Số học của chùm ma trận và ứng dụng

1 Sau thời gian nghiên cứu Số học chùm ma trận ứng dụng, với cố gắng thân, với hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy cô giáo, anh chị học viên, hoàn thành luận văn với đề tài Xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo tổ Giải tích– khoa Toán – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn học viên lớp K15 Toán Giải tích đợt động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Tạ Duy Phượng, người giúp đỡ em tận tình trình tập dượt nghiên cứu, chuẩn bị hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hằng Tôi xin cam đoan luận văn Số học chùm ma trận ứng dụng học tập riêng Đó kết tìm tòi, tổng hợp từ tài liệu tham khảo hướng dẫn Phó Giáo sư –Tiến sĩ Tạ Duy Phượng Những thông tin trích dẫn, tài liệu tham khảo luận văn rõ nguồn gốc Luận văn chưa công bố phương tiện thông tin Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hằng MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng MA TRẬN VÀ CHÙM MA TRẬN 1.1 Các khái niệm ma trận 1.2 Chùm ma trận 11 Chƣơng SỐ HỌC CỦA CHÙM MA TRẬN 14 2.1 Quan hệ ma trận 14 2.2 Các phép toán số học quan hệ ma trận 20 Chƣơng ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC CHÙM MA TRẬN TRONG 44 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 3.1 Phương trình sai phân ẩn tuyến tính 44 3.2 Phương trình vi phân đại số tuyến tính 45 3.3 Hệ động lực ẩn thang thời gian 51 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 BẢNG KÍ HIỆU £ Tập hợp số phức £n Tập hợp số phức không gian n chiều A B : M mij x, y x A, y B i 1, , m , j 1, , n m n ma trận, mij kí hiệu phần tử dòng thứ i cột thứ j MT Ma trận chuyển vị ma trận M det M Định thức ma trận M diag A, B Ma trận khối đường chéo MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình vi phân đại số mô hình toán học sử dụng để khảo sát nhiều toán thực tế Hiện phương trình vi phân đại số nghiên cứu mạnh mẽ giới Việt Nam Trong phương trình vi phân đại số, cấu trúc đặc thù, lớp phương trình vi phân tuyến tính đặc biệt nghiên cứu kĩ Tương tự phương trình vi phân thường tuyến tính, lí thuyết ma trận đóng vai trò quan trọng nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính Tuy nhiên, để ứng dụng nghiên cứu phương trình vi phân đại số, cần có nghiên cứu sâu lí thuyết ma trận, thí dụ, phải nghiên cứu cấu trúc cặp hai ma trận hay chùm ma trận, phải mở rộng nghiên cứu ma trận nghịch đảo suy rộng cho ma trận vuông không khả nghịch ma trận chữ nhật Số học chùm ma trận Peter Benner Ralph Beyers nghiên cứu trình bày báo [1], [2], [3], [5] Có thể coi số học chùm ma trận mở rộng số học ma trận biến đổi tuyến tính Số học chùm ma trận sử dụng nghiên cứu nhiều toán toán học thực tế Thí dụ, nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính phương trình sai phân ẩn tuyến tính (xem [2], [5]), nghiên cứu hàm dấu ma trận áp dụng giải số phương trình ma trận (xem [3], [5], [6], [8]), xây dựng thuật toán lí thuyết hệ thống điều khiển (xem [4], [8], [10], [11]), Với mục đích tìm hiểu hướng phát triển lí thuyết ma trận ứng dụng số học chùm ma trận, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ Số học chùm ma trận ứng dụng Mục đích nghiên cứu Trình bày lý thuyết quan hệ tuyến tính (quan hệ ma trận) phép toán số học, phép toán tựa số học tập hợp ma