Hạng của nửa nhóm te(x)

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Nguyễn văn tr-ờng Hạng nửa nhóm te(X) Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Nguyễn văn tr-ờng Hạng nửa nhóm te(X) Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số MÃ sè: 60.46.05 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS Lª Qc H¸n Vinh - 2010 MỤC LỤC Trang LỜI NĨI ĐẦU Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ tập 1.2 Các quan hệ Green nửa nhóm 1.3 D  cấu trúc nửa nhóm T X 15 Chƣơng Hạng nửa nhóm TE (X) 21 2.1 Hạng nhóm đồng phơi 21 2.2 Hạng nửa nhóm TE (X) 26 2.3 Hạng nửa nhóm Γ (X) 30 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 LỜI NÓI ĐẦU Giả sử S nửa nhóm Chúng ta nói tập T S tập sinh S – ký hiệu = S - phần tử S biểu diễn thành tích phần tử T Thế ta định nghĩa hạng nửa nhóm S rank S = {T: = S} Giả sử X tập hợp với X   TX nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ bao gồm ánh xạ từ X vào X, với phép hợp thành ánh xạ Nếu X = {1, 2, , n} nhóm đối xứng GX có hạng Nói riêng, hốn vị vịng quanh T= (12),  = (1,2 ,n) sinh GX Đối với f  TX, lực lượng X –f (X) được gọi số khuyết X Nửa nhóm TX có hạng 3, sinh hai phần tử sinh GX với phần tử sinh chọn tùy ý với số khuyết Trong thời gian gần đây, có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu tập sinh hạng nửa nhóm phép biến đổi khác Chẳng hạn, Howie xét nửa nhóm TX với phần tử sinh lũy đẳng, Gomes Howie làm sáng tỏ hạng lũy đẳng hạng lũy linh SPn, nửa nhóm ngược ánh xạ phận - X = {1,2, ,n} Magill xét tích lũy đẳng nửa nhóm ánh xạ liên tục không gian tôpô X Năm 1994, Pei Huisheng xét loại nửa nhóm phép biến đổi sau tập hợp X tương đương E X, giả sử TE (X)= {f TX:  (a,b)  E, (f (a), f (b)) E} Thế TE (X) nửa nhóm TX Hơn nữa, TE (X) nửa nhóm nửa nhóm ánh xạ liên tục từ X vào X, X khơng gian tơpơ nhận tất E  lớp tương đương làm sở Một số tính chất TE (X) xét tới năm Một ánh xạ f từ khơng gian tơpơ X vào gọi đóng tập đóng A X, f (A) đóng X Thế tập hợp tất ánh xạ đóng khơng gian X tạo thành nửa nhóm TX - ký hiệu  (X) Trong luận văn, không gian tôpô X luôn giả thiết xác định tương đương E theo quan niệm Một câu hỏi tự nhiên đặt là: liệu có xác định hạng TE (X) (X) không? Trong trường hợp tổng quát, câu hỏi chưa giải trọn vẹn Luận văn tìm hiểu vài trường hợp cụ thể, chẳng hạn X có hữu hạn phần tử E  lớp có lực lượng Nói cách khác, giả thiết X có mn điểm, X = mn, E có m - lớp lớp có n - điểm, m 2, n  Như biết, hạng T(X) không phụ thuộc cách chặt chẽ vào hạng nhóm đối xứng GX Tương tự để xác định hạng TE (X), trước hết xét hạng nhóm E gồm tất song ánh TE (X) Trong Mục 2.1, chúng tơi tìm hiểu hạng nửa nhóm chứng minh kết rank G  Trong Mục 2.2, chúng tơi tìm hiểu hạng TE (X) Dựa kết Mục 2.1, cách tập sinh TE (X) chứa phần tử kết luận rank (TE (X))  Bằng phương pháp này, Mục 2.3, chúng tơi tìm hiểu hạng nửa nhóm  (X) chứng minh kết rank ( (X))  Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TS Lê Quốc Hán - người đặt vấn đề trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn Cuối cùng, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học, PGS TS Ngô Sỹ Tùng; PGS TS Lê Quốc Hán; TS Nguyễn Thị Hồng Loan quý thầy cô giáo khoa tổ Đại số tạo điều kiện giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành Luận văn Mặc dù cố gắng, song Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp quý báu từ thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Vinh, năm 2010 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm Lý thuyết nửa nhóm có sử dụng Luận văn 1.1 NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẦY ĐỦ TRÊN MỘT TẬP HỢP Giả sử X tập hợp tuỳ ý khác rỗng Ký hiệu TX tập hợp tất ánh xạ từ X vào Thế TX với phép nhân ánh xạ nửa nhóm, phép nhân ánh xạ thoả mãn luật kết hợp Hơn TX vị nhóm đơn vị ánh xạ đồng X mà ta ký hiệu 1X 1.1.1 Định nghĩa Nửa nhóm TX gọi nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ tập X Giả sử S S’ nửa nhóm Khi ánh xạ : S → S’ gọi đồng cấu thoả mãn điều kiện  (ab) =  (a). (b) với a, b thuộc S 1.1.2 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm X tập hợp khác rỗng tuỳ ý i) Một đồng cấu : S → Tx gọi biểu diễn nửa nhóm S ii) Biểu diễn : S → Tx gọi biểu diễn trung thành  đơn ánh Giả sử S nửa nhóm khơng có đơn vị Khi S nhúng vào vị nhóm S1 = S  {1} ký hiệu không thuộc S x.1 = 1.x với x thuộc S1 Kết sau tương tự Định lý Cayley Lý thuyết nhóm 1.1.3 Định lý Mỗi nửa nhóm S có biểu diễn trung thành Chứng minh Giả sử X = S1 Với a S xác định ánh xạ a: S1 → S1, a (a) = ax với x S1 Khi aTx với a, b thuộc S, x thuộc S1 có ab (x) = (ab) (x) = a (bx) = a (b (x)) = a o b (x) Do ab = a b, nên ánh xạ : S →Tx,  (a) = a đồng cấu Hơn nữa,  (a) =  (b) kéo theo a = b, a (1) = b (1) nên a.1 = b.1 hay a = b Do  đơn ánh nên  biểu diễn trung thành  Từ Định lý 1.1.3 suy rằng: Lý thuyết nửa nhóm tổng quát quy Lý thuyết nửa nhóm phép biến đổi Ánh xạ a: S→ S xác định chứng minh Định lý 1.3 gọi phép chuyển dịch bên trái hay phép tịnh tiến trái xác định phần tử a Phép chuyển dịch bên phải a: S → S xác định tương tự: a (x) = xa với x thuộc S 1.1.4 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Khi ánh xạ : S → S gọi phép chuyển dịch bên phải thoả mãn điều kiện  (xy) = x (y) với x, y  S Ánh xạ : S → S gọi phép chuyển dịch bên trái thoả mãn điều kiện  (xy) =  (x)y với x, y  S 1.1.5 Mệnh đề Tập hợp tất phép chuyển dịch bên phải (bên trái) nửa nhóm S nửa nhóm nửa nhóm TX Chứng minh Ký hiệu P tập hợp tất phép chuyển dịch bên phải Q tất phép chuyển dịch bên trái nửa nhóm S Khi 1, 2  Q với x, y  S có: (2 o 1) (xy) = 2[2 (xy)] = 2[1 (x)y] = 2[1 (x)] y = [ (2 o 1) (x)]y nên (2 o 1)  Q Do Q nửa nhóm TX Tương tự có P nửa nhóm TX  1.1.6 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Khi ánh xạ : S → Ts,  (a) = a gọi biểu diễn quy S; ánh xạ ’: S → Ts, ’ (a) =  (a) gọi phản biểu diễn quy S Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: 1.1.7 Mệnh đề Tập hợp tất phép chuyển dịch bên phải (bên trái) nửa nhóm S nửa nhóm P0 nửa nhóm P (hoặc nửa nhóm Q0 nửa nhóm Q) Nhắc lại rằng, ánh xạ : S → S’ từ nửa nhóm S vào nửa nhóm S’ gọi phản đồng cấu,  (ab) =  (b). (a) với a, b thuộc S Ánh xạ a → λa (hoặc a → ρa) đồng cấu (hoặc phản đồng cấu) từ nửa nhóm S lên P0 (hoặc Q0) biểu diễn quy (hoặc biểu diễn phản quy) nửa nhóm S 1.1.8 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị Nếu x y phần tử thuộc S cho xy= x gọi nghịch đảo bên trái y, y gọi nghịch đảo bên phải x Phần tử khả nghịch bên phải (trái) S định nghĩa phần tử thuộc S có nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S Phần tử khả nghịch thuộc S phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải 1.1.9 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị P(tương ứng Q) tất phần tử khả nghịch bên trái (hay bên phải) S (i) Tập P (tương ứng Q) nửa nhóm với luật giản ước phải (hay trái) chứa (ii) Tập V tất phần tử khả nghịch thuộc S nửa nhóm S V= P ∩ Q Mỗi phần tử nghịch đảo hai phía thuộc V khơng có nghịch đảo bên phải hay bên trái thuộc tập (iii) Mỗi nhóm S chứa chứa V Chứng minh: Xem [1] Ta có S chứa nhóm S chứa luỹ đẳng Nếu e luỹ đẳng S, eS gồm tất phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị trái, nghĩa ea = a Thật vậy, a = ex với x thuộc S ea = e (ex) = e2x = ex = a; mệnh đề đảo hiển nhiên Tương tự, Se gồm tất phần tử thuộc nửa nhóm S nhận e làm đơn vị phải, eSe tập hợp tất phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị hai phía, eSe = eS  Se Vì eSe có đơn vị hai phía e nên eSe có nhóm phần tử khả nghịch mà ta ký hiệu He 1.1.10 Mệnh đề Giả sử e phần tử luỹ đẳng tuỳ ý nửa nhóm S He nhóm phần tử khả nghịch nửa nhóm eSe Thế He chứa nhóm G S, mà G có giao khác rỗng với S Chứng minh Giả sử f đơn vị G Trước hết ta chứng tỏ f = e Theo giả thiết, GH khác rỗng; giả sử a phần tử thuộc giao Nếu x y nghịch đảo a tương ứng nhóm G He e = ya = yaf = ef = eax = ax = f Vì e đơn vị hai phía G nên G  eSe Theo Mệnh đề 1.1.9 có G  H  1.1.11 Định nghĩa Nhóm G nửa nhóm S gọi nhóm tối đại S, G khơng chứa thực nhóm khác S Giả sử G nhóm tối đại nửa nhóm S e đơn vị G, e  G  He, G = He theo tính chất tối đại G Đảo lại, e luỹ đẳng S từ Mệnh đề 1.1.10 suy He nhóm tối đại S Như vậy, nhóm He mệnh đề 1.1.10 có chúng nhóm tối đại nửa nhóm S Từ Mệnh đề 1.1.10 suy rằng, e f luỹ đẳng khác nửa nhóm S, He Hf khơng giao Ta nhắc lại ánh xạ f XY gọi ánh xạ - f đơn ánh f gọi ánh xạ từ X lên Y f toàn ánh 20 Mỗi phép   GY cảm sinh phép biến đổi thuộc H, cụ thể phép biến đổi sau: x = (x)  Hơn nữa,  xác định cách  Thực vậy, y = y với y  Y, ,  H, x = xε với x X, từ  =  =  =  Do ánh xạ  = Y ánh xạ – từ H lên Gy r ràng đẳng cấu Vậy H nhóm Jx đẳng cấu với Gy  21 CHƢƠNG HẠNG CỦA NỬA NHÓM TE (X) Trong chương này, chúng tơi trình bày hạng