Lý thuyết perron - frobenius cho chùm ma trận (LV01099)

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ma trận ,1 , n nn ij ij A A a       được gọi là ma trận không âm và kí hiệu 0A nếu mọi phần tử của ma trận A đều không âm. Định lí Perron-Frobenius nói rằng, bán kính phổ (giá trị lớn nhất của các giá trị tuyệt đối của giá trị riêng của ma trận) của ma trận với các phần tử không âm tự nó là giá trị riêng và có véctơ riêng tương ứng có thể chọn là véctơ không âm. Cụ thể hơn, ta có thể phát biểu Định lí Perron-Frobenius như sau. Định lí Perron-Frobenius Giả sử 0A có bán kính phổ   .A  Khi ấy   A  cũng là một giá trị riêng của A và A có véctơ riêng không âm v tương ứng với giá trị riêng   .A  Nếu thêm vào đó, A là bất khả quy (irreducible), thì   A  đơn (   A  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của ma trận A ) và A có véctơ riêng v không tương ứng với   .A  Hơn nữa, nếu 0u  là véctơ riêng của A thì ,uv   .    Định lí này có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học, khoa học, kĩ thuật, kinh tế, trong đó có các bài toán mô tả bởi các hệ động lực. Nhiều hệ động lực trong thực tế được mô tả bởi hệ hệ phương trình sai phân 10 , k k k Ex Ax f x   cho tríc hoặc phương trình vi phân ẩn (thường được gọi là phương trình vi phân đại số - Differential Algebraic Equation - DAE) tuyến tính với hệ số hằng, tức là hệ phương trình   00 ( ) ( ) ( ), .Ex t Ax t f t x t x    Ở đây , EA là các ma trận vuông cỡ nn với các hệ số là những số thực. 2 Động lực của các hệ trên được đặc trưng bởi các giá trị riêng và các véctơ riêng của chùm ma trận EA   (hay cặp ma trận   ,EA ). Nhằm ứng dụng vào các bài toán mới, trong đó có bài toán giải hệ phương trình vi phân đại số, Định lí Perron-Frobenius đã được mở rộng cho chùm ma trận và cho dãy các ma trận. Luận văn này trình bày một số mở rộng của Định lí Perron-Frobenius cổ điển cho cặp ma trận (hay còn gọi là chùm ma trận)   ,EA và một số mở rộng khác. Trường hợp đặc biệt ,EI trong đó I là ma trận đơn vị cũng được quan tâm. Luận văn cũng trình một số ví dụ minh họa. 2. Mục đích nghiên cứu Lý thuyết Perron-Frobenius cho chùm ma trận. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Định lí Perron-Frobenius cổ điển. - Mở rộng Định lí Perron-Frobenius cho chùm ma trận. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết Perron-Frobenius. - Phạm vi nghiên cứu: Định lí Perron-Frobenius cho chùm ma trận. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc, tìm hiểu, phân tích và tổng hợp các kiến thức trong sách, báo; - Sử dụng các phương pháp của giải tích, đại số tuyến tính, giải tích hàm. 6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài Hy vọng luận văn là một Tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về lí thuyết Perron-Frobenius. 3 Chương 1 ĐỊNH LÍ PERRON-FROBENIUS CỔ ĐIỂN 1.1 Bài toán giá trị riêng Định nghĩa 1.1.1 Cho A là ma trận vuông cỡ nn gồm các phần tử là các số thực. Giá trị  (thực hay phức) sao cho tồn tại véctơ 0x  thỏa mãn phương trình   0A I x   được gọi là giá trị riêng của ma trận ,A và x được gọi là véctơ riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng .  