Vành giao hoán

Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** VƯƠNG THỊ BÍCH THÙY VÀNH GIAO HOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội - Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** VƯƠNG THỊ BÍCH THÙY VÀNH GIAO HOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Kiều Nga Hà Nội - Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Kiều Nga tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ Đại số- khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuân lợi cho em trình thực khóa luận Do thời gian lực thân hạn chế Hơn lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vương Thị Bích Thùy Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Thị Kiều Nga khóa luận "Vành giao hoán" hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong trình hoàn thành khóa luận, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vương Thị Bích Thùy i Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, vành con, vành giao hoán 1.2 Miền nguyên, trường 1.3 Iđêan 1.4 Vành thương 1.5 Đồng cấu vành 1.6 Môđun, môđun con, môđun thương 10 1.7 Đồng cấu môđun 13 1.8 Quan hệ thứ tự tập thứ tự 15 Iđêan vành giao hoán 17 2.1 Iđêan sinh phần tử 17 2.2 Các phép toán iđêan 17 2.3 Căn iđêan 23 2.4 Iđêan cực đại 25 2.5 Iđêan nguyên tố 29 2.6 Phổ nguyên tố, đa tạp iđêan 29 2.7 Iđêan nguyên sơ 36 Footer Page of 161 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page of 161 2.8 Mối liên hệ iđêan cực đại, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ 39 2.9 Iđêan đối cực đại 42 Môđun vành giao hoán 47 3.1 Dãy khớp 47 3.2 Môđun Noether môđun Artin 52 3.3 Môđun tự 60 3.4 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 67 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 Footer Page of 161 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page of 161 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số ngành quan trọng toán học Nó không sở cho nhiều ngành Toán học khác mà có ứng dụng số ngành khoa học kĩ thuật Nó góp phần thúc đẩy phát triển Toán học đại Tuy nhiên để sâu nghiên cứu môn Đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc đại số Kiến thức Đại số phong phú trừu tượng, xây dựng phát triển từ cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường, môđun, Trong vành phần kiến thức quan trọng Đại số đại Vì với niềm say mê Toán học hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thị Kiều Nga em mạnh dạn thực khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Vành giao hoán." Đề tài chủ yếu nghiên cứu tính chất đặc trưng vành giao hoán iđêan môđun vành giao hoán cụ thể là: iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ, iđêan đối cực, môđun tự do, môđun Noether, môđun Artin, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu kho học đồng thời muốn sâu, tìm tòi, nghiên cứu tính chất đặc trưng vành giao hoán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu tính chất đặc trưng vành giao hoán Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page of 161 Phương pháp, phương tiện Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận chia làm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Iđêan vành giao hoán Chương Môđun vành giao hoán Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vương Thị Bích Thùy Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, vành con, vành giao hoán 1.1.1 Vành Định nghĩa 1.1 Cho X tập tùy ý khác ∅ Trên X trang bị hai phép toán hai kí hiệu (+) (.) Khi X gọi vành X hai phép toán (+) (.) thỏa