Một vài đặc trưng của tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp LỜI NÓI ĐẦU

Trong khi giải các bài toán khác nhau của toán học, khoa học kỹ thuật

dẫn đến việc nghiên cứu vấn dé:

Cho X là một không gian nào đó và 7:A->X là ánh xạ đi từ tập

ACX vào chính nó Xét phương trình phi tuyến 7x = x, xe A, dưới điều kiện cụ thể hãy khăng định sự tồn tại nghiệm của phương trình này Điểm xeA thỏa mãn phương trình 7x=x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp A

Việc giải quyết bài toán trên đã dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiên cứu mới trong tốn học, dó là lý thuyết điểm bất động

Lý thuyết điểm bất động là một trong những kiến thức quan trọng của giải tích hàm phi tuyến và cho tới nay có thể khẳng định rằng lý thuyết điểm bất động đã được phát triển hết sức sâu rộng trở thành công cụ không thê thiếu được để giải quyết những bài toán thực tế đặt ra Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với các tên tuổi của các nhà khoa học như: Banach,

Browder, Lifschitz, Goebel, Kirk,

Những kết quả kinh điển đồng thời cũng là kết quả đầu tiên của lý thuyết

điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co, nguyên lý điểm bất động Browder

đã được áp dụng vào ngành toán học hiện đại như: phương trình vi phân,

Trang 2

Khóa luận tốt nghiệp Với các lý do đó em đã chọn đề tài “ Một vài đặc trưng của tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động ” Mục đích của khóa luận này là

trình bày một số kết quá tổng quan do Browder và kirk tìm ra Nội dung khoa luận (gồm 3 chương):

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở Chương 2 Không gian Banach lồi đều

Chương 3 Một số định lý liên quan đến tính lồi của lý thuyết điểm bất động

Qua đây em xin được bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy Phùng Đúc

Ti hang đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành khoa luận em xin chân thành

cảm ơn sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của các thầy cô trong tô giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2

Xuân Hòa, ngày tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Trang 3

Khóa luận tốt nghiệp

Chuong 1 KIEN THUC CƠ SỞ

Chương này có mục đích xác định một số ký hiệu, nhắc lại một số lý

thuyết của giải tích hàm về khơng gian tập hợp được sử dụng ở chương sau

1.1 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUÁN, KHÔNG GIAN BANACH,

KHÔNG GIAN TÔPÔ

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử K là một trường số thực ® hoặc trường số

phức C

Tập hợp X #6 cùng với hai ánh xạ ( phép cộng và phép nhân vô hướng )

Phép cộng xác định trên X xX và lấy giá trị trong X (x.y)'>x+y

Phép nhân vô hướng xác định K x X và lấy gid tri trong X (Â.x)>Âx, Â4eK,xeX

Gọi là không gian tuyến tính ( hoặc khơng gian véc tơ) nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn :

1 X cùng với một phép cộng là một nhóm Abel, tức là :

a x+y=y+xVvớimọoi 4,eK, xeX

b (x+ y)+z=x+(y+z) VỚI mỌI x, y,Z € X

c Tén tai phan tử ØeX saocho x+Ø=x với mọi xeX

d Với mỗi phần tử xe X tồn tại một phần tử -xeX sao

Trang 4

2 A(x+ y)=Âx+Ây vớimọi 4K, x,yeX

3 (Â+)x=Âx+x với mọi Â,ueK, xeX

4 (Au)x = A(m) VỚI mỌI 4,œK, xeX

5Š lx=x vớimọi xeX

Định nghĩa 1.2.2 ( Định nghĩa không gian định chuẩn)

Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) là khơng gian tuyến tính X cùng với một ánh xạ đi từ X vào

tập hợp số thực 8, thường ký hiệu là | | và đọc là chuẩn, thỏa mãn

các điều kiện sau :

1 Với mọi xeX ta có | x |>0

Và |xllE0=x=0

1) Với mọi xeX, với mọi 2K ta có

Ix+>[<[xl*lzÍL

Số | x | goi 1a chuan cia phan tit x

|)