Bài toán tìm x và  thỏa mãn phương trình   0A I x   được gọi là bài toán giá trị riêng. Cho A là ma trận vuông cấp ,1 , , . n n n ij i j n A A a       Xét ma trận 11 12 1 21 22 2 12 . n n n n nn a a a a a a AI a a a               Đa thức bậc n của biến ,      11 12 1 21 22 2 12 1 1 11 0 det 1 . n n A n n nn n nn n a a a a a a P A I a a a a a a                      được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận .A Nhận xét 1.1.1 Các nghiệm của đa thức đặc trưng   A P  là các giá trị riêng của ma trận .A Thật vậy, theo định nghĩa  là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi phương trình   0A I x   có nghiệm 0.x  Mà hệ phương trình trên có 4 nghiệm 0x  khi và chỉ khi   det 0AI   hay   0, A P   hay  là nghiệm của đa thức đặc trưng   A P  (điều phải chứng minh). Nếu 0  là một giá trị riêng của ma trận A thì   0 det 0.AI   Do đó hệ phương trình thuần nhất   1 0 0 0 n x AI x               1.1.1 có vô số nghiệm. Các véctơ 0x  là nghiệm của   1.1.1 là các véctơ riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng 0 .  Các nghiệm của hệ phương trình   1.1.1 tạo thành một không gian véctơ và được gọi là không gian con riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng 0 .  Các véctơ độc lập tuyến tính tạo thành cơ sở của không gian con riêng được gọi là các véctơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng 0 .  Ví dụ 1.1.1 Xét ma trận 0 1 1 1 0 1 . 1 1 0 A       Đa thức đặc trưng của A là   3 11 1 1 3 2. 11 A P               Đa thức trên có các nghiệm là 1,2 3 1, 2.     Do đó, ma trận A có các giá trị riêng là 12 1, 2.     Ứng với giá trị riêng 1 1,   ta giải hệ phương trình sau 5   0A I x   hay   1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 0; 1 1 1 0 1 1 1 0 0; 1 1 1 0 0. x x x x A I x x x x x x x x x                                        Hệ phương trình trên có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số tự do 23 , .xx Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là   , , ,a b a b trong đó , .ab Các véctơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 1 1   là tất cả các véctơ trong 3  có dạng   22 , , , 0.a b a b a b    Ứng với giá trị riêng 2 2,   để tìm véctơ riêng tương ứng thì ta phải giải hệ phương trình thuần nhất   0A I x   hay   1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 2 0; 2 1 1 0 1 2 1 0 2 0; 1 1 1 0 2 0. x x x x A I x x x x x x x x x                                           Hệ này có vô số nghiệm phụ thuộc tham số 3 .x Nghiệm tổng quát của hệ phương trình trên có dạng   , , , .a a a a Vậy các véctơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 2 2   là tất cả các véctơ trong 3  dạng   , , , 0.a a a a  1.2 Định lí Perron-Frobenius cổ điển Định nghĩa 1.2.1 Ma trận nn P   có được bằng cách hoán vị các hàng (và/hoặc các cột) của một ma trận đơn vị cỡ nn được gọi là ma trận hoán vị (permutation matrix). Như vậy ma trận hoán vị là một ma trận vuông mà mỗi hàng và cột chỉ có một phần tử có giá trị là 1, các phần tử còn lại có giá trị 0. Định nghĩa 1.2.2 (xem [7]) Ma trận nn A   được gọi là ma trận khả quy (reducible) nếu tồn tại ma trận hoán vị P sao cho 11 12 22 , 0 T AA C PAP A     6 trong đó,     11 22 , n r n r rr AA      và   12 , 0 . r n r A r n     Ma trận A được gọi là ma trận bất khả quy (irreducible) nếu A không phải là ma trận khả quy. Định nghĩa 