Cấu trúc của nhóm các phép biến đổi đẳng cự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Bùi Thị Khánh Linh CẤU TRÚC CỦA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Bùi Thị Khánh Linh CẤU TRÚC CỦA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Phạm Thanh Tâm Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Các phép biến đổi Euclid 1.1 Bài toán mở đầu 1.2 Định nghĩa 1.2.1 Góc định hướng 1.2.2 Phép quay 1.2.3 Phép đối xứng 1.2.4 Phép tịnh tiến Ánh xạ phép biến hình 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các phép đẳng cự 10 Sử dụng phép quay, phép đối xứng phép tịnh tiến 15 1.3 1.4 Đại số phép đẳng cự 2.1 28 Các tính chất đại số 28 2.1.1 Ví dụ mở đầu 28 2.1.2 Sự hợp thành phép biến hình 30 2.1.3 Các phép biến hình 31 2.1.4 Bao đóng 32 2.1.5 Kết hợp 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 Bùi Thị Khánh Linh Nhóm phép đẳng cự 34 2.2.1 Nhóm phép đẳng cự 34 2.2.2 Phép đẳng cự thuận ngược 36 Tích phép đối xứng 42 Tích phép đẳng cự thuận 49 3.1 Góc 49 3.2 Điểm cố định 51 3.3 Tích hai phép tịnh tiến 52 3.4 Tích phép tịnh tiến phép quay 54 3.5 Tích hai phép quay 58 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Các từ viết tắt - SAS: cạnh - góc - cạnh - SSS: cạnh - cạnh - cạnh Chương Các phép biến đổi Euclid 1.1 Bài toán mở đầu Bài toán cắt bánh: Hai đứa trẻ muốn chia mẩu bánh có hình không thông thường, biểu diễn hình dưới, với BCDE hình vuông, đường cong AE vòng cung tâm C, điểm A, B E thẳng hàng Là đứa trẻ, chúng không muốn nhận mẩu bánh không giống Nói cách khác, chúng muốn cắt bánh thành mẩu Điều làm nào? Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Nếu bánh bao gồm không gian vuông BCDE, cho hình có biểu diễn hình bên phải, công việc trở nên đơn giản Cái bánh cắt xuống dọc theo đường l Bánh hình có tính phản xạ đối xứng qua l : bạn giữ gương thẳng đứng với trang sách với cạnh gương dọc theo l, phản xạ nửa hình trùng khớp với nửa (loại đối xứng định nghĩa xác sau này) Khi muốn chia bánh thành mẩu nhau, có xu hướng tìm kiếm phản xạ đối xứng thường bỏ qua khả khác Điều lí giải nhiều người cố gắng chia bánh cách cắt thành hai mẩu sau chia mẩu bánh dọc theo trục có phản xạ đối xứng, hình phía Mặc dầu cắt thành hai mẩu, mẩu có phản xạ đối xứng, thân bánh lại phản xạ đối xứng Điều nghĩa giải pháp cho Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh toán ban đầu bánh tròn, biểu diễn hình Một vòng quay quanh tâm C góc 450 biểu diễn cách cắt Cái bánh có lẽ bánh thành phần 1.2 1.2.1 Định nghĩa Góc định hướng Bài toán bánh giải cách sử dụng phép quay ngược chiều kim đồng hồ góc 450 Một phép quay theo ngược chiều kim đồng hồ dẫn đến cách giải Cách thông thường để phân biệt phép quay chiều kim đồng hồ phép quay ngược chiều kim đồng hồ sử dụng góc định hướng góc làm dấu Các góc đo theo hướng ngược chiều kim đồng hồ xem dương, góc đo theo hướng chiều kim đồng hồ âm, biểu diễn hình Đối với góc định