Phép biến đổi laplace với các bài toán dao động và một đề xuất về thí nghiệm con lắc kép

Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Để hoàn thành đợc khoá luận này tôi đã nhận đợc sự hậu thuẫn của gia đình, sự quan tâm giúp đỡ từ phía các thầy cô giáo, sự động viên giúp đỡ của các bạn cả về tinh thần và vật chất. Trớc tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Võ Thanh Cơng, đã tận tình hớng dẫn, giúp đỡ em nhiệt tình từ lúc nhận đề tài cho tới lúc em hoàn thành đề tài này. Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, thầy giáo phản biện Phạm Khắc Lu, các thầy cô giáo trong Khoa và tổ Vật Lý đại cơng, phòng thí nghiệm cơ - nhiệt đã tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thiện đề tài. Em xin kính chúc quý thầy cô và mọi ngời mạnh khoẻ luôn thành công trong mọi công tác của mình. Vinh, tháng 5 năm 2009 Tác giả Nguyễn Duy Phiên Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 1 Khoá luận tốt nghiệp mở đầu Lý do chọn đề tài - Vật lý là môn học thực nghiệm, từ những trải nghiệm thực tế, qua quan sát, tới những thí nghiệm và t duy logic của các nhà Khoa học mà các thuyết, định luật vật lý đã đợc xây dựng. Dạy học bằng thực nghiệm là một phần không thể thiếu trong giáo dục ở mọi thời đại. Với đặc thù của môn Vật lý, đòi hỏi phải đem các thí nghiệm vào giảng dạy, ở cả các cấp học và bậc học. Nhất là trong giai đoạn hiện nay, khi nền giáo dục nớc ta đang thực hiện đổi mới (ở cả phơng pháp dạy và học) thì việc đa các thí nghiệm vào đào tạo là cần thiết hơn bao giờ hết. Các thí nghiệm với từng mục đích và cách tiến hành khác nhau, phù hợp với từng đối tợng ngời học sẽ kích thích hứng thú học tập, nghiên cứu nơi ngời học. Ví dụ khi nghiên cứu các phần lý thuyết liên quan tới phần nhiệt học (Vật lí 10), ta có các bài thí nghiệm nghiên cứu các định luật chất khí, nghiên cứu phần quang học (Vật lí 11) ta có các thí nghiệm về các định luật khúc xạ, phản xạ ánh sáng. - Các thí nghiệm (cả thí nghiệm biểu diễn và các bài thực hành chuyên môn) sẽ rèn luyện cho sinh viên, học viên kỹ năng thao tác thí nghiệm, khả năng sáng tạo t duy của họ. Từ trớc tới nay, trong chơng trình đào tạo của Khoa Vật Lí - Đại Học Vinh, song song với việc giảng dạy lý thuyết thì các buổi thực hành ở các phòng thí nghiệm bộ môn đã là một phần không thể thiếu. Vì ngoài những giờ học trên lớp, sinh viên còn đợc tự mình tiến hành những thí nghiệm tại nhà thí nghiệm của Khoa. Nhng theo thời gian, trải qua bao thế hệ sinh viên đã từng làm thực nghiệm tại các phòng. Có nhiều bộ thí nghiệm hiện đã bị hỏng hóc hoặc không còn chính xác nữa. Tuy nhiên, những năm gần đây, Khoa Vật đã đợc cung cấp một số các thiết bị thí nghiệm mới, nằm trong dự án mức BGD - ĐH do ngân hàng quốc tế tài trợ. Các thí nghiệm này hiện đã đợc phân loại và Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 2 Khoá luận tốt nghiệp đa về đúng các phòng thực hành của các tổ bộ môn. Những thí nghiệm này cần đợc nghiên cứu và đa vào giảng dạy, để có thể thay thế các thí nghiệm đã sai hỏng, một phần cũng là giúp sinh viên có thể tiếp cận hơn với các thí nghiệm mới có nhiều ứng dụng của CNTT. Trong số những thí nghiệm thuộc dự án nói trên, có một bộ thí nghiệm có thể đáp ứng đợc các yêu cầu về giảng dạy thực hành, đó là bộ thí nghiệm con lắc kép, hiện đang đợc bảo quản tại phòng thực hành cơ - nhiệt của Khoa. Tuy nhiên nó vẫn cha đợc đa vào sử dụng cho việc nghiên cứu, học tập của sinh viên bởi vì: Bài hớng dẫn thực hành có độ tin cậy về lý thuyết không cao, cha nói là có nhiều sai sót. Do đó chúng tôi kiểm tra lại lý thuyết của bài này. - Khi nghiên cứu bài toán con lắc kép (nói riêng) và các bài toán dao động nói chung. Việc thiết lập các phơng trình dao động đều quy về việc giải các ph- ơng trình hoặc hệ phơng trình vi phân. Chúng ta biết rằng, các phơng trình vi phân chúng ta thiết lập đợc đều là những phơng trình vi phân tuyến tính và có nhiều cách giải các phơng trình vi phân đó. Trong số những cách đó, chúng tôi đã sử dụng phơng pháp Laplace, một phơng pháp khá mới mẻ đối với các sinh viên. Vì những u việt của phơng pháp này mang lại. Dùng ảnh Laplace để giải lý thuyết bài dao động con lắc kép với mục đích đa bài thí nghiệm này vào hoạt động giảng dạy là một việc làm cần thiết. Với những lí do trên tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài: Phép biến đổi Lapplace với các bài toán dao động và một đề xuất về thí nghiệm con lắc kép. Trong khoá luận, ngoài phần Mở đầu và Kết luận còn có 3 chơng chính và phần phụ lục: Chơng 1: Tổng quan phơng pháp ảnh Laplace. Chơng 2: Bài toán dao động con lắc kép. Chơng 3: Một đề xuất về Bài hớng dẫn thí nghiệm con lắc kép Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 3 Khoá luận tốt nghiệp Chơng 1: Tổng quan phơng pháp ảnh Laplace. Phơng pháp ảnh Laplace là một trong những phơng pháp đợc dùng để giải các phơng trình vi phân. Khi xét các bài toán dao động, với các bài toán phức tạp, với các ràng buộc của điều kiện ban đầu thì phơng pháp lấy ảnh Laplace thể hiện đợc tính u việt hơn các phơng pháp thông thờng. Chơng 2: Bài toán dao động con lắc kép. Bài toán dao động con lắc kép là một bài toán mang tính tổng hợp. Từ cấu tạo con lắc kép, đặt ra cho ta những bài toán khác nhau: Đó là thiết lập các ph- ơng trình dao động trong các trờng hợp cùng pha, ngợc pha và phách. Chơng 3: Một đề xuất về Bài hớng dẫn thí nghiệm con lắc kép Hiện nay bài hớng dẫn thí nghiệm con lắc kép đang lu trữ tại phòng cơ - nhiệt là một bài thí nghiệm có nhiều lỗi cần phải sữa chữa trong lí thuyết cũng nh bài hớng dẫn thực hành. Do đó bài hớng dẫn thí nghiệm này cần viết lại để đảm bảo tính chính xác và khoa học hơn. Phần phụ lục chính là bài hớng dẫn thí nghiệm Con lắc kép hiện đang đ- ợc lu giữ tại phòng thực hành cơ - nhiệt, khoa Vật Lý, trờng Đại học Vinh. Đa một bài thí nghiệm vào đào tạo là một việc làm đòi hỏi rất nhiều công sức và phải đợc sự thông qua của Hội đồng Khoa Học chuyên ngành. Là một sinh viên làm khoá luận và do quỹ thời gian và năng lực bản thân có hạn chúng tôi mạnh dạn trình bày quan điểm về thí nghiệm này. Kết quả nghiên cứu là b- ớc đầu hoàn thiện, cần có nhiều chỉnh sửa và bổ sung thêm. Hy vọng các kết quả đạt đợc sẽ là một tài liệu tham khảo có ích cho những ngời nghiên cứu tiếp theo và cũng là tài liệu bổ ích cho các bạn sinh viên đồng nghiệp. Chơng 1 Tổng quan phơng pháp ảnh Laplace Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 4 Khoá luận tốt nghiệp Từ trớc tới nay chúng ta rất hay sử dụng phép biến đổi Fourier trong toán học và ứng dụng nó vào