1.2.3 Cho hai ma trận , 1 , 1 , nn ij i j ij i j A a B b           với các hệ số là những số thực. Ta nói AB nếu , , 1,2, , . ij ij a b i j n   Định nghĩa 1.2.4 Ma trận A với các hệ số là những số thực được gọi là ma trận không âm (dương) nếu   0 0 .AA Định nghĩa 1.2.5 Cho ma trận ,1 n ij i j Bb     là ma trận với các hệ số là các số thực hay phức. Kí hiệu ma trận B là ma trận gồm các tọa độ . ij b Định lí 1.2.1 (Định lí Perron-Frobenius, [7]) Nếu 0A là một ma trận vuông cấp nn bất khả quy thì 1. A có một giá trị riêng thực không âm có giá trị đúng bằng bán kính phổ   ;A  2. Véctơ riêng x tương ứng với   A  có thể chọn là véctơ không âm; 3.   A  tăng nếu từng tọa độ thành phần của A tăng; 4.   A  là đơn (   A  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng); 5. Vectơ riêng x là duy nhất theo nghĩa sai khác một đại lượng vô hướng, tức là nếu tồn tại véctơ riêng 0y  thì yx   với  là một số thực. Để chứng minh định lí này trước hết ta chứng minh một số kết quả sau: Bổ đề 1.2.1 Giả sử 0A là ma trận vuông cấp ,nn bất khả quy. Khi ấy   1 0. n IA   7 Chứng minh Để chứng minh   1 0 n IA   ta chỉ cần chứng minh   1 0 n I A x   với mỗi 0, 0.xx Thật vậy, giả sử 0Cx  với mỗi 0, 0, xx trong đó 11 1 1 . n n nn cc C cc            Khi đó ta chứng minh 0C  như sau. Không mất tính tổng quát, chọn 1 0 . 0 x         Khi đó 11 21 1 0, n c c Cx c         do đó 11 21 1 , , , 0. n c c c  Tương tự, ta chọn lần lượt các véctơ 1,2, ,, i x i n có phần tử thứ i bằng 1, các phần tử còn lại bằng không, khi đó ta cũng chỉ ra được các phần tử trên cột thứ i tương ứng của ma trận C đều dương. Do đó, nếu   1 0 n I A x   với mỗi 0, 0xx thì   1 0. n IA   Ta chứng minh   1 0 n I A x   với mỗi 0, 0xx như sau. Định nghĩa dãy các véctơ   10 0, 0,1, , 2, . kk x I A x k n x x        Do đó, 1 x x Ax và 0, 0, 0 A x x   nên ta có 1 0x  và số thành phần bằng không của 1 x không ít hơn số thành phần bằng không của .x Nhận xét tương tự, ta khẳng định được 0 k x  với mọi 1,2, , 2kn và số thành phần băng không của 1k x  không ít hơn số thành phần bằng không của . k x Hơn nữa, ta chỉ ra được rằng số thành phần bằng không của 1k x  luôn ít hơn số thành phần bằng không của . k x 8 Thật vậy, trước hết ta chứng minh 1 x có số thành phần bằng không ít hơn số thành phần bằng không của .x Giả sử phản chứng rằng 1 x và x có số tọa độ bằng không là bằng nhau. Bằng phương pháp hoán vị dòng ta luôn viết được x về dạng , 0 z x     trong đó , 0, 1 . m z z m n    Khi đó, 11 12 11 1 21 22 21 , 00 A A z A z zz x x Ax A A A z                               trong đó         11 12 21 22 , , , . n m m m n m n m n m mm A A A A                Theo giả thiết ban đầu 0A nên 11 21 , 0, 0, A A z do đó 21 11 0, 0 A z A z và 11 0.z A z Mà theo giả thiết phản chứng số thành phần bằng không của 1 x bằng số thành phần bằng không của x nên 21 0,Az hay 1 11 , 0, . 