Đạo hàm cấp một của hàm ma trận

Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN ĐẠO HÀM CẤP MỘT CỦA HÀM MA TRẬN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 KHÓA LUẬN TỐT SƯ NGHIỆP TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠMĐẠI HÀHỌC NỘI Chuyên ngành: Giải tích KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN HÀ NỘI - 2016 ĐẠO HÀM CẤP MỘT CỦA HÀM MA TRẬN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS HỒ MINH TOÁN HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hồ Minh Toàn, người tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình tìm hiểu hoàn thiện khóa luận Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội - nơi tác giả học tập toàn khóa học Nền tảng kiến thức mà tác giả có kết trình giảng dạy thầy cô môi trường khoa học mà thầy cô mang lại Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tác giả, động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập thực đề tài Xuân Hòa, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền i Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Hồ Minh Toàn, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan khóa luận kết riêng thân, trùng lặp với đề tài nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Xuân Hòa, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu iv Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ 1 1.2 Ma trận 1.3 Không gian định chuẩn 1.4 Không gian Hilbert 13 Phép tính vi phân cấp Rn 2.1 Đạo hàm cấp 15 15 2.2 Đạo hàm riêng 16 2.3 Đạo hàm theo hướng, Đạo hàm Gateaux 17 Đạo hàm cấp hàm ma trận 23 3.1 3.2 Phổ toán tử tuyến tính Định nghĩa hàm ma trận 23 24 3.3 Đạo hàm hàm ma trận 26 Kết luận chung 33 Tài liệu tham khảo 34 iii Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời mở đầu Lí chọn đề tài Ma trận đạo hàm nội dung quan trọng Toán học, chúng có ứng dụng lớn Toán học nói riêng khoa học nói chung Vậy hai nội dung có quan hệ với nào? Để nghiên cứu vấn đề này, tác giả lựa chọn đề tài "Đạo hàm cấp hàm ma trận" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Đây đề tài Toán học Việt Nam Tài liệu chuyên khảo [5] hai tác giả Rajendra Bhatia, Kalyan B.Sinha [6] tác giả Rajendra Bhatia cẩm nang đầy đủ chi tiết đạo hàm hàm ma trận Bản khóa luận trình bày lại số kết chọn lọc hàm ma trận trích dẫn từ tài liệu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu Đạo hàm cấp hàm ma trận Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu Đạo hàm cấp hàm ma trận Đối tượng nghiên cứu gồm Giải tích hàm Ma trận Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp, Cấu trúc Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị" hệ thống hóa số kiến thức sở ma trận, không gian Hilbert Chương "Phép tính vi phân cấp Rn " trình bày