Các hàm số học và ứng dụng

Đại Học Thái Nguyên Trường Đại Học Khoa Học Đỗ Cao Sơn CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Phản biện 1: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Phản biện 2: TS Nguyễn Văn Ngọc Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày 09 tháng 09 năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Nguyên 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Các hàm số học 1.1 Phi - hàm Ơ-le 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất 1.2 Hàm tổng ước số dương n 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất 1.3 Hàm tổng chữ số số tự nhiên n 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các tính chất 1.4 Hàm số ước τ (n) 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Các tính chất 1.5 Hàm phần nguyên [x] 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Các tính chất Một số ứng dụng hàm số học 2.1 Ứng dụng Phi - hàm Ơ-le 2.1.1 Xét đồng dư môđulô số 2.1.2 Chứng minh phép chia với dư 2.1.3 Giải phương trình đồng dư 2.1.4 Tìm nghiệm nguyên phương 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên nguyên tố trình 5 9 10 12 12 12 15 15 15 16 16 16 18 18 18 19 20 21 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.5 Tìm cấp số nguyên 2.1.6 Tìm số tự nhiên thỏa mãn tính chất hàm số ϕ(n) 2.2 Ứng dụng hàm tổng ước số dương số tự nhiên n 2.2.1 Chứng minh số hợp số 2.2.2 Chứng minh số số hoàn hảo 2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức liên quan tới σ(n) 2.3 Ứng dụng hàm S(n) 2.3.1 Tìm n S(n) thỏa mãn hệ thức cho trước 2.3.2 Tính giá trị S(n) 2.3.3 Chứng minh số biểu thức liên quan tới S(n) 2.3.4 Xét tính bị chặn hàm số chứa S(n) 2.4 Ứng dụng hàm số ước τ (n) 2.4.1 Tìm n thỏa mãn điều kiện cho trước τ (n) 2.4.2 Một số bất đẳng thức liên quan tới hàm τ (n) 2.4.3 Tìm số nghiệm phương trình phương pháp sử dụng τ (n) 2.5 Ứng dụng hàm phần nguyên [x] 2.5.1 Bài toán định tính 2.5.2 Bài toán định lượng Kết luận Tài liệu tham khảo 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 23 24 24 25 29 32 32 35 37 39 40 40 43 45 46 46 50 54 55 Mở đầu Số học lĩnh vực cổ xưa Toán học, lĩnh vực tồn nhiều toán, giả thuyết chưa có câu trả lời Trên đường tìm kiếm lời giải cho giả thuyết đó, có nhiều tư tưởng lớn, nhiều lí thuyết lớn toán học nẩy sinh Hơn nữa, năm gần đây, Số học không lĩnh vực toán học lí thuyết, mà lĩnh vực có nhiều ứng dụng, đặc biệt lĩnh vực bảo mật thông tin Vì thế, việc trang bị kiến thức số học từ trường phổ thông cần thiết Không nhiều ngành khác toán học, có nhiều thành tựu đại quan trọng Số học hiểu với kiến thức phổ thông nâng cao bước Do đó, lĩnh vực thuận lợi để đưa học sinh tiếp cận nhanh với khoa học đại Tuy nhiên, chương trình Số học trường phổ thông nay, môn Số học chưa giành nhiều thời gian Cũng mà học sinh thường lúng túng giải toán Số học, đặc biệt kì thi chọn học sinh giỏi Trong phần Số học, hàm số học đóng vai trò quan trọng việc hình thành nghiên cứu lí thuyết để hoàn thiện Đây vấn đề cổ điển quan trọng Số học Các tập ứng dụng hàm số học đề cập nhiều kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh (thành phố), Quốc gia, Quốc tế Mục đích luận văn nêu số ứng dụng hàm số học (Phi-hàm Ơ-le, hàm tổng ước dương n, số ước dương n, tổng chữ số số tự nhiên n, hàm phần nguyên) Cụ thể phân loại dạng tập hàm số học thông qua