Vành các hàm số học và các tính chất liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TR N NG C VINH VÀNH CÁC HÀM S H C VÀ CÁC TÍNH CH T LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Ph n bi n 1: TS Lê Văn Dũng Ph n bi n 2: TS Tr nh Đào Chi n Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong năm gần đây,công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ vũ bão, thành tựu số học ứng dụng trực tiếp vào vấn đề trực tiếp đời sống kinh tế, xã hội,thông tin mật mã, kĩ thuật máy tính Do nghiên cứu phát triển ứng dụng số học bước quan trọng toán học Nhắc tới số học ta bỏ qua vai trò quan trọng hàm số học,kể lý thuyết ứng dụng thực tiễn Đây vấn đề cổ điển khai thác đề cập nhiều từ thi học sinh giỏi nghiên cứu bậc cao Dưới hướng dẫn định hướng GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, chọn đề tài “Vành hàm số học tính chất liên quan” làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục tiêu nghiên cứu Trong luận văn trình bày lý thuyết vành hàm số học,nêu vài hàm số học tiểu biểu,quan trọng, tính chất liên quan ứng dụng hàm số nêu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: vành hàm số học, số hàm số học tiểu biểu,quan trọng, tính chất liên quan ứng dụng hàm số nêu Phạm vi nghiên cứu: kiến thức vành hàm số học, số tính chất liên quan tập tài liệu tham khảo mà GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu giới thiệu Phương pháp nghiên cứu Tìm đọc, phân tích số tài liệu vành hàm số học tính chất liên quan Làm rõ chứng minh tài liệu, hệ thống kiến thức nghiên cứu Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương Trình bày số kiến thức đại số số học Chương Trình bày số hàm số số học Chương Trình bày số áp dụng hàm số Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU, người thầy trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu truyền đạt kinh nghiệm nghiên cứu cho Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán, trường ĐHSP Đà Nẵng-ĐH Đà Nẵng bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC 1.1 VÀNH, IDEAN, MIỀN NGUYÊN - Một cấu trúc đại số (X, ) với (.) phép toán X có tính chất kết hợp gọi nửa nhóm Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm Một nửa nhóm giao hoán phép toán có tính giao hoán - Một vị nhóm (X, ) gọi nhóm phần tử X tồn phần tử nghịch đảo Hay nói cách khác cấu trúc đại số (X, ) dược gọi nhóm nếu: a) (x.y).z = x.(y.z) với x, y, z ∈ X; b) Tồn phần tử e ∈ X cho e.x = x.e = x với x∈X c) Với x ∈ X tồn y ∈ X cho x.y = y.x = e Ví dụ 1.1 Tập hợp số hữu tỉ với phép cộng thông thường nhóm, tập hợp số hữu tỉ khác với phép nhân thông thường nhóm Tập hợp số phức có modul với phép nhân thông thường nhóm, tập hợp gồm số -1 với phép nhân nhóm - Một nhóm gồm phần tử gọi nhóm tầm thường Một nhóm nói chung có hữu hạn vô hạn phần tử Nếu X có hữu hạn phần tử ta nói X nhóm hữu hạn số phần tử X gọi cấp nhóm X Nếu phép toán X có tính giao hoán ta nói X nhóm giao hoán hay nhóm Abel Các tính chất nhóm: Tính chất 1.1 Phần tử đơn vị nhóm Tính chất 1.2 Mỗi phần tử nhóm có phần tử nghịch đảo Tính chất 1.3 Trong nhóm luật giản ước thực với phần tử, tức từ đẳng thức a.b = a.c b.a = b.c kéo theo b = c Tính chất 1.4 Trong nhóm (X, ) ta có: (ab)−1 = b−1 a−1 am an = am+n (an )m = am.n Tính chất 1.5 Cho (X, ) nửa nhóm mệnh đề sau tương đương: i) (X, ) nhóm