Hạng của ma trận

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em kính gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc thầy, cô Trường Đại Học Hồng Đức Đặc biệt thầy, cô Khoa Khoa Học Tự Nhiên nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho em suốt thời gian qua để thực tốt khóa luận Để hồn thành khóa luận, em xin chân thành cảm ơn đến giảng viên hướng dẫn TS Lê Xuân Dũng tận tình giúp đỡ, truyền đạt kiến thức hướng dẫn em suốt thời gian qua Nếu khơng có lời hướng dẫn, dạy bảo thầy em nghĩ khóa luận khó thực Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy Trong trình học tập làm khóa luận em khó tránh khỏi sai sót, mong thầy, bỏ qua Đồng thời trình độ kinh nghiệm em cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót định mà thân chưa thấy Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy, để khóa luận hồn chỉnh Cuối cùng, em xin kính chúc thầy, dồi sức khỏe ngày thành công nghiệp cao quý Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Linh MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU 1 Sự cần thiết đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Ma trận 1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt 1.3 Định thức 1.4 Hạng ma trận 1.5 Một số tính chất hạng ma trận 1.6 Một số phƣơng pháp tính hạng ma trận 1.7 Định lí Kronecker - Capelli 13 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN 16 2.1 Tìm hạng ma trận khơng chứa tham số 16 A Phƣơng pháp sử dụng định nghĩa 16 B Phƣơng pháp sử dụng phép biến đổi sơ cấp 23 2.2 Biện luận hạng ma trận 31 2.3 Một số tính chất nâng cao 52 2.4 Ứng dụng hạng ma trận biện luận nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính 60 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 LỜI MỞ ĐẦU Sự cần thiết đề tài Toán học môn khoa học quan trọng không ngừng phát triển, có nhiều ứng dụng thực tiễn sống đồng thời ngƣời học toán đƣợc rèn luyện phát triển tƣ logic Một mơn sở tốn học đại số tuyến tính giúp nhìn nhận cách đầy đủ tổng quát kiến thức liên quan tốn học Đại số tuyến tính mơn tốn nghiên cứu khơng gian vectơ, hệ phƣơng trình tuyến tính phép biến đổi trực giao chúng Nó mơn sở để nghiên cứu kiến thức khác toán học nhƣ đại số đại cƣơng, giải tích hàm, tốn kinh tế, hình học cao cấp, ngồi cịn có ứng dụng số ngành nghiên cứu khoa học khác nhƣ vật lý, lý thuyết, hóa học số ngành kĩ thuật khác Cùng với định thức, ma trận đặc biệt hạng ma trận công cụ để giải toán hệ phƣơng trình tuyến tính nói riêng đại số tuyến tính nói chung Hiểu đƣợc tầm quan trọng hạng ma trận với mong muốn tìm hiểu sâu hạng ma trận nên em chọn “Hạng ma trận” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hệ thống lí thuyết nhƣ dạng tập liên quan đến hạng ma trận Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nhằm đƣa hệ thống lí thuyết tìm hiểu rõ hạng ma trận Trình bày số phƣơng pháp tìm hạng ma trận Xây dựng hệ thống dạng tập hạng ma trận Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan; phân tích tổng hợp tập minh họa; tham khảo ý kiến giáo viên hƣớng