Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn

Mục lục Lời nói đầu 3 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô * yếu . . . . . . 5 1.2 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Một số tính chất hình học của không gian Banach . . . . 7 1.4 Bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev . . . . . . . . . . 9 1.5 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . 12 1.6 Nửa nhóm ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0) 21 2.1 Không gian CAT(0) và các tính chất cơ bản . . . . . . . 21 2.2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0) đầy đủ . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Tính chất điểm bất động của tập L-nhúng 34 3.1 Tập L-nhúng và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Các định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 2 Lời nói đầu Lý thuyết điểm bất động được hình thành theo hai hướng nghiên cứu chính: điểm bất động của ánh xạ dạng co (khởi đầu là nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)) và điểm bất động của ánh xạ dạng liên tục (khởi đầu là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912)). Luận văn đề cập một phần theo hướng nghiên cứu thứ nhất. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ dạng co được xem xét dưới ba loại ánh xạ chính: ánh xạ co, ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều. Phải sau hơn bốn thập kỷ (đến năm 1965), kết quả khởi đầu sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn mới xuất hiện và nó đòi hỏi cấu trúc hình học của không gian Banach. Từ đây rất nhiều nhà toán học quan tâm mở rộng các kết quả này và đạt được rất nhiều kết quả có ý nghĩa. Một trong những hướng mở rộng là tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ trên các lớp không gian có cấu trúc đơn giản hơn. Dựa trên hai bài báo chính [7,12], khóa luận đề cập đến nội dung nghiên cứu trên với tiêu đề của đề tài: "Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn" Khoá luận gồm 3 chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức của giải tích cần thiết cho chương 2 và 3. Chương 2: Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0). Trong chương này, chúng tôi giới thiệu nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận và không gian trắc địa CAT(0), các định lý về sự tồn tại điểm 3 bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận. Ngoài ra, khóa luận còn đề cập đến sự hội tụ của dãy lặp đến điểm bất động chung này. Chương 3: Tính chất điểm bất động của tập L-nhúng. Ở đây, chúng tôi giới thiệu tập L-nhúng và tính chất, các định lý về tính chất điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ không giãn trên tập này. Qua bản khoá luận này, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán-Tin, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội nói chung và các thầy cô giáo ở bộ môn Toán Giải Tích nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt em trong những năm học vừa qua. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Lê Anh Dũng, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khoá luận. Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ em để em có thể hoàn thành khoá luận của mình. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên bản khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Em rất mong các thầy cô và các bạn học viên nhận xét, đóng góp ý kiến để bản khoá luận này được hoàn thiện và phát triển hơn. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 06 năm 2013 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày về không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô * yếu; không gian lồi địa phương; một số tính chất hình học của không gian Banach; bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev, nửa nhóm ánh xạ và điểm bất động của ánh xạ không giãn. 1.1 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô * yếu Giả sử E, F là hai không gian tuyến tính định chuẩn và L(E, F ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào F . Chuẩn ∥ A ∥ của toán tử A ∈ L(E, F) được cho bởi ∥ A ∥= inf { M :∥ Ax ∥≤ M ∥ x ∥, ∀x ∈ E} = sup { ∥ Ax ∥: x ∈ E, ∥ x ∥≤ 1} = sup { ∥ Ax ∥: x ∈ E, ∥ x ∥= 1} = sup { ∥ Ax ∥ / ∥ x ∥: x ∈ E, x ̸= θ} Nếu F là không gian Banach thì L(E, F ) với chuẩn xác định như trên cũng là một không gian Banach. Ký hiệu K = C hoặc R. Định nghĩa 1.1.1. Ta kí hiệu E ∗ = L(E, K) và gọi là không gian đối 5 ngẫu (hay liên hợp) của E. Các phần tử x ∗ của E ∗ là những phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Không gian E ∗∗ = L(E ∗ , K) được gọi là không gian đối ngẫu (liên hợp) thứ hai của E. Bởi phép nhúng chính tắc, ta có thể coi E ⊂ E ∗∗ . Vì K là không gian Banach nên E ∗ và E ∗∗ đều là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.2. Ta gọi tôpô yếu trên E là tôpô yếu nhất trên E sao cho mọi x ∗ ∈ E ∗ đều liên tục và kí hiệu là σ(E, E ∗ ). Định nghĩa 1.1.3. Dãy {x n } ⊂ E được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ E nếu dãy {x n } hội tụ đến x đối với tôpô yếu σ(E, E ∗ ). Kí hiệu x n wk → x. Định nghĩa 1.1.4. Ta gọi tôpô * yếu trên E ∗ là tôpô yếu nhất trên E ∗ sao cho mọi x ∈ E ⊂ E ∗∗ đều liên tục và kí hiệu là σ(E ∗ , E). Sau đây ta sẽ nêu một số tính chất cơ bản và quen biết của tôpô yếu và tôpô * yếu. Định lý 1.1.5. Dãy {x n } hội tụ yếu đến x khi và chỉ khi lim n→∞ x ∗ (x n ) = x ∗ (x), ∀x ∗ ∈ E ∗ . Định lý 1.1.6. Tập con lồi K của không gian tuyến tính định chuẩn E là đóng khi và chỉ khi nó đóng yếu. Định lý 1.1.7. (Alaoglu) Hình cầu đơn vị đóng B[θ, 1] trong không gian đối ngẫu E ∗ là tập compact đối với tôpô * yếu. 1.2 Không gian lồi địa phương Mệnh đề 1.2.1. Trong không gian vectơ tôpô E nếu U là lân cận của điểm gốc thì 6 i) U là tập hút, ii) Tồn tại lân cận V của điểm gốc sao cho V + V ⊆ U, iii) Tồn tại lân cận cân W của điểm gốc sao cho W ⊆ U. Định nghĩa 1.2.2. Một không gian vectơ tôpô E được gọi là một không gian lồi địa phương nếu điểm gốc có một cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi. Định nghĩa 1.2.3. Cho E là không gian lồi địa phương tách với tôpô được xác định bởi họ nửa chuẩn Q trên E. Tập con C của E được gọi là có cấu trúc Q - chuẩn tắc nếu với mỗi tập Q - bị chặn H của C chứa nhiều hơn một điểm, tồn tại x 0 ∈ coH và p ∈ Q sao cho sup {p(x − x 0 ) : x ∈ H} < sup {p(x − y) : x, y ∈ H} trong đó coH = co(H): bao lồi của H. Bởi tính Q - bị chặn của H, ta có: với mỗi p ∈ Q, tồn tại d > 0 sao cho p(x) ≤ d, ∀x ∈ H. Mọi tập con lồi Q - compact có cấu trúc chuẩn tắc. Trong không gian Banach lồi đều (ví dụ: không gian L p với 1 < p < ∞), tập lồi bị chặn luôn có cấu trúc chuẩn tắc. 1.3 Một số tính chất hình học của không gian Ba- nach Định nghĩa 1.3.1. Không gian Banach (X, ∥.∥) được gọi là lồi chặt nếu: ∀x, y ∈ X 7 ∥x∥ ≤ 1 ∥y∥ ≤ 1 ∥x − y∥ > 0          ⇒   x+y 2   < 1. Định nghĩa 1.3.2. Không gian Banach (X, ∥.∥) được gọi là lồi đều nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại δ (ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X, ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1, ∥x − y∥ ≥ ϵ ta có   x+y 2   ≤ 1 − δ (ε) . Ví dụ 1.3.3. - Không gian R 2 với chuẩn ∥x∥ 2 =  x 2 1 + x 2 2 là không gian lồi đều. - Không gian R 2 với chuẩn ∥x∥ 1 = |x 1 | + |x 2 | và ∥x∥ ∞ = max (|x 1 | , |x 2 |) là các không gian không lồi đều (ở đây x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ). - Các không gian l p và L p [a, b] với 1 < p < ∞ là lồi đều, còn p = 1 và p = ∞ là không lồi đều. - Mọi không gian Hilbert là lồi đều. - Không gian C[a, b] là không lồi