Chéo hóa ma trận, tam giác hóa ma trận và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy LỜI CẢM ƠN Trong sống khơng có thành cơng mà không dựa nỗ lực, tâm cá nhân với giúp đỡ hỗ trợ người Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi đến q Thầy Cơ Bộ mơn Đại số nói riêng, Khoa Khoa học Tự nhiên – Trường Đại học Hồng Đức nói chung lời cảm ơn chân thành tạo điều kiện để em học tập, nghiên cứu, mở rộng kiến thức tạo hội để em thực hồn thành đề tài khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn Th.s Lê Quang Huy, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực hoàn thành đề tài Mặc dù cố gắng thân để hồn thành việc nghiên cứu đề tài tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến quý báu từ quý thầy cô bạn sinh viên để đề tài khóa luận em hồn thiện Cuối lời, em xin kính chúc q thầy cô dồi sức khỏe, thành công công tác giảng dạy sống Thanh Hóa, tháng 05 năm 2021 Sinh viên thực Kee MAI THAM THOR SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CHƢƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ I MA TRẬN Định nghĩa Các ví dụ Các phép toán ma trận 3.1 Phép cộng hai ma trận 3.2 Phép nhân ma trận với số 3.3 Phép nhân hai ma trận Ma trận chuyển vị Định thức 5.1 Phép 5.2 Định thức 5.3 Định thức ma trận 10 5.4 Các tính chất định thức 10 Ma trận nghịch đảo 11 II HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 14 Dạng tổng qt hệ phƣơng trình tuyến tính 14 Dạng ma trận hệ phƣơng trình tuyến tính 14 Hệ Gramer 15 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính phƣơng pháp biến đổi sơ cấp 15 Hệ (n phƣơng trình n ẩn) 17 Hạng ma trận 19 CHƢƠNG II CHÉO HÓA MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG 20 I CHÉO HÓA MA TRẬN 20 Các phần tử riêng 20 Đa thức đặc trƣng 24 Tính chéo hóa đƣợc 28 Đa thức tự động cấu, đa thức ma trận 36 II ỨNG DỤNG CỦA VIỆC CHÉO HÓA MA TRẬN 42 Tính lũy thừa ma trận vng 42 Các dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp với hệ số không đổi 45 Các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi 47 CHƢƠNG III TAM GIÁC HÓA MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG 50 I TAM GIÁC HÓA MA TRẬN 50 Định nghĩa tam giác hóa ma trận 50 Khái niệm cờ không gian vec tơ hữu hạn chiều 53 II ỨNG DỤNG TAM GIÁC HÓA MA TRẬN 58 SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy 1) Phép tam giác hóa A 60 2) Tìm kgvc ổn định f 61 PHẦN KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số tuyến tính số học phần khó chƣơng trình đào tạo Đại học sƣ phạmTốn, song lại có tác dụng lớn việc rèn luyện tƣ logic khả sáng tạo cho ngƣời học Đại số tuyến tính mơn học quan trọng sinh viên ngành Tốn nhƣ sinh viên ngành kỹ thuật khác có nhiều ứng dụng vào lĩnh vực chuyên ngành khác nhƣ có nhiều ứng dụng thực tiễn Đại số tuyến tính nội dung chƣơng trình thi mơn Đại số Kỳ thi Olympic Toán học sinh viên năm nƣớc (do Hội Toán học Việt Nam tổ chức) số nƣớc giới Đại số tuyến tính học phần tạo cho em nhiều hứng thú học, có nhiều vấn đề nhƣng em đặc biệt quan tâm đến vấn đề