0 m y x y z A z y          Có nghĩa là 21 0,A  điều này mâu thuẫn với điều kiện A bất khả quy. Lập luận tương tự, ta chứng minh được 1k x  có số thành phần bằng không ít hơn số thành phần bằng không của k x với mọi 1,2, , 2.kn Do đó, 0 xx có tối đa 1n  tọa độ bằng không, thì k x có không quá 1nk thành phần bằng không. Suy ra,     11 10 nn n x I A x I A x       là một véctơ dương. Nếu 0A là ma trận vuông cỡ nn bất khả quy và véctơ 0x  là một véctơ khác không, ta định nghĩa đại lượng 9 1 0 : min . i n ij j j x x i ax r x            Do A không âm nên x r là một số thực không âm và . x Ax r x Hơn nữa, nó bằng supremum của tập hợp tất cả các 0   thỏa mãn .Ax x   Thật vậy, giả sử 0   thỏa mãn Ax x   và . x r   Khi đó . x x r x   Theo định nghĩa , x r tồn tại chỉ số 0 i sao cho 0 0 i x  và 0 0 1 . n i j j j x i ax r x    Khi đó 0 0 0 0 0 0 1 1 . n i j j n j i x i i i j j j i ax x r x x a x x         Suy ra x Ax   mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x r   với mọi 0   thỏa mãn Ax x   và x r cũng thỏa mãn x Ax r x nên x r bằng supremum của tập hợp tất cả các 0   thỏa mãn .Ax x   Xét đại lượng   0, 0 : sup .   x xx rr   1.2.1 Theo định nghĩa x r ta có xx rr   với mỗi 0.   Ta chuẩn hóa x sao cho 1x  và xét tập hợp   : 0: 1 .S x x   Khi đó, S là tập compact nên     sup max . xx xS xS r r r    Xét tập hợp     1 : : , . n Q y y I A x x S      Khi đó, Q là tập compact. 10 Theo kết quả của Bổ đề 1.2.1 tập hợp Q chỉ gồm các phần tử là các véctơ dương. Nhân hai vế của biểu thức x Ax r x với   1 , n IA   ta được     11 . nn x I A Ax I A r x     Ta có thể chứng minh quy nạp rằng Thật vậy, ta có     I A A IA AA A AA AI AA A I A         Giả sử     11 , . kk I A A A I A k      Khi đó                 11 1 k k k kk I A A I A I A A I A A I A A I A I A A I A               Do đó     11 . nn I A A A I A     Từ đó ta có     11nn x A I A x r I A x     hay . x Ay r y Điều đó có nghĩa là . yx rr Vì ta cũng có yy rr   với mọi số  bất kì. Nên ta cũng có thể định nghĩa r như sau     sup max . yy yQ yQ r r r    Vì S là một tập compact và Q cũng là tập compact nên y r là một hàm số liên tục trên ,Q do đó tồn tại một véctơ dương z sao cho z rr hay Az rz và không tồn tại véctơ w nào khác z thỏa mãn .Aw rw Vì nếu tồn tại w sao cho .Aw rw Khi đó, ta có w Aw r w và , z Aw rw r w suy ra . w rr Mặt     11nn I A A A I A     [...]... rng ca nh lớ trong trng hp chựm ma trn cú ch s tựy ý Cui cựng thỡ chỳng ta cú th thy nh lớ Perron- Frobenius c in ch l trng hp c bit ca nh lớ Perron- Frobenius cho chựm ma trn khi E I 2.2.1 nh lớ Perron- Frobenius cho chựm ma trn cú ch s khụng ln hn 1 nh lớ sau c coi l nh lớ Perron- Frobenius cho chựm ma trn cú ch s khụng ln hn 1 nh lớ 2.2.1 Cho E, A , vi E, A nn , l cp ma trn chớnh quy cú ind E, A ... ng vi giỏ tr riờng ú khụng õm ca ma trn A, y 0 Ay 0 tr thnh iu kin ET y 0 AT y 0 cho chựm ma trn E, A 25 Lun vn trỡnh by mt m rng khỏc, dựng phộp chiu lm c s m rng nh lớ Perron- Frobenius cho cp ma trn E, A Trong mc 2.2.1 trỡnh by m rng nh lớ cho chựm ma trn cú ch s khụng vt quỏ mt Trong ú, iu kin tn ti mt giỏ tr riờng cú vộct riờng tng ng khụng õm ca chựm ma trn c nờu trong nh lớ 2.2.1 d... s dng t nh sao cho z x ty Khi ú, Az A x ty A x ty A z T ú suy ra rz A , iu ny mõu thun vi tớnh cht ca A Vy x l duy nht (iu phi chng minh) 16 Chng 2 NH L PERRON- FROBENIUS M RNG CHO CHM MA TRN 2.1 Mt s khỏi nim liờn quan 2.1.1 Bi toỏn giỏ tr riờng suy rng nh ngha 2.1.1 Cho l hai ma trn vuụng c n n gm cỏc s thc Chựm ma trn E A (hay cp ma trn E, A ) c gi l chựm ma trn chớnh quy... ngha 2.1.5 Mt ma trn vuụng A c gi l chộo húa Jordan c nu tn ti ma trn kh