dẫn Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần: Mở đầu Nội dung gồm chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức sở Chƣơng 2: Bài tập Kết luận CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1.1 Một bảng số chữ nhật có m hàng n cột  a11 a12 a a22 A   21    am1 am a1n  a2 n     amn  gọi ma trận cỡ m  n, kí hiệu A   aij  đó: aij phần tử mn ma trận A nằm giao điểm hàng i cột j Ví dụ 1.1.1 Ma trận  1 3 A   2 ma trận cấp  Ví dụ 1.1.2 Ma trận  1 4  B5 0    1 ma trận cấp  Nhận xét 1.1.1 Khi m  n, bảng số thành vng, ta có ma trận vng với n hàng n cột, ta gọi ma trận cấp n :  a11 a12 a a  21 22    an1 an a1n  a2n     ann  Các phần tử a11, a22 , , ann gọi phần tử chéo Đƣờng thẳng xuyên qua phần tử chéo gọi đƣờng chéo Nhận xét 1.1.2 Ma trận không: ma trận mà tất phần tử không Ma trận không kí hiệu Ma trận nhau: Hai ma trận A B gọi chúng có cỡ phần tử vị trí Khi A B ta viết A  B 1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt 1.2.1 Ma trận chéo Ma trận vng có phần tử ngồi đƣờng chéo đƣợc gọi ma trận chéo (hay ma trận đƣờng chéo) Ví dụ 1.2.1 Ma trận  3 2 0 0   A  1 , B     0  0 3  0 0 0  0  0 2  0 ma trận đƣờng chéo 1.2.2 Ma trận đơn vị Một ma trận chéo cấp n, có tất phần tử đƣờng chéo 1, đƣợc gọi ma trận đơn vị, kí hiệu En Ví dụ 1.2.2 Ma trận 1 0  1  E2   , E3  0   0  0  ma trận đơn vị 1.2.3 Ma trận tam giác Ma trận vng có phần tử (hoặc dƣới) đƣờng chéo đƣợc gọi ma trận tam giác dƣới (hoặc ma trận tam giác trên) Ví dụ 1.2.3 Ma trận 1 9   2 1 A , B  0    3 0 4  ma trận tam giác Ma trận  2  5 0  2   C , D   4  4 11   4 0 0  0  3 ma trận tam giác dƣới 1.2.4 Ma trận chuyển vị Cho ma trận A   aij  Đổi hàng thành cột, cột thành hàng ta đƣợc ma mn T trận gọi ma trận chuyển vị A, kí hiệu A  4  Ví dụ 1.2.4 Cho ma trận A         4  Khi đó, ma trận AT    ma trận chuyển vị ma trận A 1  1.2.5 Ma trận khả nghịch – Ma trận nghịch đảo Ma trận vuông cấp n A ma trận khả nghịch (hay ma trận không suy biến) có ma trận vng cấp n B thỏa mãn: A.B  B A  En Khi 1 B đƣợc gọi ma trận nghịch đảo ma trận A, kí hiệu là: B  A Nếu A ma trận khả nghịch ma trận nghịch đảo 1 2 Ví dụ 1.2.5 Cho ma trận A    3  1 Khi đó, ma trận A  2    ma trận nghịch đảo ma trận A    2 2 1.2.6 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT  A ta nói A ma trận đối xứng Nếu AT   A ta nói A ma trận phản đối xứng  1  Ví dụ 1.2.6 Ma trận A   1 3  ma trận đối xứng    11  1 4  ma trận B  1 3 ma trận phản đối xứng     1.3 Định thức 1.3.1 Định thức ma trận vuông Xét ma trận vuông cấp n A Ta ý đến phần tử aij , bỏ hàng i cột j ta thu đƣợc ma trận n  hàng n  cột, tức ma trận cấp n  Ta kí hiệu M ij gọi ma trận ứng với phần tử aij Định nghĩa 1.3.1 Định thức ma trận A, kí hiệu det( A), đƣợc định nghĩa nhƣ sau: A ma trận cấp 1: A   a11  det( A)  a11 a a  A ma trận cấp 2: A   11 12   a21 a22  det( A)  a11 det(M11)  a12 det(M12 )  a11a22  a12a21 A ma trận cấp n det( A)  a11 det(M11)  a12 det(M12 )   (1)1 n a1n det(M1n ) Kí hiệu: A 1.3.2 Tính chất định thức Tính chất 1: det( AT )  