liên quan đến ma trận Chính tính hấp dẫn vấn đề với việc mong muốn giới thiệu vấn đề tới bạn sinh viên nghành toán trƣờng Em chọn đề tài khóa luận là: “Chéo hóa ma trận, tam giác hóa ma trận ứng dụng” dƣới góp ý thầy hƣớng dẫn Th.s Lê Quang Huy Sơ lƣợc tình hình nghiên cứu nƣớc vấn đề chọn nghiên cứu Đề tài khóa luận thuộc nội dung đại số tuyến tính Khái niệm ma trận khái niệm đời từ sớm có nhiều ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khác nhau, từ lâu đƣợc nhiều ngƣời quan tâm nghiên cứu phát triển Đề tài nội dung thiếu kỳ thi Olympic Tốn học sinh viên tồn quốc, áp dụng việc tính lũy thừa ma trận vng dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi Đƣợc giảng viên giảng dạy cho đội tuyển hƣớng dẫn sinh viên làm khóa luận Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu việc chéo hóa ma trận tam giác hóa ma trận - Đối với dạng, đƣa nhận xét cách tính cụ thể, có ví dụ minh họa SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng: Chéo hóa ma trận tam giác hóa ma trận - Phạm vi nghiên cứu: Chéo hóa ma trận, tam giác hóa ma trận ứng dụng Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu liên quan đến ma trận - Đọc hiểu tài liệu giải tập Từ xếp lại theo phƣơng pháp phù hợp - Trao đổi với giáo viên hƣớng dẫn Nội dung nghiên cứu - Ma trận phép tốn ma trận - Phƣơng trình đặc trƣng dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi - Đối với loại tập, đƣa phƣơng pháp tính, ví dụ minh họa Kết đạt đƣợc - Hệ thống, phân loại đƣợc tƣơng đối phƣơng pháp chéo hóa ma trận tam giác hóa ma trận - Đƣa đƣợc số tập phong phú việc ứng dụng chéo hóa ma trận tam giác hóa ma trận Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, đề tài đƣợc chia làm ba chƣơng: Chƣơng I: Kiến thức sở Chƣơng II: Chéo hóa ma trận ứng dụng Chƣơng III: Tam giác hóa ma trận ứng dụng SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy CHƢƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ I MA TRẬN Định nghĩa Cho m, n số nguyên dƣơng, ma trận cấp (m, n) trƣờng K bảng chữ nhật, phần tử thuộc K đƣợc xếp theo m dòng, n cột  a11 a12 a a 22 A   21   a m1 a m2 a1n  a 2n     a mn    Để cho gọn, ta viết A  a ij  , i  1, m, j  1, n Phần tử a ij phần mn   tử thuộc dịng thứ i, cột thứ j Để kí hiệu ma trận ngƣời ta dùng hai dấu ngoặc vuông nhƣ   hay hai dấu ngoặc tròn   Trong khóa luận ta dùng dấu ngoặc vng để kí hiệu ma trận Nếu m = n A đƣợc gọi ma trận vng cấp n Các ví dụ  1  1 1  Ví dụ 1: a A  1 2; B   ; C   2   9   b Các hệ số hệ phƣơng trình tuyến tính: 2 x1  x2  x3  3x1  x2  x3 x  x    1  2 1 tạo nên ma trận vuông cấp là: A   2 1 1  - Ma trận A đƣợc gọi ma trận dịng (tƣơng ứng, cột) có dịng (tƣơng ứng, cột), nghĩa ma trận cấp (1, n) (tƣơng ứng, cấp (m, 1)) - Đối với ma trận vuông A  a ij  cấp n, phần tử a11,a 22 , ,a nn lập thành đường chéo chính, cịn phần tử a1n ,a 2(n 1) , ,a n1 lập thành đường chéo phụ SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy - Ma trận vng A có tất phần tử nằm ngồi đƣờng chéo khơng đƣợc gọi ma trận đường chéo Đặc biệt