Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ lipschitz

Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo, Thạc sỹ Phùng Đức Thắng khóa luận em đến hoàn thành Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phùng Đức Thắng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo cho em nhiều kinh nghiệm quý báu thời gian em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô khoa Toán tạo điều kiện tốt cho em thời gian em làm khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế nên có nhiều cố gắng song khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Lê Mai Oanh SVTH: Lê Mai Oanh K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em với đề tài “Điểm bất động nửa nhóm ánh xạ Lipschitz” hoàn thành hướng dẫn thầy giáo, Thạc sỹ Phùng Đức Thắng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em có sử dụng tài liệu số tác giả nước nước (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Lê Mai Oanh SVTH: Lê Mai Oanh K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach 10 1.3 Không gian Hilbert, không gian phản xạ 11 1.4 Tập hợp lồi 12 1.5 Nửa nhóm 13 1.6 Ánh xạ Lipschitz số khái niệm khác 14 1.7 Nguyên lý ánh xạ co Banach 15 Chương Không gian lồi Định lý Browder-Gohde 17 2.1 Không gian lồi Môđun lồi 17 2.2 Cấu trúc chuẩn cấu trúc chuẩn 22 2.3 Ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz 26 Chương Mở rộng định lý Goebel-Kirk định lý Lipschitz nửa nhóm 30 3.1 Định nghĩa kí hiệu 30 3.2 Các định lí điểm bất động cận 31 3.3 Mở rộng định lí Lipschitz nửa nhóm 48 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 SVTH: Lê Mai Oanh K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Trong giải toán Toán học, khoa học kỹ thuật dẫn đến việc nghiên cứu toán sau: Cho X không gian T : X A X vào Xét phương trình phi tuyến Tx X ánh xạ từ tập hợp x Dưới điều kiện cụ thể khẳng định tồn nghiệm phương trình Điểm x thỏa mãn phương trình Tx A x gọi điểm bất động ánh xạ T tập hợp A Để giải toán dẫn tới đời lý thuyết - lý thuyết điểm bất động ánh xạ Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực quan trọng giải tích hàm phi tuyến Ngay từ đầu kỷ XX nhà Toán học giới quan tâm đến vấn đề khẳng định lý thuyết điểm bất động phát triển sâu, rộng trở thành công cụ quan trọng để giải nhiều toán thực tế đặt Sự phát triển lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi nhiều nhà Toán học giới như: Banach, Browder, Lipschitz, Goebel, Kirk, Lim-Xu… Những kết kinh điển đồng thời kết lý thuyết điểm bất động như: nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất động Brouwer áp dụng vào lĩnh vực toán học đại như: Phương trình vi phân, Phương trình tích phân, Giải tích hàm, Giải tích số… Trên sở nguyên lý đây, lý thuyết điểm bất động phát triển theo hai hướng chính: - Hướng thứ nhất: nghiên cứu điểm bất động ánh xạ co không gian metric SVTH: Lê Mai Oanh K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội - Hướng thứ hai: nghiên cứu điểm bất động ánh xạ compact không gian vectơ Tôpô Vào năm 60 kỷ trước, hướng xem hướng trung gian hai hướng xuất lý thuyết điểm bất động Đó nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach Một