Giải các bài toán chuyển động của vật rắn bằng phương pháp động lực học và phương pháp bảo toàn

Trờng Đại học Vinh Khoa vật lý ======== Trơng đức quỳnh Giải bài toán chuyển động của vật rắn bằng phơng pháp động lực học và phơng pháp bảo toàn Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm vật lý ====Vinh, 2005=== Trờng Đại học Vinh Khoa vật lý ======== Khoá luận tốt nghiệp đại học Giải các bài toán chuyển động của vật rắn bằng phơng pháp động lực học và phơng pháp bảo toàn Giáo viên hớng dẫn: Th.s. Nguyễn Viết Lan Sinh viên thực hiện: Trơng đức Quỳnh Lớp: 42A - Vật lý ====Vinh, 2005=== PHầN Mở ĐầU I. lý do chọn đề tài Chuyển động vật rắn là chuyển động ta thờng gặp trong cuộc sống Việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán về chuyển động của vật rắn có ý nghĩa rất lớn đối với cuộc sống đặc biệt là đối với các ngành kỹ thuật . Trong chơng trình đại học, cơ học đại cơng chiếm một thời lợng đáng kể và động lực học vật rắn là một phần quan trọng. Những bài toán thuộc phần này thờng rất đa dạng và rất khó. Khi nghiên cứu phần này ta thờng lúng túng trong việc xác định phơng pháp phù hợp và trong việc tiến hành giải các bài toán. Việc tiến hành giải quyết các bài toán này sẽ giúp cho ngời đọc dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu tiếp thu môn cơ học đại cơng. Chuyển động vật rắn là nội dung quan trọng của phần cơ học vì vậy việc nắm vững kiến thức phần này, đặc biệt là việc nắm vững phơng pháp, tiến hành giải quyết thành thạo các bài toán là rất quan trọng và cần thiết đối với một giáo viên. Đợc sự hớng dẫn đầy đủ của Thạc sỹ Nguyễn Viết Lan tôi mạnh dạn tập nghiên cứu với đề tài "Giải các bài toán chuyển động của vật rắn bằng ph- ơng pháp động lực học và phơng pháp bảo toàn". Hy vọng rằng bản thân tôi sẽ hiểu sâu hơn, kỹ hơn và giúp ngời đọc phần nào đó trong quá trình tìm hiểu của mình. II . Mục đích nghiên cứu Giải các bài toán chuyển động của vật rắn bằng hai phơng pháp: Phơng pháp động lực học và phơng pháp bảo toàn. III . Đối tợng nghiên cứu Lý thuyết chuyển động vật rắn và các định lý tổng quát của động lực học Các bài toán về chuyển động của vật rắn IV. Giả thuyết khoa học Giải quyết các bài toán chuyển động của vật rắn bằng hai phơng pháp sẽ giúp ta nắm vững phơng pháp, biết lựa chọn phơng pháp giải phù hợp cho mỗi bài toán và giải thành thạo các bài toán chuyển động của vật rắn thờng gặp. V. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về chuyển động của vật rắn. Vận dụng phơng pháp động lực học và phơng pháp bảo toàn giải các bài toán chuyển động của vật rắn. VI. Phơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Tìm hiểu các khái niệm, các định lý, các định luật cơ bản của động lực học, tìm hiểu hai phơng pháp: Phơng pháp động lực học và phơng pháp bảo toàn. Nghiên cứu thực nghiệm: Tiến hành thu thập và giải các bài toán chuyển động của vật rắn. Chơng I. Cơ sở lý thuyết A. Phơng pháp động lực học 1. Chuyển động của vật rắn 1.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn Để khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn ta chỉ cần khảo sát chuyển động khối tâm của nó. Ta giải bài toán chuyển động tịnh tiến của vật rắn nh bài toán chuyển động của một chất điểm có khối lợng bằng khối lợng của vật rắn, chịu tác dụng của một lực bằng tổng tất cả các lực tác dụng lên vật rắn. dt vd MamF G G i i i i == )( i F :ngoại lực đặt vào chất điểm thứ i. M: Khối lợng của vật rắn . G a : gia tốc của khối tâm vật rắn . 1.2. Chuyển động quay của vật rắn 1.2.1. Mômen lực Để đặc trng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay , ngời ta đa ra một đại lợng gọi là mômen lực. - Mômen của lực F đối với tâm O là một đại lợng vectơ M xác định bởi: M = Fr r : là bán kính véc tơ có gốc tại điểm tính mômen ngọn tại vị trí đặt lực. 1.2.2. Phơng trình chuyển động của vật rắn quanh một trục cố định. M = )( 2 i i i i i rmM = (1) M = i i M : tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn 2 i i i rm =I : Gọi là mômen quán tính của vật rắn đối với trục : Gia tốc góc trong chuyển động quay quanh trục Phơng trình (1) có thể viết dới dạng M = I (2) 1.2.3. Mômen quán tính 1.2.3.1. Mômen của một số vật rắn - Mômen quán tính của vật rắn đối với trục đợc tính I = i ii rm 2 Với m i r i 2 là mômen quán tính của chất điểm thứ i đối với trục phép lấy cho tất cả các chất điểm của vật rắn. + Mômen của một thanh đối với trục đi qua một đầu thanh, vuông góc với thanh. I= 2 3 1 ml + Mômen của một thanh đối với trục đi qua giữa thanh, vuông góc với thanh. I= 2 12 1 ml + Mômen quán tính của vành tròn đồng chất I= 