nhóm đồng phơi, nửa nhóm TE (X) nửa nhóm Γ (X) 2.1 HẠNG CỦA NHĨM ĐỒNG PHƠI 2.1.1 Định nghĩa Giả sử TX nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ tập X E tương đương không tầm thường X Khi tập hợp: TE (X)= {f TX:  (a,b)  E, (f (a), f (b)) E} nửa nhóm TX Hơn TE (X) nửa nhóm ánh xạ liên tục không gian tôpô X mà tập hợp E  lớp sở Một phần tử f TE (X) song ánh f đồng phơi khơng gian X có sở gồm tất E- lớp Nhóm G bao gồm song ánh thuộc TE (X) gọi nhóm đồng phơi Chú ý song ánh thuộc TE (X) ước đơn vị, nhóm đồng phơi nhóm ước đơn vị nửa nhóm TE (X) 2.1.2 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm A tập S Khi nửa nhóm S sinh A kí hiệu < A > Thế hạng S định nghĩa bởi: rank S = {A: = S} Giả sử X tập hợp với X   TX nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ X Nếu X = {1, 2, , n nhóm đối xứng GX có hạng Nói riêng, hốn vị vịng quanh T= (12),  = (1,2 ,n) sinh GX 2.1.3 Định nghĩa Đối với f TX, lực lượng X –f (X) được gọi số khuyết X Nửa nhóm TX có hạng 3, TX sinh hai phần tử GX phần tử sinh chọn tùy ý với số khuyết 22 2.1.4 Chú ý Trong chương này, tập hợp X luôn xét sau: X gồm mn phần tử, X= {1,2, ,m,m+1, ,mn}, m  n  Tương đương E X luôn định nghĩa bởi: E = (A1x A1) U (A2 x A2) U U (Am x Am) Ai = { (i - 1) n+1, (i - 1) n+2,, , in}, i = 1,2, ,m Ký hiệu T= (12) phép X biến thành 2, thành x thành với x ≠ 1,2,  phép biến x thành x +1 x= 1, 2, , n thành x thành x x  A, nghĩa là:  = (1,2, , n) 1, 2, , n, n  1, n  2, , 2n    n  1, n  2, , 2n, 1, 2, , n  Giả sử Tx phép thế:  ảnh x> 2n x Thỉnh thoảng, ký hiệu T* (A1A2) biểu thị thực tế ánh xạ A1 vào A2 A2 vào A1 Chúng ta định nghĩa tương tự cho phép (AiAj) với i  j, ánh xạ Ai (Aj) với i theo thứ tự không đổi tác động ánh xạ đồng điểm lại Giả sử T’ = (n + 1, n + 2) phép X biến n + thành n + 2, n + thành n + x thành với x  n + 1, n + Giả sử  = (n + n + 2n) phép mà ánh xạ x thành x + (với n +  x  2n), 2n thành n + ánh xạ y thành tất y  A2 Thế T’  sinh nhóm G bao gồm tất phép f mà chúng ánh xạ phần tử x  X – A2 thành x Kiểm tra trực tiếp được: 2.1.5 B đề T*TTx = T , T*T Tx = T, T*  T =  T*  T* =  Một ánh xạ f thuộc TE (X) gọi E - cố định f ánh xạ E lớp thành R ràng f E cố định F Ai phép biến đổi 23 Ai i Ký hiệu * = (A1A2 Am) phép ánh xạ Ai thành Ai+1 (  i  m ) ánh xạ Am thành A1, theo cách bảo tồn thứ tự Nói cách khác, n định nghĩa bởi: x* = x+n x  Am x – (m - 1)n x  Am R ràng tất T*, * (AiAj) (i  j) phần tử nhóm đồng phơi G Ta có: 2.1.6 B đề Mỗi (A1Ai) (i ≥ 3) biểu diễn thành tích T* * Chứng minh Ta có ξ *m = (1) phép đồng Như vậy, -1 = m-1 đó:  *1 T** = *m 1 T** = (A2A3) Tổng quát hơn, ta kiểm tra được:  *i 1 T* *i 1 = (AiAi+1), i = 1, 2, , m -1 (AjAj+1) (Aj-1Aj) (A2 A3) T* (A2A3) (AjAj+1) = (A1Aj+ 1)  2.1.7 B đề Nếu f G E - cố định, th f biểu diễn thành tích T, , T*, * Chứng minh Giả sử fi = (f│Ai) U 1X- Ai (1 i ≤ m), 1Y ký hiệu ánh xạ đồng tập Y Thế thì: f = f1f2 fm fi đánh