Mở rộng nguyên của vành giao hoán

Trờng đại học vinh Khoa toán ----- ----- Họ và tên sinh viên: Nguyễn Thị Phơng Hiếu Tên đề tài khoá luận Mở rộng nguyên của vành giao hoán Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Cán bộ hớng dẫn khoa học: PGS TS Ngô Sỹ Tùng Vinh 2004 1 Mục lục Nội dung Trang Mở đầu 2 Các kí hiệu viết tắt 4 Chơng I. Mở rộng trờng 5 Đ1. Đại cơng về trờng các thơng và đa thức bất khả quy 5 Đ2. Mở rộng trờng 7 Đ3. Trờng nghiệm 11 Chơng II. Mở rộng nguyên của vành giao hoán 14 Đ1. Một số loại vành và iđêan đặc biệt 14 Đ2. Môđun hữu hạn sinh 16 Đ3. Bổ túc về ma trận và định thức 17 Đ4. Mở rộng nguyên của vành giao hoán 18 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 2 Lời mở đầu Lý thuyết nhóm, vành, trờng là lý thuyết vô cùng quan trọng, nó đợc xem là cơ sở của đại số hiện đại. Khi nghiên cứu về vành và trờng điều tự nhiên ta sẽ đặt ra câu hỏi : Liệu có một trờng nào khác trờng số hữu tỷ Q và trờng số thực R nhng lại chứa Q và nằm trong R hay không? Có thể xây dựng một lớp vành hay một lớp môđun mới, mở rộng một vành và môđun nào đó hay không? Trong khoá luận này chúng tôi đã cố gắng tìm hiểu các vấn đề đó . Khoá luận bao gồm hai chơng. Chơng I. Mở rộng trờng Đây là lí thuyết mà các tài liệu đã trình bày khá đầy đủ và nó cũng đợc đa vào học phần của chuyên ngành đại số nên khoá luận chỉ hệ thống lại các khái niệm và các kết quả thu đợc một cách ngắn gọn, có hệ thống để các bạn tiện theo dõi chơng II. Chơng II. Mở rộng nguyên của vành giao hoán. Mở rộng vành là một vấn đề rất hay và khá rộng, ở đây khoá luận chỉ trình bày một loại mở rộng của vành giao hoán là mở rộng nguyên. Các định lý thu đợc trong phần này là khá hấp dẫn và đã đợc chứng minh rõ ràng. Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hớng dẫn: PGS - TS Ngô Sỹ Tùng đã hết lòng hớng dẫn trong suốt thời gian làm luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với thầy giáo TS Nguyễn Thành Quang và các thầy giáo khác trong tổ đại số đã giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu để bản luận văn đợc hoàn thành . Cuối cùng khoá tốt nghiệp chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót, rất mong tất cả các bạn đọc sẽ đóng góp ý kiến để đề tài đợc hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. 3 Vinh ngày 20 tháng 04 năm 2004 Tác giả Các kí hiệu viết tắt Khác Tập con( Theo nghĩa tập hợp) 4 Tập con thực sự Thuộc Không thuộc Môđun con đẳng cấu {}: tập hợp (X,+): Tập X cùng với phép cộng (X, ) : Tập X cùng với phép nhân (X,+, ): Tập X cùng với phép cộng và phép nhân a: Lớp đồng d với a theo một môđun nào đó K[x]: Vành đa thức trên trờng K Deg: Bậc KGVT: Không gian véc tơ : Với mọi : Tồn tại i : Lấy tổng theo i i : Lấy tích theo i : Kết thúc chứng minh Chơng I. mở rộng trờng Đ1. Đại cơng về Trờng các thơng và đa thức bất khả quy 1.1 Trờng các thơng. 