ma trận đƣờng chéo đƣợc gọi ma trận đơn vị a ii  1, i  1,n Khi ta thƣờng ký hiệu In đơn giản I khơng cần nhắc tới cấp - Ma trận A  a ij  đƣợc gọi ma trận không phần tử mn   a ij , i  1,m, j  1,n 1 0 2 Ví dụ 2: a) A   0  0 0 0 0  ma trận đƣờng chéo 0  4 1 0  b) I3  0  ma trận đơn vị cấp   0  a11 a12 0 a 22 - Ma trận vng A có dạng:    0 a1n   a11 a  a 22 a 2n   21     a nn  a n1 a n 0 0    a nn  lần lƣợt ma trận tam giác ma trận tam giác Ví dụ 3: 2 1   0  , 12   4 0    3 0 0 2      1 Ma trận không vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác đƣới - Ma trận cấp tùy ý đƣợc gọi ma trận hình thang có dạng: SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy a11 a12 0 a 22    0 0    0  1 1 5  0   Ví dụ 4: A  2 , B     0 0 0  0 a1n  a 2n     a sn      a1s a 2s a ss 0 0 0 0 7  0  0 Các phép toán ma trận 3.1 Phép cộng hai ma trận a Định nghĩa: Tổng A + B hai ma trận A  a ij  B   bij  ma trận  mn   mn  C  cij   mn  cij  a ij  bij ,i  1,m, j  1,n b Ví dụ:  1  3    2   2  1 1    2       1 2           1   2   1   1  1  1    3    4     2 0 7  2  0 c.Tính chất: Tập hợp M n,p ( ) ma trận cấp (n,p) trƣờng  với phép cộng ma trận lập thành nhóm giao hốn, phần tử trung hịa ma trận khơng phần tử đối ma trận A  a ij  ma trận A   a ij  3.2 Phép nhân ma trận với số a Định nghĩa: Tích kA số k ∈ K với ma trận A  a ij  ma trận kA  cij  , mn   cij  ka ij , i  1,m, j  1,n SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy  1 b Ví dụ: Cho ma trận: A       1 5 2  3  2    ;  2A  6 2  ; Thế 3A       3 12 15  8 10      A    2 1    1 2  5  c.Tính chất: Với ma trận có cấp phù hợp số k, l  K ta có: 1) k  A  B   kA  kB 2)  k  l  A  kA  lA , 3) k  lA    kl  A 3.3 Phép nhân hai ma trận a Định nghĩa: Tích AB hai ma trận A  a ij  B   b jt  ma trận  mn   n p  n   C   cit  mp  cit   a ijb jt , i  1,m, t  1,p j1 2  3 b.Ví dụ: 1 1 3 2    1.2  (1).(3)  (3).2  2.1  1 2   1 c Tính chất: Cho A, B hai ma trận cấp k K ta có: +  AB  C  A  BC  +  A  B  C  AC  BC + A  B  C   AB  AC +  kA  B  A  kB   k  AB  + Nếu A ma trận cấp (m, n) ImA  A  AIn SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy Nói riêng, tập hợp M n (K) ma trận vuông cấp n (n>1) trƣờng  vành không giao hoán Ma trận chuyển vị a Định nghĩa: Ma trận chuyển vị ma trận A ký hiệu AT hay At ma trận thu đƣợc từ ma trận A đổi dòng thành cột tƣơng ứng 1  1  b Ví dụ Cho A   2  A T        3  3  c.Tính chất: Cho ma trận cấp phù hợp k ϵ K ta có: ) (A T )T  A ) (A  B)T  A T  BT ) (kA)T  kA T ) (AB)T  BT A T Định thức 5.1 Phép Xét tập hợp A Chúng ta biết phép bậc n tập X song ánh f: X → X, thƣờng đƣợc biểu diễn dƣới dạng:  f   f (1) f (2) f (3) n  f (n)  Ta nói cặp số tự nhiên (i, j) nghịch i > j Khi ta định nghĩa dấu f s(f )  (1)k , k số nghịch dãy f(1), f(2), ,f(n) 5.2 Định thức a Định nghĩa: Cho A  a ij  ma trận vuông cấp n Ta gọi định thức ma trận A tổng  s(f )a a 1f (1) 2f (2) a nf (n) , f chạy qua tất phép bậc n f s(f) dấu Định thức ma trận A đƣợc ký hiệu bởi: SV: Kee MAI THAM THOR Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy Để  E1,E , ,E n  cờ E cần đủ tồn sở  e1,e2 , ,en  E cho: i 1, ,n,Ei  Vect  e1,e2 , ,e n   Định nghĩa 2: Giả sử  E1,E , ,E n  sở E  e1,e2 , ,en  sở E Ta nói  e1 ,e2 , ,en  tƣơng thích với cờ  E1,E2 , ,En  i 1, ,n,Ei  Vect  e1,e2 , ,en  Theo mệnh đề với cờ i 1, ,n,Ei  Vect  e1,e2 , ,e n  E tồn sở  e1,e2 , ,en  tƣơng thích với cờ  E1,E , ,E n  Do mệnh đề sau hiên nhiên  Mệnh đề 2: Giả sử f   E  ,  E1,E , ,E n  cờ E Để f giữ ổn định E1,E , ,E n (tức i 1, ,n,f  Ei   Ei cần đủ tồn sở  E tng thích với cờ  E1 , , E , , E n  cho Mat   f  ma trận tam giác  Mệnh đề 3: giả sử f   E  , để f tam giác hóa đƣợc cần đủ tồn cờ  E1 , , E , , E n  E cho với i 1, , n , E i ổn định với f *Một số ví dụ tam giác hóa ma trận vng cấp  Giả sử   M3  K  , dƣới ta thấy  A tách đƣợc K A tam giác hóa đƣợc, nghĩa tồn P  GL3  K  , T  T3,n  K  cho A  PTP 1 ta giả sử A khơng chéo hóa đƣợc  A tách đƣợc K1 đó: Hoặc A có giá trị 1 giá trị  Hoặc A có giá trị bội 1 Chúng ta kí hiệu 0   e1 , e2 , e3  sở tắc M3,1  K  f tự đồng cấu M3,1  K  cho Mat   f   A  17 25 Tam giác hóa A   9 16   M3   5   Ta lập đa thức đặc trƣng A  17 25  A   9 16    3  5  8           1  5  Vậy  A tách đƣợc giá trị riêng A ( kép) đơn X 3x  17y  25z   y   KGCR(A, 2)   2x  11y  16z    x  5y  7z   x  3z       y  2z  y  2z  x  5y  7z   z   SV: Kee MAI THAM THOR 54 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy  3 Vậy KGCR(A,2) có số chiều sở V1 V1       4x  17y  25z  x  x  5y  8z 3x  11z     *    y   KGCR(A,1)   2x  10y  16z     3y  7z  3y  7z   x  5y  8z   z   Vậy KGCR(A,1) có số chiều sở  V3  11 V3      x Ta tìm vectơ V2   y  cho    V1 , V2 , V3  sở M 3,1   z   Mat   f  ma trận tam giác  0 Mat   f      0  Điều dẫn đến {   ( ) ∈ 5x  17y  25z  Ta có: Mat 0  V2   AV2   2x  9y  16z   x  5y  9z  3x  17y  25z  3(x  5y  7z) Tự đây, AV2  2V2  RV1   yz0  2x  7y  16z  2(x  5y  7z 1 Vậy ta chọn V2    AV2  2V2  V1    11  0   Ký hiệu P    T       0  Ta có A  PTP 1  3  Tính tốn cho ta P  1 2   2   2 1 Ví dụ 1: Tam giác hóa A   1 1  M   1 2  1  Ta lập đa thức đặc trƣng A SV: Kee MAI THAM THOR 55 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy 2   1  A     1 1  1     1 1 2   Vậy  A tách đƣợc A có giá trị nhất; -1 với cấp x    y   KGCR  A,1   x  2y  z   z  Vậy KGCR  A, 1 có số chiếu có sở chẳng hạn  V1 , V2  1 0   V1    ; V2     1   Ta tìm V3  M3,1  R  cho    V1 , V2 , V3  sở M 3,1   Mat  (f ) ma trận tam giác  1 0  Mat   f    1   0 1 Giả sử V3  M3,1   cho    V1 , V2 , V3  sở M 3,1   tồn  , ,     1   cho Mat   f    1   0 1 Vì Mat  f      f         1 nên ta cần có   1  Vậy V3 thuộc V3 ,1  cho  V1 , V2 , V3  độc lập tuyến tính phù hợp 1 Ta chọn chẳng hạn V3       1 Ký hiệu: P  Pass  B     T  P1AP,T ma trận tam giác ta thu  1   1  1 1   p   T   1 1 đƣơc:  2   0 1 Ta chứng minh chọn V3 cho Mat   f  có dạng 1  1 0   1     0 1 SV: Kee MAI THAM THOR 56 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy  1 Ví dụ 2: Tam giác hóa A   1 0  M3   1 3  Ta thu đƣợc A         Vậy  A tách đƣợc A có giá trị riêng