Định lớ Perron-Frobenius cho chựm ma trận cú chỉ số bất kỡ

Trong mục này ta xột trường hợp cặp ma trận E A,  cú indE A, .

Với  1 ta cần định nghĩa dóy ma trận như biểu thức (2.1.5) với cỏc phộp chiếu đó định nghĩa. Bổ đề 2.2.1 dưới đõy đảm bảo điều kiện tồn tại của phộp chiếu với những tớnh chất cần thiết. Một số vớ dụ về xõy dựng dóy cỏc phộp chiếu làm cơ sở mở rộng Định lớ Perron-Frobenius cho chựm ma trận cũng được trỡnh bày trong mục 2.2.3.

Bổ đề 2.2.1 Cho E A với ,  E A, n n là cặp ma trận chớnh quy cú chỉ số

 

ind E A, v. Khi đú dóy ma trận như định nghĩa trong biểu thức 2.1.5 cú thể được xõy dựng trờn cơ sở cỏc phộp chiếu Q Pi, i sao cho Pi Qi  I và

0,

i

Q x thỏa món với mọi xSdeff và với mọi 0 i v.

Chứng minh Cặp ma trận E A,  chớnh quy nờn ta cú

 

kerEikerAi  0 thỏa món với mọi 0 i v. 2.2.5

Hơn nữa, từ 2.2.5 ta cú 

 

1

Ta chứng minh quy nạp rằng cú thể xõy dựng được cỏc phộp chiếu sao cho 0

i i

Q Q x với mọi def

f

xS và mọi 0 i v.

Giả sử tồn tại phộp chiếu Q0, ta phải chứng minh rằng E0Sdeff  0 . Giả sử rằng yE0 Sdeff . Khi đú, E y0 0 suy ra y 0. Ngoài ra, từ định nghĩa ta cú y là vộctơ riờng của E A,  tương ứng với giỏ trị riờng . Do đú, ta cú thể chọn phộp chiếu Q0 lờn kerE0 dọc theo khụng gian con M0 nào đú chứa

def f

S thỏa món Q x0 0 vơi mọi xSdeff .

Tiếp tục giả sử Q xi 0,  x Sdeff , 0  i k k,  v 1. Chỳ ý, điều này cú nghĩa là phộp chiếu bự Pi  I Qi sẽ cú tớnh chất Pxi x,  x Sdeff . Xõy dựng một phộp chiếu Qk1 lờn kerEk1 sao cho Q xk1 0,  x Sdeff , ta phải chứng minh rằng kerEk1Sdeff  0 . Giả sử là 0 y kerEk1Sfdef. Từ giả thiết

1ker i ker i y E ta cú   1 0 0 0 0 0Ek y E A Q  .... A Q yk k E y,

theo chứng minh trờn y0. Ngoài ra, từ định nghĩa ta cú x là vộctơ riờng của E A,  tương ứng với giỏ trị riờng . Do đú, ta cú thể chọn phộp chiếu

1

k

Q  lờn kerEk1 dọc theo khụng gian con Mk1 nào đú chứa Sdeff thỏa món

1 0, def

k f

Q x   x S (điều phải chứng minh).

Chỳ ý Trong trường hợp chỉ số v1 theo Bổ đề 2.1.4 điều kiện Q x0 0 tự nhiờn thỏa món với mọi xSdeff .

Định lớ sau được coi là Định lớ Perron-Frbenius cho cặp ma trận E A,  chớnh quy cú chỉ số indE A,  bất kỡ.

Định lớ 2.2.2

Cho E A với , , E A, n n là cặp ma trận chớnh quy cú indE A, v. Cho dóy ma trận như đó định nghĩa trong 2.1.5  được xõy dựng với cỏc phộp chiếu P Qi, i thỏa mónPi Qi  I và Q xi 0,  x Sdeff , 0  i v. Nếu

1

0,

v v

E A  2.2.7

thỡ bỏn kớnh phổ hữu hạn f E A,  là một giỏ trị riờng và tồn tại một vộctơ riờng tương ứng khụng õm x0. Hơn nữa, nếu them vào đú điều kiện 1

v v

E Abất khả quy thỡ f E A,  là đơn và x0 duy nhất theo nghĩa sai khỏc một