Hạng của nữa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN XUÂN KHANG HẠNG CỦA NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN I BO TON TH T luận văn thạc sĩ Toán häc Vinh 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN XUÂN KHANG HẠNG CỦA NỬA NHÓM CC PHẫP BIN I BO TON TH T luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại Số V Lý thuyÕt sè M· sè: 60.46.05 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc PGS.TS Lê Quốc Hán Vinh 2010 MC LC Trang M ĐẦU Chƣơng Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ 1.1 Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ 1.2 Các quan hệ Green nửa nhóm 1.3 Các quan hệ Green nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ 10 Chƣơng Hạng nửa nhóm phép biến đổi bảo tồn thứ tự .16 2.1 Nửa nhóm phép biến đổi bảo toàn thứ tự 16 2.2 Nửa nhóm phép biến đổi phận bảo toàn thứ tự 19 2.3 Nửa nhóm phép biến đổi phận bảo tồn thứ tự chặt 24 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Giả sử X n  1, 2, , n , giả sử Tn nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ X n , giả sử Singn    Tn : im   n  1 nửa nhóm tất tự ánh xạ suy biến X n Giả sử On    Singn :  x, y  X n  x  y  x  y  nửa nhóm Sing n gồm tất tự ánh xạ suy biến bảo toàn thứ tự X n Nửa nhóm  2n   nghiên cứu [6], chứng minh On    1,  n 1  n n! với ký hiệu    Cnk  k !(n  k )! k  Năm 1976, Howie M.John chứng tỏ rằng, tập hợp tất luỹ đẳng On có lực lượng f 2n  , f 2n số Fibônaxi thứ 2n Họ chứng minh : On sinh tập hợp E1 luỹ đẳng với số khuyết (Số khuyết phần tử  Tn xác định n  im  ) Giả sử S nửa nhóm hữu hạn, hạng S xác định : rank S   A : A  S , A  S Nếu S sinh tập hợp luỹ đẳng E nó, hạng luỹ đẳng S xác định : idrank S   A : A  E, A  S Mục đích luận văn dựa báo On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations tác giả Gomes Howie đăng tạp chí Semigroup Forum năm 1992, để tìm hiểu hạng hạng luỹ đẳng On nửa nhóm POn  On   : dom   X n ,  x, y  dom   x  y  x  y  tất phép biến đổi bảo toàn thứ tự phận X n (loại trừ ánh xạ đồng nhất), nhận giá trị hạng hạng luỹ đẳng Đồng thời quan tâm đến nửa nhóm SPOn  POn \ On ánh xạ bảo toàn thứ tự phận chặt X n hạng 2n  Nửa nhóm không sinh luỹ đẳng vấn đề hạng luỹ đẳng khơng đặt Luận văn trình bày thành hai chương: Chƣơng Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ Trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ quan hệ Green nửa nhóm, nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ Chƣơng Hạng nửa nhóm phép biến đổi bảo tồn thứ tự Trình bày hạng, hạng luỹ đẳng nửa nhóm phép biến đổi bảo toàn thứ tự On , POn SPOn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Lê Quốc Hán, người định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học, thầy giáo, cô giáo tổ Đại số Seminar chuyên ngành động viên, giúp đỡ trình viết chỉnh sửa luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp từ thầy giáo, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả CHƢƠNG NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẦY ĐỦ Trong chương nhắc lại khái niệm tính chất Lý thuyết nửa nhóm liên quan đến chương sau 1.1 Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ Giả sử S tập hợp tuỳ ý Khi ánh xạ f : S  S  S gọi phép tốn hai ngơi miền xác định S Với cặp thứ tự  x, y   S  S , ảnh f ( x, y) gọi tích hai phần tử x y Chúng ta ký hiệu đơn giản xy thay cho f ( x, y) 1.1.1 Định nghĩa Cặp (S , f ) (hay (S ,.) , đơn giản S không gây nhầm lẫn) gọi nhóm Một nhóm S gọi nửa nhóm, phép tốn có tính chất kết hợp, nghĩa với x, y, z  S có ( xy) z  x( yz) 1.1.2 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi vị nhóm, S có đơn vị Đơn vị vị nhóm S thường ký hiệu 1s hay đơn giản Đối với nửa nhóm S xác định vị nhóm S cách bổ sung đơn vị cho S S khơng có đơn vị  S , S vị nhóm S1    S  1 , S khơng phải vị nhóm phần tử đơn vị (mới), 1 S Giả sử S nửa nhóm tuỳ ý Phần tử z  S gọi phần tử không bên trái zy  z, y  S Tương tự, z  S gọi phần tử không bên phải yz  z, y  S gọi phần tử khơng vừa phần tử không bên trái vừa phần tử không bên phải S Phần tử e  S gọi luỹ đẳng e2  e Tập tất luỹ đẳng S ký hiệu E  ES 1.1.3 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm A tập không rỗng S Khi A gọi nửa nhóm S A đóng kín phép lấy tích, nghĩa với x, y  A có xy  A 1.1.4 Bổ đề Giả sử  Ai | i  I  họ nửa nhóm tuỳ ý S Ai không rỗng Khi A nửa nhóm S cho A  iI Chứng minh Thậy vậy, x, y  A x, y  Ai , i  I Ai nửa nhóm S , i  I Do xy  A nên A nửa nhóm S Đối với tập khơng rỗng X nửa nhóm S , ký hiệu X tất nhóm S chứa X Theo Bổ đề 1.1.4, X S S giao nửa nhóm S gọi nửa nhóm sinh X , nửa nhóm bé S chứa X Trong trường hợp nửa nhóm S xác định rõ ràng ngữ cảnh xét, ta viết X thay cho X S Nếu X  x1 , x2 ,  tập hữu hạn hay vơ hạn đếm được, ta ký x1 , x2 , s Nói riêng, X tập đơn tử, X   x hiệu x1 , x2 , thay cho ta viết X thay cho X S 1.1.5 Định lý Giả sử X tập không rỗng nửa nhóm S Thế X S Chứng minh Ký hiệu A    X n   x1 x2 xn | n  1, xi  X  n 1  X n Khi A nửa nhóm S Mặt khác, n 1 Xn  X S với n  nên từ X S nửa nhóm S ta có điều phải chứng minh 1.1.6 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm hữu hạn Khi hạng S xác định : rank S   A : A  S , A  S Nếu S sinh tập hợp luỹ đẳng E nó, hạng luỹ đẳng S xác định bởi: idrank S   A : A  E, A  S 1.2 Các quan hệ Green nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L, R, J sau S : a L b  S 1a  S 1b a R b  aS  bS a J b  S 1aS1  S1bS S 1a, aS S 1aS iđêan trái, phải iđêan S sinh a Theo định nghĩa, a L b  s, s '  S : a  sb b  s ' a a R b  r, r '  S : a  br b  ar ' Từ định nghĩa trực tiếp suy quan hệ L, R J quan hệ tương đương S Thực ra, L tương đẳng phải R tương đẳng trái S Với x  S , ta ký hiệu Lx L - lớp tương đương chứa x : Lx  { y  S | x L y } Tương tự, Rx J x ký hiệu lớp tương đương theo R J tương ứng chứa x 1.2.2 Định lý Các quan hệ L R giao hoán: L R = R L Chứng minh Giả sử  x, y   L R Thế phần tử z  S cho x L z , z R y Do tồn phần tử s, s ', r, r'  S cho: x  sz, z = s'x, z = yr, y = zr' Ký hiệu t  szr ' Thế t  szr '  xr ', x = sz = syr szr' r tr nên x R t Ta lại có: t  szr '  sy, y=zr' = s'xr'  s ' szr '  s ' t nên y L t Suy  x, y   L R nên L R R L Tương tự, có R L L R nên L R = R L 1.2.3 Định nghĩa Giả sử L R quan hệ tương đương xác định theo Định nghĩa 1.2.1 Ta xác định quan hệ S bởi: D =L R = R L H = R  L Khi H quan hệ tương đương lớn S chức L R theo Lý thuyết tập hợp Ta chứng minh D quan hệ tương đương bé chứa L R Thật vậy, L R quan hệ tương đương nên D =L R quan hệ tương đương Hơn nữa, x L x x R x với x  S nên L  D R  L Nếu C quan hệ tương đương S chứa L  R D  C, nên D quan hệ tương đương bé chứa L R Biểu đồ bao hàm quan hệ Green cho hình sau với ý J D  J D L R H Ký hiệu Dx H x D - lớp H - lớp tương ứng chứa x  S Khi với x , có Lx  Rx  H x 1.2.4 Bổ đề Đối với nửa nhóm S , ta có x D y  Lx  Ry    Ly  Rx   Hơn Dy  Ly  yDx Ry yDx Chứng minh Theo định nghĩa D, có: x D y  z  S : x L z z R y   z  S : x R s s L y Từ suy khẳng định thứ Bổ đề Khẳng định thứ hai suy từ L  D R  D Tình hình dung tranh "hộp trứng" Ở dòng R- lớp cột L- lớp, giao chúng H - lớp không rỗng (giao Ly  Rx   y D x ) Thực tế, u  Ly  Rx Ly  Lu Rx  Ru Do Ly  Rx  H u Bây giờ, ta nêu bổ đề Green hệ Giả sử S nửa nhóm, với s  S xác định ánh xạ: s : S  S , s  z   sz, z  S 1.2.5 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm, x L y giả sử s, s '  S cho sx  y s ' y  x Thế (i) s : Rx  Ry s ' : Ry  Rx song ánh (ii) s '  s1 hàm ngược  s hạn chế Rx (iii) s bảo toàn H - lớp, nghĩa mọi: u, v  Rx : u H v  s  u  H  s  v  Chứng minh Trước hết ta phải chứng minh  s ánh xạ Rx vào Ry Muốn vậy, giả sử z  Rx , nghĩa zS1  xS Thế szS1  sxS1  yS1 Do s  z   sz  Ry Lập luận tương tự ta có  s ' ánh xạ Ry vào Rx Nếu z  Rx z R x có phần tử u, u '  S cho z  xu x  zu ' Thế s ' sz  s ' sxu  s ' yu  xu  z s ' sz  z, z  Rx Từ s ' s  z   s '  sz   s ' sz  z s ' , s ánh xạ đồng Rx Tương tự, s ' s ánh xạ Ry Từ suy tính đắn khẳng định (i) (ii) 16 CHƢƠNG HẠNG CỦA NỬA NHĨM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TỒN THỨ TỰ 2.1 Nửa nhóm phép biến đổi bảo toàn thứ tự 2.1.1 Định nghĩa ký hiệu Giả sử X n  1, 2, , n Ký hiệu Tn nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ X n Ký hiệu Singn    Tn : im   n  1 nửa nhóm tất tự ánh xạ suy biến X n Ký hiệu On    Singn :  x, y  X n  x  y  x  y  nửa nhóm Sing n gồm tất tự ánh xạ suy biến bảo toàn thứ tự X