nhất, có cấp 3 z0 x  x  y       y   KGCR  A,    x  y    z    z  x  y  z  1 Vậy KGCR(A, 2) có số chiều sở  V1  , V1      Ta tìm V2 , V3 , để    V1 , V2 , V3  sở M1,3   Mat   f  ma trận tam giác 2  Mat   f      0    Điều dẫn đến { ( ) ( ) ∈ ∈ ( ) ( ) x Ký hiệu V2   y   z  z   1       f  V2   2V2  Vect  V1    x  y   Vect      x  y  z   0   x  y  z    1 Ví dụ cho V2   0   Tiếp với V3 cho  V1 , V2 , V3  độc lập tuyến tính phù hợp 1 1  1    Ví dụ V3  1  Ký hiệu P  Pass0     1 0      Khi 0  2 1    1 P   1  T  P AP   1 ma trận tam giác  1 1  0  1 Nhận xét: SV: Kee MAI THAM THOR 57 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy Dƣới dây ta chứng minh phép thu gọn Jesdan  A tách đƣợc ta ký hiệu 1 ,  ,  ( không đồng thiết khác ) nghiệm  A A đồng dạng với ma trận sau:  1 0  *    1 ,  ,   0 3   1 0   1   *  1  hay  1  0 3   0  1 0   1   *  1  hay  1  0 1   0 đôi phân biệt 0  1    3 3  0  1    hay  1  1    3  0 1  1  II ỨNG DỤNG TAM GIÁC HÓA MA TRẬN Bài 1: Cho n  * , A  Mn   Chứng minh tính chất sau đôi tƣơng đƣơng: (1) A lũy linh (ii) Spc  A   0  iii   iv   A   1 Xn n An  Lời giải:  i    iii  : Giả sử A lũy linh  Tồn N  * cho A N  0, nói cách khác đa thức X N đa thức triệt tiêu suy ra: Spc  A   0  Vì A   X  deg   A   nên  A có nhiệm , Spc  A    Cuối Spc  A   0 (ii)  (iii): Nếu Spc  A  0  A tách đƣợc , A1    0  A có bậc n với hệ tử cao  1 n , ta kết luận A   1n Xn (iii)  (iv): Giả sử A   1n Xn Tồn T  Tn,s   cho A T, ta có T  A   1n Xn Các thành phần 0 đƣờng chép T không: T   \  SV: Kee MAI THAM THOR 58     Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp 0  T    0 GVHD: Lê Quang Huy  0  n , T  0, nhƣ A n    0  0    , , T n 1    0   0 0  iv    i  : Hiển nhiên Bài 2: giả E  kgv hữu hạn chiều với số chiều n,f   E  Chứng minh với k thuộc 0, , n tồn kgvc E với số chiều k ổn định f Lời giải: Vì f tam giác hóa đƣợc nên tồn sở    e1 , , en  E cho Mat   f   Tn,s   Rõ ràng kgvc E : 0 , Vect e , Vect e , , Vect e 1, ,e k , , Vec t  en  ổn định f có số chiều tƣơng ứng 0,1,2,…,n Bài 3: Cho n, p  *  A C , A  Mn  K  , B  M P  K  , C  M n,p  K  , M     B Chứng minh M tam giác hóa đƣợc Avà B tam giác hóa đƣợc Hãy tổng quát cho ma trận chéo théo khối Cơ sở tắc    e1 , e2 , e3   6  A=  4 1 10   6  Lời giải: Chú ý M  A B nên: (M tam giác hóa đƣợc)  ( M tách đƣợc)  (  A B tách đƣợc)  (A B tam giác hóa đƣợc) Nhận xét: Ta giả sử biết số liệu tam giác hóa A B: A= PT , B=QU , P  GLn (K),Q  GL p (K),T  Tn,s (K),U  Tp,s (K) p x Ký hiệu:  , V =  Q T G   U  X, G cần xác định    P 1 p 1xQ1  1 Đầu tiên R khả nghịch R    Tiếp phép nhận 1 Q   1 1 1 theo khối: M  RVR  C  PVP XQ  (PG  XU)Q1  X 0 1 G  P CQ Vậy cần chọn  SV: Kee MAI THAM THOR để có phép tam giác hóa M: 59 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy  P  T P 1CQ   P 1  M    U   Q 1   Q   A1    Tổng quát hóa dễ dàng quy nạp theo N :   tam giác hóa  A N   đƣợc A1, ,An tam giác hóa đƣợc   A 2k  Bài 4: Chứng minh A  M n ( ),det      k 0 (2k)! Lời giải: Ma trận A tam giác hóa đƣợc Mn ( ) : 1     T ( ) , cho A  PTP 1 Tồn P  GGLn ( ),T    n,s   N  Khi đó:     1 2k 2k 1 A  PT P  T 2k  P 1     k 0 (2k)! k 0 (2k)!  