trong vật lý. Tuy nhiên phép biến đổi này chỉ có thể áp dụng đối với những hàm số có tích phân biến đổi hội tụ.Vậy những hàm số mà có tích phân biến đổi không hội tụ chúng ta sử dụng một phơng pháp mới, ph- ơng pháp ảnh Laplace. Phơng pháp Laplace là một phơng pháp rất hữu hiệu cho việc giải phơng trình vi phân. Nhất là những phơng trình có điều kiện ràng buộc ban đầu phức tạp thì phơng pháp Laplace thể hiện tính u việt của nó. 1.1. Phép biến đổi Laplace - Nh đã nói ở trên, với những hàm không tồn tại ảnh Fourier (tích phân biến đổi không hội tụ) ta có thể sử dụng ảnh Laplace [1]. Trớc hết ta chứng minh một số tính chất của loại hàm này. a. Xét lớp hàm f(x) có tính chất: i. f(x) = 0 khi x< 0 ii. f(x) liên tục từng khúc (tức là hàm số đó chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn lại I trên mỗi đoạn hữu hạn [a,b]); iii. RsM , mà 0 x có |f(x)| < Me sx (tức là hàm số f(x) không tăng quá nhanh) Giả sử p = a + ib là số phức mà Rep = a > 0 và a > s. Trớc hết ta chứng minh tích phân suy rộng 0 )(. dxxfe px hội tụ. Thật vậy: =<= 0 00 .)(.)(. sa M dxeeMdxxfeedxxfe sxaxibxaxpx , (1.1.1) Chứng tỏ tích phân trên hội tụ tuyệt đối (dấu hiệu Weiestrass) [2, 3]. b. Hàm số cho bởi: Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 5 Khoá luận tốt nghiệp < > = 00 01 )( xkhi xkhi xI đợc gọi là hàm Heaviside. Khi đó: Hàm số f(x).I(x).e - cx (c > 0) hội tụ theo (1.1.1). Do đó hàm số này luôn có ảnh Fourier. Thật vậy: + + == 0 )(.)().()( dxeexfdxeexIxfyg ixycxixycx (1.1.2) ảnh ngợc của hàm là: + = dyeygexIxf ixycx )( 2 1 )().( (1.1.3) Nếu ta đặt biến mới p = c + iy thì hai tích phân (1.1.2) và (1.1.3) đợc viết lại dới dạng: + = 0 )()( dxexfyg ipx (1.1.4) + = dpeygxIxf ixp )( 2 1 )().( (1.1.5) Từ đó, nếu ký hiệu )),(()( pxfyg L = và đợc định nghĩa dới dạng: dxexfpxf px + = 0 ).()),((L (1.1.6) (Viết gọn là Lf) gọi là ảnh Laplace của hàm f(x) theo p. Hàm f(x) gọi là ảnh ngợc và đợc viết lại dới dạng: = dpeygxIxf py ).( i 2 1 )().( (1.1.7) Tích phân đợc lấy theo chu tuyến Re p = c và cung tròn Re p > c và R Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 6 Khoá luận tốt nghiệp Phép tơng ứng ff L (Tức là ánh xạ ứng mỗi hàm thuộc lớp hàm nói trên với một hàm phức của biến p) đợc gọi là phép biến đổi Laplace. Ta có: == 0 1 )),(( p dxepxI px L Đối với cá hàm số f(x) mà giá trị của nó khác 0 ở một điểm x < 0 nào đó thì khi thay nó bằng hàm số I(x).f(x) , ta sẽ đợc một hàm số thoả mãn tiên đề i ở trên, nhng để đơn giản trong cách viết, ta quy ớc dùng ký hiệu L(f,p) thay cho ký hiệu L(I.f,p). Đồng thời quy ớc giá trị f(0) của hàm f(x) bất kỳ là giá trị )()0( lim 0 xff x + =+ (Chú ý rằng theo tiên đề ii thì giới hạn này luôn tồn tại). - Dùng định nghĩa ta tìm ảnh của một vài hàm số: a. ap pe ax = 1 ),(L b. 22 )),(( ap a paxSin + = L c. 22 )),(( ap a paxSh = L d. 22 )),(( ap p paxCos + = L e. 22 )),(( ap p paxCh = L e. 1 ! ),( + = n n p n pxL Ví dụ: Ta chứng minh một số công thức trên: a. Ta chứng minh công thức: ap pe ax = 1 ),(L Thật vậy: ap e pa dxedxeepe xpaxpapxaxax = + === + + + 1 0 . 1 .),( )( 0 )( 0 L b. Chứng minh: 22 )),(( ap a paxSin + = L Ta có: 0 ( ( ), ) ( ). px Sin ax p Sin ax e dx + = L Ta tính tích phân trên bằng phơng pháp tích phân từng phần Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 7 Khoá luận tốt nghiệp + + + + == 00 ).