Vành các hàm số học và các tính chất liên quan

Mục tiêu nghiên cứu Trong luận văn này tôi sẽ trình bày những lý thuyết cơ bảncủa vành các hàm số học,nêu vài hàm số học tiểu biểu,quan trọng,cũng như các tính chất liên quan và ứng dụng

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng - Năm 2016

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong những năm gần đây,công nghệ thông tin đang pháttriển mạnh mẽ như vũ bão, các thành tựu của số học được ứngdụng trực tiếp vào các vấn đề trực tiếp của đời sống như kinh tế,

xã hội,thông tin mật mã, kĩ thuật máy tính Do đó nghiên cứuphát triển và ứng dụng số học là một bước đi quan trọng của toánhọc

Nhắc tới số học ta không thể bỏ qua vai trò cực kì quantrọng của các hàm số học,kể cả trong lý thuyết và trong ứng dụngthực tiễn Đây là một vấn đề cổ điển nhưng được khai thác và đềcập rất nhiều từ các cuộc thi học sinh giỏi cho đến các nghiên cứubậc cao Dưới sự hướng dẫn và định hướng của GS.TSKH NguyễnVăn Mậu, tôi chọn đề tài “Vành các hàm số học và các tính chấtliên quan” làm đề tài nghiên cứu luận văn của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Trong luận văn này tôi sẽ trình bày những lý thuyết cơ bảncủa vành các hàm số học,nêu vài hàm số học tiểu biểu,quan trọng,cũng như các tính chất liên quan và ứng dụng của các hàm sốđược nêu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: vành các hàm số học, một số hàm sốhọc tiểu biểu,quan trọng, cũng như các tính chất liên quan và ứngdụng của các hàm số được nêu

Phạm vi nghiên cứu: kiến thức cơ bản về vành các hàm sốhọc, một số tính chất liên quan và bài tập trong tài liệu thamkhảo mà GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu giới thiệu.

4 Phương pháp nghiên cứu

Tìm đọc, phân tích một số tài liệu về vành các hàm số học

và các tính chất liên quan

Làm rõ các chứng minh trong tài liệu, hệ thống kiến thứcnghiên cứu

5 Bố cục đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành

ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây:

Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số và

số học

Chương 2 Trình bày một số hàm số số học cơ bản

Chương 3 Trình bày một số áp dụng của các hàm số trên.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH NGUYỄNVĂN MẬU, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu

và truyền đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoaToán, trường ĐHSP Đà Nẵng-ĐH Đà Nẵng và bạn bè đồng nghiệp

đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi hoàn thành bản luận văn này

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

CỦA ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC

1.1 VÀNH, IDEAN, MIỀN NGUYÊN

- Một cấu trúc đại số (X, ) với (.) là phép toán trong trên

X có tính chất kết hợp được gọi là nửa nhóm Một nửa nhóm cóphần tử đơn vị được gọi là vị nhóm Một nửa nhóm là giao hoánnếu phép toán trên nó có tính giao hoán

- Một vị nhóm (X, ) được gọi là một nhóm nếu mỗi phần

tử của X đều tồn tại phần tử nghịch đảo Hay nói cách khác cấutrúc đại số (X, ) dược gọi là một nhóm nếu:

a) (x.y).z = x.(y.z) với mọi x, y, z ∈ X;

b) Tồn tại phần tử e ∈ X sao cho e.x = x.e = x với mọi

- Một nhóm chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm tầm

thường Một nhóm nói chung có thể có hữu hạn hoặc vô hạn cácphần tử Nếu X có hữu hạn phần tử thì ta nói X là nhóm hữuhạn và số phần tử của X được gọi là cấp của nhóm X Nếu phéptoán trên X có tính giao hoán thì ta nói X là nhóm giao hoán haynhóm Abel.