k 0 (2k)!         A2 k  = det   T 2k  = Vậy det   k 0 (2k )!  k 0 (2k )!   ch1 n ch n   chi i 1 X , ta nhóm nghiệm phức  A với liên hợp nó: Vì  A    M   j 1     A   1   X  i     X   j   X   j 1 , , N  , 1 , , M   n N  i 1  i  1, , N  , ch1   Giả sử j  1, , M  với ký hiệu    j    i  ,  ,    , ta có: 2 2 2!  e  e  e  e2!   ch2  cos 2   Vì ch2  cos 2  1 ch ch  Bài 5: Tìm tất kgvc ổn định tự dồng cấu f cuả trận sở tắc    e1 , e2 , e3  có ma  6  A   4 1 10   6  Lời giải: Phƣơng pháp thứ 1) Phép tam giác hóa A SV: Kee MAI THAM THOR 60 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy Lập đa thức đặc trƣng: A         1   5 Xác định không gian véctơ riêng: 10   KGCR  A, 1 có số chiều 1, sinh V1  15     1  KGCR  A,5 có số hiệu 1, sinh V2  1 Từ ta suy A khơng chéo   1 hóa đƣợc Nhƣng  A tách đƣợc , nên A tam giác hóa đƣợc M3    Tìm V3   y   M 3,1   z  0  cho AV3  5V3  V2 Ta chọn V3   1 ,   6 tiện ta thay V2 V2      10   1 0    Với ký hiệu P  15 1 , T   , , ta có: A  PTP1    0  2) Tìm kgvc ổn định f Các kgcv ổn định f có số chiều 0,1,3 đƣợc xác định dễ dàng: 0 , V1, V2 , Ta cịn phải tìm mặt phải ổn định f khác P1 P2 (nếu tồn tại) Khi P  P2 đƣờng thẳng vectơ ổn định f , đƣợc định hƣớng V2 ( V2  P2 ), Vậy tồn W  cho P  Vect  V2 , W  với ký hiệu W  V1  V2 V3 , ta có:   AW  P  det  V1 , V2 , V3   V2 , W,AW     5       0  5  ( P  P2 hay P  P2 ) Phƣơng pháp thứ hai (sử dụng đôi ngẫu chuyển vị ) 1) Cho E K – kgv, f  E  , F kgvc E  Giả sử F ổn định f Ta chứng minh F  ổn định với t f Cho   F t Ta có   F, , f     f    ,   ( f     F,   F ) Vậy t f    F  Nếu E hữu hạn chiều đảo lại dúng F  ổn định t f cách đồng E song ngẫu (xem C1) F   F  ổn định f   tt f  SV: Kee MAI THAM THOR 61 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy 2) Nhƣ mặt phẳng vectơ P ổn định f P  (có số chiều 1) ổn định t f Vì vectơ ổn định f phần bù trực giao đƣờng thẳng vectơ ổn định t A Các đƣờng thẳng vectơ ổn định t A đƣờng sinh 1, 0, 1 11,0  6, 5 Vậy mặt phẳng ổn định f hai mặt phẳng có phƣơngtrình Descartes (trong sở tắc ):   z =0, 11  y 5 z = Nhận xét: Phƣơng pháp thứ nhắt cho sở phƣơng pháp thứ hai cho phƣơng trình mặt phẳng ổn định Trả lời: Các kgvc ổn định f là:  0 , RV1, RV2 , RV1  RV, RV2  RV3, Trong V1  10,15, 4 , V2  1,11 , V3   0, 1,0  Bài 6: Cho n  * , A  Mn   a) Chứng minh rằng,  A tách đƣợc với k thuộc ,A tách đƣợc b) Chứng minh rằng,  A tách đƣợc có nghiệm  0,  A tách đƣợc c) Cho ví dụ A  M3   cho  A khongo tách đƣợc tren  A tách đƣợc Lời giải: a) Vì  A tách đƣợc nên tam giác hóa đƣợc Mn   : Tồn k P  GLn   1  , T     T n,s    n   ,sao cho A  PTP 1 Khi A k  PT k P 1 , từ  A   T     k i  X  tách đƣợc n k k i 1 b) Vì  A tách đƣợc Tồn P  GLn  nên A tam giác hóa đƣợc M   :  1  , T     T n,s    n   , cho A  PTP 1 (Khi xem thêm a)):  A   T     2i  X  n k i 1 Theo giả thiết i 1, , n , i  SV: Kee MAI THAM THOR  i  1, ,n , i  , nên  A tách đƣợc tren 62 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy 0 1 c) với A   0 , ta có  A   X3     X  1  X  X  1 , không tách đƣợc   A3  I3  A    X  1 , tách 3  0 1 Trả lời: Chẳng hạn 1 0  0 Bài 7: Cho n  * , A, B  Mn   cho AB  BA B lũy linh Chứng minh A  B A có đa thức đặc trƣng, đặc biệt: tr  A  B  tr  A  det  A  B  det  A  Lời giả Giả sử    Spc  A  Khi A  In khả nghịch giao với B (vì AB  BA ), từ đây: A B     det((A  In )  B)  det(A  In ) det(In  N), N  B(A  In )1 giao hoán nên N lũy linh Nhƣng N tam giác hóa đƣợc Mn   , tức tồn P  GLn   0 T       nhƣ  \ A B     A       Vì ánh xạ đa thức  A  B  A Trùng vô hạn  Spc  A  nên ta kết luận:  A  B   A Bai 8: Cho n  * , E K- kgv hữu hạn chiều với số chiều n, f  (E) lũy inh, v số lũy linh f Chứng minh: v  n  rank  f   n  Lời giải Ta có 0  ker  f   ker  f    ker  f v1    ker   f v   E Chứng minh bao hàm thức nghiêm ngặt 1) Giả sử v  n Vì n 1  (dim(ker(f i 1 ))  dim(ker(f i )))  n suy ra: i0 i  0, , n  1 ,dim(ker(f i1))  dim(ker(f i )) 1 Đặc biệt dim(ker (f ))=1 nhƣ (theo định lý hạng): rank(f ) = n  dim(ker(f ))  n  2) Đảo lại, giả sử rank(f )  n  1, tức (theo định lý hạng) dim(ker (f))=1  giả sử i  0, , v  1 Tồn V1  ker(f i1 ) cho V1  ker(f i ) Giả sử V1  ker  f i 1  Vì f i 1  V1   f i 1  V   ; ta có: f i (V1 )  ker f i  V   ker  f  Và dim(ker(f))=1 f i  V1   nên tồn   K cho f i  V   f i  V1  SV: Kee MAI THAM THOR 63 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy Nhƣ vậy: V  (V  V1 )  V1  Ker  f i   KVi Điều chứng tỏ: dim(Ker(f i1 ))  dim(Ker(f i ))   Bằng cách cộng hệ thức nhận đƣợc với i chạy từ đến v-1, ta suy ra: Dim(Ker(f v ))  dim(Ker(f ))  v, tức n = v Bài 9: Tam giác hóa đồng thời Cho n  * , E K – kgv hữu hạn chiều với số chiều n, I tập khác rỗng,  f i it họa tự đồng cấu tam giác hóa đƣợc E đoi giao hốn a) Chứng minh tồn vectơ riêng chung cho tất f i (thực quy nạp theo n ) b) Từ đo suy tồn sở E tất ma trận f i ma trận tam giác (có thể thực quy nạp theo n) Lời giải: a) Quy nạp theo n Tính chất với n = Ta giả sử với số nguyên  n E K – kgv có số chiều hữu hạn n+1, I tập hợp không rỗng,  f i iI họ tự đồng cấu tam giác hóa đƣợc E đơi giao hốn Dễ dàng khảo sát trƣờng hợp f i phép vị tự Giả sử tồn i  I cho  f i0  phép vị tự: f i0 có nhát giá trị (vì f i0 giác hóa đƣợc) khơng gian riêng tƣơng ứng E cho  dim(E )  n  Kgvc E ổn định f i với  thuộc E : fi0 (fi ())  fi (fi0 ))  fi (0)  0fi    ; Vậy fi     E0  Ta ký hiệu g i tự đồng cấu cảm sinh f i E với i  I , g i tam giác hóa đƣợc Có thể áp dụng giả thiết quy nạp cho E0 cho họ  gi iI ; g i (i  I ) nhận vtr chung 0 Rõ ràng  vtr chung cho fi b) Quy nạp theo n Thính chát với n = Giả sử với n E K-kgv có số chiều hữu hạn n+1, I tập hợp không rỗng, họ tự đồng cấu tam giác hóa đƣợc E đơi giao hốn Khi  ' fi iI họ tự đồng cấu E n tam giác hóa đƣợc (vì Mat i  fi   Ti  Tn,s  K  Mat i  t f i   t Ti  Tn,s (K) ) đơi giao hốn:   ij  I , t f i t fi  t  fi fi    fi fi   t fi t fi Theo a)  ' fi   i  I  nhận vtr chung    E*  0   t  i  I, i  K, fi     i   SV: Kee MAI THAM THOR 64 