mãn điều kiện sau : (i) X với phép toán cộng nhóm Abel (ii) X với phép nhân nửa nhóm (iii) Phép nhân phân phối phép cộng tức với phần tử tùy ý x, y, z ∈ X ta có x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx Tính chất 1.1 Cho X vành Khi ta có tính chất sau a, x.0 = 0.x = với x ∈ X b, Nếu X có phần tử = Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 10 of 161 c, (−x)y = x(−y) = −xy d, (x − y)z = xz − yz e, Bằng quy nạp ta có: (x1 + x2 + · · · + xn )y = x1y + x2y + · · · + xn y, x(y1 + y2 + · · · + yn ) = xy1 + xy2 + · · · + xyn f, (nx)y = x(ny) = nxy Với n ∈ Z, với x, y, z ∈ X, với x1, , xn, y1 , , yn ∈ X Ví dụ 1, Tập hợp ma trận vuông cấp n, n > với phép cộng phép nhân ma trận vành có đơn vị 2, Zn với phép toán (+) (.) xác định: x+y = x + y x.y = xy vành có đơn vị 1.1.2 Vành Định nghĩa 1.2 Cho X vành A phận X ổn định hai phép toán cộng nhân X nghĩa x + y ∈ A xy ∈ A với x, y ∈ A Khi A vành X A với hai phép toán cảm sinh A vành Điều kiện tương đương Cho A phận khác rỗng vành X Các điều kiện sau tương: (i) A vành X (ii) Với x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A (iii) Với x, y ∈ A x − y ∈ A, xy ∈ A Ví dụ Footer Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 71 of 161 thỏa mãn ánh xạ f : U → Y, Y R - môđun mở rộng thành đòng cấu ϕ : F → Y Khi F môđun tự với sở U Chứng minh - Trước hết ta chứng minh U hệ sinh F : Thật vậy, gọi X môđun F sinh U , X = U Khi φ : U → X đơn cấu tắc mở rộng thành đồng cấu g : F → X Xét đơn cấu tắc h : X → F Khi ϕ = hg : F → F mở rộng φ Mặt khác, idF : F → F mở rộng φ Suy hf = idF nên h toàn cấu Từ h(X) = X = F , tức U hệ sinh F - Chứng minh U độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử U = {bi |i ∈ I} Xét môđun tự R với sở tắc {ei |i ∈ I} Khi ánh xạ f : U → R1 mở rộng thành đồng cấu ϕ : F → R Giả sử i∈I bi xi = 0, ∀xi ∈ R, xi = hầu hết trừ số hữu hạn xi Khi ϕ( bi x i ) = i∈I ϕ(bi)xi = i∈I ei xi = i∈I Suy xi = 0, tức U độc lập tuyến tính Mệnh đề 3.4 Mọi R - môđun M đẳng cấu với thương R - môđun tự Chứng minh Giả sử M có tập sinh S = {ai |i ∈ I} Xét môđun tự R(I) với sở tắc U = {ei |i ∈ I} Theo định lý tính chất phổ dụng, ánh xạ f : U → M mở rộng thành R - đồng cấu ϕ : R(I) → M Ta chứng minh ϕ toàn cấu Thật vậy, tồn x ∈ M, x = Footer Page 71 of 161 ri suy tồn x = i∈I i∈I 65 ri ei ∈ R(I) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 72 of 161 thỏa mãn: ϕ(x ) = ϕ( riei ) = i∈I riϕ(ei ) = i∈I ri = x i∈I Suy ϕ toàn cấu Theo tính chất đồng cấu môđun ta có R(I) /Kerϕ Imϕ = M Mệnh đề 3.5 Mọi R - môđun ảnh đồng cấu R - môđun tự Chứng minh Giả sử N R - môđun với tập sinh S Khi ánh xạ ϕ : S → N mở rộng thành đồng cấu ψ : F (s) → N (do S sở F (s)) Vì S sinh N nên Imψ = ψ(F (s)) = N Mặt khác F (s) môđun tự nên ta có điều phải chứng minh Hệ 3.10 Hai R - môđun tự với sở lực lượng đẳng cấu với Chứng minh Giả sử M N R - môđun tự với sở tương ứng (xi)i∈I (yi)i∈I Theo mệnh đề trên, tồn đồng cấu ϕ : M → N; ψ : N → M với ϕ(xi) = yi , ψ(yi) = xi(i ∈ I) Khi ψϕ = idM , ϕψ = idN Do M∼ = N Footer Page 72 of 161 66 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 73 of 161 3.4 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 3.4.1 Môđun xạ ảnh Định nghĩa 3.10 Cho M R - môđun, M gọi môđun xạ ảnh với đồng cấu f : M → B toàn cấu g : A → B R - môđun tồn đồng cấu h : M → A cho f = gh, tức biểu đồ sau giao hoán: M h A g f B Khi đồng cấu h gọi nâng f theo g Ví dụ Xét vành A = Z6 Gọi M N R - môđun A sinh phần tử A Khi A = M N , M, N R - môđun xạ ảnh Mệnh đề 3.6 Mọi môđun tự vành R môđun xạ ảnh Chứng minh Giả sử F môđun tự với sở U = {ei |i ∈ I} Xét biểu đồ R - đồng cấu môđun: Footer Page 73 of 161 67 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 74 of 161 F h A f B g f : F → B đồng cấu bất kỳ, g : A → B toàn cấu môđun Vì g : A → B toàn cấu g(A) = B, nên với ei ∈ F , tồn ∈ A cho g(ai ) = f (ei) ∈ B, ∀i ∈ I Xét ánh xạ h : F → A, ei → Khi h R - đồng cấu f = gh Suy F xạ ảnh Hệ 3.11 Mọi R - môđun đẳng cấu với môđun thương R - môđun xạ ảnh Định lý 3.5 Cho P R- môđun Khi khẳng định sau tương đương (i) P xạ ảnh (ii) Mọi dãy khớp ngắn R - môđun → N → M → P → chẻ (iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R - môđun tự Chứng minh (i ⇒ ii) Giả sử P xạ ảnh có dãy khớp ngắn R - môđun f g 0→N − →M − →P →0 Xét biểu đồ: Footer Page 74 of 161 68 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 75 of 161 P i M g P O với i ánh xạ đồng P Theo định nghĩa tồn đồng cấu R - môđun h : P → M thỏa mãn gh = i Do dãy khớp ngắn chẻ (ii ⇒ iii) Từ (ii) tồn R - môđun tự F toàn cấu R - môđun g : F → P Gọi N hạt nhân g f : N → F đồng cấu nhúng ta có dãy khớp ngắn 0→N →F →P →0 Theo (ii) dãy khớp chẻ Khi tồn đồng cấu h : P → F cho gh = idP F = Imh Kerg Dễ thấy h đơn cấu Do P ∼ = Imh hạng tử trực tiếp R - môđun tự F (iii ⇒ i) Giả sử P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp H R - môđun tự F Trước hết ta cần H R - môđun xạ ảnh F Thật vậy, giả sử f : H → M đồng cấu g : M → M toàn cấu R - môđun Khi ta có đồng cấu f = f p : F → M với p : F → H phép chiếu tắc Vì F xạ ảnh nên tồn đồng cấu h : F → M thỏa mãn gh = f Xét đồng cấu hợp thành h = h j : H → M với j : H → F ánh xạ Footer Page 75 of 161 69 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 76 of 161 nhúng Do pj = idN , ta có gh = gh j = f j = f pj = f Điều chứng tỏ H môđun xạ ảnh Lại P đẳng cấu với H nên P R - môđun xạ ảnh Mệnh đề 3.7 Môđun P xạ ảnh hạng tử trực tiếp môđun tự ( nghĩa F = P Q F tự do) Chứng minh Giả sử F = P Q môđun tự Kí hiệu π : F → P phép chiếu lên hạng tử thứ Giả sử f : P → C đồng cấu g : B → C toàn cấu môđun Vì F xạ ảnh nên đồng cấu f π : F → C nâng theo g thành đồng cấu k : F → B tức f π = gk Phép nhúng j:P →P Q thỏa mãn hệ thức: gkj = f πj = f Vì kj nâng f theo g Do P xạ ảnh + Ngược lại, giả sử P xạ ảnh Theo mệnh đề (3.5) có môđun tự F toàn cấu ϕ : F → P Gọi h : P → F nâng idP : P → P theo ϕ, tức idp = ϕ.h Vậy F tổng trực tiếp h(P ) ≡ P Kerϕ Mệnh đề 3.8 Giả sử môđun P tổng trực tiếp họ môđun {Pi |i ∈ I} Khi P xạ ảnh môđun Pi xạ ảnh Footer Page 76 of 161 70 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 77 of 161 Chứng minh + Giả sử P xạ ảnh, fi : Pi → C đồng cấu g : B → C toàn cấu Gọi πi : P → Pi phép chiếu tắc Vì P xạ ảnh nên đồng cấu fiπi : P → C nâng theo g thành đồng cấu h : P → B, tức fiπi = gh Gọi ji : Pi → P phép nhúng tắc Ta có ghji = fiπi ji = fi Vậy hji nâng fi theo g Do Pi xạ ảnh, với i ∈ I + Ngược lại, giả sử Pi xạ ảnh Giả sử f : P → C đồng cấu g : B → C toàn cấu Mỗi đồng cấu f ji : Pi → C nâng theo g thành đồng cấu hi : Pi → B, tức f ji = ghi Gọi h : P → B tổng trực tiếp đông cấu hi (i ∈ I), tức đồng cấu cho hji = hi (∀i ∈ I) Ta có: ghji = ghi = f ji , ∀i ∈ I Từ gh = f Vậy P môđun xạ ảnh Mệnh đề 3.9 Môđun P xạ ảnh toàn cấu môđun π : B → P có ngược phải Chứng minh Giả sử P xạ ảnh π : B → P toàn cấu môđun Gọi h : P → B nâng theo π idP , tức πh = idP Khi h ngược phải π + Ngược lại, giả sử toàn cấu lên P có ngược phải Theo mệnh đề (3.5) tồn