câu hỏi đặt là: “Cần đặt điều kiện tập hợp A không gian X để đảm bảo tồn điểm bất động ánh xạ không giãn T : A A ?” Vì ánh xạ co không giãn ánh xạ không giãn liên tục nên điều kiện phải mạnh điều kiện nguyên lý ánh xạ co Banach đồng thời phải yếu nguyên lý điểm bất động Brouwer Câu trả lời xác phải đợi đến năm 1965 Browder Gohde độc lập tìm Để giải toán này, hai nhà toán học phải sử dụng kĩ thuật độc đáo đưa vào thành tựu hướng nghiên cứu có tên “Hình học không gian Banach” Clarkson khởi xướng năm 1936 Tiếp tục xu hướng trên, vài thập niên gần người ta ý nhiều đến ánh xạ Lipschitz Có thể kể đến kết tiêu biểu mang tính chất mở đường kết nghiên cứu Goebel-Kirk Chính lí em chọn đề tài “Điểm bất động nửa nhóm ánh xạ Lipschitz” Mục đích nghiên cứu Giúp sinh viên bước đầu làm quen với lý thuyết điểm bất động Là sở để nghiên cứu môn chuyên ngành giải tích vận dụng định lí điểm bất động vào giải phương trình tích phân phương trình vi phân… SVTH: Lê Mai Oanh K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội 3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Sinh viên đại học sinh viên sau đại học + Phạm vi nghiên cứu: Điểm bất động nửa nhóm ánh xạ Lipschitz Nhiệm vụ nghiên cứu Nhắc lại kiến thức không gian Banach, không gian Hilbert, Giúp sinh viên nắm định lí điểm bất động ánh xạ Lipschitz Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Nhắc lại số khái niệm bản, tính chất số không gian, tập hợp công cụ cho nội dung nghiên cứu chương sau như: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, không gian phản xạ, tập hợp lồi, nửa nhóm, ánh xạ Lipschitz nguyên lý ánh xạ co Banach Chương 2: Trình bày số khái niệm cấu trúc hình học không gian Banach khái niệm ánh xạ không giãn, Lipschitz, Lipschitz Chương 3: Giới thiệu mở rộng kết Goebel-Kirk trình bày chi tiết định lí Goebel-Kirk Thele cho nửa nhóm ánh xạ Ngoài đưa cách chứng minh trực tiếp định lí cho nửa nhóm ánh xạ Lipschitz Tiếp theo giới thiệu định lí Lipschitz (1975) số kết mở rộng định lí nửa nhóm Đỗ Hồng Tân (2000) SVTH: Lê Mai Oanh K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric A Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X khác rỗng Trên X xác định ánh xạ: d:X ¡ thỏa mãn điều kiện: X i) d ( x, y ) d ( x, y ) ii) d ( x, y ) iii) d ( x, y ) 0 x d ( y, x) d ( x, z ) d ( z , y ) x, y X, y; x, y X ; x, y , z X Ánh xạ d gọi mêtric X Khi ( X , d ) gọi không gian mêtric (ta gọi không gian mêtric X ) Ví dụ 1.1.1 Xét tập C a, b { x (t ) ánh xạ liên tục [a,b]} ánh xạ: d : C[a, b] C[a, b] ( x, y ) ¡ a d ( x, y ) max x(t ) t [ a ,b ] y (t ) Ta dễ thấy: i) x x(t ), y y (t ) C[a, b] d ( x, y ) max x(t ) t [ a ,b ] y (t ) 0; d ( x, y ) x(t ) y (t ) ii) x x(t ), y y (t ) C[a, b] d ( x, y ) d ( y, x) SVTH: Lê Mai Oanh x y K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học iii) x x(t ), x(t ) y y (t ), y (t ) Trường ĐHSP Hà Nội z z (t ) C[a, b] x(t ) z (t ) z (t ) y (t ) max x( ) z ( ) max z ( ) [ a ,b ] x(t ) z (t ) z (t ) y (t ) y( ) [ a ,b ] d ( x, z ) d ( z , y ) d ( x, y ) max x(t ) t [ a ,b ] y (t ) d ( x, z ) d ( z, y ) d thỏa mãn điều kiện mêtric Vậy (C[a, b], d ) không gian mêtric, gọi