Các tính chất cơ bản của nhóm:

Tính chất 1.1 Phần tử đơn vị của nhóm là duy nhất.Tính chất 1.2 Mỗi phần tử của nhóm chỉ có duy nhất 1phần tử nghịch đảo

Tính chất 1.3 Trong một nhóm luật giản ước được thựchiện được với mọi phần tử, tức là từ đẳng thức a.b = a.c hoặcb.a = b.c kéo theo b = c

Tính chất 1.4 Trong nhóm (X, ) ta có:

(ab)−1= b−1a−1

am.an= am+n và (an)m = am.n

Tính chất 1.5 Cho (X, ) là một nửa nhóm khi đó 3 mệnh

đề sau là tương đương:

i) (X, ) là một nhóm

ii) với mọi phần tử a, b của X phương trình a.x = b cũngnhư phương trình y.a = b có nghiệm duy nhất

iii) Trong X tồn tại phần tử đơn vị trái (tương ứng đơn vịphải) và mọi phần tử của X đều có nghịch đảo trái (tương ứngnghịch đảo phải).

Định nghĩa 1.1 ([4]) Cho (X, ) là một nhóm, và H là mộttập con của X H được gọi là ổn định đối với phép toán trong

X nếu và chỉ nếu a.b ∈ H với mọi a, b ∈ H Khi đó người ta cũngnói rằng phép toán trên X cảm sinh một phép toán trên H

Ta nói một bộ phận ổn định H của nhóm X là một nhómcon của X nếu H cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm.Giả sử H là một tập con khác ∅ của một nhóm (X, ) Khi

đó ba mệnh đề sau là tương đương:

i) H là một nhóm con của X

ii) ab ∈ H và a−1∈ H với mọi a, b thuộc H

iii)(ab)−1∈H với mọi a, b thuộc H

Định nghĩa 1.2 ([4]) Cấu trúc đại số (X, +, ) trong đó +

và là 2 phép toán trên X được gọi là một vành nếu:

- (X, +) là một nhóm

- (X, ) là một vị nhóm

- Phép (.) phân phối với phép (+)

Phần tử đơn vị của nhóm (X, +) thường được kí hiệu là 0X.Phần tử đơn vị (kí hiệu là 1X) của vị nhóm (X, ) cũng được gọi

là phần tử đơn vị của vành Một vành mà 0X = 1X được gọi làvành tầm thường Nếu phép toán (.) có tính giao hoán thì vành(X, +, ) được gọi là vành giao hoán

Cho (X, +, ) là một vành, nó có thể xảy ra trường hợp rằngtồn tại các phần tử a, b ∈ X sao cho a 6= 0, b 6= 0 (0 là phần

tử đơn vị của nhóm (X, +)) nhưng a.b = 0 Những phần tử nhưthế được gọi là ước của không Một vành không tầm thường, giaohoán, không có ước của không được gọi là vành nguyên hoặc miềnnguyên

Vành (X, +, ) được gọi là một trường nếu nó là không tầmthường, giao hoán và mọi phần tử khác không đều có nghịch đảođối với phép toán (.) Như vậy nếu (X, +, ) là một trường thì(X − 0, ) là một nhóm

Định nghĩa 1.3 ([4]) Cho (X, +, ) là một vành và A làmột tập con khác rỗng của X Khi đó A được gọi là idean của Xnếu thỏa mãn các điều kiện:

- (A, +) là một nhóm con của (X, +)

- ax ∈ A và xa ∈ A với mọi a ∈ A và x ∈ X

Định nghĩa 1.4 ([4]) Vành X được gọi là miền nguyên khi

X là một vành giao hoán, có đơn vị 16=0, và không có ước của 0

1.2 VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC

Hàm số số học là hàm số nhận giá trị phức và xác định trêntập hợp các số nguyên dương Các hàm số số học vừa là đối tượng

cơ bản vừa là công cụ có hiệu quả trong các nghiên cứu toán học,tin học, mật mã Do đó, cùng với việc nghiên cứu các hàm số sốhọc, người ta còn thường quan tâm đến cấu trúc đại số, cấu trúcgiải tích của các hàm số số học Trên tập hợp các hàm số số học,

có thể trang bị nhiều phép toán đại số 2 - ngôi để từ đó thu đượccác cấu trúc đại số khác nhau.Ở đây ta tìm hiểu cấu trúc vànhcủa các hàm số số học.