(. 0 ).(. 1 ).(I dxeaxCos p a eaxSin p dxeaxSin pxpxpx + += + 0 ).(. 0 ).(. 1 0 dxeaxSin p a eaxCos pp a pxpx = I p a pp a . 1 Suy ra: 222 2 2 a a I p a 1I. p a p + = += Vậy 22 )),(( ap a paxSin + = L (đpcm) Hoàn toàn tơng tự với )()( axCosxf = , ta có: 22 )),(( ap p paxCos + = L 1.2. Tính chất của phép biến đổi Laplace i. Tính chất tuyến tính: Suy từ tính chất của tích phân ta có: ),(),(), ( pgpfpgf LLL +=+ (1.2.1) ii. Tính chất vị tự: )),(( 1 )),((, p xfpxfR .LL = + (1.2.2) iii. Tính chất trễ: )),(()),((0, pxfepxfR p LL => (1.2.3) Từ tính chất này, ta có thể đổi các hàm xung và hàm tuần hoàn. Hàm xung là hàm số có dạng [ ] [ ] = baxkhix baRxkhi xf ,)( ,\0 )( (1.2.4) Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 8 Khoá luận tốt nghiệp Trong đó )(x là một hàm số xác định trên [a,b]. Ta có thể biểu diễn hàm xung nói trên thành )()).()(()( xbxIaxIxf = (Chú ý: trong công thức trên thì I là hàm Heaviside đợc định nghĩa: < > = 00 01 )( xkhi xkhi xH ) Trờng hợp Cx = )( , áp dụng tính chất trễ, ta nhận đợc: )(),( pbpa ee p C pf = L . (1.2.5) Mở rộng ra: Với hàm bậc thang niaaxCx iii , .,1),()( 1 == với khi , ta có: = = n i papa i ii eeC p pf 1 )( 1 ),( 1 L (1.2.6) iv. Tính chất dịch chuyển ảnh: )),(.()),(( pxfeqpxf qx =+ LL (1.2.7) v. Đạo hàm và tích phân của L: Đạo hàm: )),()(())),((( pxfxpxf dp d n n n = LL (1.2.8) Tích phân: ), )( ()),(( p x xf dttxf p LL = (1.2.9) vi. ảnh của đạo hàm: Xét hàm số f(x) có đạo hàm )('' );(' xfxf Ta có: )0()()),('( fxfppxf = LL (1.2.10) Từ đó ta có thể chứng minh đợc: )0(')0()),(()),(')'( 2 fpfpxfppxf = LL (1.2.11) vii. ảnh của tích chập: Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 9 Khoá luận tốt nghiệp Ta định nghĩa tích chập của hai hàm số nh sau. Cho hai hàm số f(x) và g(x). Gọi f*g xác định bởi công thức (1.2.12) dới đây gọi là tích chập của hai hàm số đó = x dttxgtfgf 0 )()(* (1.2.12) Ta có: )()()*( gfgf .LLL = (1.2.13) 1.3. Phép biến đổi Laplace ngợc Nói chung phép biến đổi Laplace thuận và ngợc đều không đơn giản. Nếu f là hàm trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn R + và st Metf )( , khi đó công thức biến đổi ngợc tổng quát là: = dpg(y).e. i f(x) py 2 1 (1.3.1) Trong đó chu tuyến lấy tích phân gồm đờng x = Re p và cung tròn Re p > 0; R . Công thức (1.3.1) có tên là công thức Melin [1]. Tích phân này giải đợc nhờ phơng pháp tính thặng d [4,5]. Trong thực tế tính toán, cần vận dụng một cách linh hoạt các tính chất của phép biến đổi đã nêu ở trên để tìm các biến đổi thuận và ngợc (Ta lập sẵn bảng hàm ảnh của phép biến đổi để tra cứu). Tuy nhiên đối với một hàm hữu tỷ của p thì ta dùng thủ thuật phân tích thành các phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi ngợc tơng đối dễ dàng. Một số công thức biến đổi ngợc thờng dùng. 1. 1 1 ),( == f p pfL (1.3.2) 2. ax ef ap pf = = 1 ),(L (1.3.3) 3. )( ),( 22 axSinf ap a pf = + = L (1.3.4) Nguyễn Duy Phiên - 46A Lý 10 . nghiên cứu đề tài: Phép biến đổi Lapplace với các bài toán dao động và một đề xuất về thí nghiệm con lắc kép. Trong khoá luận, ngoài phần Mở đầu và Kết luận. hơn các phơng pháp thông thờng. Chơng 2: Bài toán dao động con lắc kép. Bài toán dao động con lắc kép là một bài toán mang tính tổng hợp. Từ cấu tạo con lắc