tắt mêtric C[a, b] Ví dụ 1.1.2 Trên ¡ y n xác định ánh xạ d : ¡ y1 , y2 , yn ¡ n ¡ ¡ với x n x1, x2 , xn , n n d ( x, y ) xi yi i Dễ dàng kiểm tra d mêtric Do ¡ n , d không gian mêtric B Tập hợp mở, tập hợp đóng, tập hợp bị chặn tập hợp compact Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian mêtric ( X , d ) Với x X , r ta gọi là: a, Hình cầu mở tâm x, bán kính r X , kí hiệu B ( x, r ) tập hợp xác định sau: B( x, r ) y X : d ( x, y) r b, Hình cầu đóng tâm x, bán kính r X , kí hiệu B[ x, r ] tập hợp xác định sau: B[ x, r ] SVTH: Lê Mai Oanh y X : d ( x, y) r K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội Định nghĩa 1.1.3 Giả sử A tập không gian metric X , d Điểm x0 X gọi điểm tập hợp họp A tồn hình cầu mở B x0 , r A Định nghĩa 1.1.4 Tập hợp G gọi mở điểm G điểm Quy ước tập hợp mở Định nghĩa 1.1.5 Cho A tập không gian mêtric X , d Điểm x X gọi điểm dính tập hợp A hình cầu mở tâm x , bán kính r giao với A khác rỗng Nghĩa : r B( x, r ) A Định nghĩa 1.1.6 Cho X không gian mêtric, A tập X Tập hợp A gọi tập hợp đóng X phần bù A X tập hợp mở Định lí 1.1.1 Trong không gian mêtric hình cầu đóng tập hợp đóng Định lí 1.1.2 Trong không gian mêtric: a, Giao họ tùy ý tập hợp đóng tập hợp đóng b, Hợp họ hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng Định nghĩa 1.1.7 Giả sử A tập hợp tùy ý không gian mêtric X Ta gọi ( A) sup d ( x, y ) x, y A đường kính tập hợp A , giá trị hữu hạn hay vô hạn Từ định nghĩa ta suy điều kiện sau: a, Để tập hợp A bị chặn điều kiện cần đủ tồn hình cầu chứa A SVTH: Lê Mai Oanh K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội b, Hợp họ hữu hạn tập hợp bị chặn tập hợp bị chặn Định nghĩa 1.1.8 Không gian metric X , d gọi đóng bị chặn X tập hợp đóng bị chặn Định nghĩa 1.1.9 Tập hợp K không gian metric X gọi compact dãy điểm xn K có dãy xnk hội tụ đến điểm thuộc K 1.2 Không gian định chuẩn Không gian Banach Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian tuyến tính K , ánh xạ :X ¡ thỏa mãn điều kiện sau: i) x x ii) x iii) x Ánh xạ X, x X, x 0; x y x x y x, y K; X gọi chuẩn X Khi X , gọi không gian định chuẩn Chú ý: Với chuẩn xem sinh mêtric d hay ngược lại, với xác định d ( x, y) x y x, y X Như không gian định chuẩn X , X , d với mêtric d sinh chuẩn không gian mêtric Do số khái niệm: dãy hội tụ, dãy định nghĩa mêtric chuyển qua định nghĩa theo chuẩn dựa vào công thức d ( x, y) SVTH: Lê Mai Oanh x y 10 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Với T Trường ĐHSP Hà Nội Fn : z T ( z) z xn xn T xn z xn Suy d ( z) k z xn d xn d xn tính tổng quát ta coi T n T (z ) k xn n n Trong trường hợp x0 T xn z K cho d x0 Vậy d ( z) 0 Không làm F liên tục (trong trường hợp cụ thể iđêan phải J chọn iđêan phải mà hàm T tục, chẳng hạn J Nếu x Với T J1 ) F x0 , theo dãy x : S từ d x0 inf sup x0 T ( x0 ) : T S , với S hội tụ tới Tx0 d x0 sup x0 Tx0 : T Với kéo F S hội tụ tới x0 F , T liên tục nên Tx : Xét T x0 : J T liên : x0 T x0 Mặt khác, dãy Tx : hay T x0 : nên tồn F0 : S hội tụ tới x0 S dãy T x0 : hội tụ tới x0 Vậy x0 T x0 với T S nên Tx : S F Định lí chứng minh Sau ta chứng minh trường hợp đặc biệt định lí 3.2.2 cách chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 3.2.1 Cho S nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, dãy xs dãy bị chặn không gian Banach X Khi hàm r xs , hàm lồi, liên tục nửa liên tục yếu SVTH: Lê Mai Oanh 39 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội Chứng minh + r xs , lồi: Với x, y r xs , x (1 X, )y (0,1) : limsup x (1 ) y xs s limsup x xs (1 ) y xs s limsup x xs (1 )limsup y xs s s r xs , x + r xs , liên tục: Với x, y r xs , x (1 )r xs , y X: limsup xs x limsup xs s y x y s r xs , x r xs , y x y (1) r xs , y r xs , x x y (2) Tương tự Từ (1), (2) Với Do X \ V r ({xs }, x) r ({xs}, y) ¡ :V x x x X : r xs , x X : r xs , x y tập lồi, đóng nên đóng yếu mở yếu hay hàm r xs , hàm nửa liên tục yếu Bổ đề 3.2.2 Cho S nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, ks : s S dãy giảm, bị chặn ¡ Khi i) Nếu k : S dãy dãy ks : s S inf k : S = inf ks : s S Đặc biệt inf kts : s S = inf ks : s S SVTH: Lê Mai Oanh 40 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội ii) Nếu f hàm đơn điệu giảm, liên tục ¡ thì: sup f ks : s S = f inf k s : s S Chứng minh i) Đặt m1 = inf k : Rõ ràng m2 Với với t S , m2 = inf ks : s S m1 0, tồn s S : ks s : kt ks S : Chọn m2 Do ks : s S m2 dãy giảm nên s Khi m1 k ks m2 Vì tùy ý nên m1 m2 Vậy inf k : S Đặc biệt, với t S , S khả nghịch trái nên với s S tồn u S cho u = inf ks : s S s, u t Từ u t , tồn v S : u tv, điều chứng tỏ kts : s S dãy dãy ks : s S Do đó: inf kts : s S = inf ks : s S ii) Đặt M sup f ks : s S , m = inf ks : s S Với , tồn s0 Mặt khác, từ ks0 Do Với M m f , đơn điệu giảm nên f (m) f k s0 M tùy ý nên f (m) M , từ m inf ks : s S nên tồn s S : ks Do f đơn điệu giảm: M Cho S : f ks0 f ks f (m m ) từ tính liên tục f ta có: M f (m) Vậy sup f ks : s S = f inf ks : s S SVTH: Lê Mai Oanh 41 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội Hệ 3.2.1 Nếu F Tt : t S nửa nhóm khả nghịch trái ánh xạ không gian Banach X vói x, y limsup Tt x X ta có y limsup Tst x t Đặt ks y, s S t sup Tt x s từ định nghĩa limsup kéo theo trực tiếp y :t hệ limsup Tt x y t inf sup Ts x t y :s t inf kt t Định lí 3.2.4 Cho C tập lồi, đóng, bị chặn không gian Banach X với Ts : s S nửa ( X ) S nửa nhóm tôpô khả nghịch trái F , nhóm ánh xạ Lipschitz từ C vào C với limsup ks nghiệm s phương trình 1 Khi tồn z C cho Ts ( z ) X z, với s S Chứng minh Do ( X ) nên điệu tăng nên Đặt k X (1) Từ hàm Ta giả sử ks limsup ks 1 X , với s S , hàm đơn cố định s Lấy x0 C, đặt xs không gian X phản xạ (vì Ts x0 , s S Vì C tập lồi, đóng, bị chặn ( X ) 1) nên C compact yếu r xs , nửa liên tục yếu nên A xs , C SVTH: Lê Mai Oanh 42 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Lấy z1 A xs , C đặt r1 Trường ĐHSP Hà Nội r xs , z1 Xét limsup Tt ( x0 ) Ts ( z1 ) limsup TsTt x0 Ts z1 t t ks limsup Tt x0 z1 limsup Tt x0 z1 r1 (1) ks r1 t (2) ks r1 t Do C lồi nên: r1 z1 Ts z1 , s S limsup Tt x0 t r1 liminf limsup Tt x0 s t z1 Ts z1 (3) (Ở dãy as : s S bị chặn ¡ , ta kí hiệu liminf as sup inf at : t s s ) s Mặt khác từ (1), (2) ta có: Với sup Tt x0 , tồn t0 : z1 : t t0 ks r1 sup Tt x0 Ts z1 : t t0 ks r1 Do với t t0 : Tt x0 z1 ks r1 , Tt x0 Ts z1 k s r1 