hệ thống tập sử dụng hàm số học định lí 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số học Nội dung luận văn gồm chương Chương 1: Trình bày kiến thức hàm số học Chương 2: Một số ứng dụng hàm số học Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình GS.TSKH Hà Huy Khoái - Viện Toán Học Hà Nội Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin cảm ơn tới Sở Nội Vụ, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bắc Ninh, trường THPT Thuận Thành 1, tổ Toán trường THPT Thuận Thành tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa học Tôi xin gửi tới Thầy Cô khoa Toán, phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, Thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2009-2011 lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục, đào tạo nhà trường Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại Học Khoa Học động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tuy nhiên hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến Thầy Cô độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày 31 tháng 07 năm 2011 Tác giả Đỗ Cao Sơn 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các hàm số học 1.1 Phi - hàm Ơ-le 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Giả sử n số nguyên dương Phi-hàm Ơ-le n số số nguyên dương không vượt n nguyên tố với n Kí hiệu Phi-hàm Ơ-le ϕ(n) Ví dụ 1.1 ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = Định nghĩa 1.2 Cho n số nguyên dương Nếu a số nguyên với (a, n) = tồn số nguyên dương k để ak ≡ 1(mod n) Số nguyên dương k bé thỏa mãn ak ≡ 1(mod n) gọi cấp số nguyên a (mod n) Định nghĩa 1.3 Một hệ thặng dư thu gọn môđulô n tập hợp gồm ϕ(n) số nguyên cho phần tử tập hợp nguyên tố với n hai phần tử khác đồng dư môđulô n Ví dụ 1.2 Tập hợp {1, 3, 5, 7} hệ thặng dư thu gọn môđulô Tập hợp {−3, −1, 1, 3} Định nghĩa 1.4 Một tập hợp A gọi hệ thặng dư đầy đủ (mod n) với số x ∈ Z tồn a ∈ A để x ≡ a(mod n) 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.3 A = {0, 1, 2, , n − 1} hệ thặng dư đầy đủ theo môđulô n Chú ý 1.1 Dễ thấy tập A = {a1 , a2 , , an } gồm n số hệ thặng dư đầy đủ theo môđulô n ∼ = aj (mod n) (ta kí hiệu "không đồng dư" ∼ =) với i = j i, j ∈ {1, 2, , n} 1.1.2 Các tính chất Tính chất Giả sử r1 , r2 , , rϕ(n) hệ thặng dư thu gọn môđulô n, a số nguyên dương (a, n) = Khi đó, tập hợp ar1 , ar2 , , arϕ(n) hệ thặng dư thu gọn môđulô n Chứng minh Trước tiên ta chứng tỏ rằng, số nguyên arj nguyên tố với n Giả sử ngược lại, (arj , n) > với j Khi tồn ước nguyên tố p (arj , n) Do đó, p |a , p |rj , tức p |a p |n, p |rj p |n Tuy nhiên, có p |rj p |n rj n nguyên tố Tương tự, có p |a p |n Vậy, arj n nguyên tố với j = 1, 2, , ϕ(n) Còn phải chứng tỏ hai số arj , ark (j = k) tùy ý không đồng dư môđulô n Giả sử arj ≡ ark (mod n), j = k ≤ j ≤ ϕ(n) ; ≤ k ≤ ϕ(n) Vì (a, n) = nên ta suy rj ≡ rk (mod n) Điều mâu thuẫn rj , rk thuộc hệ thặng dư thu gọn ban đầu môđulô n Ví dụ 1.4 Tập hợp {1, 3, 5, 7} hệ thặng dư thu gọn môđulô Do (3, 8) = nên {3, 9, 15, 21} hệ thặng dư môđulô Tính chất 2.