Số học của chùm ma trận và ứng dụng (LV01100)

1 Sau một thời gian nghiên cứu Số học của chùm ma trận và ứng dụng, với sự cố gắng của bản thân, cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, các anh chị học viên, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài trên. Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Giải tích– khoa Toán – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên lớp K15 Toán Giải tích đợt 2 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Tạ Duy Phượng, người đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình tập dượt nghiên cứu, chuẩn bị và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hằng 2 Tôi xin cam đoan luận văn Số học của chùm ma trận và ứng dụng học tập và riêng tôi. Đó là kết quả của sự tìm tòi, tổng hợp từ các tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn của Phó Giáo sư –Tiến sĩ Tạ Duy Phượng. Những thông tin trích dẫn, những tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kì phương tiện thông tin nào. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hằng 3 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 5 Chƣơng 1 MA TRẬN VÀ CHÙM MA TRẬN 8 1.1 Các khái niệm cơ bản của ma trận 8 1.2 Chùm ma trận 11 Chƣơng 2 SỐ HỌC CỦA CHÙM MA TRẬN 14 2.1 Quan hệ ma trận 14 2.2 Các phép toán số học trên quan hệ ma trận 20 Chƣơng 3 ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC CHÙM MA TRẬN TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 44 3.1 Phương trình sai phân ẩn tuyến tính 44 3.2 Phương trình vi phân đại số tuyến tính 45 3.3 Hệ động lực ẩn trên thang thời gian 51 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 4 BẢNG KÍ HIỆU £ Tập hợp các số phức £ n Tập hợp các số phức trong không gian n chiều AB : , ,x y x A y B ij Mm trong đó 1, ,im , 1, ,jn là mn ma trận, và ij m là kí hiệu phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j T M Ma trận chuyển vị của ma trận M det M Định thức của ma trận M ,diag A B Ma trận khối đường chéo 5 MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài Phương trình vi phân đại số là một mô hình toán học được sử dụng để khảo sát nhiều bài toán thực tế. Hiện nay phương trình vi phân đại số đang được nghiên cứu mạnh mẽ trên thế giới và ở Việt Nam. Trong phương trình vi phân đại số, do cấu trúc đặc thù, lớp phương trình vi phân tuyến tính được đặc biệt nghiên cứu kĩ. Tương tự như phương trình vi phân thường tuyến tính, lí thuyết ma trận đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính. Tuy nhiên, để ứng dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số, cần có những nghiên cứu sâu hơn về lí thuyết ma trận, thí dụ, phải nghiên cứu cấu trúc của cặp hai ma trận hay chùm ma trận, phải mở rộng các nghiên cứu về ma trận nghịch đảo suy rộng cho các ma trận vuông không khả nghịch hoặc các ma trận chữ nhật. Số học của chùm ma trận đã được Peter Benner và Ralph Beyers nghiên cứu và trình bày trong các bài báo [1], [2], [3], [5]. Có thể coi số học của chùm ma trận là sự mở rộng của số học ma trận và biến đổi tuyến tính. Số học của chùm ma trận đã được sử dụng trong nghiên cứu nhiều bài toán của toán học cũng như của thực tế. Thí