hướng, kí Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh −→ −−→ hiệu ∠ABC hiểu góc từ tia BA đến tia BC 1.2.2 Phép quay Cho O điểm α góc định hướng Phép quay quanh O qua góc α, kí hiệu RO,α , ánh xạ điểm P phẳng, với P = O, thành điểm P’ khác, đó: |OP | = |OP | ∠P OP = α Điểm O, điểm mà gọi tâm phép quay, ánh xạ lên Vì vậy, không di động, gọi điểm cố định đường thẳng bất biến RO,α Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2.3 Bùi Thị Khánh Linh Phép đối xứng Cho l đường thẳng mặt phẳng Phép đối xứng qua l, kí hiệu Rl ánh xạ điểm P không nằm l đến điểm P’ cho l đường trung trực PP’ Dưới phép đối xứng Rl , điểm l ánh xạ lên nó, điểm l điểm cố định 1.2.4 Phép tịnh tiến Cho AB đoạn thẳng có hướng Một phép tịnh tiến AB, kí hiệu TAB , ánh xạ điểm P thành điểm P’ cho đoạn thẳng có hướng P P = AB, song song với TAB , hướng với TAB Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Trong trường hợp, 2θ 72 cộng trừ số nguyên bội 360, mục cột 2θ tất xác đại diện cho góc 3.2 Điểm cố định Dưới phép đồng nhất, điểm phẳng cố định Dưới phép quay, điểm trục đối xứng cố định Dưới phép quay, tâm phép quay điểm cố định Phép tịnh tiến phép đối xứng lướt điểm cố định Ngược lại, cho phép đẳng cự T, ta biết từ định lí 2.5 T cố định điểm không thẳng hàng T phải đồng Định lí sau nói với ta điều mà ta kết luận ta biết hai điểm cố định Định lý 3.1 (Các điểm cố định) (1) Một phép đẳng cự cố định điểm P đồng nhất, phép quay tâm P, phép đối xứng qua đường thẳng qua P (2)Một phép đẳng cự cố định điểm định đồng phép đối xứng trục xác định điểm Chứng minh Trong trường hợp, có phép đẳng cự mà (ít nhất) số điểm cố định cụ thể Có thể phân biệt phép tịnh tiến phép đối xứng lướt thuật ngữ tập điểm cố định Định lý 3.2 Một phép đẳng cự mà cố định xác đường thẳng không cố định điểm phép đối xứng lướt 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Chứng minh Theo định lí trước, phép đẳng cự phép tịnh tiến phép đối xứng lướt, không cố định điểm Một phép tịnh tiến TAB cố định tất đường thẳng song song với AB, trường hợp này, ta phải kết luận phép đẳng cự phép đối xứng lướt Cần lưu ý nửa vòng quay phép tịnh tiến cố định vô hạn đường thẳng Một nửa vòng quay có định đường thẳng chứa tâm vòng quay, phép tịnh tiến cố định đường thẳng song song với hướng tịnh tiến Một nửa vòng quay cố định tâm phép quay, điểm chung cho tất đường mà cố định 3.3 Tích hai phép tịnh tiến Tác động phép tịnh tiến TU V ánh xạ điểm P thành điểm P’ cho P P U V Điều nghĩa TU V = TP P Như vậy, ta biết đẳng cự T phép tịnh tiến, ta viết T = TP P , P = T (P ) Điều hữu ích sử dụng định lí Định lý 3.3 Tích hai phép tịnh tiến phép tịnh tiến đồng 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Chứng minh Cho TAB TCD hai phép tịnh tiến Tích TCD TAB phải phép đẳng cự thuận, phép đồng nhất, phép tịnh tiến phép quay Ta cách tích phép quay TCD TAB nghịch đảo nhau, xác phép quay đồng Giả sử TCD TAB = RP,θ Thì TCD TAB (P ) = P Gọi P = TAB (P ).Thì TAB = TP P Tương tự TCD = TP P , TCD TAB = TP P TP P = I Như vậy, phép quay xác phép đồng Chú ý AB không CD TCD TAB phải phép tịnh tiến T Đặt xuống phép tịnh tiến hình học này, xét tác động TCD TAB lên điểm P TAB ánh xạ P thành P’ TCD ánh xạ P’ thành P” Do đó, T = TP P Ta xây dựng đoạn thẳng định hướng PP” cách dựng hình bình hành EFGH, EF = AB EH = CD Như TCD TAB ánh xạ E thành G, đường chéo EG P P 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4 Bùi Thị Khánh Linh Tích phép tịnh tiến phép quay Ta xác định tích phép quay phép tịnh tiến giai đoạn Đầu tiên, ta tích phép quay sau ta mô tả cách để tìm tâm phép quay góc quay Tích phép tịnh tiến phép quay phép đẳng cự thuận, đồng nhất, phép tịnh tiến phép quay Giả sử AB có độ dài khác góc quay θ, θ không bội 360o , phần nhỏ Đại số tích TAB RO,θ đồng phép tịnh tiến • Nó đồng Lí TAB RO,θ (0) = TBA (0) = O , dist(O, O’ ) = dist(A, B ) = 0, dẫn tới O = O Vì O không điểm cố định, tích đồng • Nó phép tịnh tiến Đặt S = TAB RO,θ Nhân hai vế phương trình với TBA (nghịch đảo TAB ), ta nhận TBA S = TBA (TAB RO,θ ) = (TBA TAB )RO,θ = RO,θ Nếu S phép tịnh tiến, định lí 3.3 nói với ta TBA S (và RO,θ ) đồng tịnh tiến, điều mâu thuẫn với thừa nhận AB θ 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Ngược lại có lẽ tích phép quay Một cách tương tự, ta RO,θ TAB phép tịnh tiến RO,θ đồng phép tịnh tiến, điều lần mâu thuẫn Như ta có phát biểu Định lý 3.4 Tích phép tịnh tiến không tầm thường phép quay phép quay, góc phép quay bội số 360o Mặc dù ta biết kết phép quay RQ,φ , định lí không nói cho ta cách để tìm Q φ Ví dụ giúp làm điều Ví dụ 3.4.1 Cho AB, điểm O góc θ, θ = n.180o , tìm Q φ cho TAB RO,θ = RQ,φ Lời giải Chìa khóa tìm điểm cố định Q Nói cách khác, ta tìm điểm Q thỏa mãn: TAB RO,θ (Q) = Q Điểm Q dịch chuyển đến Q’ RO,θ sau trở Q TAB Lời giải tìm thấy từ hình bên phải Điểm Q Q’ nằm đường tròn tâm O với ∠QOQ = θ Đoạn thẳng QQ’ 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh dây cung đường tròn đường trung trực qua O Tâm Q xây dựng sau: Qua O, kẻ đường thẳng song song với AB gọi P điểm thỏa mãn OP ∼ = AB Dựng đường trung trực l OP dựng đường thẳng m qua O cho góc định hướng từ θ OP đến m 90o − Điểm mà m giao l Q Điều dựng tâm Q quay phép quay RQ,θ Góc quay φ góc định hướng θ, điều kiểm chứng với lưu ý ∠OQP = θ O ánh xạ thành P TAB RO,θ Tích RO,θ TAB phân tích cách tương tự Ở đây, tâm điểm X cho TAB ánh xạ X thành Z RO,θ ánh xạ Z trở X Trong hình trên, điểm Q Cũng phải cẩn thận lấy góc quay âm Ví dụ 3.4.2 Hình trang bên tương ứng tâm phép quay kết từ tích: TAB RQ,30o , TAB RQ,−30o , RQ,30o TAB , RQ,−30o TAB Đoạn thẳng định hướng AB biểu diễn Các điểm W, X, Y, Z tâm phép quay, không cần thiết theo thứ tự Xác định tâm phép quay 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Lời giải Các tâm sau: W tâm TAB RQ,30o , X tâm RQ,30o TAB , Y tâm RQ,−30o TAB , Z tâm TAB RQ,−30o Ví dụ 3.4.3 Cho điểm Q phép