(Định lí Ơ-le) Giả sử m số nguyên dương a số nguyên với (a, m) = Khi aϕ(m) ≡ (mod m) Chứng minh Giả sử r1 , r2 , , rϕ(n) hệ thặng thu gọn gồm số nguyên dương không vượt m nguyên tố với m Do Tính chất (a, m) = 1, tập hợp ar1 , ar2 , , arϕ(n) hệ thặng dư thu gọn môđulô m Như vậy, thặng dư dương bé ar1 , ar2 , , arϕ(m) phải số nguyên r1 , r2 , , rϕ(m) xếp theo thứ tự Vì thế, ta nhân vế từ hệ thặng dư thu gọn đây, ta được: ar1 ar2 arϕ(m) ≡ r1 r2 rϕ(m) (modm) 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do đó, aϕ(m) r1 r2 rϕ(m) ≡ r1 r2 rϕ(m) (mod m) Vì r1 , r2 , rϕ(m) , m = nên aϕ(m) ≡ (mod m) Ta tìm nghịch đảo môđulô n cách sử dụng Định lí Ơ-le Giả sử a, m số nguyên tố nhau, đó: a.aϕ(m)−1 = aϕ(m) ≡ (mod m) Vậy aϕ(m)−1 nghịch đảo a môđulô m Ví dụ 1.5 2ϕ(9)−1 = 26−1 = 25 = 32 ≡ ( mod 9) nghịch đảo môđulô Hệ 1.1 (a, b) = aϕ(b) + bϕ(a) ≡ 1(mod ab) Hệ 1.2 Với (a, b) = n, v hai số nguyên dương anϕ(b) + bvϕ(a) ≡ (mod ab) Hệ 1.3 Giả sử có k (k ≥ 2) số nguyên dương m1 , m2 , , mk chúng nguyên tố với đôi Đặt M = m1 m2 mk = mi ti với i = 1, 2, , k ta có: tn1 + tn2 + + tnk ≡ (t1 + t2 + + tk )n (mod M ) với n nguyên dương Bây ta cho công thức tính giá trị phi-hàm Ơ-le n biết phân tích n thừa số nguyên tố Tính chất Với số nguyên tố p ta có ϕ(p) = p − Ngược lại, p số nguyên dương cho ϕ(p) = p − p số nguyên tố Chứng minh Nếu p số nguyên tố với số nguyên dương nhỏ p nguyên tố với p Do có p − số nguyên dương nên ϕ(p) = p − Ngược lại, p hợp số p có ước d, < d < p Tất nhiên p d không nguyên tố Như vậy, số 1, 2, , p − phải có số không nguyên tố với p, nên ϕ(p) ≤ p − Theo giả thiết, ϕ(p) = p − Vậy p số nguyên tố Tính chất Giả sử p số nguyên tố a số nguyên dương Khi đó: ϕ (pa ) = pa − pa−1 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Các số nguyên dương nhỏ pa không nguyên tố với p số không vượt pa−1 chia hết cho p Có pa−1 số Do tồn pa − pa−1 số nguyên nhỏ pa nguyên tố với pa Vậy, ϕ(pa ) = pa − pa−1 Ví dụ 1.6 ϕ (125) = ϕ 53 = 53 − 52 = 100 ; ϕ 210 = 210 − 29 = 525 Tính chất Nếu m, n số nguyên dương nguyên tố ϕ(mn) = ϕ(m).ϕ(n) Chứng minh Ta viết số nguyên dương không vượt mn thành bảng sau: m + 2m + (n − 1)m + m + 2m + (n − 1)m + m + 2m + (n − 1)m + m 2m 3m mn Bây giả sử r số nguyên không vượt m Giả sử (m, r) = d > Khi đó, số dòng thứ r nguyên tố với mn, phần tử dòng có dạng km + r, ≤ k ≤ n − 1, d | (km + r), d | m, d | r Vậy, để tìm số bảng mà nguyên tố với mn, ta cần xem dòng thứ r với (m, r) = Ta xét dòng vậy, chứa số r, m + r, , (n − 1)m + r Vì (r, m) = nên số nguyên dòng nguyên tố với n Như vậy, n số nguyên dòng lập thành hệ thặng dư đầy đủ môđulô n Do có ϕ(n) số hàng nguyên tố với n Do số nguyên tố với m nên chúng nguyên tố với mn Vì có ϕ(m) dòng, dòng chứa ϕ(n) số nguyên tố với mn nên ta suy ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) Kết hợp hai tính chất trên, ta tính chất sau: Tính chất Giả sử n = pn1 pn2 pnk k phân tích n thừa số nguyên tố Khi đó: 1 ϕ (n) = n − 1− − p1 p2 pk 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... quan trọng Số học Các tập ứng dụng hàm số học đề cập nhiều kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh (thành phố), Quốc gia, Quốc tế Mục đích luận văn nêu số ứng dụng hàm số học (Phi -hàm Ơ-le, hàm tổng... cấp số nguyên 2.1.6 Tìm số tự nhiên thỏa mãn tính chất hàm số ϕ(n) 2.2 Ứng dụng hàm tổng ước số dương số tự nhiên n 2.2.1 Chứng minh số hợp số 2.2.2 Chứng minh số số... dương n, số ước dương n, tổng chữ số số tự nhiên n, hàm phần nguyên) Cụ thể phân loại dạng tập hàm số học thông qua hệ thống tập sử dụng hàm số học định lí 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái