PHÉP BIẾN đổi MELLIN và các TOÁN tử TOEPLITZ GIAO HOÁN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MINH PHẤN ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN VÀ CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến thầy, thầy không chỉ hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè tôi đã hết sức quan tâm và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo Đại học Sư Phạm Hà Nội, viện Toán học Việt Nam và các thầy cô giáo trong khoa sau Đại học, Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, Đại Học Thái Nguyên đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Học viên Lê Minh Phấn 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.Điều kiện Cauchy - Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.Chuỗi Taylor, chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.Không gian Bergman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.Phép biến đổi Mellin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.Hàm Gamma, Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁNTRÊN KHÔNG GIAN BERGMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.Chứng minh kết quả chính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.Trường hợp ˆ ψ k hữu tỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.Trường hợp ˆ ψ k vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5.Thảo luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Toán tử Toeplitz giao hoán đã được nghiên cứu trong không gian Hardy bởi những kết quả cổ điển của Brown và Halmol. Gần đây Zeljko Cuckovic và N.V. Rao đã nghiên cứu và phát biểu bài toán này trong không gian Bergman thông qua phép biến đổi Mellin. Cụ thể hơn, các tác giả đã chứng minh được kết quả cơ bản sau : Cho ϕ và ψ là các hàm điều hòa bị chặn trên D. T ϕ T ψ = T ψ T ϕ nếu và chỉ nếu: 1, ϕ và ψ là chỉnh hình trong D 2, ¯ ϕ à ¯ ψ là chỉnh hình trong D 3, Tồn tại a,b ∈ C, a 2 + b 2 = 0, sao cho aϕ + bψ là hằng số trong D Rõ ràng nếu ϕ và ψ là chỉnh hình trong D, ¯ ϕ và ¯ ψ là chỉnh hình trong D, tồn tại a,b ∈ C, a 2 + b 2 = 0, sao cho aϕ + bψ là hằng số trong D khi và chỉ khi T ϕ T ψ = T ψ T ϕ . Một câu hỏi tự nhiên khác là khi ϕ,ψ biểu diễn dưới dạng tọa độ cực ψ(re iθ ) = +∞ ∑ k=−∞ e ikθ ψ k (r) và ϕ(re iθ ) = r m e iδθ thì điều kiện T ϕ ,T ψ giao hoán được diễn tả như thế nào. Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả nói trên của Cuckovic và Rao . Luận văn bao gồm 2 chương. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hàm chỉnh hình, không gian Bergman, phép biến đổi Mellin. Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2 là một chương quan trọng của luận văn. Trong chương này chúng tôi nghiên cứu toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi Mellin. Phần đầu chương trình bày điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz giao hoán với các symbol ϕ,ψ là các hàm điều hòa. Phần tiếp theo chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi Mellin với ϕ,ψ ∈ L ∞ (D,dA) và ˆ ψ k là hữu tỉ, vô tỉ. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm đề tài không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN Trong chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau. Một số kiến thức quan trọng như khái niệm hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân của hàm chỉnh hình, chuỗi Taylor, chuỗi Laurent trong không gian phức, không gian Bergman, phép biến đổi Mellin. 1.1. Hàm chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ∈ C. Xét giới hạn lim ∆z→0 f (z +∆z) − f (z) ∆z , với z, z +∆z ∈ Ω. Nếu tại diểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, ký hiệu f  (z) hay d f dz (z) Như vậy f  (z) = lim ∆z→0 f (z +∆z) − f (z) ∆z . Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi tại z. Bởi vì lim ∆z→0 [ f (z +∆z) − f (z)] = lim ∆z→0 f (z +∆z) − f (z) ∆z ∆z = 0 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nên nếu f là C- khả vi tại z thì lim ∆z→0 [ f (z +∆z) − f (z)] = 0. Nói cách khác f liên tục tại z. Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết f (k) = (f (k−1) )  nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên Ω. 1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann Giả sử f (z) = u(x,y) +iv(x,y),z = x +iy xác định trên miền Ω ∈ C. Hàm f được gọi là R 2 - khả vi tại z = x + iy nếu hàm u(x,y) và v(x,y) khả vi tại (x,y) (theo định nghĩa đã biết trong giải tích thực). 1.2.1 Định lý. Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là f R 2 - khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại z.            ∂ u ∂ x (x,y) = ∂ v ∂ y (x,y) ∂ u ∂ y (x,y) = − ∂ v ∂ x (x,y) (1.2.1) Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f C - khả vi tại z = x +iy ∈ Ω. Khi đó tồn tại giới hạn f  (z) = lim ∆z→0 f (z +∆z) − f (z) ∆z với ∆z = ∆x + i∆y. Vì nếu giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm 0 của ∆z nên nếu chọn ∆z = ∆x, ta có : f  (z) = lim ∆z→0 u(x +∆x,y) +iv(x + ∆x,y) −u(x, y) −iv(x,y) ∆x = 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = lim ∆z→0 u(x +∆x,y) −u(x,y) ∆x + i lim ∆z→0 v(x +∆x,y) −v(x,y) ∆x tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x,y) và f  (z) = ∂ u ∂ x (x,y) + i ∂ v ∂ x (x,y) (1.2.2) Tương tự bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có f  (z) = −i ∂ u ∂ y (x,y) + ∂ v ∂ y (x,y) (1.2.3) So sánh (1.2.2) và (1.2.3) ta được            ∂ u ∂ x (x,y) = ∂ v ∂ y (x,y) ∂ u ∂ y (x,y) = − ∂ v ∂ x (x,y) Ta còn phải chứng tỏ u(x, y) và v(x , y) khả vi tại (x,y). Vì f C- khả vi tại z nên ∆ f = f (z + ∆z) − f (z) = f  (z)∆z + o(∆z) với o(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là lim ∆z→0 o(∆z) ∆x = 0. Rõ ràng ∆ f = ∆u +i∆v,∆z = ∆x + i∆y. theo (1.2.2) ta có ∆u +i∆v = ( ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x )(∆x +i∆y) + o(∆z) +io(∆z) Từ đó ∆u = ∂ u ∂ x ∆x − ∂ v ∂ x ∆y +o(∆z) = ∂ u ∂ x ∆x + ∂ u ∂ y ∆y +o(|∆z|) ∆v = ∂ v ∂ x ∆x + ∂ u ∂ x ∆y +o(∆z) = ∂ v ∂ x ∆x + ∂ v ∂ y ∆y +o(|∆z|). 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x,y). Điều kiện đủ: Vì u và v khả vi tại (x,y) nên ∆u = ∂ u ∂ x ∆x + ∂ u ∂ y ∆y +o(  ∆x 2 + ∆y 2 ) và ∆v = ∂ v ∂ x ∆x + ∂ v ∂ y ∆y +o(  ∆x 2 + ∆y 2 ). Theo điều kiện (1.2.1) hai đẳng thức này có thể viết thành ∆u = ∂ u ∂ x ∆x − ∂ v ∂ x ∆y +o(|∆z|) (1.2.4) ∆v = ∂ v ∂ x ∆x + ∂ u ∂ x ∆y +o(|∆z|) (1.2.5) Từ (1.2.4) và (1.2.5) ta có ∆ f ∆z = ∆u ∆z + i ∆v ∆z = ∂ u ∂ x ∆x − ∂ v ∂ x ∆y +o(∆z) ∆z + i ∂ v ∂ x ∆x + ∂ u ∂ x ∆y +o(∆z) ∆z = ∂ u ∂ x ∆x +i ∂ u ∂ x ∆y ∆z + − ∂v ∂ x ∆y +i ∂ v ∂ x ∆z + o(∆z) ∆z = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x + o(∆z) ∆z . Vì vậy lim ∆z→0 ∆ f ∆z = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x tức là f C- khả vi tại z = x +iy. 1.2.2 Nhận xét. (1.) Giả sử f là R 2 -khả vi tại z ∈ Ω ⊂ C 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét vi phân d f = ∂ f ∂ x dx + ∂ f ∂ y dy (1.2.6) Vì dz = dx +idy và d ¯z = dx − idy nên dx = 1 2 (dz + d ¯z),dy = 1 2i (dz −d ¯z). Thế các đẳng thức này vào (1.2.6) ta có d f = 1 2 ( ∂ f ∂ x − i ∂ f ∂ y )dz + 1 2 ( ∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y )d ¯z. Nếu đặt ∂ f ∂ z = 1 2 ( ∂ f ∂ x − i ∂ f ∂ y ), ∂ f ∂ ¯z = 1 2 ( ∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y ) (1.2.7) thì d f = ∂ f ∂ z dz + ∂ f ∂ ¯z d ¯z (1.2.8) Bởi vì ∂ f ∂ ¯z = 1 2 ( ∂ f ∂ x + i ∂ f ∂ y ) = 1 2 [( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) +i( ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y )] nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z nếu và chỉ nếu ∂ f ∂ ¯z (z) = 0. Nói cách khác hàm R 2 -khả vi f tại z là C-khả vi nếu và chỉ nếu ∂ f ∂ ¯z (z) = 0. (2.) Từ (1.2.1) và (1.2.2) và nhận xét trên, nếu f C-khả vi tại z thì ta có ∂ f ∂ z (z) = 1 2 [( ∂ u ∂ x (z) + i ∂ v ∂ x (z) − i ∂ u ∂ y (z) + ∂ v ∂ y (z)] = 1 2 [2 ∂ u ∂ x (z) + 2i ∂ v ∂ x (z)] = ∂ u ∂ y (z) + i ∂ v ∂ y (z) = f  (z). 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN TRÊN KHÔNG GIAN BERGMAN 2.1 Kết quả chính Kết quả sau đây nêu lên điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz giao hoán với hàm điều hòa thông qua phép biến đổi Mellin 2.1.1 Định lý Giả sử ϕ và ψ là hai hàm điều hòa bị chặn trên D Thì Tϕ Tψ = Tψ Tϕ nếu và chỉ nếu : 1 ϕ và ψ là hàm chỉnh hình trên D, hoặc ¯ ¯ 2 ψ và ψ là hàm chỉnh hình trên D, hoặc... hình trên D 1.4.3 Định nghĩa Giả sử P là toán tử chiếu trực giao từ L2 (D, dA) lên 2 La (D, dA) Cho ϕ ∈ L∞ (D, dA), toán tử Toeplitz với symbol ϕ là toán tử 2 2 Tϕ : La → La xác định bởi Tϕ ( f ) = P(ϕ f ) 1.5 Phép biến đổi Mellin 1.5.1 Định nghĩa Cho hàm f liên tục trên (0; ∞), biến đổi Mellin của hàm f là hàm fˆ xác định bởi : ∞ fˆ(z) := f (x)xz−1 dx 0 với z là một số phức 1.5.2 Mệnh đề Gải sử f (x)... thời bằng không, sao cho aϕ + bψ là hằng số trong D 2.2 Chứng minh kết quả chính Trước hết ta xét tính giao hoán của các toán tử Toeplitz trong tọa độ cực 2.2.1 Định lý Giả sử ψ(reiθ ) = ∑+∞ eikθ ψk (r) và ϕ(reiθ ) = rm eiδ θ là k=−∞ hàm thuộc L∞ (D, dA), ở đây ψk ∈ R, m, δ ∈ N Thì Tϕ Tψ = Tψ Tϕ nếu và 27 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chỉ nếu ∀k, tồn tại... |=| | ≤ C|z + 2kδ | ≤ C1 |z| +C2 , F(z) F(z + 2kδ ) với C1 và C2 là hằng số, vì 2kλ ≤ N − x + 2δ ≤ N + |z| + 2δ ˆ ψ(z) Từ là nguyên, tuyến tính và là hằng số F(z) Do vậy ˆ ψ(z) = a0 , F(z) Γ(z/2δ + a)Γ(z/2δ + b) ˆ ψ(z) = a0 Γ(z/2δ + c)Γ(z/2δ + d) Định lý 2.2.1 đặt ra câu hỏi: Có tồn tại hàm ψk bị chặn và qua phép biến đổi Mellin bằng tích và thương của bốn hàm Gamma không? Nếu nó 32 Số hóa bởi Trung... thì biến đổi Mellin fˆ(z) xác định trên miền −α < ℜ(z) < −β Chứng minh Thật vậy ∞ f (x)x 0 z−1 1 ∞ | f (x)| x ≤ ℜ(z)−1 | f (x)| xℜ(z)−1 dx dx + 0 1 1 ≤ c1 ∞ x ℜ(z)+α−1 0 dx + c2 xℜ(z)+β −1 dx 1 với c1 , c2 là hằng số Tích phân thứ nhất tồn tại với ℜ(z) > −α, tích phân thứ hai tồn tại với ℜ(z) < −β 1.5.3 Định nghĩa (Phép nhân Mellin) Cho k0 , k1 là hai hàm khả tích trong tập các số thực dương Phép. .. (2.3.5) và ψk (r) là hàm radial bị chặn ˆ Giả sử ψk là hàm hữu tỉ thì nó có hữu hạn các cực Từ hàm Gamma không có không điểm, các cực của Γ(ξ + a) và Γ(ξ + b) có thể giản ước với các cực của Γ(ξ + c) hoặc Γ(ξ + d) Do vậy giả sử −n − a = −l − c với n, l ∈ Z thì a − c ∈ Z, điều kiện (2.3.5) chỉ ra b − d ∈ Z Ngược lại luôn đúng Nếu một trong các số a − c, a − d, b − c, b − d ∈ Z ˆ thì ψk (z) là hàm hữu tỉ và. .. số và có thể viết λ Aj ∑ ξ + b + j j=0 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tổng này là biến đổi Mellin của hàm λ ∑ A jt b+ j f (t) = j=0 ˆ Do vậy ψk (z) = fˆ(ξ ) với ξ = z/2δ và ta có 1 fˆ(ξ ) = f (t)t (z/2δ )−1 dt 0 Thay t = r2δ ta có 1 fˆ(ξ ) = 2δ f (r )r z−2δ 2δ r 2δ −1 1 dr = 2δ 0 f (r2δ )rz−1 dr = 2δ f (r2δ )(z) 0 ˆ Từ ψk (z) = 2δ f (r2δ )(z), phép biến. .. r) ⊂ Ω Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω 1.2.4 Định lý Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh hình trên Ω Khi đó 1 H(Ω) là một không gian véc tơ trên C 2 H(Ω) là một vành 1 ∈ H(Ω) f 4 Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi 3 Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) = 0, ∀z ∈ Ω thì Chứng minh Chứng minh 4 ∂f ∂f , cũng chỉ nhận giá trị thực Nhưng ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f... trong đó a, b, c, d tương tự trong định lý 2.2.1 và thỏa mãn ˆ ψk (z) = a + b − c − d = −1 ˆ và δ ∈ N Thì ψk (z) là một hàm hữu tỉ nếu và chỉ nếu một trong các số ˆ a − c, a − d, b − c, b − d là nguyên Trong trường hợp này ψk (z) là hàm hữu tỉ thực với bậc của mẫu số lớn hơn bậc của tử số Hơn thế (a) Nếu a − c = λ ≥ 0, ψk (r) tồn tại với mọi k = (λ + 1)δ và có dạng ψk (r) = 2δ A j r2δ (b+ j) ∑ với A j... là hai hàm khả tích trong tập các số thực dương Phép nhân Mellin được xác đinh như sau: 1 (k0 ∗ k1 )(x) = 0 x dy k0 (y)k1 ( ) y y 1.5.4 Nhận xét k0 ∗ k1 (s) = kˆ0 (s)kˆ1 (s) 1.6 Hàm Gamma, Beta 1.6.1 Định nghĩa (Hàm Gamma) Cho z ∈ C, với Rez > 0 Khi đó hàm gamma được xác định : ∞ Γ(z) = t z−1 e−t dt o 1.6.2 Nhận xét 1 Hàm Γ(z) là phép biến đổi Mellin của hàm f (t) = e−t 2 Γ(z + 1) = zΓ(z) với z ∈ C, . này chúng tôi nghiên cứu toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi Mellin. Phần đầu chương trình bày điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz giao hoán với các symbol ϕ,ψ là các hàm điều hòa NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MINH PHẤN ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN VÀ CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TSKH. Nguyễn. hòa. Phần tiếp theo chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi Mellin với ϕ,ψ ∈ L ∞ (D,dA) và ˆ ψ k là hữu tỉ, vô tỉ. Do thời gian