Nhằm làm sáng tỏ hơn các khái niệm liên tục, đạo hàm, tích phân trên thang thời gian, dưới đây ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản nhất của tôpô đại cương và giải tích.
Định nghĩa 3.3.6 Cho tập hợp X bất kì. Ta nói một họ những tập hợp con của
X là một tôpô trên X( hay trên X xác định một cấu trúc tôpô), nếu: 1) Hai tập (tập rỗng) và X đều thuộc họ .
2) đóng đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập họ thuộc thì cũng thuộc họ đó.
3) đóng đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số bất kì (hữu hạn hoặc vô hạn) tập họ thuộc thì cũng thuộc họ .
Một tập X được trang bị một tôpô được gọi là không gian tôpô X, (hay đơn giản: không gian tôpô X). Các tập họ thuộc được gọi là tập mở.
Định nghĩa 3.3.7 Tập Uđược gọi là lân cận của điểm x trong một không gian tôpô X nếu có một tập mở G sao cho x G U.
Định nghĩa 3.3.8 Cho không gian tôpô X. Ta nói dãy điểm xn Xhội tụ tới
điểm x X và viết xn x nếu với mọi lân cận Ucho trước của X tồn tại n0
sao cho với mọi n n0 ta có xn U.
Định nghĩa 3.3.9 Cho không gian tôpô X. Phần tử x được gọi là điểm giới hạn của tập M X, nếu mỗi lân cận bất kì của x chứa ít nhất một phần tử của tập
Tập M M M được gọi là bao đóng của M.
Định nghĩa 3.3.10 Cho tập M bất kì nằm trong không gian tôpô X. Đặt
,
M M M A A thì dễ dàng chứng minh theo định nghĩa rằng M cũng là một không gian tôpô và được gọi là tôpô cảm sinh của X trên M.
Trong luận văn này ta qui ước xét tôpô trên là tôpô cảm sinh từ tôpô thông
thường trên tập số thực (tôpô thông thường trên ¡ là tôpô tạo bởi các khoảng mở cùng với hợp bất kì và giao hữu hạn của chúng).
Để cho gọn, ta vẫn kí hiệu khoảng mở, lân cận trong tôpô cảm sinh trên là U V, ,... mà không viết UT U (trong đó U là tập mở trong ¡ ).