n Rõ ràng On nửa nhóm quy Tn Chúng ta có On :  L  im   im   R  ker   ker   J  | im  || im  | Như On , giống thân Tn , hợp J -lớp J1 , J , , J n1 J r    On : im   r Chúng dành quan tâm đặc biệt J - lớp J n 1 chóp đỉnh nửa nhóm Đối lập với Singn , nửa nhóm On khơng tuần hồn (nghĩa H - lớp tầm thường); lần cố định im  ker  có ánh xạ bảo tồn thứ tự với ảnh hạt nhân cho trước Dễ dàng thấy  ker   -lớp tập lồi C X n , theo nghĩa x, y  C, x  z  y kéo theo z  C Như vậy, cách ký hiệu i, j tương đương X n mà lớp khơng chứa phần tử  i, j  , thấy R- lớp J -lớp J n 1 đánh số n  tương đương 1, ,| 2,3 |, ,| n 1, n | Các 17 L - lớp tương ứng với n ảnh X n \ 1 , X n \ 2 , , X n \ n Như J n1  n(n  1) Phần tử (duy nhất) H - lớp xác định tương đương i, i  1 tập X n \ k luỹ đẳng X n \ k đường hoành (hay đường cắt chéo) i, i  1 , nghĩa k  i k  i 1 Phần tử với hạt nhân i, i  1 ảnh X n \ k 1 i i  k k+1 n   k  k+1 n    1 i i k  i  1 k-1 k i i+1 n     k  i 1 k-1 k+1 i+1 i+1 n  Trong trường hợp đầu ta nói  phần tử giảm viết   [k  k    i] ; trường hợp sau ta nói  phần tử không giảm viết   [k  k    i  1] Có n  luỹ đẳng giảm i  i  1 (i  2,3, , n) n  luỹ đẳng giảm i  i  1 (i  1, 2,3, , n 1) Như E1    On : im   n  1,     tập hợp tất luỹ đẳng J n 1 , E1  2n  Từ kết On  E1 trực tiếp suy 2.1.2 Bổ đề Giả sử On nửa nhóm tự ánh xạ suy biến bảo toàn thứ tự X n Thế rank On  2n  idrank On  2n  Từ suy hạng On phải nhỏ số phần tử L - lớp J n 1 Như vậy: 2.1.3 Bổ đề rank On  n Đối với i  1, 2, , n 1 ký hiệu luỹ đẳng không giảm ei Ký hiệu phần tử (không luỹ đẳng) giảm  n  n    1 On  , giả sử A  e1 , e2 , , en1 ,   Thế ta có 18 2.1.4 Bổ đề Tất phần tử không giảm J n 1 thuộc A Chứng minh Kiểm tra trực tiếp k  k    i  1  i  i  1i 1  i  k  k  1 tích luỹ thừa không giảm 2.1.5 Bổ đề Tất phần tử luỹ đẳng giảm J n1 thuộc A Chứng minh Nếu nhân phần tử    n  n    1 tích en1en2 ei luỹ đẳng khơng giảm nhận phần tử không giảm 1    i 1 ( mà chúng nằm A Bổ đề 2.1.4 ), nhận luỹ đẳng giảm i  i  1 Bây sử dụng Bổ đề 2.1.5 để chứng tỏ tất phần tử giảm J n 1 nằm A Như J n1  A , On  E1  J n1  A  On Do On  A với | A | n Từ kết với Bổ đề 2.1.4 suy 2.1.6 Định lý Giả sử n  giả sử On nửa nhóm ánh xạ suy biến bảo toàn thứ tự X n Thế rank On  n 2.1.7 Định lý Giả sử n  Thế idrank On  2n  Chứng minh Giả sử F tập hợp luỹ đẳng J n 1 với tính chất A  On Thế nói riêng : J n1  F Xét tích 12 m  J n1 với 1 ,2 , ,m  F Giả thiết k  [i  i  1] , luỹ đẳng không giảm, luỹ đẳng k 1 không giảm Thế để tích kk 1 thuộc J n 1 địi hỏi ảnh X n \ i  k đường hoành kerk 1 Như k 1  i   i  k 1  i  i  1 Trong trường hợp thứ kk 1  k 1 , trường hợp thứ hai kk 1  k Lập luận tương tự  k giảm k 1 khơng giảm Như tích 12 m rút gọn được, suy 19 phần tử  J n 1 biểu diễn dạng tích rút gọn 1'2'  'p mà i' không giảm (nếu  