khái niệm đạo hàm Fréchet, đạo hàm Gateaux, số tính chất hàm nhiều biến đưa ví dụ minh họa cho lớp đạo hàm Chương "Đạo hàm cấp hàm ma trận" phần luận văn, tác giả trình bày khái niệm hàm ma trận, đạo hàm Fréchet hàm ma trận, tỉ phân sai mối quan hệ chúng Đồng thời, tác giả đưa số ví dụ minh họa cho khái niệm mối quan hệ iv Footer Page of 161 Header Page of 161 Dù cố gắng nhiều song trình độ thời gian hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý chân thành từ quý thầy cô để khóa luận hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Xuân Hòa, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền v Footer Page of 161 Header Page of 161 Bảng ký hiệu Rk Không gian thực k chiều M at(m, n; K) Không gian ma trận cấp m × n trường K M at(n; K) Không gian trận vuông cấp n trường K Sym(n; R) Không gian trận đối xứng cấp n trường số thực I Ma trận đơn vị (cấp n) C[a,b] Tập tất hàm số giá trị thực xác định liên tục đoạn [a,b] CL[a,b] Tập tất hàm số giá trị thực xác định khả tích Lebesgue đoạn [a,b] lp Tập tất dãy số thực phức x = (xn )∞ n=1 cho ∞ chuỗi số dương |xn |p hội tụ n=1 H Không gian Hilbert L(X, Y ) Tập tất toán tử tuyến tính từ X vào Y L(H) Tập tất toán tử tuyến tính không gian Hilbert H B(X, Y ) Tập tất toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y B(Rn ) Tập tất toán tử tuyến tính liên tục Rn A∗ Toán tử liên hợp toán tử A Ker(A − λI) Không gian riêng ứng với giá trị riêng λ Spec(A) Phổ toán tử A Diag(α1 , , αn ) Ma trận đường chéo với phần tử α1 , , αn đường chéo vi Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa Định nghĩa 1.1 ([1], chương 1, định nghĩa 1.1 ) Tập hợp V = ∅ với phép cộng véctơ V × V → V : (x, y) → x + y phép nhân vô hướng K × V → V : (α, y) → αx gọi không gian vectơ trường K (K R C) với x, y, z ∈ V α, β ∈ K điều kiện sau thỏa mãn: (x + y) + z = x + (y + z) x + y = y + x Tồn vectơ 0, gọi véctơ không, có tính chất + x = x + = x Tồn véctơ –x, gọi véctơ đối x, cho x + (−x) = (−x) + x = (αβ) x = α (βx) (α + β) x = αx + βx α (x + y) = αx + αy 1x = x 1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1.2 Không gian thực k chiều Rk không gian véctơ với Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 • Tổng hai phần tử x = (x1 , x2 , xk ) y = (y1 , y2 , yk ) là: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xk + yk ) • Tích phần tử x = (x1 , x2 , xk ) với số α ∈ R là: αx = (αx1 , αx2 , , αxk ) Ví dụ 1.3 Tập hợp C[a,b] - hàm số thực liên tục đoạn [a, b] không gian véctơ với: Tổng hai phần tử x = x (t) y = y (t) là: x + y = x (t) + y (t) Tích phần tử x = x (t) với số α ∈ R là: αx = αx (t) 1.2 Ma trận 1.2.1 Một số định nghĩa: • Ma trận A cấp m × n trường K bảng gồm m dòng n cột, có dạng:   a a1n  11    A=    am1 · · · amn Hay: A = (aij )m×n với ≤ i ≤ m; ≤ j ≤ n Ta kí hiệu M at(m, n; K) tập tất ma trận cấp m × n trường K • Ma trận vuông ma trận có số cột số dòng Tập tất ma trận vuông cấp n trường K kí hiệu M at(n; K) • Ma trận đơn vị, kí hiệu I, ma trận có phần tử đường chéo 1, phần tử lại • Ma trận chuyển vị: Ma trận chuyển vị ma trận A, kí hiệu AT , ma trận nhận từ A cách đổi dòng thành cột • Ma trận vuông A gọi ma trận đối xứng aij = aji , ∀i, j • Ma trận liên hợp ma trận A = (aij ) A∗ = A T = (aij )T = (aji ) • Ma trận A gọi ma trận trực giao AT A = AAT = I • Ma trận A gọi ma trận chuẩn tắc A∗ A = AA∗ • Ma trận U gọi ma trận unita U ∗ U = U U ∗ = I Footer Page 10 of 161 Header Page 28 of 161 nên x2 + y sin lim x2 (x,y)→(0,0) + y2 = = f (0, 0) - Hàm f (x, y) không khả vi không tồn đạo hàm riêng theo biến x Thật vậy, ta có: f (x, 0) − f (0, 0) = sin x x 1 • Chọn x = (k ∈ Z), lim sin = k→∞ kπ kπ • Chọn x = (k ∈ Z), lim sin = k→∞ (4k + 1)π (4k+1)π Vậy hàm f (x, y) liên tục điểm (0;0) không khả vi điểm Ví dụ 2.18 Chứng minh hàm số f (x, y) sau liên tục có đạo hàm theo hướng điểm (0;0) không khả vi điểm  y3   , (x, y) = (0, 0); 2 f (x, y) = x + y  0, (x, y)= (0, 0) Tại điểm (0,0) ta có: y3 y3 - Vì ≤ ≤ = |y| x + y2 y2 lim f (x, y) = (x,y)→(0,0) lim |y| = nên (x,y)→(0,0) y3 = = f (0, 0) (x,y)→(0,0) x2 + y lim Do đó, hàm f (x, y) liên tục điểm (0,0) - Hàm số f (x, y) có đạo hàm theo hướng v = (v1 , v2 ) Thật vậy, Xét hàm g(t) = f ((0, 0) + t(v1 , v2 ))   t3 v23   , t(v1 , v2 ) = (0, 0); 2 2 = t v1 + t v2   0, t(v1 , v2 )= (0, 0) • Với (v1 , v2 ) = (0, 0) g(t) hàm nên g (0) = • Với (v1 , v2 ) = (0, 0)   tv   2 , t = 0; g(t) = v1 + v2   0, t = 20 Footer Page 28 of 161 Header Page 29 of 161 g(t) − g(0) v3 = 2 t→0 t v1 + v2 - Hàm số f (x, y) không khả vi vì: Suy g (0) = lim • Xét f (x, 0) = ∀x, ta có: ∂f (x, 0) = ∀x ∂x Suy ra: ∂f (0, 0) ∂x = • Xét f (0, y) =   y, y = 0,  0, y = Ta có:   1, y = 0; ∂f (0, y) =  ∂y  lim y , y = y→0 y Suy ra: ∂f (0, 0) = ∂y • Giả sử f (x, y) khả vi (0; 0), đó: ∂f ∂f (0; 0); (0; 0) ∂x ∂y  L = f (0, 0) = f ((0; 0) + (h; k)) − f (0; 0) − L  √ h2 + k h k   = (∗) Mặt khác, chọn k = mh thì:  f ((0; 0) + (h; k)) − f (0; 0) − L  √ lim h→0 h k   = lim h2 + k h→0 = lim h→0 mâu thuẫn (*) Do f không khả vi (0; 0) 21 Footer Page 29 of 161 h2 k (h2 + k )3/2 mh3 (m2 + 1) = h3 m (m2 + 1) = 0, Header Page 30 of 161 Ví dụ 2.19 Chứng minh hàm số f (x, y) sau khả vi điểm (0;0) đạo hàm riêng không liên tục điểm f (x, y) =   (x2 + y )sin x2 , (x, y) = (0, 0); + y2  0, (x, y)= (0, 0) Tại điểm (0;0) ta có: - Hàm số f (x, y) khả vi vì:   2xsin − cos , x = 0; ∂f x2 x x2 (x, 0) = •  ∂x 0, x = • Tương tự có: ∂f (0, 0) = ∂y • Với (h, k) → (0, 0) ta có: f (h, k) − f (0, 0) − 0h − 0k √ √ = h + k sin →0 h + k2 h2 + k Vậy f khả vi (0, 0) Df (0, 0) = - Hàm số f (x, y) đạo hàm riêng liên tục vì:  2x 1  2xsin − cos , (x, y) = (0, 0); ∂f 2 x +y x +y x + y2 (x, y) =  ∂x 0, (x, y)= (0, 0) Xét hàm   2xsin − cos , x = 0; ∂f x2 x x2 (x, 0) =  ∂x 0, x = • Chọn √ 1 √ = kπ(k ∈ Z) ⇒ x = , lim kπ cos kπ = ∞ k→∞ x2 kπ • Chọn π = (2k + 1) (k ∈ Z) ⇒ x = x lim k→∞ , (2k + 1)π (2k + 1)π π cos (2k + 1) = 2 1 ∂f Suy không tồn lim cos , không tồn lim (x, 0) x→0 x x→0 ∂x x ∂f Chứng tỏ hàm (x, 0) không liên tục Vậy hàm f không liên tục (0,0) ∂x 22 Footer Page 30 of 161 Header Page 31 of 161 Chương Đạo hàm cấp hàm ma trận 3.1 Phổ toán tử tuyến tính Định nghĩa 3.1 Cho H không gian Hilbert n chiều trường K A toán tử tuyến tính H Theo mệnh đề 1.39, ta đồng A với ma trận A cấp n trường K Như ta có khái niệm giá trị riêng, vectơ riêng tương tự ma trận Ker (A − λI) không gian riêng ứng với giá trị riêng λ Tập giá trị riêng A gọi phổ A, kí hiệu Spec(A) Định lý 3.2 Cho ma trận chuẩn tắc A ∈ M at(n, C) Giả sử Spec(A) = {α1 , , αm }, αi = αj với i = j Pj phép chiếu trực giao không gian riêng Ker (A − αj I) m với j m, Pj = I Khi A có biểu diễn phổ j=1 m A= αj Pj (3.1) j=1  Ví dụ 3.3 Xét A =  1 1   Ta có Spec(A) = {0; 2} Với α1 = 2, không gian riêngsinh vectơ  (1; 1) phép chiếu trực giao 1/2 1/2  A không gian riêng P1 =  1/2 1/2 Với α2 = 0, không gian riêng sinh vectơ (1; −1) phép chiếu trực giao 23 Footer Page 31 of 161 Header Page 32 of 161  A không gian riêng P2 =  1/2 −1/2 −1/2 1/2   Khi biểu diễn phổ A  A = α1 P1 + α2 P2 =  3.2 1/2 1/2 1/2 1/2   Định nghĩa hàm ma trận Định nghĩa 3.4 Cho hàm thực f xác định khoảng J A ∈ Sym(n, R) với m Spec(A) ⊆ J Theo Định lý 3.2, biểu diễn phổ toán tử A A = αi Pi , i=1 α1 , α2 , , αm ∈ Spec(A) đôi khác Pi phép chiếu trực giao không m gian riêng Ker (A − αi I) với i m, Pi = I i=1 Từ đó, ta định nghĩa hàm ma trận m f (A) = f (αi ) Pi i=1 Dễ dàng ta suy hệ sau: Hệ 3.5 Nếu A = U Diag(λ1 , , λn )U ∗ f (A) = U Diag (f (λ1 ), , f (λn )) U ∗ Ví dụ 3.6 Cho hàm số f (x) = xn Khi đó: f (A) = An Thật vậy, ta xét hai trường  hợp: λ   Trường hợp 1: A = D =   · · · λn   n  λi Eii ma trận đường chéo =  i=1 Eii ma trận có giá trị vị trí dòng i cột i 1, vị trí khác có giá trị Suy  n f (A) = n f (λi )Eii = i=1 i=1 λn   λni Eii =   · · · λnn     = An  Trường hợp 2: A = AT , tồn ma trận Unita U : A = U DU ∗ Suy f (A) = U f (D)U ∗ = U Dn U ∗ (Theo trường hợp 1) 24 Footer Page 32 of 161 Header Page 33 of 161 Mặt khác: An = (U DU ∗ )(U DU ∗ ) (U DU ∗ )(U DU ∗ ) = U Dn U ∗ Vậy f (A) = An Một cách tổng quát, ta có mệnh đề sau: n xi Khi đó: f (A) = Mệnh đề 3.7 Cho đa thức thực f (x) = i=1 Thật vậy, ta xét hai trường  hợp: λ   Trường hợp 1: A = D =   · · · λn Suy