5 t v n Nhóm con Vành con Trờng con m 1.Vành thơng. Cho X là một vành và I X. Kí hiệu: X/I = { } XxIx + / . Ta xây dựng hai phép toán: Phép cộng: x + I + y + I = x + y + I Phép nhân: (x + I)(y + I) = xy + I, x, y X Khi đó X/I cùng với hai phép toán trên là một vành và đợc gọi là vành thơng của vành X trên iđêan I. Chú ý: x + I = y + I x y I , x, y X x + I = I x I , x X - (x + I ) = -x + I 2. Trờng các thơng. a. Định nghĩa. Cho X là một miền nguyên. Khi đó tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một trờng X và một đơn cấu vành f : XX sao cho X ta có ( ) ( ) 0b,Xb,a;bf.af 1 = Ta gọi X là trờng các thơng của miền nguyên X Chú ý: == 0,,/ 1 bXba b a abX b.Ví dụ. Ví dụ 1. Trờng các thơng của miền nguyên Z là trờng Q Vídụ 2. Cho K là một trờng, khi đó ta có vành đa thức K[x] là miền nguyên, ký hiệu K = K(x) là trờng các thơng của miền nguyên K[x] thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) = 0xg,xKxg,xf/ xg xf xK và gọi K(x) là trờng phân thức của vành đa thức K[x] 1.2 Đa thức bất khả quy. 1. Định nghĩa.Cho K là một trờng, ( ) ( ) 1xfdeg],x[Kxf . Ta gọi f(x) là đa thức bất khả quy trên trờng K (hay trong K[x]) nếu f(x) không phân tích đ- ợc thành tích của 2 đa thức có bậc 0, thuộc vành K[x]. Vídụ. Mọi đa thức bậc nhất trên K thì bất khả quy trên K 6 Mọi đa thức bậc 2, bậc 3 vô nghiệm trên K thì bất khả quy trên K. 2. Mệnh đề 1. Trên trờng số thực R, các đa thức bất khả quy chỉ là: - Hoặc là đa thức bậc nhất - Hoặc là tam thức bậc hai: ax 2 + bx + c ; a 0 = b 2 - 4ac < 0; a,b,c R 3. Mệnh đề 2. Trên trờng số phức C đa thức bất khả quy chỉ là đa thức bậc nhất: ax + b ; a 0 ; a,b C 4. Mệnh đề 3. (Tiêu chuẩn Eisentein trên Q). Cho f(x) = a 0 + a 1 x + . + a n x n ; a i Z, n > 1, a n 0. Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho: i) a 0 , a 1 , . , a n-1 chia hết cho p ii) a n không chia hết cho p iii) a 0 không chia hết cho p 2 thì f(x) là đa thức bất khả quy trên Q. Ví dụ. f(x) = x 3 75x 2 + 25x + 5 bất khả quy trên Q (áp dụng tiêu chuẩn Eisentein với p = 5) 5. Định lý. Mọi đa thức f(x) K[x], deg f(x)>1 đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy trong K[x]. Ví dụ. f(x) = (x 2 + 1)(x 2 - 2) = (x 2 + 1) (x- 2 )(x + 2 ) R[x] f(x) = (x 2 + 1)(x 2 - 2) = (x - i )(x + i) (x - 2 )(x + 2 ) C[x] Đ2. Mở rộng trờng 2.1. Mở rộng trờng. 1. Các định nghĩa. a. Định nghĩa 1. Cho K là một trờng con của trờng E. Khi đó ta nói E là một mở rộng của trờng K, ký hiệu E/K. 7 Cho mở rộng E/K. Khi đó ta có thể xem E nh một KGVT trên trờng K với hai phép toán: Phép cộng: (a,b) | a + b E, a, b E Nhân vô hớng: (,a) | a E, K, a E b. Định nghĩa 2. Nếu E là một KGVT hữu hạn trên trờng K thì ta nói mở rộng E/K có bậc hữu hạn trên K và bậc của E trên K chính bằng số chiều của KGVT E trên trờng K. Ký hiệu [E : K] = dim K E = n. 2.Ví dụ. Ví dụ 1. Q 2 là mở rộng của trờng Q và [Q( )2 :Q] = 2 Ví dụ 2. dim k K=[K:K] =1 dim Q R =[ R:Q] = 3. Mệnh đề. Giả sử K là một trờng F E là các mở rộng của K, thế thì [E : K] = [E:F].