không giảm) i' giảm (nếu  giảm) Khi đó,   1'2'  'p  Ri' Suy R - lớp J n 1 , xác định tương đương i, i  phải biểu diễn F hai luỹ đẳng không giảm i  i  1 luỹ đẳng giảm i   i  Từ F  E1 , tập hợp tất luỹ đẳng J n 1 Bây kết cần chứng minh suy từ Bổ đề 2.1.2 2.2 Nửa nhóm phép biến đổi phận bảo tồn thứ tự Chúng tơi trình bày lại số ý tưởng tổ hợp dẫn đến biểu thức thứ tự nửa nhóm POn Giả sử định tương đương  tập X m lồi (convex) lớp tập lồi X m , giả sử nói  trọng số r | X m /  | r Một tương đương lồi với trọng số r xác định giao r  " biên " m  không gian 1, 2, , m (Như vậy, chẳng hạn tương đương lồi với trọng số X mà lớp 1, 2,3 , 4 {5, 6} xác định hai biên, và  m  1 5) Suy số tương đương lồi với trọng số X m   Bây  r 1  giờ, r  1, 2, , n giả sử Wr    POn :| dom  | r Một dom  chọn, im  cần phải tập X n với | im  | s  r , ker n r  n  r  1 quan hệ tương đương dom  với trọng số s Như | Wr |       r s s 1   s 1   Bây r  n  r  1   s  s  1 s 1    hệ số x n 1  x  1  x  n r 1  1  x  n  r 1  , n  n  r  1  n  r  1  n  n  r  1  | PO |   Từ suy           (+1 vế n r  r  s 1  s  s   r 1  r   r 20 trái thực tế cách đếm bao gồm ánh xạ đồng X n , mà bị loại trừ khỏi POn )  n  r  1 r x ( x  1) nhận r  r 0   Cuối cùng, từ chuỗi tổ hợp 1  x     n 2.2.1 Định lý |POn|+1 hệ số x n khai triển chuỗi (1+x)n(1-x)-n Số POn tăng mạnh theo n Một số giá trị n cho bảng : n | POn | 37 191 1001 Kết tiết 2.2.2 Định lý Giả sử n  Thế rank POn  2n 1 , POn nửa nhóm phép biến đổi phận bảo toàn thứ tự X n Chứng minh Trong POn , thực tế nửa nhóm lớn Pn tất phép biến đổi phận X n , để thuận tiện qui định phần tử  có dạng  r , s  hay thuộc tập hợp  r , s  dom   r im   s Hiển nhiên,  s  r  n J -lớp J n1    POn :| im  | n  1 hợp  n, n  1  n  1, n  1 , mà bao gồm ánh xạ - một, có n R -lớp, đánh dấu miền X n \ 1 , X n \ 2 , , X n \ n Lập luận phép chứng minh Bổ đề 2.1.1, chắn tập sinh POn phủ R -lớp J n 1 Vì nhận 2.2.3 Bổ đề rank POn  2n 1 Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, bắt đầu cách thiết lập 2.2.4 Bổ đề Đối với r  1, 2, , n  , có [r,r]  [r+1,r+1][r+1,r+1] 21  a a a  Chứng minh Xét phần tử điển hình    r   r , r  với  b1 b2 br  a1  a2   ar b1  b2   br Bộ r -tuple thứ tự  a1 , a2 , , ar  gọi có lỗ hổng (trong) vị trí i  1  Để thuận tiện, giải thích lỗ hổng vị trí a1  lỗ hổng vị trí r  xuất ar  n  Các định nghĩa tương tự áp dụng cho  b1 , b2 , , br  Vì r  n  nên phải có lỗ hổng trường hợp  a1 a a r   cho có lỗ hổng vị  b1 b2 br  Bây giả thiết phần tử    trí j  b1 , b2 , , br  Giả sử x, y thoả mãn 1  x  , b j 1  y  b j (Chú ý rằng, chẳng hạn x  i  x  n i  r  ) Bây phân thành hai trường hợp tuỳ theo i  j i  j Giả thiết i  j Thế  ánh xạ a1 , a2 , , ar   x lên 1, 2, , r  2 \  j  1 theo cách bảo toàn thứ tự Như    r  1, r  1 k  ak   k  k   k  i-1 i