f (A) = i=1 Ai i=1   n  λi Eii ma trận đường chéo =  i=1 n  n n   f (λi )Eii =    i=1 di1  ···      n din i=1 n = a1 A + a2 A2 + + an An = Ai i=1 Trường hợp 2: A = AT , tồn ma trận Unita U : A = U DU ∗ Suy n D i U ∗ f (A) = U i=1 Mặt khác: n n (U DU ∗ )i = a1 (U DU ∗ ) + a2 (U DU ∗ )2 + + an (U DU ∗ )n i A = i=1 i=1 = a1 U DU ∗ + a2 U D2 U ∗ + + an (U Dn U ∗ ) n ∗ ∗ n ∗ Di U ∗ = U a1 DU + U a2 D U + + U an D U = U i=1 n Vậy f (A) = Ai i=1 Ví dụ 3.8 Cho hàm số f (x) = ex Khi đó:f (A) = eA Thật vậy, ta có: ∞ x e = xm m! m=0 25 Footer Page 33 of 161 Header Page 34 of 161 Ta xét hai trường hợp:  λ   Trường hợp 1: A = D =   · · · λn Suy     ma trận đường chéo     ∞ λm m! eλ1   m=0     f (A) =  =     · · · eλn    λ1 λ1  0!   1!    =   +     0 · · · λ0!n ···       ∞ m λn ··· m!  m=0    +  λ1n 1! ∞ 1 Am = A0 + A1 + = = eA 0! 1! m! m=0 Trường hợp 2: A = AT , tồn ma trận Unita U : A = U DU ∗ Suy ∞ Dm ∗ f (A) = U e U = U U m! m=0 D Mặt khác: eA = ∗ ∞ (U DU ∗ )m ∞ U Dm U ∗ ∞ Dm Am = = =U U ∗ m! m! m=0 m! m=0 m=0 m=0 m! ∞ Vậy f (A) = eA 3.3 Đạo hàm hàm ma trận Định nghĩa 3.9 Chuẩn ma trận A = (aij ) số thực A thỏa mãn điều kiện: A ≥ 0, A = ⇔ A = α.A = |α| A với α ∈ R A + B ≤ A + B A.B ≤ A B 26 Footer Page 34 of 161 Header Page 35 of 161 Thực tế thường dùng chuẩn sau: a A b A c A = max = |aij | j ∞ (Chuẩn cột) i |aij |2 (Chuẩn Euclide) i,j |aij | = max i (Chuẩn dòng) j Định nghĩa 3.10 Hàm ma trận f : Sym(n, R) → Sym(n, R) A → f (A) gọi khả vi Fréchet A tồn toán tử tuyến tính Df (A) : Sym(n, R) → Sym(n, R) cho lim H →0 f (A + H) − f (A) − Df (A)(H) = 0, ∀H ∈ Sym(n, R) H Toán tử tuyến tính Df (A) gọi đạo hàm cấp (đạo hàm Fréchet) f A Mệnh đề 3.11 Nếu f có đạo hàm Fréchet A f (A + tX) − f (A) t→0 t Df (A)(X) = lim Ví dụ 3.12 Cho f (x) = x Khi Df (A)(X) = X Toán tử tuyến tính Df (A) xác định đạo hàm Fréchet f A vì: • Df (A)(αX + βY ) = αX + βY = αDf (A)(X) + βDf (A)(Y ) Suy Df (A) ánh xạ tuyến tính • lim H →0 f (A + H) − f (A) − Df (A)(H) A+H −A−H = lim =0 H →0 H H Ví dụ 3.13 Cho f (x) = x2 Khi f (A + tX) − f (A) (A + tX)(A + tX) − A2 = lim t→0 t→0 t t 2 tXA + AtX + t X = lim = lim(XA + AX + tX ) = AX + XA t→0 t→0 t Df (A)(X) = lim Toán tử tuyến tính Df (A) xác định đạo hàm Fréchet f A vì: 27 Footer Page 35 of 161 Header Page 36 of 161 • Df (A)(αX + βY ) = A(αX + βY ) + (αX + βY )A = αDf (A)(X) + βDf (A)(Y ) Suy Df (A) ánh xạ tuyến tính • lim H →0 f (A + H) − f (A) − Df (A)(H) = lim H →0 H = lim H →0 (A+H)(A+H)−A2 −(AH+HA) H =0 H Định lý 3.14 Nếu f (x) = xn tồn đạo hàm Fréchet f A n−1 Ai XAn−1−i Df (A)(X) = i=0 Hệ 3.15 Nếu f hàm đa thức f khả vi Fréchet Định lý 3.16 ([5], Theorem 2.2, p.233) Cho I tập mở R f : I → R hàm khả vi liên tục Khi f (A)X − Xf (A) = Df (A)(AX − XA), ∀n ∈ N; ∀A, X ∈ M at (n, R) : AT = A; X T = −X Ví dụ 3.17 Cho f (x) = x2 Ta có: Df (A)(X) = AX + XA (Chứng minh trên) Suy Df (A)(AX − XA) = A(AX − XA) + (AX − XA)A = A2 X − AXA + AXA − XA2 = A2 X − XA2 Mặt khác: f (A)X − Xf (A) = A2 X − XA2 Do đó: f (A)X − Xf (A) = Df (A)(AX − XA) 3.3.1 Tỉ sai phân cấp Định nghĩa 3.18 Cho f hàm khả vi liên tục tập mở I Với λ, µ ∈ I ta kí hiệu f [1] hàm xác định I × I, định nghĩa sau:  f (λ) − f (µ)   , λ = µ λ−µ f [1] (µ, λ) =  f (λ), λ = µ 28 Footer Page 36 of 161 Header Page 37 of 161 Hàm f [1] gọi tỉ sai phân cấp f (µ, λ) Nếu D = Diag(λ1 , , λn ) có λ1 ; λ2 ; ;λn thuộc I ta định nghĩa hàm f [1] (D) ma trận cấp n × n với phần tử vị trí (i, j) f [1] (λi , λj ) Nếu A ma trận đối xứng A = P DP −1 f [1] (A) = P f [1] (D)P −1 Bây ta xét mối quan hệ đạo hàm Df (A) ma trận f [1] (A) Bổ đề 3.19 ([6], Lemma V.3.1, p.124) Cho f hàm khả vi liên tục D ma trận đường chéo Khi đó, với ma trận đối xứng H ta có: Df (D)(H) = f [1] (D) ◦ H (3.2) Trong ◦ kí hiệu cho tích Schur hai ma trận Định lý 3.20 ([6], Theorem V.3.3, p.124) Cho f hàm khả vi liên tục tập mở I A ma trận đối xứng với tất giá trị riêng thuộc I Khi đó, với ma trận đối xứng H ta có: Df (A)(H) = f [1] (A) ◦ H (3.3) Trong ◦ kí hiệu cho tích Schur hai ma trận sở mà A ma trận đường chéo Chứng minh Giả sử A = P DP −1 H = P HP −1 , ta cần chứng minh Df (A)(H) = P f [1] (D) ◦ H P −1 Chú ý P f (D + tH) − f (D) P −1 f (P DP −1 + tP HP −1 ) − f (P DP −1 ) lim = lim t→0 t→0 t t sử dụng (3.2) Ví dụ 3.21 Cho hàm số f (x) = x2 hàm ma trận f : Sym(2, R) → Sym(2, R) A → f (A) 29 Footer Page 37 of 161 Header Page 38 of 161 Ta có  f (x) − f (y)   , x−y f [1] (x, y) =  f (x), x = y x = y  x − y2   , x = y x−y =  2x, x = y   x + y, x = y [1] Suy f (x, y) =  2x, x = y Giả sử A có hai giá trị riêng λ1 , λ2 (λ1 > λ2 ), ta có   2λ1 λ1 + λ2  f [1] (A) =  λ1 + λ2 2λ2  Với ma trận X =  x1 x2 x2 x3  , ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: A ma trận đường chéo   λ1  A= λ2 Khi đó:  Df (A)(X) = AX + XA =   =  f [1] (A)◦X =  λ1 0 λ2   2λ1 x1 (λ1 + λ2 ) x2 (λ1 + λ2 ) x2 2λ2 x3 2λ1 λ1 + λ2 λ1 + λ2 2λ2   x1 x2 x2 x3    + x1 x2 x2 x3   λ1 0 λ2    x1 x2 x2 x   = 2λ1 x1 (λ1 + λ2 ) x2 (λ1 + λ2 ) x2 2λ2 x3   Trường hợp 2: A ma trận đối xứng Khi tồn ma trận P khả nghịch cho P −1 AP = D 30 Footer Page 38 of 161 Header Page 39 of 161 Khi đó, A = P DP −1 X = P XP −1 Ta có: Df (A)(X) = AX + XA = P DP −1 X + XP DP −1 = P DP −1 XP P −1 + P P −1 XP DP −1 = P DX + XD P −1 = P f [1](D) ◦ X P −1 = f [1] (A) ◦ X Ví dụ 3.22 Cho hàm số f (x) = xn hàm ma trận f : Sym(2, R) → Sym(2, R) A → f (A) Ta có n−1 Ai XAn−1−i Df (A)(X) = i=0  f (x) − f (y)   , x−y f [1] (x, y) =  f (x), x = y x = y Giả sử A có hai giá trị riêng λ1 , λ2 (λ1 > λ2 ), ta có  n−1 n−1 nλ λi1 λ2n−1−i  i=0 f [1] (A) =   n−1 i n−1−i λ1 λ2 nλ2n−1     i=0  Với ma trận X =  x1 x2 x2 x3  , ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: A ma trận đường chéo   λ1  A= λ2 31 Footer Page 39 of 161 Header Page 40 of 161 Khi đó: n−1 Df (A)(X) =  λ1  i=0 n−1 =  λi1  i  λ2    λi2  x1 x2  x2 x3 x1 x2  λ1 0 λ2  λn−1−i   n−1−i λ2n−1−i x2 x3   n−1 n−1−i i i λ λx λx  1   = n−1−i i i λ2 λ2 x2 λ2 x3 i=0   n−1 λn−1 x1 λi1 λ2n−1−i x2   = n−1 i n−1−i x2 λ x3 λ2 λ1 i=0   n i n−1−i λ λ n.λn−1 x x 1   i=1 =  n n−1 x2 λi1 λn−1−i n.λ x 2 i=0    i=1   f [1] (A) ◦ X =  n n.λn−1 x1 n x2 λi1 λ2n−1−i x2 i=1 λi1 λ2n−1−i    n.λn−1 x3 i=1 Trường hợp 2: A ma trận đối xứng Khi tồn ma trận P khả nghịch cho P −1 AP = D Khi đó, A = P DP −1 X = P XP −1 Ta có: n−1 n−1 i Df (A)(X) = n−1−i A XA P DP −1 = i=0 n−1 i P XP −1 P DP −1 Di XDn−1−i P −1 i=0 P Di P −1 P XP −1 P Dn−1−i P −1 = i=0 n−1 n−1 i = P D XD n−1−i P −1 =P i=0 i=0 = P f [1] (D) ◦ X P −1 = f [1] (A) ◦ X 32 Footer Page 40 of 161 n−1−i Header Page 41 of 161 Kết luận chung Bản khóa luận đạt kết sau Khái quát hóa kiến thức chung ma trận không gian Hilbert Trình bày khái niệm đạo hàm Fréchet, đạo hàm Gateaux, số tính chất đưa ví dụ minh họa cho lớp đạo hàm Trình bày khái niệm hàm ma trận, đạo hàm Fréchet hàm ma trận, tỉ phân sai mối quan hệ chúng Đồng thời, tác giả đưa số ví dụ minh họa cho khái niệm mối quan hệ Ngoài ra, tác giả đưa ví dụ cụ thể nhằm minh họa cho tính chất 33 Footer Page 41 of 161 Header Page 42 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 [2] Nguyễn Đình Trí( Chủ biên), Toán học cao cấp tập 1, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, NXB Giáo dục, 2009 [3] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật, 2006 [4] Nguyễn Duy Tiến( Chủ biên), Trần Đức Long, Bài giảng giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2004 [5] Rajendra Bhatia, Kalyan B.Sinha, Derivations, derivatives and chain rules, Linear Algebra and its Applications 302-303(1999) 231-244 [6] Rajendra Bhatia, Matrix Analysis, Springer, New York, 1997 34 Footer Page 42 of 161 ... lại • Ma trận chuyển vị: Ma trận chuyển vị ma trận A, kí hiệu AT , ma trận nhận từ A cách đổi dòng thành cột • Ma trận vuông A gọi ma trận đối xứng aij = aji , ∀i, j • Ma trận liên hợp ma trận. .. cẩm nang đầy đủ chi tiết đạo hàm hàm ma trận Bản khóa luận trình bày lại số kết chọn lọc hàm ma trận trích dẫn từ tài liệu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu Đạo hàm cấp hàm ma trận Đối tượng phạm vi... đưa ví dụ minh họa cho lớp đạo hàm Chương "Đạo hàm cấp hàm ma trận" phần luận văn, tác giả trình bày khái niệm hàm ma trận, đạo hàm Fréchet hàm ma trận, tỉ phân sai mối quan hệ chúng Đồng thời,