[F:K]. Hay nói khác đi, nếu {x i } i I là cơ sở của trờng F trên K, {y j } j J là cơ sở của trờng E trên F thì {x i y j } (i,j) I x J sẽ là cơ sở của trờng E trên K. Hệ quả. Mở rộng E F K của trờng K là hữu hạn khi và chỉ khi E hữu hạn trên F và F hữu hạn trên K. 2.2. Mở rộng đơn. 1. Các định nghĩa. a. Mở rộng đơn. Cho E là một mở rộng của trờng K , u E, ký hiệu K(u) là trờng con bé nhất của E chứa K và u. Ta gọi K(u) là mở rộng đơn của K ghép thêm phần tử u. Ví dụ. Q( 5 )là mở rộng đơn của Q ghép thêm phần tử 5 b. Phần tử đại số. Cho E là một mở rộng của K, uE. Ta nói phần tử u là phần tử đại số trên K nếu u là nghiệm của đa thức f(x) K[x] , f(x) 0 8 )x( u )x( u )x( u )x( u )x( u )e( u Ta nói phần tử u E là siêu việt trên K, nếu u không đại số trên K, nghĩa là f(u) 0, đa thức 0 f(x) K[x]. Ví dụ. = 2 là phần tử đại số trên Q Mọi phần tử u K đều là phần tử đại số trên K. u = , e là siêu việt trên Q c. Đa thức cực tiểu của phần tử đại số. Cho u E là phần tử đại số trên K . Ký hiệu ][)( xKx u là đa thức đơn hệ có bậc nhỏ nhất nhận u là nghiệm. đợc gọi là đa thức cực tiểu của phần tử u trên K Nếu có bậc là n, ta nói phần tử u có bậc n Ví dụ. = x 2 - 2 Q[x] là đa thức cực tiểu của 2 trên Q U = e thì không tồn tại K[x] để = 0. Nhận xét. Đa thức là tồn tại duy nhất với mỗi phần tử đại số u trên K 2 Các tính chất. a. Mệnh đề1. Cho u E là phần tử đại số trên K. Khi đó i) u 2 là phần tử đại số của K. ii) u + a là phần tử đại số trên K, a K. Chứng minh. i) Giả sử u là phần tử đại số trên K 0 f(x) K[x] f(x) = a 0 + a 1 x 2 + .+a n x 2n để cho f(u)=a 0 + a 1 u 2 + .+a n u 2n = 0 Xét đa thức g(x) = a 0 + a 1 x + .+ a n x n K[x] g(u 2 ) = a 0 + a 1 u 2 + .+ a n n 2n = f(u) = 0 u 2 là phần tử đại số trên K . ii) Giả sử u là phần tử đại số trên K f(x) K[x] , f(x) 0 sao cho f(u) = 0 Đặt g(x) =f(x-a) , a k 0 g(x) K[x] g(u+a) =f(u+u-a) =f(u) = 0 u là phần tử đại số trên K . b. Mệnh đề 2 (Định lý mô tả các mở rộng đơn) 9 t Cho K là một trờng, u là phần tử đại số thuộc mở rộng E nào đó của K. i) Nếu u là phần tử siêu việt trên K thì mở rộng đơn K(u) đẳng cấu với tr- ờng phân thức K(x) = {f(x)/g(x) / f(x), g(x) K[x] , g(x) 0} ii) Nếu u là phần tử đại số bậc n trên K thì mở rộng đơn của K(u) đẳng cấu với trờng K[x]/(q) trong đó q = q(x) là đa thức tối tiểu của u. Đặc biệt, K(u) là KGVT n - chiều trên K có một cơ sở là 1,u, ., u n-1 . Ví dụ. 2 là phần tử đại số trên Q, x 2 - 2 là đa thức tối tiểu của u Q[x]/(x 2 - 2) Q( 2 ), với Q( 2 ) là mở rộng đơn của Q. c. Mệnh đề 3. 0 f(x) K[x], u là phần tử đại số trên K, nếu f(u) = 0 thì f(u) chia hết cho đa thức cực tiểu u (x) của u Chứng minh. Ta có f(x) = u (x) .k(x) + r(x) , deg r(x) < deg u (x), nếu r 0 Nếu r(x) 0 đa thức 0 có bậc nhỏ hơn bậc của u (x) r(u) = f(u) = 0 >< giả thiết u (x) là đa thức cực tiểu r(x) = 0 Vậy f(x) chia hết cho u (x) . 2.3. Mở rộng đại số. 1. Các định nghĩa. a. Mở rộng đại số. Mở rộng E của trờng K đợc gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần tử thuộc E đều là phần tử đại số trên K. Mở rộng không đại số là mở rộng siêu việt. Ví dụ. E = Q( 2 ) thì E là mở rộng đại số trên Q. b. Mở rộng hữu hạn sinh. Giả sử K E ; n , ., 21 là các phần tử E , Ta ký hiệu K( n , ., 1 ) là trờng con bé nhất của E chứa K và chứa n , ., 1 . K( n , ., 1 ) = 0g],, .,[Kg,f/ ), ,(g ), .,(f n1 n1 n1 10