2 mR + Mômen quán tính của trụ tròn đồng chất. - Trụ đặc I= 2 2 mR đối với trục 1 I = ) 3 ( 4 2 2 h R m + đối với trục 2 - Trụ rỗng mỏng. I = 1 mR 2 đối với trục 1 I = 2 4 m (R 2 + 6 2 h ) đối với trục 2 + Mômen quán tính của mặt tròn đồng chất. I = 2 2 mR + Mômen của quả cầu đặc đồng chất l m m l R 1 h R 2 R R đối với trục đi qua tâm. I = 5 2 2 mR + Mômen quán tính của hình nón . I = 10 3 2 mR 1.2.3.2. Định lý huyghen -stenơ: Mômen quán tính của một vật rắn đối với một trục nào đó bằng Mômen quán tính của vật rắn đối với một trục song song đi qua khối tâm cộng với tích số của khối lợng vật rắn với bình phơng khoảng cách giữa hai trục. I = I 2 ma G + 1.3. Chuyển động bất kỳ của vật rắn Chuyển động bất kỳ của vật rắn có thể phân thành hai chuyển động thành phần . + Chuyển động tịnh tiến của vật rắn cùng với khối tâm của nó . dt vd MF G i i = + Chuyển động quay của vật rắn quanh trục quay đi qua khối tâm . IM = Hệ phơng trình chuyển động của vật rắn dt vd MF G i i = IM = B. Phơng pháp bảo toàn 1. Định lý động lợng. 1.1. Động lợng + Động lợng của một chất điểm là đại lợng véctơ kí hiệu là p , bằng tích của khối lợng chất điểm với vectơ vận tốc của nó. R vmp = + Động lợng của cơ hệ bằng tổng động lợng của các chất điểm thuộc cơ hệ và bằng động lợng của khối tâm với giả thuyết khối tâm có khối lợng bằng khối lợng của cơ hệ. Gk k k vMvmp == G v : vận tốc khối tâm + Trong trờng hợp hệ vật rắn, động lợng cơ hệ bằng tổng động lợng của các vật rắn. 1.2. Xung của lực. + Xung lợng nguyên tố của lực F d dtFs = + Xung lợng của lực F trong khoảng thời gian từ t 0 đến t 1 dtFs t t = 1 0 1.3. Định lý biến thiên động lợng. + Biến thiên động lợng của chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó bằng xung lợng của lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. m = 10 vmv dtF t t 1 0 = s + Biến thiên động lợng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung lợng của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian đó. = k pp 01 dtF t t k 1 0 = k k s Với 1 p : Động lợng của cơ hệ tại thời điểm t 1 k s : Xung lợng của ngoại lực k F tác dụng lên chất điểm thứ k trong thời gian từ t 0 , đến t 1 . 1.4. Sự bảo toàn động lợng + Nếu tổng ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn bằng 0 thì động lợng cơ hệ đợc bảo toàn . 0 = k k F thì constp = + Nếu tổng hình chiếu ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trên một trục cố định nào đó bằng 0 thì hình chiếu động lợng cơ hệ trên trục đó đợc bảo toàn. 0 = kx F thì p x =const 2. Định lý mômen động lợng 2.1. Mômen động lợng. + Mômen động lợng của một chất đối với tâm O là đại lợng vectơ kí hiệu ký hiệu L là Mômen của vectơ động lợng chất điểm đối với tâm 0. L = vmr +Mômen động lợng của hệ chất điểm đối với tâm 0 bằng tổng các Mômen động lợng của các chất điểm trong hệ đối với tâm O = i L i L = i i i vmr + Mômen động lợng của một chất điểm đối với trục là một đại lợng đại số ký hiệu L = m (m. v ) + Mômen động lợng của cơ hệ đối với trục bằng tổng mômen động l- ợng của các chất điểm thuộc cơ hệ đối với trục: L = m (m. v ) + Đối với vật rắn: Vật rắn có khối lợng m chuyển động tịnh tiến với vận tốc c v 0 L = 0 m (M c v ) L = m (M. v ) Vật rắn quay quanh trụ có vận tốc góc , có mômen quán tính đối với trục là I . L = I 2.2. Định lý mômen động lợng. Đạo hàm theo thời gian của Mômen động lợng của cơ hệ đối với một tâm (một trục) cố định bằng tổng mômen của các ngoại lực đối với cùng tâm (cùng trục) đó. i i i FrL dt d = 2.3. Định luật bảo toàn mômen động lợng . + Nếu tổng Mômen các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với một tâm (một trục) cố định luôn bằng 0 thì Mômen động lợng của cơ hệ đối với tâm ( trục) đó sẽ không đổi + Các trờng hợp bảo toàn. - Đối với hệ kín Mômen động lợng toàn phần của hệ bảo toàn. i i F = 0 constL = - Nếu tổng mômen ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng 0 thì mômen động lợng của hệ đợc bảo toàn i i i Fr = 0 constL = - Hệ không kín nhng giá của các ngoại lực đi qua điểm (trục) tính mômen thì mômen động lợng của hệ đợc bảo toàn. i r = 0 constL = 3. Định luật bảo toàn năng lợng. 3.1. Cơ năng. 3.1.1. Định lý động năng. + Biến thiên động năng của một cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng công các ngoại lực và nội lực sinh ra trong chuyển dời ứng với khoảng thời gian đó + Động năng của vật rắn trong chuyển động bất kỳ. E 22 2 1 2 1 GGd Imv += 3.1.2. Các tính chất của thế năng. + Công của các lực thế khi cơ hệ di chuyển trong trờng lực thế bằng hiệu thế năng của vị trí đầu và vị trí cuối của cơ hệ trong di chuyển đó.