dụ, trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính và phương trình sai phân ẩn tuyến tính (xem [2], [5]), trong nghiên cứu hàm dấu của ma trận và áp dụng giải số phương trình ma trận (xem [3], [5], [6], [8]), trong xây dựng các thuật toán trong lí thuyết hệ thống và điều khiển (xem [4], [8], [10], [11]), 6 Với mục đích tìm hiểu một hướng phát triển mới của lí thuyết ma trận và ứng dụng của số học chùm ma trận, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là Số học của chùm ma trận và ứng dụng. 2 Mục đích nghiên cứu Trình bày lý thuyết về quan hệ tuyến tính (quan hệ ma trận) và các phép toán số học, phép toán tựa số học trên tập hợp các ma trận. 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số học của chùm ma trận và ứng dụng. 4 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Số học của chùm ma trận và ứng dụng trong hệ phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn. 5 Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập, đọc và phân tích, tổng hợp tài liệu. Sử dụng công cụ của Giải tích, Đại số tuyến tính, Giải tích hàm và lí thuyết phương trình. Trên cơ sở đó viết một luận văn tổng quan về vấn đề nghiên cứu. 6 Những đóng góp mới của đề tài Hy vọng luận văn là một tài liệu tổng quan tốt về số học của chùm ma trận và ứng dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân đại số tuyến tính. Hy vọng luận văn sẽ được các sinh viên đại học và học viên cao học tham khảo khi bước đầu nghiên cứu cấu trúc ma trận và phương trình vi phân đại số. 7 Nội dung Luận văn gồm 3 chương: 7 Chương 1: Ma trận và chùm ma trận Chương 2: Số học của chùm ma trận Chương 3 : Ứng dụng của số học chùm ma trận trong phương trình vi phân đại số tuyến tính. 8 CHƢƠNG 1 MA TRẬN VÀ CHÙM MA TRẬN 1.1 Các khái niệm cơ bản Ta đã biết rằng, có thể coi một ma trận mn ij Mm £ cấp mn với các phần tử , 1, , ; 1, , ij m i m j n là các số phức, là một ánh xạ tuyến tính từ không gian n £ vào không gian . m £ Ngược lại, mọi ánh xạ tuyến tính : nm M ££ cũng có một ma trận biểu diễn mà ta đồng nhất kí hiệu là .M 1.1.1 Hạt nhân (hạch, kernel) hay không gian không (null space) của ma trận mn M £ (của ánh xạ tuyến tính : nm M ££ ) được kí hiệu là null :M null 0 . n M z Mz£ Với cặp ma trận , , m n m k AB££ ta định nghĩa null , , 0 . nk m A B x y Ax By££ 1.1.2 Miền giá trị (miền ảnh, range) của ma trận mn M £ (của ánh xạ tuyến tính : nm M ££ ) được kí hiệu là range :M range . n x M Mx £ U 1.1.3 Ma trận chuyển vị liên hợp phức hay ma trận chuyển vị Hermit của ma trận mn M £ là ma trận , HT MM trong đó ma trận kj nm Mm là liên hợp phức của ma trận , jk mn Mm tức là , kj kj kj m a ib jk jk jk m a ib . 9 1.1.4 Chuẩn Euclid của ma trận jk Mm trên mn £ là 2 2 1 1 . jk jm kn Mm Chuẩn Frobenius trên mn £ là trace , H F M M M trong đó 1 : n ii i trace A a hay trace A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận . nn A Có thể chứng minh rằng trace H F M M M thực sự là một chuẩn. 1.1.5 Hạng của ma trận Cho ma trận . mn M £ Ta nói M có hạng đầy đủ theo cột (full column rank) nếu n cột của M là độc lập tuyến tính. Ta nói M có hạng đầy đủ theo hàng (full row rank) nếu m hàng của M là độc lập tuyến tính. Định lí 1.1.1 Cho ma trận mn M £ . Ma trận M 1. Có hạng đầy đủ theo cột khi và chỉ khi T MM khả nghịch. 