Lý thuyết điểm bất động

Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội LỜI CẢM ƠN Bản khố luận đƣợc hồn thành trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội dƣới hƣớng dẫn thây Nguyễn Văn Hùng Em xin bày tỏ lòng biết ơn bảo hƣớng dẫn tận tình nghiêm khắc để em hồn thành khố luận Trong q trình học tập, trƣởng thành đặc biệt giai đoạn thực khoá luận, em nhận đƣợc dạy dỗ ân cần, lời động viên bảo thầy Qua cho phép em đƣợc bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy cô tổ Giải tích, khoa tốn trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Bùi Thị Thanh Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric ………………………………………………………………… 1.2 TôPô không gian metric 1.3 Ánh xạ liên tục 1.4 Không gian metric đầy đủ 1.5 Tập hợp compact bị chặn 1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.7 Tính lồi 12 1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều: 16 CHƢƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 17 2.1 Nguyên lý ánh xa co banach 17 2.2 Định lý điểm bất động Brouwer 23 2.3 Định lý điểm bất động Schauder 26 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 32 3.1 Áp dụng vào phƣơng trình vi phân thƣờng 32 3.2 Áp dụng vào phƣơng trình tích phân 39 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong giải toán khác khoa học kĩ thuật dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề Cho X khơng gian A: M  X ánh xạ từ tập M  X vào nó, xét phƣơng trình phi tuyến Ax  x, x  M Điểm x  M thỏa mãn phƣơng trình Ax = x đƣợc gọi điểm bất động ánh xạ A tập M Việc giải toán dẫn đến đời hƣớng nghiên cứu tốn học, lí thuyết chiến bất động ánh xạ Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực quan trọng tích hàm phi tuyến Ngay từ đầu kỷ 20, nhà toán học giới quan tâm vấn đề nay, khẳng định rằng, lý thuyết điểm bất động đƣợc phát triển sâu rộng, trở thành công cụ thiếu đƣợc để giải nhiều toán khác thực tế đề Sự phát triển lĩnh vực gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn giới nhƣ: Banach, Brouwer, Schauder, conebel,… Nhƣng kết kinh điển lý thuyết điểm bất động nhƣ: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder đƣợc áp dụng vào ngành toán học đại nhƣ: phƣơng trình vi phân, giải tích hàm, giải tích đại số… Với lí đó, em chọn đề tài: “Lý thuyết điểm bất động” Mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học thực khoá luận tốt nghiệp Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số định lý điểm bất động không gian Banach không gian định chuẩn hữu hạn chiều Nghiên cứu việc áp dụng định lý điểm bất động việc giải tập phƣơng trình tích phân phƣơng trình vi phân thƣờng Cấu trúc khố luận Ngồi phần mở đầu kết luận, nội dung khoá luận gồm chƣơng Chương 1: Nêu số kiến thức chuẩn bị quan trọng sử dụng chƣơng chƣơng Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Schauder, chứng minh định lý, ví dụ áp dụng Chương 3: Áp dụng định lý điểm bất động vào việc giải phƣơng trình tích phân phƣơng trình vi phân thƣờng Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng có mục đích xác định số kí hiệu, nhắc lại số lý thuyết giải tích hàm số khơng gian, tập hợp đƣợc sử dụng chƣơng sau 