phép Ai Do đó, f1 biểu diễn thành tích T , Bổ đề 2.1.5, f2 biểu diễn thành tích T,  T* Tương tự Bổ đề 2.1.5, kiểm tra được: (A1Ai) T (A1Ai) = ( (i - 1) n + (i - 1) n +2) (A1 Ai)  (A1Ai) = ( (i – 1) n +1, (i - 1) n +2, , n) Hai phép bên phải hai đẳng thức xét phần tử sinh A.Từ fi biểu diễn thành tích T,  (A1 Ai) mà 24 với Bổ đề 2.1.6 cho fi (i ≥ 3), từ f biểu diễn thành tích T, , T* *  Vì f  G song ánh f ánh xạ E - lớp thành lớp đơn lẻ, nên f cảm sinh phép f* tập thương X/E Rõ ràng, f* xác định Ai f* = Aj Ai f  Aj, đóAi tác động f* xét điểm tập thương tác động f xét tập X Định nghĩa phép X/E ánh xạ Ai (Aj) thành Aj (Ai) ánh xạ AK (k ≠ i,j) thành Ak (Ai Aj)* Đặc biệt ký hiệu T* = (A1A2)* Ký hiệu * phép X/E ánh xạ Ai thành A i+1 (1 ≤ i < m) ánh xạ Am thành A1 R ràng phép X/E biểu diễn thành tích T* * Ký hiệu phép đồng X/E (1)* Ta có: 2.1.8 B đề ối với f  G, tồn tích T* *, p (T*, *) cho f* p (T*, *) = (1)* Chứng minh Như thấy f* biểu diển thành tích T* *, q (T*, *) Chú ý rằng: (T*) -1 = T* (*)-1 = (*)m -1, từ f* = q (T*, *), ta nhân hai vế với nghịch đảo nhân tử bên phải q (T*, *) Ta nhận tích p (T*, *) trong vế phải trở thành (1)* 2.1.9 B đề Giả sử f  G f* phép X/E cảm sinh f Giả sử p (T*, *) tích T* * Thế th f*p (T*, *) = (1)* ch fp (T,) phép E - cố định X Chứng minh Giả thiết f*p (T*, *) = (1)* Lấy E - lớp A tuỳ ý, cần chứng tỏ Aifp (T*, *)  Ai 25 Chú ý f f* ánh xạ Ai thành E - lớp, Ak xem tập X điểm tương ứng X/E Theo giả thiết f*p (T*.*)= (1)*, p (T*, *) phải ánh xạ Ak thành Ai Chú ý AiT* = An AiT* = An (tương tự, Ai* = An Ai* = An) Từ đó: Akp (T*,*) = Ai Akp (T*, *) = Ai Do đó, p (T*, *) ánh xạ Ak thành Ai suy điều kiện cần Chứng minh điều kiện đủ giống chứng minh điều kiện cần  Bây ta phát biểu kết tiết 2.1.10 Định lí G = (T, , T*, *) Chứng minh Giả sử f phần tử tuỳ ý G Nếu f E - cố định, theo Bổ đề 2.1.7, f biểu diễn thành tích T, , T*, * Nếu f khơng E - cố định, theo Bổ đề 2.1.8 2.1.9 tồn tích T* *, p (T*, *) cho fp (T*, *) E - cố định Lại theo Bổ đề 2.1.7 tồn tích T, , T* *, q (T, , T*, *) cho: fp (T*, *) = q (T, ,T *, *) Chú ý (T*)-1 = T*  *1 = (*)m-1, cách nhân hai vế với nghịch đảo nhân tử bên phải p (T*, *), cuối ta nhận tích mong muốn T, , T*, * f Từ suy điều cần chứng minh  2.1.11 Hệ uả Giả sử X tập hợp vớiX= mn (m ≥ 2, n ≥ 3), E tương đương X cho E - lớp có n điểm Giả sử G nhóm đồng phơi TE (X) Thế rank G ≤ m = rank G ≤ m ≥ Chứng minh Đây hệ trực tiếp Định lý 2.1.10, cần giải thích kết luận m = Dễ dàng kiểm tra m = * = T* G = < T, , T* > nên rank (G) ≤  26 2.2 HẠNG CỦA NỬA NHÓM TE (X) Tiết này, tập trung quan tâm vào hạng nửa nhóm TE (X), tập X tương đương E giả thiết tiết trước Ký hiệu [i,j] (i ≠ j) phép biến đổi  X xác định bởi: i  = j, x  = x (x ≠ i) Thế [i,j] luỹ đẳng TX với số khuyết 1đối với i ≠ j tuỳ ý Đặc biệt sử dụng ký hiệu  = [1,2] Kết sau mô tả luỹ đẳng TE (X) với số khuyết 2.2.1 B đề Giả sử E quan h tương