Định nghĩa 1.2.3 ( Định nghĩa không gian Banach)

Kí hiệu khơng gian định chuẩn là ( X,

Nếu không gian định chuẩn X là không gian metric day đủ ( khoảng cách đ (x, y) = |x+ vị ) thì X được gọi là không gian định chuân đầy đủ hay gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.2.4 ( Định nghĩa không gian Tôpô)

Trang 5

i) Ger, Xe€z

11) Giao của một họ hữu hạn tùy ý các tập hợp thuộc z là một

tập hợp thuộc 7

iii) Hợp của một họ tùy ý các tập hợp thuộc 7 là một tập hợp

thuộc 7

Các tập thuộc z được gọi là các tập mở phần bù của một tập mở trong X gọi là tập đóng

Tập X được trang bị một Tôpô z được gọi là một không gian Tôpô

và được ký hiệu bởi (X,z) hoặc đơn gian 1a X

1.2 KHONG GIAN HILBERT, KHONG GIAN PHAN XA

Định nghia 1.3.1 Ta gọi tích vơ hướng trong khơng gian tuyến tính trên

trường K (K=# hoặc C ) mọi ánh xạ ƒ từ tích dé cic XxX vao

trường K, thường viết dưới dạng ƒ (x, y)= (+, y) thỏa mãn điều kiện :

1) (x,y )=(y, x), Vx,yeX;

1) (x+y,z) =(x ,Z)+(y,7) Vx,y,ZEX;

iii) (Ax, y)= A(x, y), VÂẬeK,Wx,yeX

1V) (x,x)>0, VxeX va (xx)=0©x=0

Các phần tử x, y,z được gọi là các nhân tử của tích vơ hướng Định nghĩa 1.3.2 (Định nghĩa không gian Hilbert)

Trang 6

ii) A trang bị tích vơ hướng (x,y) voi x,yEH ;

iii) H đủ với chuẩn |x|=.|(x.x) voi xeH Định nghĩa 1.3.3 (Định nghĩa không gian phản xạ)

Khơng gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ

nêu phép nhúng chuẩn tắc từ không gian X vào không gian liên hợp

thư hai X” của nó là một tồn ánh

Như vậy không gian tuyến tính định chuân X là một không gian phản

xạ khi và chỉ khi với mỗi phần tử x bất kì x” e X” tổn tại một phần tử

xeX sao cho

x#) =x (x), Vx eX’

1.3 TAP HOP LOI

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X là một không gian tuyến tinh, R là tập các số thực tập AC X được gọi là lồi nếu

VWx,x,€A,VẬelR: 0<2<l—=24x#+(I—2)x;e<A

Mệnh đề 1.4.1 Giá sử A, X (œ1) là các tập lôi, với I là tập chỉ số

bắt kỳ Khi đó A =[ A„

ael

Ching minh Lay x,,x,¢A.Khido x,x,€A, Vael Vael vado A léinén

Ax, +(I-A)x, € A, (Va e[0,1]) =>Âx +(—3)x; € A

Trang 7

Mệnh đề 1.4.2 Giả sử tập A, e X lỗi, Â, 6lR, (i=1,2, ,m) Khi đó

ÂJAi+4;A; + + Â„A„ là tập lôi

Mệnh đề 1.4.3 Giả sử X,Y là các không gian tuyến tính, T: X —>Y

là tốn tử tuyến tính Khi đó a.AeX lơi =T(A) lỗi

b BeY lồi © nghịch ảnh T '(B) của ảnh B là tập li

Định nghĩa 1.4.2 Véc tơ xeX được gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ

m

*i3*;, ,X„ € X Nêu tôn tại 4, >0, (i = 1,2, m), 4, = Ì sao cho

i=l

Định nghĩa 1.4.3 Gia st} AC X , giao cua tất cả các tổ hợp lồi chứa A

Trang 8

Chương 2 KHÔNG GIAN BANACH LÒI ĐÈU 1.1 KHƠNG GIAN LỊI ĐÈU

Trong giáo trình giải tích hàm, ta đã biết không gian Hilbelt là trường hợp riêng của không gian Banach với hai tính chất quan trọng :

