Khái niệm của Poincarés về khai triển tiệm cận 22

2.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 24

2.4.1 Khái niệm về chuỗi lũy thừa tiệm cận 24

2.4.2 Các phép toán với chuỗi lũy thừa tiệm cận 25

2.5 Tính chất của khai triển tiệm cận 30

2.5.1 Tính duy nhất 30

2.5.2 Tính không duy nhất 31

2.5.3 Tính trội nhỏ 31

2.5.4 Tính bằng nhau của các hệ số 32

2.5.5 Các phép toán đại số 32

2.5.6 Tích phân của chuỗi lũy thừa tiệm cận 33

2.5.7 Tính khả vi 33

3 Đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận một số dạng tích phân 35

3.1 Tính hàm giai thừa khuyết 37

3.2 Tính hàm tích phân dạng mũ 38

3.3 Tính hàm siêu bội suy biến 39

3.4 Tính hàm tựa Bessel 40

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài Trong thực tế thường xảy ra rằng, những chuỗi phân

kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị số của một đại lượng mà theonghĩa nào đó có thể được xem như là “tổng” của chuỗi Trường hợp điển hình

là đối với các chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi một số hạng đầu tiên của chuỗithực sự đem lại hiệu quả mong muốn Trong hầu hết các trường hợp các sốhạng đầu tiên của chuỗi giảm nhanh (khi biến số độc lập tiến nhanh tới giátrị giới hạn của nó), nhưng những số hạng sau bắt đầu tăng trở lại Các chuỗinhư vậy gọi là chuỗi bán hội tụ, và việc tính toán giá trị số thường được thựchiện bởi một số hạng đầu của chuỗi

Giải tích tiệm cận được hình thành từ khá sớm, nó được hình thành từ cáccông trình tính toán của L Euler Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận mới đượcxây dựng một cách hệ thống bởi T J Stieltjes và H Poincaré Một trong cáchướng nghiên cứu của nó được gọi là lý thuyết chuỗi tiệm cận Trong đóngười ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệmcận Thường thì các dãy hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗilũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân

Các bài toán về đạo hàm có vai trò quan trọng trong Toán học, trong thực

tế và các ngành khoa học khác có liên quan như Vật lý, Kĩ thuật, Sinh học,Công nghệ thông tin, Ở đây phát sinh các bài toán gắn với việc tìm đạohàm của các hàm số đặc biệt.Bằng phương pháp tìm chuỗi lũy thừa tiệm cậncủa các hàm số đó ta có thể đạo hàm chúng một cách dễ dàng hơn

Với những lí do trên , được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đềtài “ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI LŨY THỪA TIỆM CẬN MỘT SỐDẠNG TÍCH PHÂN” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngànhToán giải tích Bố cục của Luận văn được trình bày trong 03 chương

Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị" được dành cho việc trình bày một

số kiến thức căn bản về lý thuyết hàm số biến phức một biến

Chương 2 "Khai triển tiệm cận".Để trình bày nội dung chính của khóa luận

về đạo hàm của một số chuỗi lũy thừa tiệm cận, trong chương này em giớithiệu một số kiến thức căn bản về lý thuyết khai triển tiệm cận

Chương 3 "Đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận một số dạng tích phân".Đây

là phần chính của khóa luận, em trình bày bài toán xử lý hai dạng tích phân

R∞

0 e−uuσA

u x



du và R0∞(eu∓ 1)−1uσA

u x



du

bằng phương pháp đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về lý thuyếttiệm cận và đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận của một số dạng tích phânđặc biệt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệmcận tích phân dạng

R∞

0 e−uuσA

u x



du và R0∞(eu∓ 1)−1uσA

u x

Khóa luận được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 vào tháng

4 năm 2017 dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Số phức và mặt phẳng phức

Số phức là số có dạng z = x + iy với x, y ∈R và i2 = −1 và i là đơn vị ảo mà

i2= −1.Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, được ký hiệu tương ứng bởi

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực và Oy là trục ảo Phép cộng

và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như cácphép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1 Ta có

z1+ z2 = (x1+ x2) + i(y1+ y2)

và

z1.z2 = (x1+ iy1)(x2+ iy2)

= x x + ix y + iy x + i2y y

= (x1x2− y1y2) + i(x1y2+ y1x2).