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X≠  với ánh xạ d từ tích Descartes X x X vào tập số thực ℝ thỏa mãn điều kiện sau: i)  x, y  X  d  x, y   0, d  x, y    x  y (tiên đề đồng nhất) ii)  x, y  X  d  x, y   d  y, x  (tiên đề đối xứng) iii)  x, y, z  X  d  x, y   d  x, z   d  z, y  (tiên đề tam giác) Ánh xạ d đƣợc gọi metric X, số d(x,y) đƣợc gọi khoảng cách phần tử x y, phần tử X gọi điểm Kí hiệu khơng gian metric cặp : (X,d) Ví dụ 1.1.1: Khơng gian véctơ thực n chiều ℝn gồm véc tơ dạng x   x1, x2 , , xn  (xi ℝ) với khoảng cách d  x, y   n  x  y  i 1 i i không gian metric Thật vậy: n i) x, y  , ta có d  x, y   n  x  y  i 1 i i 0 d(x,y) =  (xi- yi)2 = tương đương xi = yi, ( i= 1, n ), y  ( yi )in1  tƣơng đƣơng x = y (tiên đề (i) đƣợc thỏa mãn) Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội ii) x, y ℝn n   xi  yi  n  y  i 1 i i 1  xi  d  x, y   d  y, x  suy (Tiên đề ii đƣợc thỏa mãn) iii) x, y, z ℝn ; z =  zi in1 n   xi  yi  Ta có: d  x, y   n  x  z  i 1 i i 1 i  zi  yi  Ta phải chứng minh n  x  z i i 1 i  zi  yi   n  x  z  i 1 i i n  z  i i 1  yi  (1) Thật vậy: n n n  x  z  z  y    x  z    z  y  i 1 i i i i i i 1 i i i 1 2 i n   xi  zi  i 1 n  2  xi  zi i 1  zi  yi   n n  x  z   z i 1 i i i 1 i n  z i i 1  yi   yi  (2) Đặt xi  zi  ; zi  yi  bi ; n n n i 1 i 1 i 1      aibi    a 2i  b2i theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki Suy (1) Vậy d  x, y   d  x, z   d  z , y  (Tiên đề iii) đƣợc thỏa mãn) Vậy (ℝn, d ) không gian metric Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm  xn   X , điểm xo  X Dãy  xn  đƣợc gọi hội tụ tới điểm xo không gian M n   ,      n0  N *   n  n0  d  xn , x0    , kí hiệu: lim xn  x0 hay xn  x0  n    n Điểm x0 gọi giới hạn dãy ( xn ) không gian M 1.2.Tô Pô không gian metric Định nghĩa 1.2 1: Cho không gian metric M = (X, d), a  X , số thực r  Ta gọi Tập S(a, r) = {x  X; d(x, a) < r } hình cầu mở tâm a, bán kính r   Tập S '  a, r   x  X ; d  x, a   r hình cầu đóng tâm a, bán kính r Định nghĩa 1.2.2: Cho khơng gian metric M   X , d  tập A  X Tập A gọi tập mở không gian M, điểm thuộc A điểm A hay nói cách khác, điểm x  A , tồn lân cận x bao hàm A Tập A gọi tập đóng không gian M điểm không thuộc A điểm ngồi A, hay nói cách khác, điểm x  A tồn lân cận điểm x không chứa điểm thuộc tập A Qui ƣớc:  , X tập đóng Định lý 1.2.1: Cho không gian M   X , d  , tập A  X A   Tập A đóng khơng gian M dãy điểm  xn   A hội tụ tới điểm x x  A Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Định lý 1.2.2 Trong không gian metric  X , d  , hình cầu đóng tậo hợp đóng Định lý 1.2.3: Cho  X , d  khơng gian metric thì: 1) A đóng X ,  I  A đóng X I n 2) A1, A2 , , An đóng X  Ai đóng X i 1 1.3 Ánh xạ liên tục Cho không gian metric M1 = (X, d1), M2 = (Y, d2) , ánh xạ f từ không gian M1 lên không gian M Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ f gọi liên tục x0  X ,   0,   cho x  X : d1  x, x0    d  f  x  , f  x0     Định nghĩa 1.3.2: Ánh xạ f gọi liên tục A  X , ánh xạ f liên tục điểm thuộc tập A, A=X ánh xạ f gọi liên tục Định nghĩa 1.3.3: Ánh xạ f đƣợc gọi liên tục tập A  X nếu:   0,   cho x, x '  A : d1  x, x '   d2  f  x  , f  x '    1.4 Không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.4.1: Cho không gian metric M   X , d  Dãy điểm  xn   X gọi dãy M    0  n0  N *  m, n  n0  d  xm , xn    Hay lim d  xm, xn   m ,n Từ đây, ta suy dãy điểm  xn   X hội tụ M dãy Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Định nghĩa 1.4.2: Không gian Metric M   X , d  gọi không gian đầy đủ dãy không gian hội tụ 1.5 Tập hợp compact bị chặn Định nghĩa 1.5.1: Tập hợp K không gian metric X gọi compat dãy điểm { xn } K có dãy { xnk } hội tụ đến điểm thuộc K Định lý 1.5.1.(Định lý ánh xạ liên tục compact) Cho không gian metric M1   X , d1  , M  X , d2  ánh xạ f ánh xạ M1 vào M Nếu ánh xạ f liên tục tập compact K  X 1.f liên tục K f(K) tập compact không gian M Định nghĩa 1.5.2: Cho A tậo hợp tùy ý không gian metric X Số  ( A)  Sup d  x, y  x , yA Đƣợc gọi đƣờng kính tập A, số hữu hạn hay vô hạn Nếu  ( A)   A đƣợc gọi tập hợp bị chặn Từ định nghĩa ta có điều sau: a) Để tập A bị chặn, điều kiện cần đủ tồn hình cầu S  x0 , R  chứa A b) Hợp số hữu hạn tập hợp bị chặn tập hợp bị chặn 1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.6.1 Giả sử K trƣờng số thực ℝ trƣờng số phức ℂ Tập hợp X   với hai ánh xạ (gọi phép cộng phép nhân vô hƣớng) Phép cộng xác định X  X lấy giá trị X: Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội  x, y   x  y; x, y  X Phép nhân vô hƣớng xác định K  X lấy giá trị X: (, x) ↦x ;   K, x  X Coi khơng gian tuyến tính (hoặc khơng gian vectơ) điều kiện sau đƣợc thỏa mãn 1) X với phép cộng nhóm Abel, tức là: a, x  y  y  x, x, y  X b,  x  y   z  x   y  z  ; x, y, z  X c,Tồn phần tử  X cho: x +  = x, x  X d,Với x  X , tồn phần tử   x  x cho x    x   2)  ( x  y)   x   y; x, y  X ,   K 3)      x   x   x; x  X ;  ,   K 4)    x     x  ; x  X ;  ,   K 5) 1.x  x; x  X Định nghĩa 1.6.2: Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X với ánh xạ từ X vào tập hợp số thực ℝ, thƣờng kí hiệu || || đọc chuẩn, thỏa mãn điều kiện: i)Với x  X , ta có || x || || x ||  x   (kí hiệu phần tử không  ) ii)Với x  X với   R , ta có:  x   x ; iii) Với x, y  X , ta có: x  y  x  y số || x || gọi chuẩn phần tử x  kí hiệu khơng gian định chuẩn X ,  Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 10 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Ta chứng minh trực tiếp Đặt: Bu  Au  u u  a, b Vì A a  , A b   a, b nên A a   a; A  b   b Suy B  a   B  b   Theo định lý giá trị trung bình, hàm số thực B có điểm u a,b  nghĩa B  u   , suy A  u   u , hàm số liên tục A :  a, b   a, b có điểm bất động 2.4 Định lý điểm bất động Schauder Năm 1930, Schauder chứng minh định lý điểm bất động toán tử compact A : M  M Vẫn nhƣ Banach, ơng xem xét tốn tử compact A không gian định chuẩn, nhiên tập M phải thỏa mãn điều kiện: khác rỗng, đóng, lồi, bị chặn 2.4.1 Định lý điểm bất động schauder Tốn tử compact A : M  M có điểm bất động u tập M tập khác rỗng, đóng, lồi, bị chặn khơng gian Banach X trường K Chứng minh: Cho u0  M ; thay u u  u0 , cần giả sử  M Theo định lý xấp xỉ toán tử compact (mệnh đề 1.7.5) ta có, với n  1,2, có khơng gian hữu hạn chiều X n X Toán tử An : M  X n cho A  u   