ii) với phần tử a, b X phương trình a.x = b phương trình y.a = b có nghiệm iii) Trong X tồn phần tử đơn vị trái (tương ứng đơn vị phải) phần tử X có nghịch đảo trái (tương ứng nghịch đảo phải) Định nghĩa 1.1 ([4]) Cho (X, ) nhóm, H tập X H gọi ổn định phép toán X a.b ∈ H với a, b ∈ H Khi người ta nói phép toán X cảm sinh phép toán H Ta nói phận ổn định H nhóm X nhóm X H với phép toán cảm sinh nhóm Giả sử H tập khác ∅ nhóm (X, ) Khi ba mệnh đề sau tương đương: i) H nhóm X ii) ab ∈ H a−1 ∈ H với a, b thuộc H iii)(ab)−1 ∈H với a, b thuộc H Định nghĩa 1.2 ([4]) Cấu trúc đại số (X, +, ) + phép toán X gọi vành nếu: - (X, +) nhóm - (X, ) vị nhóm - Phép (.) phân phối với phép (+) Phần tử đơn vị nhóm (X, +) thường kí hiệu 0X Phần tử đơn vị (kí hiệu 1X ) vị nhóm (X, ) gọi phần tử đơn vị vành Một vành mà 0X = 1X gọi vành tầm thường Nếu phép toán (.) có tính giao hoán vành (X, +, ) gọi vành giao hoán Cho (X, +, ) vành, xảy trường hợp tồn phần tử a, b ∈ X cho a = 0, b = (0 phần tử đơn vị nhóm (X, +)) a.b = Những phần tử gọi ước không Một vành không tầm thường, giao hoán, ước không gọi vành nguyên miền nguyên Vành (X, +, ) gọi trường không tầm thường, giao hoán phần tử khác nghịch đảo phép toán (.) Như (X, +, ) trường (X − 0, ) nhóm Định nghĩa 1.3 ([4]) Cho (X, +, ) vành A tập khác rỗng X Khi A gọi idean X thỏa mãn điều kiện: - (A, +) nhóm (X, +) - ax ∈ A xa ∈ A với a ∈ A x ∈ X Định nghĩa 1.4 ([4]) Vành X gọi miền nguyên X vành giao hoán, có đơn vị 1=0, ước 1.2 VÀNH CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC Hàm số số học hàm số nhận giá trị phức xác định tập hợp số nguyên dương Các hàm số số học vừa đối tượng vừa công cụ có hiệu nghiên cứu toán học, tin học, mật mã Do đó, với việc nghiên cứu hàm số số học, người ta thường quan tâm đến cấu trúc đại số, cấu trúc giải tích hàm số số học Trên tập hợp hàm số số học, trang bị nhiều phép toán đại số - để từ thu cấu trúc đại số khác nhau.Ở ta tìm hiểu cấu trúc vành hàm số số học Định nghĩa 1.5 ([4]) Một hàm số f xác định tập hợp số nguyên dương nhận giá trị trường số phức gọi hàm số số học Hàm số số học f gọi hàm có tính chất nhân (hàm nhân) nếu: 1) Tồn số nguyên dương n f (n) = 2) Với cặp số nguyên dương a, b nguyên tố nhau, ta có f (ab) = f (a)f (b) Trong trường hợp đẳng thức với số nguyên dương a, b hàm số số học f gọi hàm có tính chất nhân mạnh Hàm số số học f gọi hàm cộng tính với cặp số nguyên dương a, b nguyên tố nhau, ta có f (ab) = f (a) + f (b) Tổng, tích điểm tích chập Dirichlet hàm số số học Cho hàm số học f g , ta định nghĩa: Tổng f + g f g định nghĩa (f + g)(n) = f (n) + g(n) Tích điểm f g f g định nghĩa (f g)(n) = f (n)g(n) Tích chập Dirichlet f ∗ g f g định nghĩa (f ∗ g)(n) = d|n n f (d)g( ) = d f (d)g(d ) dd =n tổng chạy tất ước dương d n Hàm e e(n) = n = e(n) = n ≥ Hàm zero O O(n) = với số nguyên dương n Định lý 1.1 ([4]) Tập hàm số học với phép toán cộng phép nhân chập Dirichlet lập thành vành giao hoán có phần tử không hàm O phần tử có đơn vị hàm e Định lý 1.2 ([4]) Với số nguyên dương N , kí hiệu IN tập hợp tất hàm số số học f cho f (n) = 0, ∀n ≤ N , IN idean vành hàm số số học GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA CÁC HÀM SỐ HỌC Ta định nghĩa giá trị trung bình F (x) hàm số học f (n) công thức F (x) = f (n) n≤x Quy ước F (x) = với x < Hàm