det( A) Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) định thức ta đƣợc định thức định thức cũ đổi dấu Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) nhƣ khơng Tính chất 4: Dựa vào định nghĩa áp dụng tính chất ta suy det( A)  (1)i 1[ai1 det(M i1)  det(M i )   ain det(M in )] gọi khai triển theo hàng i Tính chất 5: Một định thức có hàng (hay cột) tồn số khơng khơng Tính chất 6: Khi nhân phần tử hàng (hay cột) với số k đƣợc định thức định thức cũ nhân với k Tính chất 7: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ khơng Tính chất 8: Khi tất phần tử hàng (hay cột) có dạng tổng hai số hạng định thức phân tích thành tổng hai định thức Tính chất 9: Nếu định thức có hàng (hay cột) tổ hợp tuyến tính hàng khác (hay cột khác) định thức khơng Tính chất 10: Khi ta cộng bội k hàng vào hàng khác (hay bội k cột vào cột khác) đƣợc định thức định thức cũ Tính chất 11: Các định thức ma trận tam giác tích phần tử chéo: a11 a12 a22 a2n 0 a1n ann a11  a21 a22 an1 an ann  a11a22 ann 1.4 Hạng ma trận Xét ma trận cỡ m  n  a11 a12 a a22 A   21    am1 am a1n  a2n     amn  Gọi p số nguyên dƣơng không lớn m, n Định nghĩa 1.4.1 Ma trận vuông cấp p suy từ A cách bỏ m  p hàng n  p cột gọi ma trận cấp p A Định thức ma trận gọi định thức cấp p A Định nghĩa 1.4.2 Hạng ma trận A cấp cao định thức khác khơng A Kí hiệu: r ( A) rank ( A) Từ định nghĩa hạng ma trận suy ra:  rank ( A)  m, n rank ( A)  phần tử ma trận A khơng 1.5 Một số tính chất hạng ma trận 1.5.1 Tính chất Hạng ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, tức rank ( AT )  rank ( A) 1.5.2 Tính chất Nếu A ma trận vng cấp n rank ( A)  n  det A  rank ( A)  n  det A  Nếu xảy trƣờng hợp đầu, ta nói A ma trận vng khơng suy biến Nếu xảy trƣờng hợp thứ hai, ta nói A ma trận vng suy biến 1.5.3 Tính chất Nếu A, B ma trận cấp rank ( A  B)  rank ( A)  rank ( B) 1.5.4 Tính chất Cho A, B ma trận cho tồn tích AB Khi rank ( AB)  rank ( A), rank ( B) Nếu A ma trận vuông khơng suy biến rank ( AB)  rank ( B) 1.6 Một số phƣơng pháp tính hạng ma trận 1.6.1 Phƣơng pháp tính định nghĩa Từ định nghĩa hạng ma trận ta suy hai cách sau để tìm hạng ma trận A cấp m  n ( A  0) Bài 2.3.5 Cho A, B hai ma trận cho tích AB xác định Chứng minh rank ( AB)  min{rank ( A), rank ( B)} Giải Giả sử f , g đồng cấu tuyến tính nhận A, B ma trận biểu diễn (theo sở tự nhiên) Khi đó, ta có rank ( AB)  dim(Im( fg ))  dim(Im( g ))  dim( Ker( fg ))  dim(Im( g ))  rank ( B) Mặt khác rank ( AB)  rank[( AB)T ]  rank ( BT AT )  rank ( AT )  rank ( A) Do rank ( AB)  min{rank ( A), rank ( B)} Bài 2.3.6 Cho A, B hai ma trận kích thƣớc Chứng tỏ rank ( A  B)  rank ( A)  rank ( B) Giải Giả sử rank ( A)  r Ai1 , Ai2 , , Air r cột độc lập tuyến tính; rank ( B)  s Bi '1 , Bi '2 , , Bi 's s cột độc lập tuyến tính Xét M  {Ai j , Bi 'k / j  1, r , k  1, s} Mỗi cột ( A  B) tổ hợp tuyến tính cột thuộc M nên số cột độc lập tuyến tính ( A  B) lớn r  s nên rank ( A  B)  rank ( A)  rank ( B) Bài 2.3.7 Chứng tỏ A ma trận vuông cấp n trƣờng có đặc số khác thỏa mãn A2  I , rank ( A  I )  rank ( A  I )  n Giải Ta có rank ( A  I )  rank ( A  I )  rank[( A  I )( A  I )]  n  rank ( A2  I )  n  n 57 (1) Mặt khác: rank ( A  I )  rank ( A  I )  rank ( A  I )  rank ( A  I )  rank ( A  I  A  I )  rank (2I )  n (2) Từ (1) (2) ta có rank ( A  I )  rank ( A  I )  n Bài 2.3.8 Cho A ma trận vuông cấp n Hãy tìm hạng ma trận phụ hợp ma trận A Giải Gọi A ma trận phụ hợp ma trận A TH1: Ma trận A ma trận không suy biến, tức rank ( A)  n Từ AA  det( A) I ta có det( A)det( A )  [det( A)]n  det( A )  [det( A)]n1   rank ( A )  n TH2: rank ( A)  n  Khi đó, ma trận A có định thức cấp n  khác Do rank ( A )  (1) Từ AA  det( A) I , ta có rank ( A )  rank ( A)  n  rank ( AA )   rank ( A )  n  rank ( A)  (2) Từ (1) (2) ta có rank ( A )  TH3: rank ( A)  n  Theo định nghĩa hạng ma trận, ta có định thức cấp n   ma trận A 0, A   rank ( A )  58 Kết luận: Nếu rank ( A)  n rank ( A )  n Nếu rank ( A)  n  rank ( A )  Nếu rank ( A)  n  rank ( A )  Bài 2.3.9 Cho A ma trận vng cấp n có phần tử đƣờng chéo 0, phần tử khác 2010 Chứng minh hạng ma trận A n  n Giải Gọi B ma trận vuông cấp n có tất phần tử Khi  1 c12 c 1 C  A  B   21    cn1 cn c1n  c2n     1  phần tử ngồi đƣờng chéo ma trận C 2009 Vì phần tử ma trận C số nguyên, nên khai triển định thức n  det(C) theo hàng thứ ta có n  n1  2009k , k số nguyên đó,  n1 định thức cấp n  đƣợc tạo n  dòng cuối n  cột cuối ma trận C Tƣơng tự n1, n2 , , 2 , 1, với 1  1 Do đó, n  1  2009K  1  2009K , K   n   det(C )  det( A  B)   rank ( A  B)  n Ta có rank ( A  B)  rank ( A)  rank ( B)  n  rank ( A)   n   rank ( A) Vậy rank (A )  n 1 rank ( A)  n 59 2003 Bài 2.3.10 Cho A ma trận vuông thỏa mãn A  Chứng minh với số nguyên dƣơng n ta có rank ( A)  rank ( A  A2   An ) Giải Để chứng minh rank ( A)  rank ( A  A2   An ) ta cần chứng minh tập nghiệm hai hệ sau trùng nhau: AX  (1) ( A  A2   An ) X  (2) +) Giả sử X nghiệm hệ (1) tức AX  Do đó, ta có A2 X   An X o   AX  A2 X   An X   ( A  A2   An ) X   X nghiệm hệ (2) +) Giả sử ( A  A2   An ) X   AX   A2 X   An X  A2 ( I   An2 ) X n2 Đặt B   I   A Do B hàm đa thức ma trận A nên ta có AB  BA Ta có AX  A2 BX  AB( AX )  AB( A2 BX )  ( AB)2 ( AX )   ( AB)2003 ( AX ) Mà A2003   ( AB)2003   AX   X nghiệm hệ (1) Vây hệ (1) hệ (2) có tập nghiệm hay rank ( A)  rank ( A  A2   An ) 2.4 Ứng dụng hạng ma trận biện luận nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính Bài 2.4.1 Tìm m để hệ sau vô nghiệm 60  x1  x2  x3   2 x1  x2  x3  4 x  x  x  m  Giải Lập ma trận hệ số bổ sung   1 1  1 1 d2 ( 1)  d3 d3  d1.( 2)  d2 d2     A    0 1  0 1    d2 ( 4)  d3 d3      m  0 1 m  4 0 0 m  5 Nếu m  rank ( A)  rank ( A)   (số ẩn) hệ có vơ số nghiệm Nếu m  rank ( A)   rank ( A)  hệ vơ nghiệm Vậy với m  hệ vơ nghiệm Bài 2.4.2 Biện luận số nghiệm hệ phƣơng trình sau theo m mx  y  z    x  my  z  m   x  y  mz  m (1) Giải Xét hai trƣờng hợp sau: TH1: m  Khi đó, hệ (1) trở thành  x   y  z 1    x  z    y  x  y     z   1 Vậy với m  hệ (1) có nghiệm ( x; y; z )  ( ; ; ) 2 TH2: m  Xét ma trận bổ sung 61  1 m m2  m 1     d1  d3  A   m m   1 m m  m 1   2 1 m m    1 1  m m2  m m2     d  d3  d3 d1.