Định nghĩa 2.2.4 Nghịch đảo của quan hệ ma trận E A\ là quan hệ ma trận
1\ \ . \ \ . E A A E Ta có: 1 , \ : , , \ \ . x y E A A E Ex Ay y x E A y E A x
Nếu E AT không suy biến thì E A E A\ \ 1 I I\ là quan hệ đồng nhất. Thật vậy, x z, E A E A\ \ 1 khi và chỉ khi tồn tại vectơ y £ sao cho n
1
, \ : \
x y E A A E và y z, E A\ , tức là Ex Ay và Ay Ez. Suy ra Ex Ez x z, E E\ EI EI\ I I\ . Do đó Iz Ix hay z x. Tuy nhiên điều này không đúng trong trường hợp tổng quát, nghĩa là có thể
1\ \ \ \ E A E A I I\ . Ví dụ: x y, 1 \ 0 1.y 0.x y 0, tức là x y, x,0 . Do đó , 0, y x x 0 \ 1 y z, £ £ |z 0 .
Chứng tỏ 1 \ 0 và 0 \ 1 là hai quan hệ nghịch đảo. Nhưng tích của chúng là 1 \ 0 0 \ 1 0,0 và 0 \ 1 1 \ 0 £ £ không phải là quan hệ đồng nhất.
Định lí dưới đây chỉ ra rằng, quan hệ ma trận ngược cũng tác động như là tích của các ma trận ngược. Ta có
Định lí 2.2.10 (Lemma 2.4, [5])
1) Bao hàm thức I I\ E A\ 1 E A\ nghiệm đúng khi và chỉ khi
range A range E (nghĩa là dom E A\ £n).
2) Bao hàm thức E A\ 1 E A\ I I\ nghiệm đúng khi và chỉ khi A có hạng đầy đủ theo cột bằng n.
3) Hai bao hàm thức trên đúng, nghĩa là E A\ 1 E A\ I I\ khi và chỉ khi
†
E A không suy biến, nghĩa là khi và chỉ khi E A là phép biến đổi tuyến tính \
không suy biến trên £ . n
1. Để chứng minh (1) ta giả sử range A range E . Với mỗi x £n, tồn tại
n
y £ sao cho Ey Ax (nghĩa là dom E A\ £n. Điều này là tầm thường suy ra x E A\ 1y. Do đó ta có x E A\ 1 E A x\ và
1
\ \ \ n.
I I E A E A x x £
Ngược lại, nếu 1
\ \ \ ,
I I E A E A đặc biệt £n dom E A\ dẫn đến range A range E .
2. Giả sử E A\ 1 E A\ I I\ chỉ các nghiệm , ,x y z £ của phương trình n
Ey Ax và Az Ey có x z. Đặc biệt với nghiệm x y z 0 chỉ có phương trình Az 0 có nghiệm z 0. Điều này dẫn đến A có hạng theo cột đầy đủ. Ngược lại, nếu A có hạng theo cột đầy đủ thì nghiệm x y z, , £ của phương n trình Ey Ax và Az Eythỏa mãn Az Ax và do đó z x. Suy ra
1
\ \ \ .
E A E A I I
3. Vì bao hàm thức I I\ E A\ 1 E A\ suy ra range A range E . Vậy nên dom E A\ £n.
Bao hàm thức E A\ 1 E A\ I I\ kéo theo A có hạng n theo cột đầy đủ. Vì vậy range A có n chiều. Kết hợp điều này và range A range E £n. Suy ra range A range E và E cũng có hạng n theo cột đầy đủ. Do đó
\
E A là biến đổi tuyến tính với ma trận biểu diễn E A dạng † n n, hạng n. Ta có tính chất: E2 \ A2 E1 \ A1 1 E1 \ A1 1 E2 \A2 1.
CHƢƠNG 3