Theo tính chất môđun lồi, với t t0 ta có Tt x0 Tt x0 Ts z1 z1 k s r1 X z1 Ts z1 ks r1 (4) Từ (3), (4) r1 liminf limsup s t liminf ks r1 s SVTH: Lê Mai Oanh Tt x0 X Tt x0 Ts z1 z1 z1 Ts z1 ks r1 43 (Cho ) (5) K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội Mặt khác với dãy số dương bị chặn as : s S , bs : s S ta có limsup as liminf bs liminf asbs s Thật Đặt M s sup inf at bt : t s s , tồn s1 : s inf at bt : t m1 = limsup as =inf sup at : t sup at : t asbs Tồn t s s s3 : bt m2 Từ (9), (10): M Do s2 m1 (7) m1 nên inf bt : t s3 M sup inf bt : t s (8) s2 Khi s s3 ; từ (7), (8) ta có s1, s3 liminf bs s1 > M s , tồn s2 : s s m2 s s 0: liminf asbs Chọn s3 : s3 liminf bs liminf asbs ; m1 limsup as ; m2 Với từ M (6) s s ; as (9) m2 at bt tùy ý nên M (10) m1 m2 m1m2 Vậy (6) chứng minh Từ (5), (6) ta có r1 limsup ks r1 liminf Đặt as As z1 Ts z1 , s S, f ( ) ks r1 sup at : t Do z1 Ts z1 X s s X ( ), z1 Ts z1 ks r1 (11) [0,2] s Dãy As : s S dãy giảm limsup Tt x0 t SVTH: Lê Mai Oanh z1 limsup Tt x0 Ts z1 t 44 r1 ks r1 (12) K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội Suy as r1 ks r1 ks r1 ks ks ks 1 Theo tính chất môđun lồi f hàm giảm, liên tục đoạn [0, 2) nên: liminf z1 Ts z1 ks r1 X s liminf f ( as ) s sup inf f (at ) : t s s sup f As f inf As : s S (13) s As Thật vậy, với s S , với u S : au sup at : t As s nên Từ f hàm giảm: inf f (at ) : t Cho s f (au ) f As f hàm liên tục nên f As inf f (at ) : t s Theo bổ đề 3.2.2 ta có sup f As f inf As : s S f limsup as s s Vậy (13) chứng minh Từ (11), (12) ta có r1 kr1 X limsup s z1 Ts z1 ks r1 (14) Nếu r1 ta có: limsup Tt x0 z1 t Từ (12) suy ra: z1 Ts z1 SVTH: Lê Mai Oanh limsup Tt x0 Ts z1 0, với s S t 0, với s S Hay Ts z1 45 z1 , với s S K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội Nếu r1 ; từ (14) ta có 1 k X s z1 Ts z1 ks r1 limsup X s Nếu z1 Ts z1 k1r1 limsup X s s 1 k (15) z1 Ts z1 kr1 limsup z1 Ts z1 ks r1 limsup limsup s limsup z1 Ts z1 k r1 z1 Ts z1 ks r1 ( 0( X ) (X ) (16) ) s Giả sử ( X )k Khi hay Nếu X s limsup s max 1 0 ( X )k z1 Ts z1 kr1 ( X ).k , SVTH: Lê Mai Oanh k z1 Ts z1 ks r1 limsup X X s z1 Ts z1 ks r1 X hàm tăng ngặt limsup Đặt (X ) z1 Ts z1 ks r1 s Mặt khác nên (X ) ( X ) (mâu thuẫn) Vậy limsup X 0 ( X ) ( X ),2 Từ (15): k 1 X 1 limsup z1 Ts z1 k r1 (17) s 46 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội Từ (16), (17) limsup z1 Ts z1 r1 s A Ts z1 , C đặt Lấy z2 r2 r Ts r1 , z2 r Ts r1 , z1 Cứ tiếp tục ta xây dựng zn i) zn ii) rn r1 C thỏa mãn A Ts zn , C ; r Ts zn , zn r Ts zn iii) limsup zn Ts zn rn Xét , C , với n z0 x0 ; s zn zn zn zn zn Tt zn limsup zn Tt zn Tt zn với t zn limsup Tt zn t S zn t rn rn rn nr1 Vì zn dãy Cauchy C đầy đủ, nên tồn z C cho lim zn z n Với s S , xét: Ts z z z zn zn TsTt zn z zn zn TsTt zn ks z Ts z z ks z zn zn TsTt zn Ts z ks Tt zn zn TsTt zn limsup zn TsTt zn z ks Tt zn k s limsup Tt zn t ks z Vậy Ts z zn zn zn t ks rn n + z, với s S Định lý chứng minh SVTH: Lê Mai Oanh 47 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội 3.3 Mở rộng định lí Lifschitz nửa nhóm Khái niệm đặc trưng Lifschitz không giúp ta nghiên cứu điểm bất động không gian