quay RO,θ θ không bội 360o , hình dưới, tìm phép tịnh tiến TCD cho TCD RO,θ = RQ,θ 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Lời giải Một lần nữa, khai thác ý tưởng vài điểm X ta tìm ảnh X’ chúng TCD , TCD = TXX Đầu tiên ta giải với TCD Nhân phương trình TCD RO,θ = RQ,θ , vào bên phải nghịch đảo RO,θ sau: (TCD RO,θ )RO,−θ = RQ,θ RO,−θ Tiếp theo sử dụng quy tắc kết hợp việc RO,θ RO,−θ = I để thu TCD : TCD = RQ,θ RO,−θ Bây đặt TCD lên O (ta chọn O cố định RO,−θ ) Thì TCD (O) = RQ,θ RO,−θ (O) = RQ,θ (O) Đặt P = RQ,θ (O), ta có TCD = TOP 3.5 Tích hai phép quay Tích hai phép quay tâm phép quay thứ 3, tâm, qua góc tổng hai góc phép quay, nghĩa là, RA,β RA,α = RA,α+β Để phân tích RB,β RA,α A B khác nhau, ta phải xem định lí tiếp theo: 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Định lý 3.5 Khi A B khác nhau, RB,β RA,α phép quay qua góc α + β điểm P Chứng minh Ta dựa vào thực tế ta sử dụng phép tịnh tiến để di chuyển tâm phép quay RQ,θ đến điểm ta thích, ví dụ 3.4.3 Gọi TCD phép tịnh tiến cho TCD RB,β = RA,β Gọi S tích RB,β RA,α ; nghĩa là, S = RB,β RA,α Nhân phương trình vào bên trái với TCD để TCD S = TCD (RB,β RA,α ), điều mà hàm ý TCD S = (TCD RB,β )RA,α = RA,β RA,α = RA,α+β Bây nhân phương trình vào bên trái với TDC , nghịch đảo TCD , để S = TDC RA,α+β Từ phần trước, ta biết TDC RA,α+β phép quay RP,α+β với điểm P (trừ phi α + β bội 360o , trường hợp TDC RA,α+β = TDC ) 59 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Để tìm tâm P α + β không bội 360o , ta tiến hành theo dõi qua phương trình trước Với CD, ta lấy C = A D = RA,β (B), thảo luận theo ví dụ 3.4.3 Đặt vào phép tịnh tiến nghịch TDC lên RA,α+β cho phép ta dựng hình tâm P Một lựa chọn tốt tìm điểm cố định P tích RB,β RA,α ví dụ Ví dụ 3.5.1 Cho RB,β RA,α với α β biểu diễn hình dưới, dựng tâm Q phép quay RB,β RA,α Lời giải Hình bên cách để giải toán Dựng đường thẳng AB góc ∠XAX có độ lớn cho AB phân giác góc ∠XAX Dựng ∠Y AY có độ lớn β cho AB phân giác ∠Y AY Một điểm mà giao hai góc điểm Q yêu cầu 60 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Nhận xét 3.1 Tổng quát, gặp khó khăn việc tìm tâm tích RB,β RA,α , góc nên vẽ cho góc định hướng góc định α β hướng ∠XAB = góc định hướng ∠ABY = Điểm giao 2 đường thẳng XA đường thẳng YB tâm Q tích Ví dụ, hình dựng với trường hợp α = 30o β = −60o Điểm Q ánh xạ RA,α thành Q Q’ sau ánh xạ RB,β trở Q 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh KẾT LUẬN Khóa luận "Cấu trúc nhóm phép biến đổi đẳng cự" trình bày bản, đầy đủ chi tiết nội dung liên quan đến đề tài đề cập phần bố cục Khóa luận với chương, không nhiều mong thầy cô bạn sinh viên tích lũy thêm cho thân kiến thức hữu ích để phục vụ cho việc học tập giảng dạy Hình học theo chương trình Toán hành Tôi xin tóm tắt kết mà khóa luận trình bày Chương "Các phép biến đổi Euclid" đạt kết sau: • Một phép đẳng cự phép biến hình bảo tồn khoảng cách • Có phép đẳng cự phẳng: phép