( 1)  d2 d2   0 m  1  m m  m2    0 m  1 m m  m2  d1.(  m)  d3 d3     2 0  m  m  m  0  m  m  m  m  m  Biện luận:  m  m   +) Nếu  rank ( A)   rank ( A)   m   2  m  m      hệ có nghiệm +) Nếu m    m  1 1  A  0 0    0 0   rank ( A)   rank ( A)  (số ẩn)  hệ có vơ số nghiệm +) Nếu m  2 1 2  A  0 3 6    0 0   rank ( A)   rank ( A)   hệ vô nghiệm Kết luận: Nếu m  0, m  m  2 hệ có nghiệm Nếu m  hệ có vơ số nghiệm Nếu m  2 hệ vơ nghiệm 62 Bài 2.4.3 Với giá trị m hệ sau có nghiệm  x1  x3  x4  2 x  x  x  3x  m    x  x  mx   1   x1  3x2  x3  mx4  m Giải Xét ma trận bổ sung 1 2 A  1  1 1  1 d1 ( 2)  d d 0 m  d1  d3 d3    d (  1)  d  d 0 4 m 1    m m 0 1  d2 ( 1)  d3 d3 0   d2 ( 3)  d4 d4 0  0 Biện luận: 1 1  m    1  m   m 1 m 1   1 m  2 c3 c4 0    d  d 5  m m   0   10 m  4m   0 1 1 1  1 m    m  10 4m    0 5  m m   m   m  +) Nếu  rank ( A)  rank ( A)  (số ẩn)  m   m  5  hệ có nghiệm +) Nếu m  1 0 A 0  0 1 1 0 9 1 6  d3 10  d4 d4    0 0 10 21   0 0 9   1  rank ( A)   rank ( A)   hệ vô nghiệm +) Nếu m  5 63 1 1 0 10 0  6   21   129  10  1 0 A 0  0 1  1   9 10 15  0 3   rank ( A)   rank ( A)   hệ vô nghiệm Vậy với m  4, m  5 hệ phƣơng trình cho có nghiệm Bài 2.4.4 Cho hệ phƣơng trình 2 x1  x2  3x3  x4  4 x  x  x  x    6 x1  3x2  x3  x4  mx1  x2  x3  10 x4  11 Tìm m để hệ phƣơng trình có nghiệm Giải Xét ma trận bổ sung 2 4 A 6  m 1 2 3 4 10 1 0 d1.( 3)  d3 d3   d1 ( 4)  d d 0  0  1  2 d3  d   0  0 d1 ( 2)  d d 5  1   2 c  c     3 9   11  4 4 Nhận thấy với m  2 4 6 1 0 5  1   2 c  c     3 9   m 10 11  4 5  1  1 3 d2 ( 2)  d3 d3  2    2 6  d2 (3)  d4 d4  0   3 m  9  0 5 3  m 8   0 ta có rank ( A)  rank ( A)  (số ẩn) Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm với m 64 10 m 1 0 0 m 8 5 7  9  11 5 3  0  0 Bài 2.4.5 Cho hệ phƣơng trình 2 x1  x2  x3  x4  x  2x  x  4x     x1  x2  x3  11x4  m 4 x1  x2  x3  16 x4  m  Tìm m để hệ phƣơng trình vơ nghiệm Giải Lập ma trận bổ sung 2 1 A 1  4  1 1  d1  d2     1 4 11 m    4 16 m  1 4 1 1  1 1   4 11 m   4 16 m  1   1 1 1 1 0 3 7 3    d1.( 1)  d3 d3 d 2  d3 d3 0 1 7 m        d1 ( 4)  d d d  d3 0 3 m   0 3 7 3      0 0 m   0 0 m   1 1  0 1 7 m 8  d ( 3)  d3  d3  B  0 6 14 3m  21   m7  0 0 d1 ( 2)  d d Xét hai trƣờng hợp sau: TH1: m    m   rank ( A)   rank ( A)   hệ phƣơng trình vơ nghiệm TH2: m    m  Khi đó, ma trận B trở thành 1 1  0 1 7 1  B 0 6 14    0 0 0 65 5  x  x4  x1  x2  x3  x4       x2  3x3  x4  1   x2  6 x  14 x     x3  x4   x1  5a  Đặt x4  3a   x2   x  7a  Vậy với m  hệ phƣơng trình vơ nghiệm Bài 2.4.6 Biện luận số nghiệm hệ phƣơng trình 2 x1  x2  x3  x4  3x5  x  x  x  x  x    x  x  x  x  x   5 x1  x3  x4  x5   m Giải Lập ma trận hệ số mở rộng  1 1 1 A 3 1  5 2 3  1 1 1 1  d1  d2  1    3 1 3    5  m  5 1 1  d1.( 3)  d3 d3 0 3  d1.( 5)  d d 0 2  0 5 d1.