mêtric đủ, bị chặn Khi xem xét không gian Banach X Downing-Turret (1983) điều kiện k0 ( X ) tương đương ( X ) 1, cận k ( H ) (H ) ( X ) k0 ( X ) Đặc biệt không gian Hilbert: Vì xuất định lí Lifschitz bước đột phá việc đánh giá cận ánh xạ Lipschitz Trong mục giới thiệu định lí Lifschitz đặc biệt kết mở rộng định lí nửa nhóm thầy Đỗ Hồng Tân Định lí 3.3.1 ( Lifschitz, 1975) Cho ( M , d ) không gian metric đủ, bị chặn giả sử T : M M ánh xạ Lipschitz với d (T n x,T n y) kd ( x, y), với x, y M , n cho k K ( M ) Khi T có điểm bất động M Định lí 3.3.2 ( Đỗ Hồng Tân, 2001) Cho ( M , d ) không gian mêtric đủ S nửa nhóm tôpô khả nghịch trái F tồn x0 {Ts : s S} nửa nhóm ánh xạ ks - Lipschitz cho M , s0 S thỏa mãn {Ts x0 : s s0} bị chặn limsup ks k ( M ) s Khi tồn z M cho Ts z z, s S Chứng minh Đặt Fs Ts oT : T F , Fs ( y ) Ts oT ( y ) : T F ,k limsup ks s Lấy k : k k Chọn s2 S : s2 k (M ) Khi tồn s1 S cho với s s1 ks s0 , s2 r ( y) inf k s1 đặt : x M , i s2 Fi ( x) B( y, ) (Ký hiệu B( y, ) hình cầu đóng) SVTH: Lê Mai Oanh 48 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Cách đặt hợp lý i Trường ĐHSP Hà Nội s2 Fi ( x0 ) Fs0 ( x0 ) bị chặn nên Fs2 ( x0 ) bị chặn Nếu tồn y M cho r ( y) 0, ta chứng minh Ts y y với s S Thật vậy, với tồn x M , i S , i s2 (phụ thuộc vào Fi ( x) B( y, ) Khi d T ( x), y Với T Fi ta có T d Ty, y với T ) cho Fi Fi nên d Ty,T x d T x, y Với s S , tồn j S cho j k d Tx, y k si, j i Ta coi j siu iv, với u, v S Khi d Ts y, y d Ts y,T j y d T j y, y d Ts y,TsTT i uy ks d y,TT i uy d TT i v y, y ks k 0, nên d Ts y, y Do với hay Ts y y với s S k , k (M ) , theo định nghĩa k ( M ), tồn Lấy Với r cho: 0, x, y M , d ( x, y) r tồn z M : B( x, r ) Chọn d TT i v y, y (0,1) cho Lấy y1 B( y, r ) , k B( z, r ) X Nếu r ( y1 ) định lí chứng minh Giả sử r ( y1 ) Ta xây dựng yn phương pháp quy nạp cho r ( yn ) r ( yn ) d ( yn 1, yn ) ( )r ( yn ) Thật vậy, giả sử tồn y1, , ym thỏa mãn r ( yi ) 0, i 1, m SVTH: Lê Mai Oanh 49 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội 1, theo định nghĩa r ( ym ) tồn x1 Vì Ft x1 Mặt khác x , nên ym Vì Fs2 ym s2 cho M, t B ym , r ( ym ) x M , i s2 ta có Fi x B ym , r ( ym ) nên tồn s d Ts ym , ym Chọn j S : j t , j B ym , r ( ym ) Chọn s2 cho (1) r ym st Ta coi j tu stv; u, v thuộc S Khi Fj x1 Ft x1 B ym , r ( y m ) r ( ym ) B ym , (2) Với T° Fj ta có T° TsT với T thuộc Ft Do ° ,T y d Tx s m d TsTx1,Ts ym ks d Tx1, ym r ( ym ) k r ( ym ) Từ (1), (2), (3) định nghĩa k ( M ), tồn Fj x1 B ym , r ( ym ) d ym , ym ( ( d ym ,T jTx1 , r ( ym ) d T jTx1 , ym r ( ym ) r ( ym ) m r ( y1 ) )r ( ym ) nên ym dãy Cauchy Do tồn z M : lim yn Với B )r ( ym ) Mặt khác, r ( ym ) d ym 1, ym r ( ym ) , đó: r ( ym ) Vậy d ym 1, ym M cho B Ts ym , r ( ym ) Đặt ym Suy r ( ) (3) 0, chọn n cho r ( yn ) theo định nghĩa r ( yn ) tồn s SVTH: Lê Mai Oanh z / d yn , z s2 x M cho Fs ( x) 50 / Khi B yn , K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Suy Fs ( x) Vì B( z, ) Vậy r ( z) Trường ĐHSP Hà Nội bé tùy ý nên r ( z ) hay Ts z z với s S (Định lí chứng minh) SVTH: Lê Mai Oanh 51 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Như nói phần mở đầu, mục