toàn cấu π : F → P , F môđun tự Gọi h : P → F ngược phải π, tức πh = idP Mặt khác F ∼ =P Kerπ Từ đó, P xạ ảnh Mệnh đề 3.10 Mỗi môđun M đặt vào dãy khớp môđun đồng cấu · · · → Pn → Pn−1 → · · · → P1 → Po → M → Footer Page 77 of 161 71 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 78 of 161 Pn xạ ảnh Mỗi dãy khớp gọi phép giải xạ ảnh M Chứng minh Ta chứng minh tồn dãy khớp Pn tự Theo mệnh đề (3.5) tồn môđun tự Po toàn cấu môđun ∂o : Po → M Giả sử có môđun tự Pn−1 đồng cấu ∂n−1 Mệnh đề (3.5) tồn môđun tự Pn toàn cấu ∂n : Pn → Ker∂n−1 Gọi ∂n : P → Pn−1 hợp thành ∂n với phép bao hàm Ker∂n−1 ⊂ Pn−1 Ta có Im∂n = Ker∂n−1 Như phép giải xạ ảnh M xây dựng theo quy nạp 3.4.2 Môđun nội xạ Định nghĩa 3.11 Môđun Q gọi nội xạ đồng cấu f : A → Q, đơn cấu g : A → B tồn đồng cấu h : B → Q cho f = hg hay biểu đồ sau giao hoán: g A f B h Q Khi ta gọi h mở rộng f theo đơn cấu g Ví dụ Mỗi không gian vectơ V trường K K - môđun nội xạ, ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ W đến V mở rộng toàn không gian W Định lý 3.6 Cho I R - môđun Khi khẳng định sau tương đương: Footer Page 78 of 161 72 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 79 of 161 (i) I nội xạ (ii) Mọi dãy khớp ngắn R - môđun 0→I →M →M →0 chẻ (iii) I đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R - môđun nội xạ Chứng minh (i ⇒ ii) Giả sử I nội xạ có dãy khớp ngắn R - môđun 0→I →M →M →0 Xét biểu đồ: f O I M i I với i ánh xạ đồng I Theo định nghĩa tồn đồng cấu R - môđun h : M → I thỏa mãn hf = i, tức dãy khớp ngắn chẻ (ii ⇒ iii) Gọi E R - môđun nội xạ chứa I Xét dãy khớp ngắn: → I → E → E/I → Theo (ii) dãy khớp chẻ suy I hạng tử trực tiếp E Footer Page 79 of 161 73 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 80 of 161 (iii ⇒ i) Giả sử I đẳng cấu với hạng tử trực tiếp J R - môđun nội xạ E Ta cần chứng minh J R - môđun nội xạ Thật vậy, giả sử f : V → J đồng cấu g : V → W đơn cấu R - môđun Khi có đồng cấu f = jf : V → E với j : J → E phép nhúng tắc Vì E nội xạ nên tồn đồn cấu h : W → E thỏa mãn h g = f Xét đồng cấu hợp thành h = ph : W → J với p : E → J phép chiếu tắc Do pj = idJ ta có hg = ph g = pf = pjf = f Do J môđun nội xạ Vì I R - đẳng cấu với J nên I nội xạ Mệnh đề 3.11 Cho (Ei)i∈I họ R - môđun Khi tích trực tiếp i∈I Ei nội xạ Ei nội xạ với i ∈ I Chứng minh Đặt E = i∈I Ei (∀i ∈ I) Kí hiêu pi : E → Ei toàn cấu tắc, ji : Ei → E đơn cấu tắc xác định tích trực tiếp E Giả sử E nội xạ Ta chứng minh Ei nội xạ với moi i ∈ I Thật vậy, cho f : N → M R - đơn cấu g : N → Ei R đồng cấu tùy ý Vì E nội xạ ji ◦ g R - đồng cấu từ N vào E nên tồn mở rộng h : M → E ji ◦ g để ji ◦ g = h ◦ f Đặt k = pi ◦ h : M → Ei R - đồng cấu Dễ thấy pi ◦ ji = 1Ei , suy k ◦ f = pi ◦ h ◦ f = pi ◦ ji ◦ g Điều chứng tỏ Ei R - môđun nội xạ Ngược lại, giả sử Ei nội xạ với i ∈ I Cho f : N → M R - đơn cấu φ : N → E R - đồng cấu tùy ý Khi tồn mở rộng ψi : M → Ei cho R - đồng cấu pi ◦ φ : N → Ei Bây ta Footer Page 80 of 161 74 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 81 of 161 xây dựng đồng cấu ψ : M → E xác định ψ(x) = (ψ(x))i∈I , ∀x ∈ M Rõ ràng ψ R- đồng cấu với y ∈ N ta có ψ ◦ f (y) = (ψi(f (y)))i∈I = (pi(φ(y)))i∈I = φ(y) Định lý 3.7 (Tiêu chuẩn Baer) Một R - môđun I nội xạ đồng cấu R - môđun từ J vào I, với J iđêan trái R mở rộng thành đồng cấu từ R vào I Chứng minh (⇒) Hiển nhiên (⇐) Giả sử M ⊆ M R - môđun θ : M → I đồng cấu R - môđun Ta θ mở rộng thành đồng cấu từ M vào I Xét tập cặp (N, θN ) với N R - môđun, M ⊆ N ⊆ M θN : N → I đồng cấu mở rộng θ Trên ta trang bị quan hệ thứ tự ≤ sau (N, θN ) ≤ (N , θN ) N ⊆ N θN mở rộng θN Dễ thấy tập thứ tự tuyến tính có chặn Do theo bổ đề Zorn, có phần tử cực đại (No , θo) Giả sử No = M, lấy m ∈ M\No đặt J = {a ∈ R|am ∈ No } Ta thấy J iđêan trái R ánh xạ ϕ : J → No cho ϕ(a) = am đồng cấu R - Footer Page 81 of 161 75 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 82 of 161 môđun Từ giả thiết ta suy đồng cấu hợp thành J → No → I mở rộng thành đồng cấu ψ : R → I xác định θ1 : No + Rm → I θ1 (n + am) = θo (n) + ψ(a) Dễ thấy θ1 ánh xạ đồng cấu mở rộng θo Điều trái với tính cực đại cặp (No, θo ) Vậy phải có No = M, tức mở rộng θ tới đồng cấu θo : M → I Định nghĩa 3.12 Cho D Z - môđun D gọi môđun chia với d ∈ D, m ∈ Z, m = tồn x ∈ D cho: d = mx Mệnh đề 3.12 Mọi môđun nội xạ chia Chứng minh Giả sử E R - môđun nội xạ Cho x ∈ E tùy ý a ∈ R phần tử không ước không Xét tương ứng f : Ra → E xác định f (ra) = rx, ∀r ∈ R Vì a không ước không, r1a = r2 a r1 = r2, f (r1a) = f (r2a) Vậy f xác định ánh xạ, R - đồng cấu Theo tiêu chuẩn Baer, tồn mở rộng g : R → E f Khi ta có x = f (a) = g(a) = ag(1) ∈ aE Vậy E chia Định lý 3.8 Giả sử R miền iđêan Khi R môđun E nội xạ E chia Chứng minh (⇒): Hiển nhiên theo mệnh đề 3.12 (⇐) Giả sử E chia Theo tiêu chuẩn Baer ta cần chứng minh Footer Page 82 of 161 76 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 83 of 161 R - đồng cấu f : I → E, I = iđêan R, có mở rộng g : R → E Thật R miền iđêan nên tồn phần tử không ước không a ∈ R để I = Đặt x = f (a) ∈ E Do E môđun chia được, tồn y ∈ E cho x = ay Bây ta xây dựng ánh xạ g : R → E xác định g(b) = by, ∀b ∈ R Rõ ràng g R - đồng cấu Hơn nữa, ta g(ba) = bay = bx = bf (a) = f (ba), ∀b ∈ R Vậy g mở rộng f Vì vành số nguyên Z miền iđêan nên theo định lý ta có hệ sau: Hệ 3.12 Một nhóm Abel nội xạ chia Footer Page 83 of 161 77 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 84 of 161 Kết luận Trong khóa luận em nghiên cứu trình bày số kiến thức vành giao hoán Cụ thể Iđêan môđun vành giao hoán Tuy nhiên thời gian có hạn lực hạn chế nên nhiều kiến thức vành giao hoán chưa đề cập đến Iđêan bất khả quy, iđêan đơn thức, phân tích nguyên sơ iđêan, địa phương hóa vành hay môđun hữu hạn sinh Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Kiều Nga hướng dẫn tận tình tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Footer Page 84 of 161 78 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy Header Page 85 of 161 Tài liệu tham khảo Nguyễn Tự Cường (2003), Đại số đại, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB GD Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết vành môđun, NXB GD Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết Môđun, NXB ĐHSP Dương Quốc Việt (2006), Một số cấu trúc Đại số đại, NXB ĐHSP R.Y Sharp (1990), Step in commutative Algebra, Cambridge university press Footer Page 85 of 161 79 ... số vành X kí hiệu là: char(X) ch(X) 1.1.4 Vành giao hoán Định nghĩa 1.4 Cho X vành X gọi vành giao hoán phép nhân có tính chất giao hoán 1.2 Miền nguyên, trường Trong toàn chương vành X vành giao. .. Iđêan vành giao hoán Chương Môđun vành giao hoán Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vương Thị Bích Thùy Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, vành con, vành giao. .. 2.8 Cho A iđêan vành giao hoán X, A đươc gọi iđêan cực đại X A = X tồn iđêan B X mà B ⊃ A, B = A B = X Ví dụ Z vành giao hoán có 3Z iđêan cực đại Định lý 2.1 Cho X vành giao hoán có đơn vị, I