trận Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số học chùm ma trận ứng dụng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Số học chùm ma trận ứng dụng hệ phương trình vi phân đại số phương trình sai phân ẩn Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập, đọc phân tích, tổng hợp tài liệu Sử dụng công cụ Giải tích, Đại số tuyến tính, Giải tích hàm lí thuyết phương trình Trên sở viết luận văn tổng quan vấn đề nghiên cứu Những đóng góp đề tài Hy vọng luận văn tài liệu tổng quan tốt số học chùm ma trận ứng dụng nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính Hy vọng luận văn sinh viên đại học học viên cao học tham khảo bước đầu nghiên cứu cấu trúc ma trận phương trình vi phân đại số Nội dung Luận văn gồm chương: Chương 1: Ma trận chùm ma trận Chương 2: Số học chùm ma trận Chương : Ứng dụng số học chùm ma trận phương trình vi phân đại số tuyến tính CHƢƠNG MA TRẬN VÀ CHÙM MA TRẬN 1.1 Các khái niệm Ta biết rằng, coi ma trận M mij £ m n cấp m n với phần tử mij , i 1, , m; j 1, , n số phức, ánh xạ tuyến tính từ không gian £ n vào không gian £ m Ngược lại, ánh xạ tuyến tính M : £ n £m có ma trận biểu diễn mà ta đồng kí hiệu M 1.1.1 Hạt nhân (hạch, kernel) hay không gian không (null space) ma trận M £ m n (của ánh xạ tuyến tính M : £ n null M £ m ) kí hiệu null M : z £ n Mz Với cặp ma trận A £ m n , B £ m k , ta định nghĩa null A, B £ n £ k Ax By 0m x, y 1.1.2 Miền giá trị (miền ảnh, range) ma trận M tính M : £ n £ m n (của ánh xạ tuyến £ m ) kí hiệu range M : range M U Mx x £n 1.1.3 Ma trận chuyển vị liên hợp phức hay ma trận chuyển vị Hermit ma trận M £ m n ma trận M H ma trận M m jk m n M T , ma trận M , tức mkj akj ibkj , m jk mkj a jk n m ibjk liên hợp phức 1.1.4 Chuẩn Euclid ma trận M m jk £ m n M m 2jk j m k n Chuẩn Frobenius n trace A : £mn M F trace M H M , aii hay trace A tổng phần tử đường chéo i ma trận An n Có thể chứng minh M F trace M H M thực chuẩn 1.1.5 Hạng ma trận Cho ma trận M £ m n Ta nói M có hạng đầy đủ theo cột (full column rank) n cột M độc lập tuyến tính Ta nói M có hạng đầy đủ theo hàng (full row rank) m hàng M độc lập tuyến tính Định lí 1.1.1 Cho ma trận M £ m n Ma trận M Có hạng đầy đủ theo cột M T M khả nghịch Có hạng đầy đủ theo hàng MM T khả nghịch Chứng minh Giả sử ma trận M có hạng đầy đủ theo cột, tức n cột độc lập tuyến tính Điều xảy không gian không chứa vectơ 0, nghĩa Mx Nếu Mx M T M x M T Mx x 0 Do M T M khả nghịch từ Mx suy x Ngược lại, giả sử ma trận có hạng đầy đủ theo cột Lấy x cho M T Mx Khi ta có xT M T Mx Mx 2 0, nghĩa Mx Do M có hạng đầy đủ theo cột, tức cột vec tơ độc lập tuyến tính, nên ta x Vì M T M ma trận vuông M T Mx x nên M T M khả nghịch 10 Chứng minh tương tự với ma trận có hạng đầy đủ theo hàng 1.1.6 Ma trận nghịch đảo trái ma trận M £ m n ma trận M † thỏa mãn tính chất: M †M M , M † MM † I n , MM † M M † Ma trận M m n có nghịch đảo trái L theo nghĩa LM (1.1.1) I n (ma trận đơn vị cấp n ) m n Hơn nữa, M có nghịch đảo trái có hạng theo cột đầy đủ Ma trận M có nhiều ma trận nghịch đảo trái L, số chúng ma trận nghịch đảo Moore – Penrose M † : Thí dụ, với M ta có 2 T M M 24 6 14 MTM 1 M T M 14 300 24 M† MTM M 14 300 24 Dễ dàng chứng minh ma trận M † 1 30 6 1 ma trận nghich đảo 50 6 Moore – Penrose ma trận M , tức thỏa mãn (1.1.1) Thật vậy, ta có M †M 1 30 6 2 Nếu E £ m n có hạng theo cột đầy đủ E † EH