F (x) gọi hàm tổng f Chúng ta mô tả hai phương pháp đơn giản 10 Nếu f (t) hàm đơn thức không âm [1, ∞), x F (x) = f (n) = n≤x f (t) dt + O (1) Định lý 1.4 ([4]) Cho r số nguyên không âm Với x ≥1, n≤x logr n = logr x + O (1) n r+1 Trong số kéo theo phụ thục vào r Định lý 1.5 ([4]) Cho k số nguyên không âm Với x ≥1, n≤x logk (x/n) = logk+1 x + O logk x , n k+1 Trong số kéo theo phụ thuộc vào k Định lý 1.6 ([4]) Cho f (n) g(n) hàm số học Xét hàm tổng F (x) = f (n) n≤x Cho a b số nguyên không âm với a < b Khi b f (n) g (n) = F (b) g (b) − F (a) g (a + 1) n=a+1 b−1 F (n) (g (n + 1) − g (n)) − n=a+1 11 Cho x y số thực không âm với [y] < [x] cho g(t) hàm có đạo hàm liên tục [y, x] Khi x f (n) g (n) = F (x) g (x) − F (y) g (y) − y d n d| n µ(d) = Nên ta suy d|n n µ(d)g( ) = d f (d ) d |n d =n d| n d µ(d) = f (n) f (d ) = µ(d) d| n n Chiều nghịch Vì f (n) = d|n n µ(d)g( ) d Ta suy f (d) = d|n = µ( d|n d | n d d|n n )g(d ) = dd n f( ) d µ( dd |n n )g(d ) dd 16 Theo định lý (1) µ(d) = n d| d n > d µ(d)=1 n d| n Nên ta suy µ( f (d) = d|n dd |n = n )g(d ) = dd g(d ) g(d ) d |n µ( d | n d n ) dd µ(d) = g(n) n d| n d =n Định lý 2.5 ([4]) Cho f (n) hàm số số học cho F (x) = f (n) n≤x Khi ta có F( m≤x x )= m f (d) d≤x x = d f (d) n≤x d|n Định lý 2.6 ([4]) n≤x µ(n) = O(1) n Định lý 2.7 ([4]) n≤x µ(n) = + O( ) n2 π x 17 2.2 PHI-HÀM EULER Vài nét nhà toán học Leonard Euler phi-hàm Euler Euler người mà lịch sử giao cho nhiệm vụ vẽ thiết kế nhà từ viên gạch khối bê tông, bắt đầu xây dựng công trình vĩ đại, có liên kết khoa học tự nhiên toán học Thời điểm đó, đa số nhánh toán học giai đoạn sơ khởi – đại số, hình học giải tích, lượng giác, phép tính vi tích phân, phương trình vi phân, học nhiều ngành khác, chưa có ngành có mô tả cách hệ thống Euler dạy hiểu thực chất ngành, phân môn tạo ngôn ngữ mà dùng để trao đổi Thật phù hợp trích lời Laplace “Hãy đọc Euler – ông thầy tất chúng ta” Bây không đọc Euler nữa, thực tế có nhiều thứ thừa hưởng từ công trình Euler Đóng góp Euler cho giải tích theo nghĩa rộng vô to lớn Ở giải tích bao gồm giải tích thực, giải tích phức, lý thuyết phương trình vi phân, toán biến phân, hình học vi phân, phương trình toán lý Con số khái niệm tính chất tảng giải tích, lần xuất công trình Euler, lên đến hàng trăm, sau số chúng: - Tích phân Euler - Phép Euler - Phương trình Euler 18 - Số Euler - Công thức Euler - Tiêu chuẩn Euler - Đa thức Euler - Chuỗi Euler - Chu trình Euler - Phi-hàm Euler Với số nguyên dương n > 2, ϕ(n) ký hiệu số số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n.Phi hàm Euler có nhiều ứng dụng Lý thuyết số, đặc biệt có mặt định lý Euler: (a, n) = aϕ(n) ≡ 1(modn) Định lý Euler mở rộng định lý nhỏ Fermat đóng vai trò quan trọng việc xây dựng hệ thống mã công khai RSA hệ mã khác Phi-hàm Euler ông đưa vào năm 1763 Định nghĩa 2.2 ([4]) Phi-hàm Euler, kí hiệu ϕ, xác đinh bởi: ϕ(n) số số nguyên dương không vượt n nguyên tố với n Định lý 2.8 ([4]) Phi-hàm Euler hàm nhân Định lý 2.9 ([4]) Nếu p nguyên tố α nguyên dương ϕ(pα ) = pα (1 − /p ) Chứng minh 19 Các số nguyên dương không vượt pα không nguyên tố với pα số nguyên dương không vượt pα chia hết cho p Đó số kp mà ≤ k ≤ pα−1 Có thảy pα−1 số ϕ(pα ) = pα − pα−1 = pα (1 − /p ) Từ định lý ta có định lý sau để tính ϕ(n) Định lý 2.10 ([4]) Nếu n = pα1 pα2 