đương tập hợp X, cho E có điểm Thế th f  TE (X) luỹ đẳng với số khuyết b ng ch f = [i,j] i ≠ j với (i,j)  E Chứng minh Điều kiện đủ r ràng Ta cần chứng minh điều kiện cần Giả sử f  TE (X) luỹ đẳng cho {i} = X – Imf Giả sử j ảnh i qua f Thế f = [ij] Chỉ cần kiểm tra (i,j)  E Giả thiết i  A, j  B A, B E - lớp Chú ý f ánh xạ i thành j ta có Af  B Mặt khác f luỹ đẳng, ánh xạ điểm thuộc miền giá trị thành điểm Theo giả thiết, A> 1, tồn x  A cho x ≠ i, x  Imf xf = x Như x  A  B B = A Suy (i,j)  E  2.2.2 B đề Các đẳng thức sau (1) (1i)  (1i) = [i2] (3 i  n) (2) (2j)  (2j) = [1j] (3 j  n) (3) (1i) (2j)  (2j) (1i) =[ij] (3 i,j n,i ≠ j) (4) (ij) [ij] (ij) = [ji] (1 i,j  n, i ≠ j) (5) T*  T* = [n + n + 2] (6) T* (1i)  (1i) T* = [n + i n + 2] (3 i  n) 27 (7) T* (2j)  (2j) T* = [n + n + j] (3 j  n) (8) T* (1i) (2j)  (2j) (1i) t* = [n + i n + j] (3i,j n,i ≠ j) (9) T* (ij) [ij] (ij) T* = [n + j n + i] (1 i,j  n, i ≠ j) Chứng minh Đối với (1) đến (4) kiểm tra trực tiếp Những đẳng thức lại chứng minh cách sử dụng bốn đẳng thức định nghĩa T*  2.2.3 B đề (Xem [1]) Giả sử TA1 với im   = r  n – i,j  A1 hai điểm khác cho i = j Z  A1 – Im  ịnh nghĩa  bởi: i = Z, k  = k  (k ≠ i) Thế th  TA1, im  = r +1  = [ij]  Do  TAi viết dạng:  = [i1 j1] [i2 j2] [ik jk]   song ánh A1 i1,j1, , ik,jk A1 Nhắc lại rằng: f  TE (X) gọi E - bảo hoà Im (f)  A ≠  E - lớp A R ràng ánh xạ E - cố định E - bảo hoà Nếu tồn kE lớp B1, B2, , Bk cho Bi  Imf =   i  k, ta nói f có E - số khuyết k Giả sử [Ai Aj] (i ≠ j) phép biến đổi  xác định bởi: x = x – (i - 1)n + (j - 1)n x Ai x ngược lại R ràng, [Ai Aj] có E - số khuyết Đặc biệt, ký hiệu * = [A1 A2] Tương tự Bổ đề 2.2.2 2.2.4 B đề Các đẳng thức sau (1) (A1 Ai) * (A1 Ai) = [Ai A2] (3  i  m) 28 (2) (A2 Aj) * (A2 Aj) = [A1 Aj] (3  j  m) (3) (A1 Ai) (A2 Aj) * (A2 Aj) (A1 Ai) = [A1 Ai] (3  i, j  m, i ≠ j) (4) (Ai Aj) [Ai Aj] (Ai Aj) = [Aj Ai] (1 i, j  m, i ≠ j) Từ Bổ đề 2.2.4 Bổ đề 2.2.2, [Ai Aj] (i  j) biểu diễn thành tích T*, * * Nhận xét sau liên quan với phân tích lũy đẳng với số khuyết 2.2.5 B đề Các đẳng thức sau (trong k 2) (1) (A1 Ak)  (A1 Ak) = [ (k -1)n + (k - 1) n + 2] (2) (A1 Ak) [ij] (A1 Ak) = [ (k - 1) n + i (k - 1) n + j], (1 i, j  n, i ≠ j) o đó, l y đẳng với số khuyết biểu diễn thành tích T, ξ, , T* ξ* Chứng minh Dễ dàng kiểm tra hai đẳng thức Từ Bổ đề 2.2.1, lũy đẳng số khuyết dạng [u,v] (uv) với (uv)  E, nói cách khác, u,v  Ak k Chú ý (A1 Ak) thuộc nhóm đồng phơi G, từ biểu diễn thành tích T, ξ, T* ξ* (thực tế T* ξ*) theo Định lý 2.1.10 Theo Bổ đề 2.2.2 [ij] (1 ≤ i, j≤ n, i  j) biểu diễn thành tích T, ξ , lũy đẳng số khuyết TE (X) biểu diễn thành tích năm phần tử T,ξ, , T* ξ*  2.2.6 B đề Giả sử f TE (X) E – bão h a Thế th f biểu diễn thành tích T,ξ, , T* ξ* Chứng minh Trước hết giả thiết f E  cố định Như làm chứng minh Bổ đề 2.2.3, giả sử: fi = (fAi)  1X-Ai, i= 1, 2, ,m Thế f = f1, f2 fm Từ bổ đề 2.2.3, fi biểu diễn dạng: 