quay, phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép đối xứng lướt • Mỗi phép đẳng cự có phép đẳng cự đảo ngược • Một phép đẳng cự bảo toàn hình dạng kích thước hình hình học Do đó, khái niệm phép đẳng cự bao trùm tổng quát khái niệm • Vận dụng phép đẳng cự vào toán phổ thông minh họa cụ thể qua ví dụ Chương "Đại số đẳng cự" giúp người đọc nắm được: • Các tính chất đại số phép đẳng cự: 62 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh - Sự hợp thành phép biến hình làm theo quy tắc "phải đến trái" Kết hợp thành hai phép đẳng cự phép biến hình phép đẳng cự - Hai phép biến hình nói chúng có kết giống điểm phẳng - Tập phép đẳng cự mặt phẳng tập đóng phép toán hợp thành - Quy tắc kết hợp với tích phép biến hình • Nhóm phép đẳng cự: - Tập hợp tất phép đẳng cự phẳng, với phép toán hợp thành, có dạng nhóm - Phép đẳng cự thuận, phép đẳng cự ngược, tích số đặc trưng chúng phẳng • Tích phép đối xứng Chương "Tích phép đẳng cự thuận" cung cấp sâu cho người đọc về: • Góc định hướng từ đường thẳng đến đường thẳng khác có nhiều cách biểu diễn khác • Điểm cố định - Dưới phép quay, điểm trục đối xứng cố định tâm phép quay điểm cố định - Phép tịnh tiến phép đối xứng lướt điểm cố định 63 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh • Tích hai phép tịnh tiến phép tịnh tiến đồng • Tích phép tịnh tiến không tầm thường phép quay phép quay, góc phép quay bội số 360o • Tích hai phép quay - Tích hai phép quay tâm phép quay thứ 3, tâm, qua góc tổng hai góc phép quay - Tích hai phép quay khác tâm phép quay qua góc θ điểm Q Cách xác định θ, Q trình bày chi tiết phần nội dung 3.5 khóa luận Đề tài nghiên cứu sâu thời gian kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế, mong bạn sinh viên tiếp tục quan tâm nghiên cứu sau 64 Tài liệu tham khảo [1] I Ed Leonard; J E Lewis; F Liu; G.W.Tokarsky, Classical Geometry, John Wiley Sons, Inc 2014 [2] Nguyễn Duy Bình; Nguyễn Chiến Thắng, Phép đẳng cự ứng dụng giải toán hình học phổ thông, 2008 [3] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXBGD, 1997 [4] Nguyễn Mộng Hy, Hình học sơ cấp, NXBGD, 2002 [5] Văn Như Cương; Tạ Mân, Hình học Afin hình học Ơclit, NXBĐHQG, 1999 [6] Văn Như Cương; Kiều Huy Luân; Hoàng Trọng Thái, Hình học 1, NXBGD, 1998 [7] Nguyễn Duy Bình; Phạm Ngọc Bội; Trương Đức Hinh; Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học Afin hình học Ơclit, NXBGD, 1999 65 ... ĐẲNG CỰ Một phép biến hình bảo tồn khoảng cách gọi phép đẳng cự Định lý 1.2 Phép quay, phép đối xứng phép tịnh tiến phép đẳng cự Chứng minh Chúng ta phép quay RO,α phép đẳng cự (chứng minh phép. .. P Q TÍCH CỦA CÁC PHÉP ĐẲNG CỰ Điều xảy phép đẳng cự T đặt vào phẳng theo sau phép đẳng cự S khác? Khi phép biến hình T theo sau phép biến hình S khác, tổ hợp kết gọi tích hai phép biến hình... Khánh Linh Nhóm phép đẳng cự 34 2.2.1 Nhóm phép đẳng cự 34 2.2.2 Phép đẳng cự thuận ngược 36 Tích phép đối xứng 42 Tích phép đẳng cự thuận