2. Có hạng đầy đủ khi theo hàng và chỉ khi T MM khả nghịch. Chứng minh Giả sử ma trận M có hạng đầy đủ theo cột, tức là n cột của nó độc lập tuyến tính. Điều này xảy ra khi và chỉ khi không gian không của nó chỉ chứa duy nhất một vectơ 0, nghĩa là 0 0.Mx x Nếu 0Mx thì 0. TT M M x M Mx Do đó nếu T MM khả nghịch thì từ 0Mx suy ra 0.x Ngược lại, giả sử ma trận có hạng đầy đủ theo cột. Lấy x sao cho 0. T M Mx Khi đó ta có 2 2 0, TT x M Mx Mx nghĩa là 0.Mx Do M có hạng đầy đủ theo cột, tức là các cột là các vec tơ độc lập tuyến tính, nên ta được 0.x Vì T MM là ma trận vuông và 00 T M Mx x nên T MM khả nghịch. 10 Chứng minh tương tự với ma trận có hạng đầy đủ theo hàng. 1.1.6 Ma trận nghịch đảo trái của ma trận mn M £ là ma trận † M thỏa mãn các tính chất: † , n M M I † ,MM M M † † † .M MM M (1.1.1) Ma trận mn M có thể có nghịch đảo trái L theo nghĩa n LM I (ma trận đơn vị cấp n ) chỉ khi .mn Hơn nữa, M có nghịch đảo trái khi và chỉ khi nó có hạng theo cột đầy đủ. Ma trận M có thể có nhiều ma trận nghịch đảo trái ,L một trong số chúng là ma trận nghịch đảo Moore – Penrose 1 † : TT M M M M của .M Thí dụ, với 23 41 22 M ta có 1 1 24 6 14 6 1 6 14 6 24 300 T MM và 1 † 14 6 2 4 2 1 5 4 11 . 6 24 3 1 2 6 0 6 300 30 T M M M M Dễ dàng chứng minh được ma trận † 1 5 4 1 6 0 6 50 M là ma trận nghich đảo Moore – Penrose của ma trận ,M tức là thỏa mãn (1.1.1). Thật vậy, ta có † 23 1 5 4 1 0 1 4 1 , 6 0 6 0 1 30 22 MM Nếu mn E £ có hạng theo cột đầy đủ thì 1 † . HH E E E E [...]... I; E; E†I E† 1.2 Chùm ma trận 1.2.1 Cho E và A là hai ma trận có số chiều m n Tập hợp các ma trận E A với £ được gọi là chùm ma trận của hai ma trận E và A 1.2.2 Vectơ x £ n , x 0 được gọi là vectơ riêng của cặp ma trận E, A nếu với một cặp , £ nào đó ta có Ex £ \ 0,0 Nếu 0 thì x tương ứng với giá trị riêng vô hạn Nếu 0 thì x tương ứng với giá trị riêng hữu hạn Ax 1.2.3 Chùm ma trận E £ được gọi... của của phép nhân ma trận với một vectơ và một số với ma trận hay Định lí 2.2.1 cho một sự thống nhất giữa phép nhân ma trận và nhân với một số của phép biến đổi tuyến tính Để tiện dùng, ta định nghĩa tích của một số với một quan hệ ma trận và tích của một ma trận với quan hệ ma trận như sau 1) Nếu £ thì ta định nghĩa E\A : I \ I E\A Dễ dàng chỉ ra rằng I \ I E\A Thật vậy, giả sử x, y x, z E \ A và. .. khi và chỉ khi hệ hai phương trình có nghiệm chung y £ n Nhận xét 2.2.1 Tích hai quan hệ ma trận (2.2.1) có thể có hoặc có thể không có ma trận biểu diễn với số cột bằng số cột trong ma trận biểu diễn của các thành phần Thí dụ, các quan hệ ma trận 1 \ 0 và 0 \ 1 là các quan hệ ma trận trên £ và có biểu diễn là các ma trận thành phần với số chiều 1 1 Cụ thể, quan hệ 1 \ 0 A x, y 0 ; Quan hệ diễn E 0 và. .. được sử dụng trong các thuật toán tính nghiệm của các phương trình Riccati đại số suy rộng và các phương trình Lyapunov suy rộng (xem [8], [10]) hoặc tổng quát hơn, trong giải quyết các bài toán tính toán khác nhau trong lí thuyết hệ thống và điều khiển (xem [6], [11]) 14 CHƢƠNG 2 SỐ HỌC CỦA CHÙM MA TRẬN 2.1 