An  u   ; u  M (2.2.8) n Đặt Mn  Xn  M Suy ra, M n tập bị chặn, đóng, lồi X n với  M n An  M   CoA M   M (vì M lồi) Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán 30 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Theo định lý điểm bất động Brounwer, toán tử An : M n  M n có điểm bất động un , nghĩa An un  un , un  M n ; n  1,2, (2.2.9) Từ (2.2.8), suy Aun  un  ; n  1,2, n (2.2.10) Vì M n  M ; n  1,2, suy dãy  un  bị chặn Vì A : M  M tốn tử compact suy có dãy đƣợc xác định  un  cho Aun  v n   Từ (2.2.10) v  un  v  Aun  Aun  un  n   Khi đó: un  v n   Vì Aun  M , n  1,2, M tập đóng suy v  M Hơn nữa, từ toán tử A : M  M , nên có Av  v, v  M Vậy định lý đƣợc chứng minh Nhận xét: Trong định lý điểm bất động Schauder dim X   định lý định lý điểm bất động Brouwer Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 31 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 3.1 Áp dụng vào phƣơng trình vi phân thƣờng 3.1.1 Bài tốn 1: *Xét phƣơng trình vi phân: dx  t   f  t , x  t   ( tt  Rℝ)  dt (3.1) Với điều kiện ban đầu x  t0   x0 (3.1*) Trong t0 , x0 số cho trƣớc, f  t , u  hàm liên tục cho trƣớc biến t , u  t , u   Giả thiết f  t , u  thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u, theo nghĩa sau đây: Với số nguyên dƣơng n tồn số L  L  n   Sao cho t  n, n ta có f  t , u1   f  t , u2   L u1  u2 Chứng minh (3.1) với điều kiện (3.1*) có nghiệm x  t  xác định liên tục đƣờng thẳng thực  *) Thật vậy, ta thấy hàm số f liên tục nên phƣơng trình (3.1) với điều kiện (3.1*) tƣơng đƣơng với phƣơng trình tích phân: x  t   x0   f  s, x( s)  ds t t0 (3.2) Ta lấy số nguyên n lớn cho t0  n, n gọi Cn  C  n; n không gian hàm số x  t  xác định liên tục đoạn  n, n Với   số cố định tùy ý Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 32 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Ta đặt: d n  x, y   max e   L t t0 t n x  t   y  t   x , y  Cn  Dễ dàng kiểm tra dn metric Cn Hơn nữa, d  x, y   max x  t   y  t  t n  x , y  Cn  -LA *LA Thì e e d  x, y   dn  x, y   d  x, y  A = max {n - t0, n + t0} tức d dn tƣơng đƣơng với Mà  Cn ,d  khơng gian metric đầy đủ Từ đó, suy  Cn , dn  không gian metric đầy đủ Xét ánh xạ F : Cn  Cn Xác định công thức  F  x   t   x0  t f  s, x  s   ds t ( x  Cn ) Ta chứng tỏ F ánh xạ co metric dn Thật vậy, x, y  Cn ta có d n  F  x  , F  y    max e   L t t0 t n  max e t  f  s, x  s    f  s, y  s   ds t   L t  t0 t n L. x  s   y  s  ds I1 Với I1 đoạn t0 , t  t  t0 đoạn t , t0  t0  t Từ định nghĩa metric dn, ta có: xs  y s  e e  L s t0   L s t0  L s t0   L s t0 e e xs  ys xs  y s Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 33 Khóa luận tốt nghiệp e Vậy  Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội  L s t d n  x, y  x  s   y  s  ds  d n  x, y   e I1  L s t0 ds  d n  x, y   L  1 e  L t t0  1 I1  dn  x, y   L  e 1  L t t0 Từ đó, suy d n  F  x  , F  y     1d n  x, y  mà   Do F ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ Banach có hàm xn  xn  t   Cn Sao cho: xn  f  xn  Từ định nghĩa ánh xạ F , ta suy rằng: *) xn  xn  t  nghiệm phƣơng trình (3.2) đƣợc xác định đoạn  n, n *) Nhƣ vậy, với số nguyên dƣơng n cho t0  n