29 fi = [i1j1] [ikjk] fi i1,, j1 , ik, jk  Ai fi phép X mà fX – Ai phép đồng Do đó, fi từ f, biểu diễn thành tích T, ξ, , * ξ*, cách sử dụng Bổ đề 2.2.5 Định lý 2.1.10 Bây giả sử f E – cố định.Theo Bổ đề 2.1.8, f cảm sinh phép f* X/E tồn tích T* ξ*, p (T*,ξ*) cho: f*p (T*, ξ*) = (1)* Theo Bổ đề 2.1.9, fp (T*, ξ*) E cố định biểu diễn dạng tich T, ξ, , T* ξ*, suy f  Bây phát biểu chứng minh kết tiết 2.2.7 Định lý TE (X) = Chứng minh Chứng tỏ quy nạp theo E – số khuyết k f  TE (X) Nếu f có E – khuyết 0, nghĩa là, f E bảo hịa kết luận suy từ Bổ đề 2.2.6 Bây giả thiết kết luận đến f với E – số khuyết k (k 0) Lấy f  TE (X) với E – số khuyết k +1 Thế tồn t (1≤ t ≤ m) cho Im (f) ∩ At =  tồn i,j cho Aif Ajf chứa E – lớp Au Giả sử g: Au  At song ánh bảo tồn thứ tự, nói cách khác: xg = x – (u -1)n + (t - 1)n (x  Au) Trong định nghĩa f: X  X sau: x f g x A xf = xf trường hợp ngược lại Thế r ràng f  TE (X), f có E  số khuyết k Hơn nữa, f = f [At Au] Theo giả thiết quy nạp, f biểu diễn thành tích phần tử Trong đó, theo Bổ đề 2.2.4, [At Au] biểu diễn thành tích T*,ξ* 30 * Như vậy, f biểu diễn thành tích phần tử yêu cầu, kết luận suy từ nguyên lý quy nạp  Từ Định lý 2.2.7 Hệ 2.1.11 trực tiếp suy 2.2.8 Hệ uả Nếu m = , th hạng TE (X) không vượt Nếu m  th hạng TE (X) không vượt 2.3 HẠNG CỦA Γ (X) 2.3.1 Định nghĩa Giả sử X khơng gian tơ pơ Khi ánh xạ f: X→ X gọi ánh xạ đóng với tập A đóng X ta có f (A) đóng X Tập hợp tất ánh xạ đóng khơng gian X tạo thành nửa nhóm kí hiệu Γ (X) Trong tiết này, không gian X xét tiết 2, nghĩa X có sở gồm m (với m  2) phần tử chúng có n (n 2) điểm Chú ý (cơ sở) tập hợp mở Ai đóng, từ suy tập hợp tất E – lớp{Ai :i = 1,2, ,m sở đóng không gian X Bây xét ánh xạ đóng X 2.3.2 Định lý f  Γ (X) ch Ai, tồn Aj cho f (Ai)= Aj o đó, Γ (X)  TE (X) Γ (X) nửa nhóm quy Chứng minh Giả thiết f ánh xạ đóng tập đóng (cơ sở) Ai, f (Ai) đóng nên tồn J  {1,2, ,m} cho f (Ai) =  {Ai, j  J} Chú ý (Ai)≤ n, suy f (Ai) = Aj j đơn lẻ Đảo lại, điều kiện thỏa mản, tập đóng F có dạng  {Aj jJ J tập {1,2, ,m kiểm tra f ánh xạ đóng khơng gian X Do đó, kiểm tra thơng thường chứng tỏ ánh xạ đóng thỏa mãn địi hỏi nửa nhóm TE (X) suy Γ (X)  TE (X) để thấy tính quy Γ (X), lấy f  Γ (X) tùy ý Định nghĩa g  TX 31 sau Đối với Ai  f (X), chọn Aj cho f (Aj) = Ai Thế fAj ánh từ Aj lên Ai Ký hiệu i nghịch đảo fAj Giả sử: xg = X i x  Ai  f (X), x ngược lại Thế g  Γ (X) f = fgf  Từ kết sau cùng, r ràng tất cácT, , T*, * [AiAj] ánh xạ đóng khơng gian X Bên cạnh đó, dễ thấy Γ (X) nửa nhóm tất ánh xạ mở không gian X 2.3.3 Định lý Giả sử X E Thế th Γ (X) = Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo E - số khuyết k phần tử f  Γ (X) Nếu k = 0, f phải đồng phôi, theo Định lý 2.1.6, f tích T, ,T * * Giả thiết kết luận đến với f mà E  số khuyết k (với k  0) cần chứng minh kết luận cho ánh xạ đóng với E  số khuyết k + Giả sử f  Γ (X) mà E- số khuyết k+ Thế tồn E - lớp Ai, Aj i  j cho Aif = Ajf = Au u Và tồn t cho giao A t Imf rỗng Định nghĩa f: Au  At f phép chứng minh Định lý 2.2.7 Một kiểm tra thông thường cho hai f [At Au] ánh xạ đóng khơng gian X E  số khuyết f k Hơn nữa, f = f[AiAu] Theo bổ đề 2.2.4, [At Au] viết dạng tích T*, * * Theo giả thiết quy nạp, f viết dạng tích T, , T*, * * Như vậy, f tích năm phần tử sinh  Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 2.3.3 2.3.4 Hệ uả Nếu m = , th hạng Γ (X) không vượt Nếu m 3, th hạng Γ (X) không vượt 32 Chú ý: (1) Tập sinh G TE (X) khơng – Ví dụ: phép (12) (1 …n) thay phép chẳng hạn (i,j) = ( (k - 1) n + 1, (k - 1) n + 2,…, kn) i,j  Ak Tương tự, phần tử , *, T* * thay số phần tử thích hợp (2) Ở đưa cận hạng nửa nhóm TE (X) Người ta dự đốn hạng TE (X) số xác đó, chẳng hạn m  hạng TE (X) 6, m = hạng TE (X) Vấn đề đến mở 33 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành nội dung sau: Hệ thống khái niệm tính chất nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi, nửa nhóm quy nửa nhóm ngược Chứng minh chi tiết kết cơng trình On the rank of the semigroup TE (X) Peil Huisheng đăng Tạp chí Semigroup Forum năm 2005: a) Mơ tả nhóm đồng phơi G = (T, , T*, *) (Định lí 2.1.10) Từ suy ra: Nếu m = rank G ≤ 3, m ≥ rank G ≤ (Hệ 2.1.11) b) Mơ tả nửa nhóm TE (X) = (Định lí 2.2.7) Từ suy ra: Nếu m = rank TE (X) ≤ 5, m ≥ rank TE (X) ≤ (Hệ 2.2.8) c) Mơ tả nửa nhóm Γ (X) = (Định lí 2.3.3) Từ suy ra: Nếu m = rank Γ (X) ≤ 4, m ≥ rank Γ (X) ≤ (Hệ 2.3.4) 34 TàI LIệU THAM KHảO Ting Vit [1] A.H.Clipht v G.B.Prestn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1), Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Trường Đại Học Vinh [3] S.Lang (1974), ại số tập 1, dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội Tiếng Anh [4] J.M.Howie (1966), The subsemigroups generated by the idempotents of a full transformation semigroup, J London Math.Soc.41, 707- 716 [5] Gomes, G.M.S and J.M.Howie (1987), On the ranks of certain finite semigroups of transformations, Math.Proc Camb Phil Soc 101, 395-403 [6] P Huisheng (1994), Equivalences, α- semigroups and α- congruences, Semigroup Forum, 49, 49- 58 [7] P Huisheng and G.Yufang (2000), Some congruences on S(X), Southeast Asian Bull Math 24, 73- 83 [8] P Huisheng (2005), On the rank of the semigroup TE (X), Semigroup Forum 70,107- 117 ... phép chuyển dịch bên phải (bên trái) nửa nhóm S nửa nhóm P0 nửa nhóm P (hoặc nửa nhóm Q0 nửa nhóm Q) Nhắc lại rằng, ánh xạ : S → S’ từ nửa nhóm S vào nửa nhóm S’ gọi phản đồng cấu,  (ab) = ... đẳng cấu Vậy H nhóm Jx đẳng cấu với Gy  21 CHƢƠNG HẠNG CỦA NỬA NHÓM TE (X) Trong chương này, chúng tơi trình bày hạng nhóm đồng phơi, nửa nhóm TE (X) nửa nhóm Γ (X) 2.1 HẠNG CỦA NHĨM ĐỒNG PHƠI... 1.1 Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ tập 1.2 Các quan hệ Green nửa nhóm 1.3 D  cấu trúc nửa nhóm T X 15 Chƣơng Hạng nửa nhóm TE (X) 21 2.1 Hạng nhóm đồng phơi