Quan hệ ma trận 2.1.1 Định nghĩa quan hệ ma trận Với mỗi chùm ma trận E £ (hay cặp ma trận E... rộng cho chùm ma trận suy biến như sau Định lí 1.1.3 Chùm ma trận E X E AY diag A có dạng chính tắc Kronecker E0 A0 , L1, L2 , , Lp , LTp 1, LTp 2 , , LTp Trong đó E và A là các ma trận không suy biến, và L j là các ma trận cấp j j 1 Lj Trong đó I j là mt đơn vị cấp (1.1.2) A0 là ma trận chính qui dạng I j ,0 j E0 q j 0 j,I j ,1 và 0 j ,1 j ,1 là ma trận cấp j 1 có tất cả các phần tử bằng không Chứng minh... qui (regular) nếu E và A A với là các ma trận vuông và det E A 0 với ít nhất một số phức £ Chùm ma trận không chính qui được gọi là kì dị (suy biến, singular) Định lí 1.1.2 Nếu E A chính qui thì tồn tại một dạng chính tắc Weierstrass 12 X trong đó X ,Y N £ n k n k £n n E I 0 0 N AY không suy biến, J £k J 0 , 0 I k là dạng ma trận Jordan và là một ma trận có dạng ma trận Jordan Chứng minh Xem [9], Vol... A1, E2 £ Ax và x 0 là vectơ A2 , nghĩa là tồn tại các cặp sắp thứ £ \ 0,0 1 1 n sao cho (2.2.4) 28 và 2 Nếu E \ A 1 Nếu 2 Nếu 3 Nếu E2 x 2 E2 \ A2 E1 \ A1 thì 2 1 , (2.2.5) A2 x Ex 2 1 Ax Hơn nữa, 2 1 0,0 thì x là một vectơ riêng của E 2 1 2 2 0 thì Ex Ax 0 và chùm ma trận E 1 1 0 và rank A1 0 E1 A2 m n với m n và chùm ma trận 0 E2 A A là suy biến 2n thì E và A là các ma trận A suy biến E Chứng minh 1... \ MA Vậy E\A ME \ MA null M I range A, E 0 Định lí được chứng minh ˆ ˆ Hệ quả 2.1.1 Cho các ma trận E , A £ m n , và E, A £ E\A nullM ˆ ˆ E \ A Khi ấy tồn tại ma trận M range A, E 0 p n thỏa mãn đẳng thức ˆ ˆ £ p m sao cho E ME, A MA và 17 Định lí 2.1.1 và Hệ quả 2.1.1 chỉ ra rằng, quan hệ ma trận là bất biến đối với phép biến đổi tuyến tính trái 2.1.2 Một số ví dụ quan hệ ma trận Thí dụ 2.1.1 Nếu... suy biến Ví dụ: Xét cặp ma trận E1, A1 : kì, ta có Ex 1 1 0 , 1 Chọn 1 , 1 : 1,0 0,0 và x 0 bất A x, hay x 0 bất kì là vectơ riêng của cặp ma trận E1, A1 1 1 31 Hiển nhiên, x 0 bất kì cũng là vectơ riêng của cặp ma trận E2 , A2 : E2 , A2 có vectơ riêng chung là, thí dụ, x Vậy hai cặp ma trận E1, A1 và Tuy nhiên, 1\ 0 không suy biến 0,0 0 \ 0 1\ 0 1 được biểu diễn bởi chùm ma trận 0 1 Thật vậy, 1 \... m n , A £ m n ), ta A, định nghĩa quan hệ ma trận hay quan hệ tuyến tính trên không gian vectơ £ n , là tập hợp của các cặp sắp thứ tự x, y có dạng sau: E\A : £ n £ n Ey x, y Ax (2.1.1) Cặp ma trận E và A được gọi là ma trận biểu diễn (matrix representation) của quan hệ tuyến tính (2.1.1) Nhận xét 2.1.1 Quan hệ ma trận có thể viết dưới dạng phương trình ma trận: E\A : x, y £ n £ n Ey Ax x, y £n £n . ma trận và phương trình vi phân đại số. 7 Nội dung Luận văn gồm 3 chương: 7 Chương 1: Ma trận và chùm ma trận Chương 2: Số học của chùm ma trận Chương 3 : Ứng dụng của số học chùm ma trận. các ma trận. 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số học của chùm ma trận và ứng dụng. 4 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Số học của chùm ma trận và ứng dụng trong hệ phương trình vi phân đại số. Chƣơng 1 MA TRẬN VÀ CHÙM MA TRẬN 8 1.1 Các khái niệm cơ bản của ma trận 8 1.2 Chùm ma trận 11 Chƣơng 2 SỐ HỌC CỦA CHÙM MA TRẬN 14 2.1 Quan hệ ma trận 14 2.2 Các phép toán số học trên