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy  Các kgvc Ker    E ổn định f i với  thuộc Ker    : (fi ())  ( fi ()  ( t fi ())     (fi     Ta ký hiệu f i ' tự đồng cấu cảm sinh f i Ker    với i  I  Vì   0,dim(Ker())   n  1   n, ta cố thể áp dụng giả thiết quy nạp cho Ker    họ  f 'i  i  I, f 'i tam giác hóa đƣợc  f 'i  đơi giao hoán Vậy tồn sở 1  (e1 , , en ) Ker    cho: i  I, Mat 1  f 'i   Tn,s  K  Tồn en 1  E  ker   ; 1   e1 , , e n 1  sở E và:  i  I, Mat   fi    Mat   f 'i      Tn 1,s  K   Nhận xét: Nếu n  xảy hai tự đồng cấu E đồng thời tam 0 1  0 giác hóa đƣợc mà khơng giao hốn, ví dụ nhƣ: A    , B    ,  0   0 1  0 ta có: AB      BA  0  0 Bài 10: Cho n  * , A, B, C  Mn   cho: AB  BA  C, AC  CA, BA  CB Chứng minh A,B,C tam giác hóa đƣợc đồng thời,tức tồn P  GLn   Sao cho P 1AP, P 1BP, P 1CP ma trận tam giác Lời giải: Quy nạp theo n Tính chất hiền nhiên với n = Giả sử với số nguyên n giả sử A, B,C  Mn 1   cho: AB  BA  C, AC  CA, BA  CB ký hiệu , ,  tự đồng cấu M n 1,1   tƣơng ứng liên kết với A,B,C sở tắc M n 1,1   Tự đồng cấu  có gtr  , ký hiệu E  KGCR  ,   Chứng minh E  ổn định , ,  Ký hiệu ' , ' ,  ' tự đồng cấu cảm sinh E  tƣơng ứng , ,  Ta có: ' '  ' '   '  IdE , Tự đó:  tr   ' '   tr  '  '   tr   ' '  '  '    dim  E   Vậy   0,  ' '  '  ' Cho E  họ   'i , '  tồn a1 , b1  , 1  E  0 cho: a '  1   a11 '  1   b11 Bổ sung 1 thành sở    1 ,  , ,  n 1  M n 1,1   Các ma trận x   b1 y   z   , ,   tƣơng ứng có dạng:  , ,  ,  A1   B1   C1  X, Y, Z  M1,n   A1 , B1 ,C1  M n  SV: Kee MAI THAM THOR  65 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy Bằng phép nhân theo khối, chứng minh: A1B1  B1A1  C1 , A1C1C1A1 , B1C1  C1B1 Ta áp dụng giả thiết quy nạp cho  A1 , B1 , C1  : Tồn P  GL n   , T1, U1, V1,  Tn,s   Sao cho: A1  PT1P1, B1  PU1P1,C1  PV1P1 1  1  phép nhân theo khối ta , Q khả nghịch, Q1    1  0 P 0 P  đƣợc: Q1AQ, Q1BQ, Q1CQ  Tn 1,s   Ký hiệu Q   SV: Kee MAI THAM THOR 66 Lớp: K20-ĐHSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy PHẦN KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu, đề tài “Chéo hóa ma trận, tam giác hóa ma trận ứng dụng” đạt đƣợc số kết nhƣ sau: Trình bày cách hệ thống kiến thức ma trận số tốn ứng dụng chéo hóa ma trận, tam giác hóa ma trận Cung cấp đƣợc số tập việc chéo hóa ma trận, tam giác hóa ma trận Tuy nhiên, kiến thức hạn hẹp, thời gian nghiên cứu không nhiều nên có số phần chƣa triệt để Em hy vọng tƣơng lai nghiên cứu sâu phần chéo hóa ma trận, tam giác hóa ma trận đƣa nhiều tập ứng dụng phong phú khác Cuối em xin chân thành cảm ơn đóng góp q thầy bạn! SV: Kee MAI THAM THOR 67 Lớp: K20-ĐHSP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Lê Quang Huy TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh Toán cao cấp tập một, Nhà xuất Giáo Dục [ ] Giáo trình Toán – Tập – Đại số – Jean Marie Monier – Nhà xuất Giáo Dục [ ] Đại số tuyến tính qua ví dụ tập – Lê Tuấn Hoa Monier – Nhà xuất Giáo Dục [ ] Nguyễn Hữu Việt Hƣng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 SV: Kee MAI THAM THOR 68 Lớp: K20-ĐHSP Toán