( 2)  d2 d2 1  d ( 2)  d3 d3 0 1   d2 ( 5)  d4 d4 0  0 1 1  2 3   3   5  m  1 1 1 1 0  1 1  d3 (1)  d2 d2 0 1    0 2     m 0 5 1 1 1 12  1 1  d3 (2)  d4 d4 0 1    0     m 0 Nếu m  rank ( A)   rank ( A)   hệ phƣơng trình vơ nghiệm 66  1      m 1 1 1  1 0 1     0  m Nếu m  rank ( A)  rank ( A)   (số ẩn)  hệ phƣơng trình có vơ số nghiệm Vậy với m  hệ phƣơng trình vơ nghiệm, với m  hệ phƣơng trình có vơ số nghiệm Bài 2.4.7 Cho hệ phƣơng trình tuyến tính sau  x1  x2  3x4   2 x1  x2  x3  x4  16 3x1  x2  x3  x4  23 5 x  12 x  x  13x  m  6 x1  14 x2  3x3  16 x4  46 Tìm m để hệ phƣơng trình vơ nghiệm Giải Xét ma trận hệ số mở rộng 1  1  5 16  d1.( 2)  d2 d2 0   d ( 3)  d d  3 0 A   23  d1 ( 5)  d  d    12 13 m d (  6)  d  d 5   0  14 16 46 0 1 0 d ( 1)  d3  d3  d ( 2)  d  d   0 d ( 2)  d5  d5  0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 2 2  1  0 1  d d   0 0     m  39  0 0 0  Nếu m  39 rank ( A)   rank ( A)  (số ẩn)  hệ có vơ số nghiệm Nếu m  39 rank ( A)   rank ( A)   hệ vô nghiệm Vậy với m  39 hệ phƣơng trình cho vô nghiệm 67      m  35  0 1 0 0 0 0      m  39   Bài 2.4.8 Xác định số chiều không gian nghiệm hệ sau 3x1  x2  x3   4 x1  x3   x  3x  x   Giải Xét ma trận hệ số 3 2 1 3  1 3  d  d d (  4)  d  d 0 12 11 2 A             d1.( 3)  d3 d3   1 3 4   0 10 10    1 3     0 12 11   10  0     12   10  d     d3  d3  12   rank ( A)  Khi đó, số chiều không gian nghiệm hệ là: dim   rank ( A)    Vậy dim  Bài 2.4.9 Xác định số chiều không gian nghiệm hệ sau  x1  3x2  x3   2 x1  x2  x3  3x  x  3x   Giải Ta xét ma trận hệ số 1 3  1 3  d1.( 2)  d d   A  6  0 0   d1.( 3)  d3 d3    9 3 0 0  rank ( A)  Số chiều không gian nghiệm hệ cho là: dim   rank ( A)    Vậy dim  68 Bài 2.4.10 Cho hệ phƣơng trình x  y  z  3 x  y  z   2 x  y  z  4 x  y  3z   2 x  y  z  Xác định số chiều không gian nghiệm hệ Giải Xét ma trận hệ số 1 1  1  1 d1.( 3)  d2 d2 0 1   d ( 2)  d d  3   0 6 A  4  d1 ( 4)  d  d     3 d1.( 2)  d2 d2 0  2  0 1 1 1  0 1 4    d3  d  d  0 23    0 0  0 0  1  1 4  d2 ( 6)  d3 d3 0 1 4     d  d d    0 23  1  d ( 1)  d5  d5    7  0 23 4   0  rank ( A)  Số chiều không gian nghiệm hệ cho là: dim   rank ( A)    Vậy dim  69 KẾT LUẬN Sau trình học tập nghiên cứu, với hƣớng dẫn tận tình thầy giáo TS Lê Xuân Dũng, khóa luận đƣợc hồn thành đạt đƣợc số kết sau: - Hệ thống số kiến thức sở ma trận định thức - Trình bày số kiến thức hạng ma trận - Trình bày số phƣơng pháp tính hạng ma trận - Sƣu tầm giải chi tiết số dạng tập nâng cao hạng ma trận Qua đây, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Lê Xuân Dũng thầy cô giáo Bộ môn Đại số - Trƣờng Đại học Hồng Đức hết lịng giúp đỡ em q trình học tập hồn thành khóa luận Đây bƣớc đầu tập dƣợt nghiên cứu khoa học, thời gian kinh nghiệm thân cịn hạn chế nên nội dung khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong đƣợc góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Văn Chí, Giáo trình Tốn cao cấp NXB Tài chính, 2007 [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, Đại số tuyến tính hình học giải tích NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [4] Hoàng Xuân Sính, Bài tập Đại số tuyến tính NXB Giáo dục, 2005 [5] Nguyễn Đình Trí, Tốn học cao cấp NXB Giáo dục, 2009 71