nghch P sao cho 0 J1 , J P AP 0 Jm 1 trong ú J i l cỏc ma trn vuụng cú dng i 1 0 i Ji 1 0 i Mi ma trn J i trờn c gi l mt khi Jordan ng vi giỏ tr riờng i Ma trn J trong nh ngha trờn c gi l biu din chun tc Jordan ca ma trn A (hay ma trn dng Jordan ca A ) nh ngha 2.1.6 Ma trn N c gi l ma trn ly linh... trng hp cp ma trn E, A cú ind E, A Vi 1 ta cn nh ngha dóy ma trn nh biu thc (2.1.5) vi cỏc phộp chiu ó nh ngha B 2.2.1 di õy m bo iu kin tn ti ca phộp chiu vi nhng tớnh cht cn thit Mt s vớ d v xõy dng dóy cỏc phộp chiu lm c s m rng nh lớ Perron- Frobenius cho chựm ma trn cng c trỡnh by trong mc 2.2.3 B 2.2.1 Cho E, A vi E, A nn l cp ma trn chớnh quy cú ch s ind E, A v Khi ú dóy ma trn nh nh... C A 0 0 Xột nh lớ 1.2.2, thay ma trn C cho ma trn B c B C A (iu phi chng minh) Chng minh nh lớ Perron- Frobenius 1 A cú mt giỏ tr riờng dng ỳng bng bỏn kớnh ph A Chng minh Kt qu c ly t H qu 1.2.1 2 A cú vộct riờng tng ng x 0 Chng minh Kt qu c ly t B 1.2.2 3 A tng khi mi thnh phn ca ma trn A tng Chng minh Gi s ta tng mt s thnh phn ca ma trn A c mt ma trn mi bt kh quy A, trong... gi l ma trn ly linh nu tn ti s t nhiờn n sao cho N n 0 nh lớ 2.1.1 (dng chớnh tc Weierstrass [6]) Nu E, A l cp ma trn chớnh quy thỡ 20 I 0 J 0 , , 0 N 0 I 2.1.4 E , A trong ú J l ma trn chớnh tc Jordan v N l ma trn ly linh dng chớnh tc Jordan B 2.1.1 (xem [4]) Cho E, A l cp ma trn chớnh quy, c chn sao cho E A khụng suy bin thỡ ma trn E E A 1 E v E A A 1 A giao... 0 p dng nh lớ Perron- Frobenius v phng trỡnh th nht ca h 2.2.4 suy ra E111 As : l mt giỏ tr riờng v tn ti vộct riờng tng ng x1 0 S dng kt qu ny, t phng trỡnh th hai ca 2.2.4 ta c x2 A221 A21x1 1 A221 A21 x1 1 A221 A21E111 As x1 0 Tht vy, t iu kin 2.2.2 ta cú A221 A21E111 As 0, 0, v x1 0 nờn 1 A221 A21E111 As x1 0 2.2.2 nh lớ Perron- Frobenius cho chựm ma trn cú ch s... phc no ú sao cho det E A 0 Ngc li, nu det E A 0 vi mi giỏ tr thỡ ta núi chựm ma trn E A suy bin Trong ni dung lun vn ny ch xột chựm ma trn vuụng chớnh quy Mt s thc hoc phc c gi l giỏ tr riờng (suy rng) ca cp ma trn E, A nu det E A 0 Vộct x n \ 0 sao cho E A x 0 c gi l vộct riờng (suy rng) ca cp ma trn E, A tng ng vi giỏ tr riờng Nu E l ma trn suy bin v x n \ 0 sao cho Ex 0 thỡ... minh) f Chỳ ý Trong trng hp ch s v 1 theo B 2.1.4 iu kin Q0 x 0 t nhiờn tha món vi mi x S def f nh lớ sau c coi l nh lớ Perron- Frbenius cho cp ma trn E, A chớnh quy cú ch s ind E, A bt kỡ 34 nh lớ 2.2.2 Cho E, A , vi E, A nn l cp ma trn chớnh quy cú ind E, A v Cho dóy ma trn nh ó nh ngha trong 2.1.5 c xõy dng vi cỏc phộp chiu Pi , Qi tha món Pi Qi I v Qi x 0, x S def , 0 i v Nu f 2.2.7 . đích nghiên cứu Lý thuyết Perron- Frobenius cho chùm ma trận. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Định lí Perron- Frobenius cổ điển. - Mở rộng Định lí Perron- Frobenius cho chùm ma trận. 4. Đối tượng. lí Perron- Frobenius đã được mở rộng cho chùm ma trận và cho dãy các ma trận. Luận văn này trình bày một số mở rộng của Định lí Perron- Frobenius cổ điển cho cặp ma trận (hay còn gọi là chùm ma. và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết Perron- Frobenius. - Phạm vi nghiên cứu: Định lí Perron- Frobenius cho chùm ma trận. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc, tìm hiểu, phân tích