E , 1 EH 53 n : n ¥ với ¥ tập số tự nhiên số Ta 3) Cho thang thời gian t có t ,t t , t t Điểm t điểm cô lập phải t điểm cô lập Cho h số cố định Xác định thang thời gian h¢ sau: 4) h¢ hn : n ¢ t Ta có ., 3h, 2h, h,0, h,2h,3h, t h, t t h, Vì h nên điểm t vô tỉ, thí dụ h 5) Cho U t h điểm cô lập Chú ý h số 2k,2 k Ta có k 0,k ¥ Nếu t Nếu t 2k,2k t 2k t t t nên t điểm trù mật 2t t t t nên t điểm cô lập phải điểm trù mật trái Nếu t 2k t t 2k t 2k t nên t điểm cô lập trái điểm trù mật phải 6) Nếu t Cho thang thời gian ¥ 20 n2 : n ¥ tồn số n ¥ cho t n hay t n 54 Ta có n2 t t t t n t 2 hay t t , cho t n hay n t , n Ta có t t t 2z : z ¢ t tồn số nguyên z ¢ cho t t t t Mọi điểm t 9) 2.2 z 2t, t 2z ,t điểm cô lập ,2 ,2 ,2 1,1,2,22 ,23, Nếu Cho thang thời gian 2z tồn số n ¥ t2 t t 8) t 2z hay z log t z 2 t 2t t t ,t điểm cô lập Nhận xét inf t : t Cho q 0, q số cố định, số vô tỉ Ta xác định thang thời gian q ¢ sau q¢ t2 Điểm t điểm cô lập phải Mọi điểm t Ta có điểm cô lập ,t n : n ¥ Nếu t Cho thang thời gian t 1, t t t Điểm t điểm cô lập phải Mọi điểm t 7) t qz : z ¢ ., q , q , q 1,1, q, q , q3 , Tương tự ta có t qt , t t , q Cũng định nghĩa thang thời gian q¢ : q¢ t q t 55 Ta có 0, 0 nên t điểm cô lập trái trù mật phải Mỗi điểm khác q ¢ điểm cô lập 10) Cho n ¥ , số điều hòa H n xác định sau: H0 Khi Hn n 0, Hn k 1 k Hn : n ¥ thang thời gian Ta có: n k 1 k Hn n ; Hn n ; n Hn k 1 k Hn n Ta có Bảng tóm tắt 3.3.2 cho thang thời gian thường gặp: Bảng 3.3.2 t t t ¡ t t ¢ t 1 t h¢ t h h t h q¥ qt q 1t t q 2¥ 2t t t ¥ 20 t 2 t t 56 ¥ t2 t2 t t2 3.3.2 Tôpô đại cƣơng giải tích Nhằm làm sáng tỏ khái niệm liên tục, đạo hàm, tích phân thang thời gian, ta nhắc lại số kiến thức tôpô đại cương giải tích Định nghĩa 3.3.6 Cho tập hợp X Ta nói họ tập hợp X tôpô X ( hay X xác định cấu trúc tôpô), nếu: 1) Hai tập (tập rỗng) X thuộc họ 2) đóng phép giao hữu hạn, tức giao số hữu hạn tập họ thuộc thuộc họ 3) đóng phép hợp bất kì, tức hợp số (hữu hạn vô hạn) tập họ thuộc thuộc họ Một tập X trang bị tôpô gọi không gian tôpô X , đơn giản: không gian tôpô X ) Các tập họ thuộc (hay gọi tập mở Định nghĩa 3.3.7 Tập U gọi lân cận điểm x không gian tôpô X có tập mở G cho x G U Định nghĩa 3.3.8 Cho không gian tôpô X Ta nói dãy điểm xn điểm x X viết xn X hội tụ tới x với lân cận U cho trước X tồn n0 cho với n n0 ta có xn U Định nghĩa 3.3.9 Cho không gian tôpô X Phần tử x gọi điểm giới hạn tập M X , lân cận x chứa phần tử tập M khác x Tập tất điểm giới hạn M kí hiệu M 57 Tập M M gọi bao đóng M M Định nghĩa 3.3.10 Cho tập M nằm không gian tôpô X Đặt M M M dễ dàng chứng minh theo định nghĩa A, A M không gian tôpô gọi tôpô cảm sinh X M Trong luận văn ta qui ước xét tôpô tôpô cảm sinh từ tôpô thông thường tập số thực (tôpô thông thường ¡ tôpô tạo khoảng mở với hợp giao hữu hạn chúng) Để cho gọn, ta kí hiệu khoảng mở, lân cận tôpô cảm sinh U , V , mà không viết UT U (trong U tập mở ¡ ) 3.3.3 Đạo hàm Hilger k Cho thang thời gian Ta kí hiệu tập Nếu sau: có phần tử lớn m điểm cô lập trái đặt k : \ m k : trường hợp lại hàm Hilger) f t k k ¡ t Định nghĩa 3.3.11 Giả sử f : Delta đạo hàm ( đạo hàm, đạo số (nếu tồn tại) kí hiệu f t cho trước tồn lân cận U t tôpô cảm sinh với (nghĩa U t f t ,t f s đó) cho với f t t s s với s U t Nhận xét 3.3.1 Bất đẳng thức viết dạng f t f s f t s t t s với s U 58 Hay f t f