Định nghĩa 1.5 ([4]) Một hàm số f xác định trên tập hợpcác số nguyên dương và nhận giá trị trong trường các số phứcđược gọi là hàm số số học Hàm số số học f được gọi là hàm cótính chất nhân (hàm nhân) nếu:

1) Tồn tại số nguyên dương n để cho f (n) = 0

2) Với mọi cặp số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau,

ta có

f (ab) = f (a)f (b)

Trong trường hợp đẳng thức trên đúng với mọi số nguyêndương a, b thì hàm số số học f được gọi là hàm có tính chất nhânmạnh

Hàm số số học f được gọi là hàm cộng tính nếu với mọicặp số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau, ta có f (ab) =

f (a) + f (b)

Tổng, tích từng điểm và tích chập Dirichlet các hàm số sốhọc Cho các hàm số học f và g , khi đó ta lần lượt định nghĩa:

Tổng f + g của f và g được định nghĩa bởi

(f + g)(n) = f (n) + g(n)

Tích từng điểm f0g của f và g được định nghĩa bởi

(f0g)(n) = f (n)g(n)

Tích chập Dirichlet f ∗ g của f và g được định nghĩa bởi

(f ∗ g)(n) =X

d|n

f (d)g(n

d) =X

dd 0 =n

f (d)g(d0)

là tổng chạy trên tất cả các ước dương d của n

Hàm e bởi e(n) = 1 nếu n = 1 và e(n) = 0 nếu n ≥ 2.Hàm zero O bởi O(n) = 0 với mọi số nguyên dương n.Định lý 1.1 ([4]) Tập các hàm số học với phép toán cộng

và phép nhân chập Dirichlet lập thành một vành giao hoán cóphần tử không là hàm O và phần tử có đơn vị là hàm e

Định lý 1.2 ([4]) Với mỗi số nguyên dương N , kí hiệu IN

là tập hợp tất cả các hàm số số học f sao cho f (n) = 0, ∀n ≤ N ,khi đó IN là một idean của vành các hàm số số học

GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA CÁC HÀM SỐ HỌC

Ta định nghĩa giá trị trung bình F (x) của hàm số học f (n)bởi công thức

nhưng mạnh mẽ để ước lượng hàm tổng trong lí thuyết số Đầutiên là tích phân và thứ hai là tổng riêng.

Phần nguyên của một số thực x, kí hiệu bởi [x], là số nguyên

n duy nhất sao cho n ≤ x < n + 1 Phần thập phân của x là sốthực x = x − [x] ∈ [0, 1)

số t0∈I sao cho f (t) là tăng với t ≤ t0 và giảm với t ≥ t0

≤ max (f (y) , f (x))

Nếu f (t) là một hàm đơn thức không âm trên [1, ∞), thì

Định lý 1.5 ([4]) Cho k là một số nguyên không âm Với

,

Trong đó hằng số kéo theo chỉ phụ thuộc vào k

Định lý 1.6 ([4]) Cho f (n) và g(n) là các hàm số học Xéthàm tổng

F (x) =X

n≤x

f (n)Cho a và b là các số nguyên không âm với a < b Khi đó

Cho x và y là các số thực không âm với [y] < [x] và cho g(t)

là một hàm có đạo hàm liên tục trên [y, x] Khi đó

0 < γ = 1 −

Z ∞ 1

d|n

µ(d) = 1 −

m1

+

m2



−

m1

 = (1 − 1)m= 0

f (d0)

Theo định lý (1)trên thì

X

d|n

d0µ(d) = 0

nếu n

d0 > 1 và

P

d|nnµ(d) = 1

d0|n

f (d0)X

d|n

d0µ(d)

d0=n

f (d0)X

d|nnµ(d) = f (n)

Theo định lý (1) trên thì

X

d|n

d0µ(d) = 0

nếu n

d0 > 1 và

P

d|nnµ(d)=1

d≤x

f (d)

hxd

và nhiều ngành khác, và chưa có ngành nào có mô tả một cách

hệ thống Euler đã dạy chúng ta hiểu thực chất của các ngành,các phân môn và tạo ra một ngôn ngữ mà chúng ta vẫn dùng đểtrao đổi Thật phù hợp khi trích ra ở đây lời của Laplace “Hãy đọcEuler – ông là thầy của tất cả chúng ta” Bây giờ chúng ta khôngđọc Euler nữa, nhưng thực tế thì có rất nhiều thứ chúng ta thừahưởng từ những công trình của Euler

