Hạng của nữa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự

B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH TRN XUN KHANG HNG CA NA NHểM CC PHẫP BIN I BO TON TH T luận văn thạc sĩ Toán học Vinh 2010 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH TRN XUN KHANG HNG CA NA NHểM CC PHẫP BIN I BO TON TH T luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại Số V Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Lê Quốc Hán 3 Vinh 2010 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .1 Chương 1. Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ .3 1.1. Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ 3 1.2. Các quan hệ Green trên nửa nhóm .5 1.3. Các quan hệ Green trên nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ .10 Chương 2. Hạng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự .16 2.1. Nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự .16 2.2. Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự .19 2.3. Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự chặt .24 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO .30 MỞ ĐẦU 5 Giả sử { } 1,2, ., n X n= , giả sử n T là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên n X , và giả sử { } : 1 n n Sing T im n α α = ∈ ≤ − là nửa nhóm tất cả các tự ánh xạ suy biến của n X . Giả sử ( ) { } : , n n n O Sing x y X x y x y α α α = ∈ ∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ là nửa nhóm con của n Sing gồm tất cả các tự ánh xạ suy biến bảo toàn thứ tự của n X . Nửa nhóm này đã được nghiên cứu trong [6], trong đó đã chứng minh rằng 2 1 1 1 n n O n −   = −  ÷ −   , với ký hiệu ! !( )! k n n n C k k n k   = =  ÷ −   . Năm 1976, Howie và M.John đã chứng tỏ rằng, tập hợp tất cả các luỹ đẳng của n O có lực lượng 2 1 n f − , trong đó 2n f là số Fibônaxi thứ 2n. Họ đã chứng minh được rằng : n O được sinh bởi tập hợp 1 E các luỹ đẳng với số khuyết 1 (Số khuyết của một phần tử α của n T được xác định bởi n im α − ). Giả sử S là nửa nhóm hữu hạn, khi đó hạng của S xác định bởi : { } : ,rank S min A A S A S= ⊆ = . Nếu S được sinh bởi tập hợp các luỹ đẳng E của nó, thì hạng luỹ đẳng của S được xác định bởi : { } : ,idrank S min A A E A S= ⊆ = . Mục đích của luận văn này là dựa trên bài báo On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations của các tác giả Gomes và Howie đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 1992, để tìm hiểu hạng và hạng luỹ đẳng của n O và nửa nhóm ( ) { } : , , x y n n n PO O dom X x y dom x y α α α α α = ∪ ⊂ ∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ của tất cả các phép biến đổi bảo toàn thứ tự bộ phận của n X (loại trừ ánh xạ đồng nhất), và nhận được các giá trị hạng và hạng luỹ đẳng của nó. Đồng thời 6 cũng quan tâm đến nửa nhóm \ n n n SPO PO O= các ánh xạ bảo toàn thứ tự bộ phận chặt của n X và hạng của nó bằng 2 2n − . Nửa nhóm này không được sinh bởi các luỹ đẳng và do đó vấn đề về hạng luỹ đẳng không được đặt ra. Luận văn được trình bày thành hai chương: Chương 1. Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ. Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ và các quan hệ Green trên nửa nhóm, nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ. Chương 2. Hạng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự. Trình bày về hạng, hạng luỹ đẳng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự n O , n PO và n SPO . Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Lê Quốc Hán, người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số và Seminar chuyên ngành đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những sự đóng góp từ các thầy giáo, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả 7 CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẦY ĐỦ Trong chương này chúng tôi nhắc lại các khái niệm và các tính chất cơ bản trong Lý thuyết nửa nhóm liên quan đến chương sau. 1.1. Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ Giả sử S là một tập hợp tuỳ ý. Khi đó mỗi ánh xạ :f S S S× → được gọi là một phép toán hai ngôi trên miền xác định S . Với mỗi cặp thứ tự ( ) ,x y S S∈ × , ảnh ( , )f x y được gọi là tích của hai phần tử x và y . Chúng ta ký hiệu đơn giản xy thay cho ( , )f x y . 1.1.1. Định nghĩa. Cặp ( , )S f (hay ( ,.)S , hoặc chỉ đơn giản S nếu không gây nhầm lẫn) được gọi là một phỏng nhóm. Một phỏng nhóm S được gọi là một nửa nhóm, nếu phép toán có tính chất kết hợp, nghĩa là với mọi , ,x y z S∈ có ( ) ( )xy z x yz= . 1.1.2. Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là vị nhóm, nếu S có đơn vị. Đơn vị của một vị nhóm S thường được ký hiệu là 1 s hay đơn giản 1. Đối với một nửa nhóm S chúng ta xác định một vị nhóm 1 S bằng cách bổ sung một đơn vị cho S nếu S không có đơn vị. { } 1 , 1 , S S S   =  ∪   trong đó 1 là một phần tử đơn vị (mới), 1 S ∉ . Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý. Phần tử z S∈ được gọi là phần tử không bên trái nếu ,zy z y S= ∀ ∈ . Tương tự, z S ∈ được gọi là phần tử không bên phải nếu ,yz z y S= ∀ ∈ và được gọi là phần tử không nếu nó vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phải của S . Phần tử e S∈ được gọi là một luỹ đẳng nếu 2 e e= . Tập tất cả các luỹ đẳng của S được ký hiệu là S E E= . nếu S là một vị nhóm nếu S không phải là vị nhóm 8 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và A là tập con không rỗng của S . Khi đó A được gọi là nửa nhóm con của S nếu A đóng kín dưới phép lấy tích, nghĩa là với mọi ,x y A∈ có xy A∈ . 1.1.4. Bổ đề. Giả sử { } | i A i I∈ là một họ các nửa nhóm con tuỳ ý của S sao cho i i I A A ∈ = I không rỗng. Khi đó A là một nửa nhóm con của S . Chứng minh. Thậy vậy, nếu ,x y A∈ thì , , i x y A i I∈ ∀ ∈ vì i A là nửa nhóm con của S , i I∀ ∈ . Do đó xy A∈ nên A là nửa nhóm con của S . W Đối với mỗi tập con không rỗng X của nửa nhóm S , ký hiệu S X là giao của tất cả các nhóm con của S chứa X . Theo Bổ đề 1.1.4, S X là một nửa nhóm con của S gọi là nửa nhóm con sinh bởi X , và nó là nửa nhóm con bé nhất của S chứa X . Trong trường hợp nửa nhóm S đã được xác định rõ ràng trong ngữ cảnh đang xét, thì ta sẽ viết X thay cho S X . Nếu { } 1 2 , , .X x x= là một tập hữu hạn hay vô hạn đếm được, thì ta sẽ ký hiệu 1 2 , , x x thay cho 1 2 , , s x x . Nói riêng, nếu X là tập đơn tử, { } X x= thì ta sẽ viết X thay cho S X . 1.1.5. Định lý. Giả sử X là tập con không rỗng của nửa nhóm con S . Thế thì { } 1 2 1 . | 1, n n i S n X X x x x n x X ∞ = = = ≥ ∈ U . Chứng minh. Ký hiệu 1 n n A X ∞ = = U . Khi đó A là nửa nhóm con của S . Mặt khác, n S X X⊆ với mọi 1n ≥ nên từ S X là nửa nhóm con của S ta có điều phải chứng minh. W 1.1.6. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm hữu hạn. Khi đó hạng của S xác định bởi : { } : ,rank S min A A S A S= ⊆ = . 9 Nếu S được sinh bởi tập hợp các luỹ đẳng E của nó, thì hạng luỹ đẳng của S được xác định bởi: { } : ,idrank S min A A E A S= ⊆ = . 1.2. Các quan hệ Green trên nửa nhóm 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Ta định nghĩa các quan hệ L, R, J sau đây trên S : a L b ⇔ 1 1 S a S b= a R b ⇔ 1 1 aS bS= a J b ⇔ 1 1 1 1 S aS S bS= trong đó 1 1 , S a aS và 1 1 S aS là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính của S được sinh bởi a . Theo định nghĩa, a L b ⇔ , ' :s s S a sb∃ ∈ = và 'b s a= a R b ⇔ , ' :r r S a br∃ ∈ = và 'b ar= . Từ định nghĩa trực tiếp suy ra các quan hệ L, R và J là các quan hệ tương đương trên S . Thực ra, L là một tương đẳng phải và R là một tương đẳng trái trên S . Với mỗi x S∈ , ta ký hiệu x L là L - lớp tương đương chứa x : x L = { y S∈ | x L y }. Tương tự, x R và x J là các ký hiệu lớp tương đương theo R và J tương ứng chứa x . 1.2.2. Định lý. Các quan hệ L và R giao hoán: L o R = R o L . Chứng minh. Giả sử ( ) ,x y ∈ L o R. Thế thì một phần tử z S ∈ sao cho x L z , z R y . Do đó tồn tại các phần tử , ', r, r' Ss s ∈ sao cho: , z = s'x, z = yr, y = zr'x sz = . Ký hiệu 't szr = . Thế thì ' ', x = sz = syr 't szr xr szr r tr = = = = nên x R t . 10 Ta lại có: ' , y=zr' = s'xr' ' ' 't szr sy s szr s t = = = = nên y L t . Suy ra ( ) ,x y ∈ L o R nên L o R ⊆ R o L . Tương tự, có R o L ⊆ L o R nên L o R = R o L . 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử L và R là các quan hệ tương đương đã được xác định theo Định nghĩa 1.2.1. Ta xác định các quan hệ trên S bởi: D =L o R = R o L và H = R ∩ L . Khi đó H là quan hệ tương đương lớn nhất của S được chức trong L và R theo Lý thuyết tập hợp. Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé nhất chứa L và R. Thật vậy, vì L và R là các quan hệ tương đương nên D =L o R là các quan hệ tương đương. Hơn nữa, x L x và x R x với mọi 1 x S∈ nên L ⊆ D và R ⊆ L . Nếu C là một quan hệ tương đương trên S chứa L ∪ R thì D ⊂ C, nên D là quan hệ tương đương bé nhất chứa L và R. Biểu đồ bao hàm của các quan hệ Green được cho bởi hình sau với chú ý D ⊂ J. Ký hiệu x D và x H là các D - lớp và H - lớp tương ứng chứa x S ∈ . Khi đó với mọi x , có x x x L R H∩ = . 1.2.4. Bổ đề. Đối với mỗi nửa nhóm S , ta có x D y x y y x L R L R⇔ ∩ ≠ ∅ ⇔ ∩ ≠ ∅ . Hơn nữa x x y y y y D y D D L R ∈ ∈ = = U U . J D L H R