s t f s Định nghĩa 3.3.12 Hàm f : k Thật vậy, f t t f s f Vậy f 2) t k nên f t t , ¡ f t f s k t s f t s Thật vậy,với t s t t k t f t t s t f ¡ ,f t t Do ta có: s f t t f s s k với điểm t Nếu f : t k , s U s t f s t f s ¡ ,f t Nếu f : t t với điểm t t Thật vậy, với Vậy f , s U ta có: Với f k t ,t ¡ ,f t khả vi (ngắn gọn khả vi) k có đạo hàm điểm t 1) Nếu f : với s U ¡ gọi Ví dụ 3.3.3 Cho thang thời gian 3) t t2 t , s U s t k f t t Do ta có: t s 59 f t f s s2 t t Vậy f t Nếu ¡ f t s t t s t s t s s t t với điểm t k t Do f 2t t Ví dụ rằng, s2 t t t t t s s t f t đạo hàm phụ thuộc vào hàm nhảy tiến t thang thời gian , tức phụ thuộc vào cấu trúc thang thời gian Các thí dụ sau rõ điều n : n ¥ Theo bảng 3.3.2 ( 3.1) Cho thang thời gian : h¢ với h ) ta có n t n t nên f t t 2 Hơn nữa, với t2 t , lân cận U t điểm t (là tập tất điểm s cho s t f ) tập điểm U t t f s t Bất đẳng thức s f t t t t Do với f t t ta có t2 f t t 2t f t 60 f t f s t với f s t 2t f t t f t t t Ta áp dụng trực tiếp công thức f để có f t Tính f biết f t t : ¥ : t t với t 2t t f t nên f t t t t t t2 t2 f t Cho thang thời gian : ¥ : Ta có f Ví dụ 3.3.3 n t n :n ¥ t f t t t t3 t3 t 3 t n suy t t Vì t t ¡ áp dụng định lí 3.3.1 tính f biết: f t Hàm f : t n :n ¥ t n Suy n t 4) 2t t t f f t 3.2) Cho thang thời gian Ta có f nên f t t f t3 t3 t t3 t2 t 61 1) Nếu ¡ tôpô t tôpô ¡ , t nên khái niệm khả ¡ t ¡ trùng với khái niệm khả vi theo nghĩa thông vi hàm f : ¡ thường f t 2) Nếu t f t t t f s s f t 1, lân cận U t điểm t (là tập tất ) tập điểm U t cho s t t với t f s ¢ với điểm s t lim t Hơn nữa, Bất đẳng thức f s f t t s t t t t s với s U trở thành f t f t f t nên f t Do f t Nghĩa hàm f : ¢ ¡ khả vi điểm t ¢ ta có f Ở f t t với t f t f t t f t f t f t f t toán tử sai phân tiến theo định nghĩa thông thường Định lí 3.3.1 Cho f : ¡ hàm xác định với t (i) Nếu f khả vi t f liên tục t k Ta có kết luận: 62 k (ii) Nếu f liên tục t t điểm cô lập phải f khả vi t f (iii) t f t t Nếu t điểm trù mật phải f khả vi t giới hạn lim f t f s tồn hữu hạn Khi ta có t s s t f (iv) f t t ii) Với số t f f iv) Nếu f t f t f t t t k s f t k t f t Khi f g t f f: ¡ f t g t f t g t k t g t t ¡ khả vi t t f s f khả vi t tùy ý, hàm iii) Hàm tích fg : fg f ¡ khả vi t g: t ¡ khả vi t Định lí 3.3.2 Giả sử f , g : f f s t k Nếu f khả vi t i) Hàm f lim t g t f f f t f k t g t khả vi t f t t k 63 v) Nếu g t g f g t t f f khả vi t g k t g t f t g t g t g t 3.3.4 Hệ động lực ẩn thang thời gian Trên trình bày khái niệm đạo hàm thang thời gian Từ ta xét hệ động lực thang thời gian sau ¡ thang thời gian Hệ động lực ẩn tuyến tính thang thời Giả sử gian có dạng (3.3.1) E (t ) x (t ) A(t ) x(t ), t , x (t ) đạo hàm Hilger thang thời gian Hệ động lực ẩn tuyến tính thang thời gian (3.3.1) tương đương với quan hệ tuyến tính x(t ), x (t ) E (t ) \ A(t ) Như vậy, quan hệ tuyến tính cho phép hợp nghiên cứu phương trình sai phân ẩn tuyến tính, phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ động lực tuyến tính thang thời gian ngôn ngữ Hi vọng kĩ thuật kiến thức quan hệ ma trận sử dụng cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính, phương trình vi phân đại số tuyến tính áp dụng cho hệ động lực ẩn thang thời gian 64 KẾT LUẬN Luận văn “Số học chùm ma trận ứng dụng” trình bày kiến thức chùm ma trận ứng dụng phương trình vi phân