Phƣơng trình tích phân (3.2) có nghiệm xn  xn  t  xác định đoạn  n, n *) Nếu m, n số nguyên dƣơng cho t0  m  n từ tính xn , ta suy xm  t   xn  t  t  n Vì hàm x  t   xn  t  t  n Đƣợc xác định t   nghiệm phƣơng trình (3.2) tồn đƣờng thẳng thực 3.1.2 Bài tốn 2: Ta cần giải toán ban đầu sau: u '  F  x, u   u  x0   u0 , x0  h  x  x0  h (3.3) Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 34 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Với (x0, u0)  ℝ2 Ta tìm nghiệm u = u(x) (3.3) cho u : [x0 – h, x0 + h] ℝ (3.3*) Khả vi (x, u(x))  S,  x  [x0 – h, x0 + h ] Trong Ss   x, u   R  : x  x0  r , u  u0  r , với r ; cố định   Đặt x  C [x0 – h, x0 + h ] M  x  X : u  u0  r Ta xác định chuẩn: u  max x0 h x x0 h u  x  , x  X , Ta xét phƣơng trình tích phân u  x   uo   F  y, u  y   dy; x x0 x0  h  x  x0  h, u  M (3.4) Cùng với phép lặp un1  x   u0   F  y, un  y '  dy, x0  h  x  x0  h, n  1,2, (3.5) x x0 Với u1  x   u0 Mệnh đề 3.1: Giả sử (a) Hàm số F : S ℝ liên tục có đạo hàm riêng Fu : S ℝ liên tục (b) Đặt M  max F ( x, u ) L  max Fu ( x, u ) , chọn số thực h (x,u)S (x,u)S trƣờng hợp cho  h  r , hM  r , hL  Khi đó, điều sau (i) Bài tốn ban đầu (3.3) có nghiệm dạng (3.3*) (ii) Đây nghiệm phƣơng trình tích phân (3.4) (iii) Dãy un tạo (3.5) hội tụ đến u không gian Banach X (iV)Với n  0,1, , ta có đánh giá sai số Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 35 Khóa luận tốt nghiệp un  u  k n 1  n  1 Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội u1  u0 un1  u  k n 1  n  un1  un với k  hL Chứng minh: Bƣớc 1: Định nghĩa toán tử qua Au  x   u0   F  y, u  y   dy , x0  h  x  x0  h x x0 Khi phƣơng trình (3.4) tƣơng ứng với tốn điểm bất động Au  u, u  M (3.4*) Với u  M ,hàm số: u :  x0  h, x0  h ℝ R liên tục tà  x, u  x   S , x  x0  h, x0  h Suy hàm số F : x  F  x, u  x   liên tục [x – h, x0 + h] Và hàm số Au :  x0  h, x0  h ℝ R liên tục Vậy ta có toán tử A : M  X , ta chứng minh đƣợc 1) A M   M 2) Au  Av  k u  v , u, v  M , k 0,1 Thật 1)Với u  M bất kì,  rr x F  y, u  y  dy  x  x0 (my,uax)S F  y, u   khM x Với x  x0  h, x0  h Hay Au  u0  max x0 h x x0  h x F  y, u  y   dy  r x Từ đó, suy Au  M Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 36 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2)Theo định lý giá trị trung bình |F(x, u) – F(x, v)| = |Fu(x, w)||u – v|  L | u - v|   x, u  ,  x, v   S Khi đó, u, v  M Ta có Au  Av   hL max x0 h x x0  h max x0 h x x0  h x  F  y, u  y   F  y, v  y  dy x u  y   v  y   k u  v với k  hL  Vậy giả thiết định lý điểm bất động Banach thỏa mãn áp dụng định lý với phƣơng trình (3.4*) Bƣớc 2: Sự tƣơng đƣơng Gọi u nghiệm phƣơng trình (3.4) Lấy đạo hàm (3.4), ta có hàm số u nghiệm toán giá trị ban đầu (3.3) –(3.3*) Ngƣợc lại, gọi u nghiệm (3.3) – (3.3*) Tích phân (3.3) cho thấy hàm số u nghiệm phƣơng trình tích phân (3.4) Chứng tỏ, hai tốn (3.3)-(3.3*) (3.4) tƣơng đƣơng Vậy mệnh đề đƣợc chứng minh Ví dụ 3.1 Bài tốn ban đầu u  u '  F  x, u   x   u      1 x 4 1  R 22 : x  , u   Có nghiệm tập S   x, u  ℝ 4  *Thật vậy, ta có hàm số F : S ℝ R liên tục u hàm liên tục có đạo hàm riêng Fu =  x, u   x  Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán 37 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội *Đặt M  max F  x, u    x ,u S Và L  max F  x, u    x ,u S 1   64 16 64 1 Theo giả thiết ta có h  ; r  Khi  h  r, hM  r, hL  4 Do đó, mệnh đề điều kiện mệnh đề (3.1) thỏa mãn nên tốn ln có nghiệm tập S Ta tìm nghiệm Phƣơng trình ban đầu có dạng: u ' u  x3 , phƣơng trình đặc trƣng 4       Do    nên ta có: * Tìm nghiệm riêng u  x  dƣới dạng u*  x   Ax3  Bx2  Cx  D Thay vào phƣơng trình ban đầu, ta có Ax  Bx  C    Ax  Bx  Cx  D  x3 Đồng thời hệ số, ta thu đƣợc A  4; B  48, C  384 D  1536 Suy u*  x   4 x3  48x2  384 x  1536 Vì vậy, nghiệm phƣơng trình là: u x  C1e  x3  48 x  384 x  1536 Do u  0   C1  1536 nên nghiệm u x  1536e  x3  48 x  384 x  1536 Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 38 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 3.2.Áp dụng vào phƣơng trình tích phân 3.2.1 Bài tốn Ta muốn giải phƣơng trình tích phân u  x     F  x, y, u  y   dy  f  x  b a a  x  b (3.6) Bằng phƣơng pháp lặp un1  x     F  x, y, un  y   dy  f  x  , a  x  b, n  0,1, b a   a  b   Mệnh đề 3.2 Giả sử có điều kiện sau: 1) Hàm số f :  a, b  ℝ R liên tục; 2) Hàm số F :  a, b   a, b  ℝ R ℝ R liên tục đạo hàm riêng R ℝ R liên tục; FFu u :  a, b   a, b ℝ 3) Có số L cho Fu  x, y, u   L, x, y  a, b, u  ℝ 4) Có số thực  cho trƣớc cho  b  a   L  1; 5) Tập X  C  a, b u  max u  x  ; a xb Khi đó, điều kiện sau đƣợc thỏa mãn i) Bài to¸n ban đầu (3.6) có nghiệm u  X ; ii) Dãy  un  tạo (3.6*) hội tụ đến u X , n  1,2, iii) n  0,1, , ta có đánh giá sai số: un  u  k n 1  k  1 un1  u  k 1  k  1 u1 , un1  un với k   b  a   L ; Chứng minh: Định nghĩa toán tử:  Au  x    a F  x, y, u  y   dy  f  x , b Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán a xb 39 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Khi đó, phƣơng trình tích phân (3.6) tƣơng đƣơng với toán điểm bất động u  Au Nếu u: [a, b] ℝ liên tục hàm số An :  a, b  ℝ R liên tục Vậy ta có tốn tử A : X  X Theo định lý gía trị trung bình, với x, y  a, b  u, v  ℝ,  w  ℝ cho |F(x, y, u) – F(x, y, v)|  |Fu(x, y, w)|| u – v|  L u v Suy Au  Av  max  Au  x    Av Au  x     b  a  L max u  x   v  x  a xb a xb Suy Au  Av  k u  v , u, v  X , k   b  a   L Đặt M  X  C  a, b Khi đó, định lý điểm bất động đƣợc thỏa mãn Vậy tốn đƣợc chứng minh Ví dụ 3.2: Phƣơng trình tích phân tuyến tính Cho phƣơng trình tích phân u  x     k  x, y  udy  f  x  , a  x  b b a (3.7) Giả sử hàm số K :  a, b   a, b ℝ R f :  a, b  ℝ R liên tục L  max k  x, y    a x , y b b  a  L Khi đó, phƣơng trình (3.7) có nghiệm Thật vậy, ta giả thiết mệnh đề 3.2 thỏa mãn: +) Hàm số f :  a, b ℝ  liên tục +) Do K :  a, b   a, b  ℝ  liên tục nên hàm F :  a, b    a, b   ℝ  ℝ   x, y , u   F  x , y , u   k  x , y  u Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán 40 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Và Fu :  a, b    a, b   ℝ  ℝ  x, y, u   Fu  x, y, u   k  x, y  Cũng liên tục, x, y  a, b, u  ℝ +) Ta có Fu  x, y, u   k  x, y   max k  x, y   L a x , yb +) Do   nên  b  a   L  b  a  L + Đặt X  C  a, b u  max u  x  a xb Vậy giả thiết mệnh đề (3.2) thỏa mãn.Do đó, kết với