Với mỗi số phức z = x + iy , ta xác định modul của số phức z là giá trị

|z| = px 2 + y 2 Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ky hiệu vaxac đinh bơiz = x − iy ¯ Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được Rez =

z + ¯ z

2 , Imz =

z − ¯ z 2i và |z| 2 = z.¯ z,1

z =

¯ z

|z| 2 ; với z 6= 0

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ; với r > 0, θ ∈R được

gọi là argument của số phứcz và được ký hiệu làargz(argument của số phức z

được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của2π ) Argumentcủa sô phưc z thỏa mãn 0 ≤ argz < 2π được gọi là argument chính ký hiệu là

phz. Ta có

eiθ = cosθ + i sin θ.Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục và nửađường thẳng xuất phát từ gốc toa độ đi qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý rằngnếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ)

Cho tập Ω ⊂ C điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn tại r > 0

sao cho Dr(z0) ⊂ Ω Phần trong của Ω kí hiệu là intΩ gồm tất cả các điểm

trong của Ω Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

Tập Ωđươc gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ωlà mở Điểm z ∈C đươc

gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các điểm zn ∈ C sao cho

zn 6= z và lim

n→∞ zn = z Chúng ta có thể kiểm tra được rằng một tập Ω là đóngnếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω vàcác điểm giới hạn của nó, ký hiệu là Ω¯ Biên của Ω ký hiệu là ∂Ω = ¯ Ω\intΩ

Tập Ω là bị chặn nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho |z| ≤ M ; với mọi z ∈ Ω.

Nếu tập Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số

diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω}

Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn Tập mở Ω ⊂C được gọi

là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng Ω 1 và Ω 2 sao cho

Ω = Ω1∪ Ω2 Một tập mở liên thông trong C được gọi là một miền Tập đóng

F là liên thông nếu không thể viết F = F 1 ∪ F 2 ở đó F 1 và F 2 là các tập đóngrời nhau

khi h → 0,ở đó 0 6= h ∈ với z0+ h ∈ Ω Giới hạn trên được ký hiệu bởi f0(z0)

và gọi là đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 Như vây, ta có

f0(z0) = lim

h→0

f (z0+ h) − f (z0)

h

Hàmf gọi là chỉnh hình trên Ωnếu nó chỉnh hình tại mọi điểm củaΩ Nếu M

là tập đóng của C ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh hình trên mộttập mở nào đó chứa M Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên

Hàm f là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và f0(z) = 1 Thật vậy

không có giới hạn khi h → 0 Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnhhình tại z0∈ Ω nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho

khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực Đạo hàm của nó tại một điểm làánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2cácđạo hàm riêng của nó Mối quan hệ giữa hai kết quả khả vi đó được phản ánhqua kết quả dưới đây

Định lý 1.1 (Điều kiện Cauchy-Riemann) Điều kiện cần và đủ để hàmphức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại điểm đó tồn tạicác đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồng thời các đạo hàm đóthoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann

1.4 Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

Định lý 1.2 (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ

Hơn nữa nếu ta sử dụng qui ước 1

Định lý 1.3 Chuỗi lũy thừa f (z) =

∞

P

n=0

anzn xác định một hàm chỉnh hìnhtrong đĩa hội tụ của nó Đạo hàm của f (z) cũng là một chuỗi lũy thừa thuđược bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm f (z), tức là

Hơn nữa, f0(z) có cùng bán kính hội tụ với f (z).

Chứng minh Bởi vì lim

(z 0 + h)n− z 0n

h

... |h| < δ.

Hệ 1.1 Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần đĩa hội tụ Đạohàm chuỗi lũy thừa chuỗi lũy thừa thu cách lấy đạo hàmcủa số hạng

Một hàm f (z) xác định... data-page="13">

1.4 Chuỗi lũy thừa< /h3>

Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng

Định lý 1.2 (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

(i) Nếu |z| < R chuỗi hội tụ tuyệt...

anzn xác định hàm chỉnh hìnhtrong đĩa hội tụ Đạo hàm f (z) chuỗi lũy thừa thuđược cách đạo hàm số hạng chuỗi hàm f (z), tức

Hơn