đại số với kết đáng ý sau: Trình bày khái niệm chùm ma trận khái niệm liên quan đến chùm ma trận Quan hệ ma trận, quan hệ tổng, quan hệ tích quan hệ nghịch đảo Ứng dụng số học chùm ma trận phương trình sai phân ẩn tuyến tính, phương trình vi phân đại số tuyến tính Đồng thời luận văn trình bày khái niệm hệ động lực ẩn thang thời gian với hi vọng áp dụng kĩ thuật kiến thức Số học chùm ma trận vào hệ động lực ẩn thang thời gian Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu khoa học hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô, bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để nội dung luận văn thể hoàn thiện tốt Hy vọng Luận văn sinh viên học viên Cao học tham khảo nghiên cứu đại số tuyến tính ứng dụng 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Peter Benner, Ralph Byers (1998), An Arithmetic for matrix pencils, In Proceeding of the Symposium on the Mathematical Theory of Networks and Systems (Editors: A Beghi, L Finesso and G Picci), pp 573-576, Il Poligrafo, Padova, Italy [2] Peter Benner, Ralph Byers (1999), An Arithmetic for rectangular matrix pencils, In Proceeding of the 1999 IEEE International Symposium on Computer Aided Control System Design (Editor: O Gonzalez), pp 7580, Kohala Coast-Island of Hawai’i, Hawai’i, USA, 22-27, 1999 [3] Peter Benner, Ralph Byers (2001), Evaluating products of matrix pencils and collapsing matrix products for parallel computation, Numer Linear Algebra Appl., Vol 8, pp 357-380 [4] Peter Benner, Ralph Byers (2003), A structure-preserving method for generalized algebraic Riccati equations based on pencil arithmetic, In Proceeding of the 2003 European Control Conference, Cambridge, UK [5] Peter Benner, Ralph Byers (2006), An Arithmetic for matrix pencils: Theory and New Algorithms, Numerische Mathematik, Vol 103, No4, pp 539-573 [6] E Denman and A Beavers (1976), The matrix sign function and computations in systems, Appl Math Comput., 2:63-94 [7] Gantmakher (2000), The theory matrices, Vols 1,2, AMS Chelsea 66 Publishing Company, Providence, Rhode Island (English translation by K A Hirsch of the Russian-language book TEORIYA MATRITS by F R Gantmacher, 1954) [8] J Gardiner and A Laub (1986), A generalization of the matrix-signfunction solution for algebraic Riccati equations, Internat J Control, 44:823-832 [9] Gene H Golub, Charles F Van Loan (1996), Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, Baltimore, Third Edition [10] P Lancaster and L Rodman (1995), The Algebraic Riccati Equation, Oxford University Press, Oxford [11] V Mehrmann (1991), The Autonomous Linear Quadratic Control Problem, Theory and Numerical Solution No163 in Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer- Verlag, Heidelberg 67 Chứng minh Với hai ma trận E £ m n , Eˆ £ cho Eˆ Do Ey ME sau: M Eˆ \ Aˆ E\A Ax ˆ Ey ˆ EE nghĩa với E x, y p n ta xây dựng ma trận M £ p m %T E det E E\A ˆ ta suy Aˆ MA hay E \ A Ax x, y Eˆ \ Aˆ hay ME \ MA Áp dụng Định lí 2.1 ta có Hệ 2.1 Mọi không gian £ n £ n quan hệ tuyến tính dạng (2.1) ???????? Quan hệ toàn thể £ n £ n viết \ , £0n ma trận rỗng hàng n cột Với qui ước này, quan hệ ma trận có biểu diễn E , A Đó ma trận 0 £m 2n có hạng theo hàng đầy đủ m ?/////??????????? Chỉ có quan hệ ma trận biến đổi tuyến tính không suy biến thừa nhận phép nhân nghịch đảo (xem mục 2.4)