đều. Để đo "mức độ" lồi của hình cầu đơn vị trong không gian, người ta đưa ra khái niệm môđun lồi. Định nghĩa 1.3.4. Môđun lồi của không gian Banach X là hàm δ X : [0, 2] → [0, 1] xác định bởi δ X (ε) = inf  1 −     x + y 2     : x, y ∈ X, ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1, ∥x − y∥ ≥ ε  . Định nghĩa 1.3.5. Đặc trưng lồi (hay hệ số lồi) của không gian Banach X là số ε 0 = ε 0 (X) = sup {ε ∈ [0, 2] : δ X (ε) = 0} , 8 ε 0 là độ dài đoạn thẳng lớn nhất nằm trên mặt cầu đơn vị. Nhận xét 1.3.6. - Không gian X là lồi đều khi và chỉ khi δ X (ε) > 0 với mọi ε > 0. - Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi ε 0 (X) = 0. Mệnh đề 1.3.7. Không gian Banach X là lồi chặt khi và chỉ khi δ X (2) = 1 Chứng minh. Giả sử X là lồi chặt và ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1, ∥x − y∥ ≥ 2. Do ∥x − y∥ ≤ ∥x∥ + ∥−y∥ ≤ 2 nên ∥x − y∥ = 2 và ∥x∥ = ∥−y∥ = 1. Khi đó, vì    x+(−y) 2    = 1 và X là lồi chặt nên ta có x = −y. Suy ra   x+y 2   = 0. Vậy δ X (2) = 1 . Ngược lại, giả sử δ X (2) = 1 và x, y ∈ X thỏa mãn ∥x∥ = ∥y∥ =   x+y 2   = 1. Khi đó   x−y 2   =    x+(−y) 2    ≤ 1 − δ X (∥x − (−y)∥) = 1 − δ X (2). Vậy x = y hay X lồi chặt. 1.4 Bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev Trước hết ta định nghĩa bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev cho một tập hợp. Cho C và B là hai tập con khác rỗng của không gian Banach X và B bị chặn. 9 Định nghĩa 1.4.1. Bán kính Chebyshev của B đối với C được xác định bởi: r (C, B) = inf  r ≥ 0 : ∃x ∈ C, sup b∈B ∥x − b∥ ≤ r  . Hiển nhiên ta có 0 ≤ r (C, B) < ∞. Định nghĩa 1.4.2. Tâm Chebyshev của B đối với C được xác định bởi: A (C, B) =  x ∈ C : sup b∈B ∥x − b∥ ≤ r (C, B)  . Chú ý, như một tập con của C, A (C, B) có thể bằng rỗng. Tiếp theo ta định nghĩa bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev cho một dãy. Cho {x α } là dãy bị chặn trong tập con lồi, đóng, khác rỗng C của không gian Banach X. Với x ∈ X, ta đặt r (x, {x α }) = lim sup α ∥x α − x∥. Định nghĩa 1.4.3. Bán kính Chebyshev (bán kính tiệm cận) của {x α } đối với C được xác định bởi: r (C, {x α }) = inf x∈C r (x, {x α }) và tâm Chebyshev (tâm tiệm cận) của {x α } đối với C được xác định bởi: A (C, {x α }) = {x ∈ C : r (x, {x α }) = r (C, {x α })} . Mệnh đề 1.4.4. Hàm r (., {x α }) và r (., B) là các hàm lồi, không giãn. Chứng minh. Với mỗi x ∈ X, đặt f(x) = r (x, {x α }). Khi đó f là một hàm lồi. Thật vậy, với mọi x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1), mọi α ta có ∥x α − [λx + (1 − λ) y]∥ = ∥λ (x α − x) + (1 − λ) (x α − y)∥ ≤ λ ∥x α − x∥ + (1 − λ) ∥x α − y∥ . 10 [...]... (c) Nửa nhóm S rời rạc, tập C là compact yếu, lồi và phép biểu diễn 19 của S là liên tục yếu [4] (d) Tập C là tập con compact * yếu của l1 [10] 20 Chương 2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0) Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của điểm bất động chung đối với nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận {Ts : s ∈ S} trong không gian CAT(0) với S là nửa nhóm. .. phương, không gian mêtric), mở rộng cho ánh xạ đa trị, và tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ Phần tiếp theo chúng tôi đề cập đến khái niệm nửa nhóm ánh xạ 1.6 Nửa nhóm ánh xạ Định nghĩa 1.6.1 Tập S được gọi là nửa nhóm tôpô nếu S là không gian với tôpô Hausdorff và là nửa nhóm với phép toán · : S × S → S, (s, t) → s.t và các ánh xạ s → t.s và s → s.t từ S vào S là liên tục Định nghĩa 1.6.2 Nửa nhóm. .. là ∆ - giới hạn của {xα } Bổ đề 2.1.3 ([5]) Mọi dãy bị chặn trong không gian CAT(0) đầy đủ X có dãy con ∆ - hội tụ 2.2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0) đầy đủ Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu các định lý tồn tại điểm bất động chung đối với nửa nhóm các ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0) đầy đủ Định lý 2.2.1 Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch... và C là tập con khác rỗng của E, ánh xạ T : C → E là không giãn nếu 12 ∥T x − T y∥ ≤ ∥x − y∥, ∀x, y ∈ C Định nghĩa 1.5.2 Cho không gian Banach E và C là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của E Tập C có tính chất điểm bất động nếu mọi ánh xạ không giãn T : C → C đều có điểm bất động Định nghĩa 1.5.3 Không gian E có tính chất điểm bất động (tương ứng tính chất điểm bất động yếu) nếu mọi tập lồi,... Do đó {Ts x} là ∆- hội tụ tới điểm bất động chung của nửa nhóm S Định lý 2.3.3 Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch phải, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian CAT(0) đầy đủ X và x ∈ C Giả 29 sử S = {Ts : s ∈ S} là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận của C vào C với F (S) ̸= ∅ Khi đó, {πTs x} hội tụ tới một điểm của F (S), trong đó π : C → F (S) là phép chiếu điểm gần nhất Hơn nữa, nếu S là... T : C → C là ánh xạ không giãn Khi đó T có điểm bất động trong C, tức là tồn tại x∗ ∈ C sao cho T x∗ = x∗ Định lý 1.5.8 (Browder-Gohde, 1965) Cho C là tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian lồi đều E và T : C → C là ánh xạ không giãn Khi đó tập hợp các điểm bất động F (T ) của T là lồi, đóng và khác rỗng Một cách tự nhiên, kết quả trên được mở rộng đến không gian có cấu trúc yếu hơn (không gian lồi... yếu) của E có tính chất điểm bất động Tính chất điểm bất động * yếu được định nghĩa tương tự khi E là không gian Banach đối ngẫu Ví dụ 1.5.4 Cho C là đường tròn đơn vị trong R2 , T : C → C là phép quay có tâm quay là tâm đường tròn C, góc quay 0 < α < 2π Khi đó C là tập compact, T là ánh xạ không giãn nhưng T không có điểm bất động Ví dụ 1.5.5 Một tập lồi, đóng, bị chặn trong một không gian Banach không. .. 2.3 Sự hội tụ Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu các định lý ∆ - hội tụ đối với nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian CAT(0) 26 Bổ đề 2.3.1 Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch phải, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian CAT(0) đầy đủ X, và S = {Ts : s ∈ S} là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận của C vào C với F (S) ̸= ∅ Khi đó lims d (Ts x, z) tồn tại với mọi z ∈ F (S) Chứng... liên tục * yếu-* yếu tương ứng Nửa nhóm ánh xạ S được gọi là tách hoặc đồng liên tục nếu họ các ánh xạ (s, x) → Ts x từ S × C vào C là tách hoặc đồng liên tục Nửa nhóm ánh xạ S được gọi là affin nếu C là lồi và mỗi Ts (s ∈ S) là ánh xạ affin, nghĩa là: Ts (ax + by) = aTs x + bTs y với mọi hằng số a, b ≥ 0, a + b = 1, s ∈ S, x, y ∈ C Nửa nhóm ánh xạ S được gọi là Q - không giãn nếu p(Ts x − Ts y) ≤ p(x... đóng của không gian CAT(0) đầy đủ X và x ∈ C Giả sử T : C → C là ánh xạ không giãn tiệm cận, liên ( ) tục với F (T ) ̸= ∅ Nếu lim d T n x, T n+1 x = 0 thì {T n x : n ∈ N } là ∆n→∞ hội tụ tới điểm bất động của T Hệ quả 2.3.5 Cho C là tập con lồi, đóng của không gian CAT(0) đầy 32 đủ X và x ∈ C Giả sử T : C → C là ánh xạ không giãn tiệm cận, liên tục với F (T ) ̸= ∅ Khi đó {πT n x} hội tụ mạnh tới điểm của . trên tập này. Qua bản khoá luận này, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán- Tin, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội nói chung và các thầy cô giáo ở bộ môn Toán Giải Tích nói riêng đã. động cho ánh xạ không giãn mới xuất hiện và nó đòi hỏi cấu trúc hình học của không gian Banach. Từ đây rất nhiều nhà toán học quan tâm mở rộng các kết quả này và đạt được rất nhiều kết quả có. khoá luận của mình. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên bản khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Em rất mong các thầy cô và các bạn học viên