đích khóa luận giới thiệu hướng quan trọng giải tích hàm phi tuyến Đó lý thuyết “Điểm bất động nửa nhóm ánh xạ Lipschitz” Các kết khóa luận dựa cấu trúc hình học đặc trưng không gian Banach liên quan đến điểm bất động Vì chương khóa luận nhắc lại số khái niệm tính chất không gian tập hợp liên quan đến chương sau Nội dung chương không gian Banach lồi đều, không gian Banach lồi nghiên cứu ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz Kết chương định lí điểm bất động ánh xạ Lipschitz nửa nhóm ánh xạ Lipschitz không gian Banach dựa điều kiện đặc trưng lồi môđun lồi Goebel Kirk đề xuất Tóm lại nội dung khóa luận việc trình bày điều kiện Goebel-Kirk điểm bất động cụ thể hai định lí nêu chứng minh chương Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc trường đại học sư phạm Hà Nội thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Do khuôn khổ khóa luận có hạn lực thân nhiều hạn chế nên khóa luận nhiều thiếu sót Rất mong nhận ý kiến trao đổi đóng góp quan tâm đến vấn đề này! SVTH: Lê Mai Oanh 52 K33C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nxb KHKT Hà nội, 2000 Phan Đức Chính, Giải tích hàm (tập 1), Nxb ĐHTHCN Hà nội, 1978 Amir D., On Jung’s constant and related constants in normed linear spaces, Pacific J Math 118, – 15, 1985 Gae T S., Reflex ivity of Banach space with a uniformly normal structure, Proc Amer Math Soc 90, 269 – 270, 1984 Baillon J B., Quelques aspects de la theorie des points fixes dans les espaces de Banach 1, Seminaire d’Analyse Fonctionelle, 7, Ecole Polytechnique, Palaiseau, France, 1978 – 1979 Baillon J B and Schoeberg R ,Asymptotic normal structure and fixed points of nonexpansive maps, Proc Amer Math Soc 81, 257 – 269, 1981 S Banach, Sur les operation dans les ensembles abstraits et leur applications, Fund Math 3, 133 – 181, 1922 Brouwer L E., Uber Abbildungen von Mannigsaltigkeiten, Math Ann., 119, 97 – 115, 1912 Browder, Nonexpansive nonlinear operators in Banach spaces, Proc Nat Acad Sci USA 54, 1041-1044 , 1965 SVTH: Lê Mai Oanh 53 K33C - Toán [...]... cú: A v A A A A A A, l na nhúm kh nghch trỏi 1.6 nh x Lipschitz v mt s khỏi nim khỏc nh ngha 1.6.1 X c gi l ỏnh x Cho khụng gian mờtric X , d , ỏnh x T : X k -Lipschitz ( k-Lipschitzian mapping) nu k 0 sao cho d Tx,Ty k.d x, y x, y X nh ngha 1.6.2 X c gi l ỏnh x Cho khụng gian mờtric X , d , ỏnh x T : X k -Lipschitz u ( uniformly k - lipschitzian mapping) nu k 0 sao cho d T n x,T n y k.d x, y x,... ( x, y), x, y K , n 1 Rừ rng lp ỏnh x Lipschitz u vi k 1 l lp trung gian gia ỏnh x Lipschitz v ỏnh x khụng gión Ta bit rng, nu X cú tớnh cht tt no ú (chng hn li u) v K l mt tp li, úng, b chn trong X thỡ K cú tớnh cht im bt ng i vi ỏnh x khụng gión i vi ỏnh x Lipschitz, tp hp K nh trờn cú th khụng cú tớnh cht im bt ng, nh vớ d trờn ó ch ra Cõu hi t ra: i vi ỏnh x Lipschitz u vi k 1, k gn 1 thỡ cỏc tp... Hilbert l 2 v h s Lipschitz bng (vi 1 0 nh tựy ý) hỡnh cu n v úng cng khụng cú tớnh cht im bt ng i vi loi ỏnh x ny Mt khỏc, nu T : K K ( K l tp con ca khụng gian Banach X ) l ỏnh x khụng gión thỡ ta luụn cú T nx T n y T n 1x T n 1 y x y, x, y K iu ny gi ý cho ta xột cỏc ỏnh x