phƣơng trình tích phân (3.7) hay (3.7) có nghiệm u  X Bài toán ban đầu (3.7) đƣợc gọi phƣơng trình tích phân tuyến tính 3.2.2 Bài tốn 4: Ta cần giải phƣơng trình tích phân u  x     F  x, y, u  y   dy a  x  b (3.8.1) b a đây,   a  b    ℝ R Gọi Q  x, y, u  ℝR 3 : x, y  a, b, u  r với r  cho trƣớc Mệnh đề 3.3 Giả sử 1) Hàm số F : Q ℝ R liên tục 2) Ta định nghĩa  b  a  M  max F  x, y, u  Có tỉ số thực  cho  x , y ,u Q thỏa mãn  M  r Khi phƣơng trình ban đầu (3.8) có nghiệm u  M Chứng minh Định nghĩa toán tử  Au  x    a F  x, y, u  y   dy , x   a, b  b Khi phƣơng trình tích phân tƣơng ứng với toán điểm bất động Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 41 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội Au  u , u  M (3.8.2) Toán tử A : M  M : compact (theo ví dụ 1.7.5) Với u  M , ta có Au   max a xb a F  x, y, u  y   dy   M  r suy A M   M b Theo định lý điểm bất động Schauder Phƣơng trình (3.8.1) có nghiệm Tức phƣơng trình ban đầu có nghiệm u  M Ví dụ 3.3 Cho X  C  a, b với   a  b   ||u|| = max |u(x)| Khi đó, a  x b phƣơng trình tích phân u  x    b  a   u  y  dy, u  X có nghiệm b a  b  a    u  X với X  u  X : u     * * Thật vậy, đặt  b  a    33 Q   x, y, u  y    ℝ : x, y   a, b , u     Hàm F : Q  ℝ   x, y, u  y   F  x, y, u  y   u  y  hàm liên tục Đặt M  u  b  a  M  max F  x, y, u   x , y ,u Q b  a  u b  a  Mà    b  a  nên  M  b  a  u  ba 2  b  a    Hay  M  r  r      Theo mệnh đề 3.3 phƣơng trình ban đầu có nghiệm u  X * Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán 42 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khoá luận: “Lý thuyết điểm bất động” Nội dung khố luận đƣợc đề cập đến là: Nêu lên khái niệm; định lý quan trọng không gian metric, không gian Banach, không gian định chuẩn hữu hạn chiều Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder; chứng minh định lý, ví dụ áp dụng Nêu lên số ứng dụng định lý điểm bất động Tuy nhiên, thời gian kiến thức có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn sinh viên Hà Nội, ngày tháng năm 2010 Sinh viên Bùi Thị Thanh Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Tốn 43 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính (1987), Giải thích hàm - tập – Cơ sở lý thuyết, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (1979), Bài tập phương trình vi phân, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học Kĩ thuật Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục Đỗ Hồng Tân (2001), Các định lý điểm bất động, Nxb Đại học Sƣ phạm Sinh viên Bùi Thị Thanh – K32E khoa Toán 44 ... Brouwer, Schauder, conebel,… Nhƣng kết kinh điển lý thuyết điểm bất động nhƣ: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder đƣợc áp dụng vào ngành toán học... tốt nghiệp Trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2.2 Định lý điểm bất động Brouwer Định lý điểm bất động Brouwer định lý trung tâm lí thuyết điểm bất động, định lý giải tích phi tuyến Ở đây, nêu lên cách chứng... M có điểm bất động Vậy định lý điểm bất động Brounwer đƣợc chứng minh Hệ 2.2 Toán tử B : K  K có điểm bất động K tập không gian định chuẩn cho đồng phơi với tập M xét định lý điểm bất động Brouwer