pαmm khai triển lũy thừa nguyên tố số nguyên dương n ϕ(n) = n(1 − 1 )(1 − ) (1 − ) p1 p2 pk Định lý 2.11 ([4]) Với số nguyên dương m, ta có ϕ(d) = m d|m Mọi ước d m biểu diễn dạng :d = pr11 pr22 prkk Với 0≤ ri ≤ ti i=1, , k Định lý 2.12 ([2]) Giả sử n > a số nguyên, nguyên tố với n ta có aϕ(n) ≡ 1(modn) 20 CHƯƠNG MỘT SỐ ÁP DỤNG 3.1 ÁP DỤNG HÀM MOBIUS Bài toán 3.1 Tính toán µ(n) với 11≤ n ≤ 20 Bài toán 3.2 Cho f (n) hàm số số học định nghĩa g(n) = f (d) d|n Sử dụng hàm Mobius ngược để viết f (30) tổng giá trị phân biệt hàm số học g Bài toán 3.3 Cho d(n) hàm đếm ước số, chứng minh k|n n d(k)µ( ) = k với số nguyên n xác định Bài toán 3.4 Cho σ(n) kí hiệu tổng ước dương n, nghĩa σ(n) = k k|n Chứng minh k|n với số nguyên n n σ(k)µ( ) = n k 21 Bài toán 3.5 Cho f (x) hàm tập số x ≥1 Định nghĩa hàm g(x) sau: g(x) = n≤x x f ( ) n Chứng minh f (x) = n≤x x µ(n)g( ) n Bài toán 3.6 Cho g(x) la hàm tập số x ≥1, định nghĩa hàm f (x) sau: f (x) = n≤x x µ(n)g( ) n Chứng minh g(x) = n≤x x f ( ) n Để chứng minh toán ta chứng minh toán sau: Bài toán 3.7 Đặt I := x ∈ R : x ≥ Với hàm f : I → C ; hàm g : I → C chứng minh (i) (ii) tương đương x f ( ) với x ≥1, k k≤x x ii) f (x) = µ(k)g( ) với x ≥1 k k≤x i) g(x) = 22 Bài toán 3.8 Chứng minh số nguyên dương n biểu diễn dạng n = k2 l k l số nguyên dương l không chia hết cho bình phương số nguyên tố Bài toán 3.9 Chứng minh mật độ số nguyên không chia hết cho bình phương số nguyên tố (tương đương với, gọi Q(x) số số nguyên không chia hết π2 cho bình phương số nguyên tố không vượt x) Chứng minh lim x→∞ Q(x) = x π Bài toán 3.10 Với x ≥ 1, uv≤x,(u,v)=1 = log2 x + O(log x) uv π 3.2 ÁP DỤNG PHI-HÀM EULER Bài toán 3.11 Tính ϕ(6993) Bài toán 3.12 Cho m=15 Tính ϕ(d) với ước d m, kiểm tra ϕ(d) = m d|m Tính tương tự cho m=16,17 23 Bài toán 3.13 Chứng minh ϕ(m) số chẵn với m ≥3 Bài toán 3.14 Chứng minh ϕ(mk ) = mk−1 ϕ(m), với số nguyên dương m k Bài toán 3.15 Chứng minh m số nguyên tố ϕ(m)=m-1 Bài toán 3.16 Chứng minh ϕ(m)= ϕ(2m) m số lẻ Bài toán 3.17 Chứng minh m ước n ϕ(m) ước ϕ(n) Bài toán 3.18 Tìm tât số nguyên dương n cho ϕ(n) không chia hết cho Bài toán 3.19 Tìm tất số nguyên n cho ϕ(5n)=5 ϕ(n) Bài toán 3.20 Cho n ≥1.Tính số số tự nhiên nhỏ n mà ước số chung lớn chúng với n d, với d|n.Suy ϕ(d) = n d|n Bài toán 3.21 Tính 21000000 ≡ 23(mod77) 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn "Vành hàm số học số tính chất liên quan" giải vấn đề sau: - Trình bày khái niệm vành hàm số số học giới thiệu vài hàm số số học - Trình bày tính chất số áp dụng hàm Mobius, phi - hàm Euler Trong trình làm luận văn không tránh khỏi sai sót, mong góp ý chân tình quý Thầy, Cô đồng nghiệp ... LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn "Vành hàm số học số tính chất liên quan" giải vấn đề sau: - Trình bày khái niệm vành hàm số số học giới thiệu vài hàm số số học - Trình bày tính chất số áp dụng hàm. .. cấu trúc vành hàm số số học Định nghĩa 1.5 ([4]) Một hàm số f xác định tập hợp số nguyên dương nhận giá trị trường số phức gọi hàm số số học Hàm số số học f gọi hàm có tính chất nhân (hàm nhân)... Vành hàm số học tính chất liên quan làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục tiêu nghiên cứu Trong luận văn trình bày lý thuyết vành hàm số học, nêu vài hàm số học tiểu biểu ,quan trọng, tính chất liên