Các phép biến đổi Mellin và các toán tử Toeplitz giao hoán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MINH PHẤN ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN VÀ CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính đến thầy, thầy không hướng dẫn nghiên cứu khoa học mà Thầy thông cảm tạo điều kiện động viên suốt trình làm luận văn Cũng xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ thời gian học tập hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo Đại học Sư Phạm Hà Nội, viện Toán học Việt Nam thầy cô giáo khoa sau Đại học, Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, Đại Học Thái Nguyên dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy cô, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên Lê Minh Phấn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN 1.1.Hàm chỉnh hình 1.2.Điều kiện Cauchy - Riemann 1.3.Chuỗi Taylor, chuỗi Laurent 14 1.4.Không gian Bergman 23 1.5.Phép biến đổi Mellin 24 1.6.Hàm Gamma, Beta 25 Chương TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN TRÊN KHÔNG GIAN BERGMAN 27 2.1.Kết 27 2.2.Chứng minh kết 2.3.Trường hợp ψˆ k hữu tỉ 27 2.4.Trường hợp ψˆ k vô tỉ 37 2.5.Thảo luận 43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 LỜI MỞ ĐẦU Toán tử Toeplitz giao hoán nghiên cứu không gian Hardy kết cổ điển Brown Halmol Gần Zeljko Cuckovic N.V Rao nghiên cứu phát biểu toán không gian Bergman thông qua phép biến đổi Mellin Cụ thể hơn, tác giả chứng minh kết sau : Cho ϕ ψ hàm điều hòa bị chặn D Tϕ Tψ = Tψ Tϕ nếu: 1, ϕ ψ chỉnh hình D 2, ϕ¯ ψ¯ chỉnh hình D 3, Tồn a, b ∈ C, a2 + b2 = 0, cho aϕ + bψ số D Rõ ràng ϕ ψ chỉnh hình D, ϕ¯ ψ¯ chỉnh hình D, tồn a, b ∈ C, a2 + b2 = 0, cho aϕ + bψ số D Tϕ Tψ = Tψ Tϕ Một câu hỏi tự nhiên khác ϕ, ψ biểu diễn dạng tọa độ cực +∞ iθ ψ(re ) = ∑ eikθ ψk (r) ϕ(reiθ ) = rm eiδ θ k=−∞ điều kiện Tϕ , Tψ giao hoán diễn tả Mục đích luận văn trình bày lại kết nói Cuckovic Rao Luận văn bao gồm chương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1, trước hết trình bày số kiến thức sở hàm chỉnh hình, không gian Bergman, phép biến đổi Mellin Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương chương quan trọng luận văn Trong chương nghiên cứu toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi Mellin Phần đầu chương trình bày điều kiện cần đủ để toán tử Toeplitz giao hoán với symbol ϕ, ψ hàm điều hòa Phần trình bày kết điều kiện cần đủ để toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi Mellin với ϕ, ψ ∈ L∞ (D, dA) ψˆ k hữu tỉ, vô tỉ Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm đề tài không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN Trong chương trình bày số kiến thức sở, đặc biệt kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau Một số kiến thức quan trọng khái niệm hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình, chuỗi Taylor, chuỗi Laurent không gian phức, không gian Bergman, phép biến đổi Mellin 1.1 Hàm chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f xác định miền Ω ∈ C Xét giới hạn lim ∆z→0 f (z + ∆z) − f (z) , ∆z với z, z + ∆z ∈ Ω Nếu diểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức f df z, ký hiệu f (z) hay (z) dz Như f (z + ∆z) − f (z) f (z) = lim ∆z→0 ∆z Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C- khả vi z Bởi lim [ f (z + ∆z) − f (z)] = lim ∆z→0 ∆z→0 f (z + ∆z) − f (z) ∆z = ∆z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nên f C- khả vi z lim [ f (z + ∆z) − f (z)] = ∆z→0 Nói cách khác f liên tục z Cũng hàm biến thực, quy nạp ta viết f (k) = ( f (k−1) ) vế phải tồn gọi đạo hàm phức cấp k f Ω 1.2 Điều kiện Cauchy - Riemann Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định miền Ω ∈ C Hàm f gọi R2 - khả vi z = x + iy hàm u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) (theo định nghĩa biết giải tích thực) 1.2.1 Định lý Để hàm f C- khả vi z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần đủ f R2 - khả vi z điều kiện Cauchy - Riemann sau thỏa mãn z    ∂v ∂u    (x, y) = (x, y) ∂x ∂y  ∂u ∂v    (x, y) = − (x, y)  ∂y ∂x (1.2.1) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f C - khả vi z = x + iy ∈ Ω Khi tồn giới hạn f (z) = lim ∆z→0 f (z + ∆z) − f (z) ∆z với ∆z = ∆x + i∆y Vì giới hạn tồn không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm ∆z nên chọn ∆z = ∆x, ta có : u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y) = ∆z→0 ∆x f (z) = lim Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v(x + ∆x, y) − v(x, y) u(x + ∆x, y) − u(x, y) + i lim ∆z→0 ∆z→0 ∆x ∆x tức u v có đạo hàm riêng theo x (x, y) = lim f (z) = ∂v ∂u (x, y) + i (x, y) ∂x ∂x (1.2.2) Tương tự cách chọn ∆z = i∆y ta có ∂u ∂v (x, y) + (x, y) ∂y ∂y    ∂u ∂v    (x, y) = (x, y) ∂y So sánh (1.2.2) (1.2.3) ta ∂ x  ∂v ∂u    (x, y) = − (x, y)  ∂y ∂x Ta phải chứng tỏ u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) f (z) = −i (1.2.3) Vì f C- khả vi z nên ∆ f = f (z + ∆z) − f (z) = f (z)∆z + o(∆z) với o(∆z) vô bé bậc cao ∆z, tức o(∆z) = ∆z→0 ∆x lim Rõ ràng ∆ f = ∆u + i∆v, ∆z = ∆x + i∆y theo (1.2.2) ta có ∆u + i∆v = ( ∂u ∂v + i )(∆x + i∆y) + o(∆z) + io(∆z) ∂x ∂x Từ ∆u = ∂u ∂v ∂u ∂u ∆x − ∆y + o(∆z) = ∆x + ∆y + o(|∆z|) ∂x ∂x ∂x ∂y ∆v = ∂v ∂u ∂v ∂v ∆x + ∆y + o(∆z) = ∆x + ∆y + o(|∆z|) ∂x ∂x ∂x ∂y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện nghĩa u v khả vi (x, y) Điều kiện đủ: Vì u v khả vi (x, y) nên ∆u = ∂u ∂u ∆x + ∆y + o( ∆x2 + ∆y2 ) ∂x ∂y ∆v = ∂v ∂v ∆x + ∆y + o( ∆x2 + ∆y2 ) ∂x ∂y Theo điều kiện (1.2.1) hai đẳng thức viết thành ∆u = ∂v ∂u ∆x − ∆y + o(|∆z|) ∂x ∂x (1.2.4) ∆v = ∂v ∂u ∆x + ∆y + o(|∆z|) ∂x ∂x (1.2.5) Từ (1.2.4) (1.2.5) ta có ∆f ∆z = ∆u ∆v +i ∆z ∆z ∂v ∂u ∂u ∂v ∆x − ∆y + o(∆z) ∆x + ∆y + o(∆z) ∂x ∂x = ∂x +i∂x ∆z ∆z −∂v ∂u ∂u ∂v ∆x + i ∆y ∆y + i ∂x + ∂x ∂ x + o(∆z) = ∂x ∆z ∆z ∆z ∂ u ∂ v o(∆z) = +i + ∂x ∂x ∆z Vì ∆f ∂u ∂v = +i ∆z→0 ∆z ∂x ∂x tức f C- khả vi z = x + iy lim 1.2.2 Nhận xét (1.) Giả sử f R2 -khả vi z ∈ Ω ⊂ C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét vi phân ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y Vì dz = dx + idy d z¯ = dx − idy nên df = (1.2.6) 1 dx = (dz + d z¯), dy = (dz − d z¯) 2i Thế đẳng thức vào (1.2.6) ta có ∂f ∂f ∂f ∂f d f = ( − i )dz + ( + i )d z¯ ∂x ∂y ∂x ∂y Nếu đặt ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f = ( − i ), = ( +i ) ∂z ∂x ∂ y ∂ z¯ ∂ x ∂y (1.2.7) df = ∂f ∂f dz + d z¯ ∂z ∂ z¯ (1.2.8) Bởi ∂f ∂f ∂f ∂u ∂v ∂v ∂u = ( + i ) = [( − ) + i( + )] ∂ z¯ ∂ x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann z ∂f (z) = ∂ z¯ Nói cách khác hàm R2 -khả vi f z C-khả vi ∂f (z) = ∂ z¯ (2.) Từ (1.2.1) (1.2.2) nhận xét trên, f C-khả vi z ta có ∂u ∂v ∂u ∂v ∂f (z) = [( (z) + i (z) − i (z) + (z)] ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v = [2 (z) + 2i (z)] = (z) + i (z) = f (z) ∂x ∂x ∂y ∂y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... bày điều kiện cần đủ để toán tử Toeplitz giao hoán với symbol ϕ, ψ hàm điều hòa Phần trình bày kết điều kiện cần đủ để toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi Mellin với ϕ, ψ ∈ L∞ (D,... Bergman, phép biến đổi Mellin Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương chương quan trọng luận văn Trong chương nghiên cứu toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi Mellin. .. MỞ ĐẦU Toán tử Toeplitz giao hoán nghiên cứu không gian Hardy kết cổ điển Brown Halmol Gần Zeljko Cuckovic N.V Rao nghiên cứu phát biểu toán không gian Bergman thông qua phép biến đổi Mellin