Đóng góp của Euler cho giải tích theo nghĩa rộng vô cùng

to lớn Ở đây giải tích bao gồm cả giải tích thực, giải tích phức,

lý thuyết phương trình vi phân, bài toán biến phân, hình học viphân, phương trình toán lý Con số các khái niệm và tính chất nềntảng của giải tích, lần đầu tiên xuất hiện trong các công trình củaEuler, có thể lên đến hàng trăm, sau đây là một số trong chúng:

- Tích phân Euler

- Phép thế Euler

- Phương trình Euler

lý Euler là mở rộng của định lý nhỏ Fermat và đóng một vai tròquan trọng trong việc xây dựng hệ thống mã công khai RSA vàcác hệ mã khác Phi-hàm Euler được ông đưa ra vào năm 1763.Định nghĩa 2.2 ([4]) Phi-hàm Euler, kí hiệu ϕ, được xácđinh bởi: ϕ(n) là số các số nguyên dương không vượt quá n vànguyên tố cùng nhau với n.

Định lý 2.8 ([4]) Phi-hàm Euler là hàm nhân

Định lý 2.9 ([4]) Nếu p nguyên tố và α nguyên dương thì

ϕ(pα) = pα(1 −1/p)Chứng minh

Các số nguyên dương không vượt quá pα và không nguyên

tố cùng nhau với pα chính là các số nguyên dương không vượt quá

aϕ(n)≡ 1(modn)

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ ÁP DỤNG

3.1 ÁP DỤNG HÀM MOBIUS

Bài toán 3.1 Tính toán µ(n) với 11≤ n ≤ 20

Bài toán 3.2 Cho f (n) là một hàm số số học và định nghĩa

Bài toán 3.4 Cho σ(n) kí hiệu là tổng các ước dương của

Bài toán 3.5 Cho f (x) là một hàm trên tập số x ≥1 Địnhnghĩa hàm g(x) như sau:

k≤x

µ(k)g(x

k) với mọi x ≥1.

Bài toán 3.8 Chứng minh rằng mọi số nguyên dương nđều có thể biểu diễn dưới dạng

n = k2ltrong đó k và l là các số nguyên dương và l không chia hết chobình phương của một số nguyên tố

Bài toán 3.9 Chứng minh rằng mật độ của các số nguyênkhông chia hết cho bình phương của bất cứ số nguyên tố nào là6

π2 (tương đương với, gọi Q(x) là số các số nguyên không chia hếtcho bình phương của bất cứ số nguyên tố nào không vượt quá x).Chứng minh

Bài toán 3.13 Chứng minh rằng ϕ(m) là số chẵn với mọi

m ≥3

Bài toán 3.14 Chứng minh rằng

ϕ(mk) = mk−1.ϕ(m),với mọi số nguyên dương m và k

Bài toán 3.15 Chứng minh rằng m là số nguyên tố nếu vàchỉ nếu ϕ(m)=m-1

Bài toán 3.16 Chứng minh rằng ϕ(m)= ϕ(2m) khi và chỉkhi m là số lẻ

Bài toán 3.17 Chứng minh rằng nếu m là ước của n thìϕ(m) cũng là ước của ϕ(n)

Bài toán 3.18 Tìm tât cả các số nguyên dương n sao choϕ(n) không chia hết cho 4

Bài toán 3.19 Tìm tất cả số nguyên n sao cho ϕ(5n)=5ϕ(n)

Bài toán 3.20 Cho n ≥1.Tính số các số tự nhiên nhỏ hơnhoặc bằng n mà ước số chung lớn nhất của chúng với n bằng d,với d|n.Suy ra rằng

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Luận văn "Vành các hàm số học và một số tính chất liên quan"

đã giải quyết được những vấn đề sau:

- Trình bày khái niệm về vành các hàm số số học và giới thiệumột vài hàm số số học cơ bản

- Trình bày các tính chất và một số áp dụng của hàm Mobius,phi - hàm Euler

Trong quá trình làm luận văn không tránh khỏi những sai sót,rất mong được sự góp ý chân tình của quý Thầy, Cô và đồngnghiệp