tha món iu kin T nx T n y k x y, x, y K , n 1, k 1 nh x loi ny c gi l ỏnh x Lipschitz u nh ngha 2.3.2 nh x T : K K (K Lipschitz u... khụng gian nh th no thỡ mt ỏnh x khụng gión, hay hn na mt ỏnh x k -Lipschitz u, k 1 v gn 1 cú im bt ng nh lớ im bt ng Goebel-Kirk l nn tng cho hng nghiờn cu im bt ng i vi ỏnh x Lipschitz u sau ny nh lớ 3.2.1 (Goebel-Kirk, 1973) Cho X l khụng gian Banach li u vi mụun li li, úng, b chn ca X Gi s T : K món k 1 1 k v K l tp con K l ỏnh x k -Lipschitz u tha 1 thỡ T cú im bt ng trong K Sau ú, nm 1974, Goebel-Kirk... gian X li u, K l tp con li, úng, b chn ca X, mi ỏnh x Lipschitz u T : K phng trỡnh 1 1 X K vi h s k ( ú l nghim ca 1 u cú im bt ng 5 2 p dng vo khụng gian Hilbert: Nm 1975 Lifschitz ó cho mt ỏnh giỏ khỏc vi cn trờn K0 ( X ) tt hn (nh ngha K0 ( X ) mc 3.1) Trong khụng gian Hilbert K 0 ( H ) 2 Nm 1979, Baillon ó tỡm c phn vớ d trong l 2 cho ỏnh x 2 - Lipschitz u m khụng cú im bt ng Cho n nay ngi ta cha... cu trỳc chun u S ra i ca cỏc nh lớ Goebel-Kirk, Lifschitz, Casini-Maluta l mt bc t phỏ ln trong lý thuyt im bt ng i vi ỏnh x Lipschitz u m ta s tỡm hiu tip chng sau SVTH: Lờ Mai Oanh 29 K33C - Toỏn Khúa lun tt nghip i hc Trng HSP H Ni 2 Chng 3 M RNG NH Lí GOEBEL-KIRK V NH L LIPSCHITZ RA NA NHểM 3.1 nh ngha v kớ hiu nh ngha 3.1.1 Mt na nhúm S vi tụpụ Hausdorff trờn S sao cho vi mi a S cỏc ỏnh x s a... mờtric X , d , S l mt na nhúm tụpụ Mt h F Tt : t S cỏc ỏnh x t U vo U c gi l na nhúm ỏnh x Lipschitz trờn U nu F tha món: i) Tts ( x) Tt Ts ( x) , vi mi t , s S , x U ; ii) nh x S U U : (s, x) a Ts ( x) liờn tc; iii) Vi mi s S , tn ti ks Nu ks 0 : d Ts x,Ts y ks d x, y , x, y U k , s S thỡ F c gi l na nhúm ỏnh x Lipschitz u nh ngha 3.1.3 c trng Lifschitz ca khụng gian metric ( M , d ) c nh ngha K (M... hiu Fix(T ) li, úng v khỏc rng Vớ d sau õy chng t nh lớ Browder-Gohde khụng cũn ỳng cho ỏnh x Lipschitz vi k 1 Cho B l hỡnh cu n v úng trong l 2 , Ta t Tx 2 kộo theo T ( B) x1 , x2 , l2 x , x1, x2 , Khi ú x B : 1 Tx (0,1) vi x 2 1 x 2 x B hay T : B 2 1 x 2 x 2 1 x x 1 B Bõy gi ta s chng minh T l ỏnh x Lipschitz Tht vy, xột: Tx Ty 2 2 1 Tx Ty (1 x 2 ) x 2 y x y x y 2 2 x y 2 x y 2 2 y Cui cựng ta... theo K10 K 20 K n0 K11 K 21 K n1 M M K1n K 2n M M n I Trng HSP H Ni 2 Ki0 K no M K nn M 0 khi n Theo nh lý Cantor H qu 2.2.1 Mi khụng gian Banach X vi 0 ( X ) 1 l phn x 2.3 nh x khụng gión, ỏnh x Lipschitz u nh ngha 2.3.1 Tp hp D X c gi l cú tớnh cht im bt ng i vi ỏnh x khụng gión nu mi ỏnh x khụng gión t D vo D u cú im bt ng trong D Chỳ ý: Mt tp hp li, úng, b chn trong khụng gian Banach khụng ... ỏnh x Lipschitz u 26 Chng M rng nh lý Goebel-Kirk v nh lý Lipschitz na nhúm 30 3.1 nh ngha v kớ hiu 30 3.2 Cỏc nh lớ im bt ng v cn trờn 31 3.3 M rng nh lớ Lipschitz. .. li, na nhúm, ỏnh x Lipschitz v nguyờn lý ỏnh x co Banach Chng 2: Trỡnh by mt s khỏi nim v cu trỳc hỡnh hc ca khụng gian Banach v nhng khỏi nim v ỏnh x khụng gión, Lipschitz, Lipschitz u Chng 3:... A, l na nhúm kh nghch trỏi 1.6 nh x Lipschitz v mt s khỏi nim khỏc nh ngha 1.6.1 X c gi l ỏnh x Cho khụng gian mờtric X , d , ỏnh x T : X k -Lipschitz ( k-Lipschitzian mapping) nu k cho d Tx,Ty