Moi khong gian Hilbert déu phan xa

Moi tập hợp lồi đóng trong khơng gian Hilbert đều chứa một điểm gần nhất đối vối một điểm cho trước bắt kì của khơng gian

Trong số các không gian Banach, có một lớp đặc biệt chứa không gian Hilbert mà vẫn giữ được tính chất trên đó là các không gian Banach lồi đều do Clarkson đề xuất năm 1936

Đến năm 1965 Browder và Gohde đã độc lập chứng minh được một số

định lý quan trọng về sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong lớp khơng gian này Đó là lý do chúng tôi dung mục đích này để

giới thiệu những khái niệm của không gian lồi đều cần sử dụng ở chương

sau

Định nghĩa 2.1.1 Không gian Banach (x, \) được gọi là lồi đều nếu

Ve>0,46(e)>0 sao cho Vx, ye X, >] <L y|<1 |x-yllze ta có

x+y

<1-6(e) ()

Nói cách khác, với hai điểm khác nhau bất kì x,y thuộc hình cầu đơn

x+

Trang 9

khoảng cách này chỉ phụ thuộc vào x,y chứ không phụ thuộc vào vi

trí của chúng (tính đều) Khái niện này được Clackson đề xuất năm

1936

Ví dụ 2.1.1 Khơng gian ? với chuẩn lx|=¬^|x +x; là không gian Banach lồi đều

Khơng gian §” với chuẩn ||x||=|x;|+|x;| > và x = max(|x, ,|x,|) 1a cdc

không gian lồi đều

Tổng quát hơn /” và /[a,b] I<p<œ là lồi đều còn p=l và p= là lồi khồn đều

Dễ kiểm tra được rằng không gian C[a.b] là khơng lồi đều

Để tiện kiểm trình bày ta kiểm với không gian C[0,1] Thật vậy,

Ta xét hai hàm sau đây trên [0.1]

x(t) =l, te [0,1] 1, re|02] 2 —2t-2, ¢ | 2 tHÌ= 2 Và y(t)= Rõ rang là x,yeE C[0.1] va ta có lx[=! v|=1 x—yl|=1,

Trang 10

Khóa luận tốt nghiệp x+y 2 ll<ilyl<nlx~v|>e=| <I~ð(e) Do đó C[0,1] là khơng đều

Ví dụ 2.1.2 Mọi không gian Hilbert là lồi đều

Thật vậy

Giả sử |x|<1.|y|<1.|š—y|[>E từ dang thức hình bình hành ta

suy ra Ix+»Ÿ =2(JxÏ+|x[)-lx— vÏ<2+2—z = e+ yl <I-£ < I=e =1-(I-Vi-e*), x+y => 3

Vì vậy, với e>0 ta đặt ở(£)=1—ÍI— £?

Do đó mọ khơng gian Hilbert là lồi đều

Không gian Banach (X.|| |) được gọi là lồi chặt ( Strictly convex)

hoặc tròn (rotund) nếu Vx# y mà |x||<1.||y||<1 ta ln có

x+y

2

<1

Nói cách khác, nếu x,y thuộc vào hình cầu đơn vị dong ma x¥ y thi

-Ä + osx ack 2 ` À Z

điểm =| phai la diém trong cua hinh cau do

Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp Vậy nếu X lồi chặt thì biên của hình cầu đơn vị gồm toàn những

điểm cực biên

Chú ý :

Từ các định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 suy ra không gian lồi đều là trường hợp riêng của không gian lồi chặt

Đề chứng minh tính phản xạ của không gian lồi đều ta cần sử dụng bổ dé sau

B6 dé Cho X loi déu x e X” với |x"|=1 Va X,X,€X voi |x"|<1 va

|x" (x,)-1)< Ale) (i=1,2) , ở đây £>0 là số cho trước còn

ð(£) được xác định như trong định nghia 2.1.1 khi do ta co

Trang 12

Khóa luận tốt nghiệp oe) Ix" (x) -I < (4) Két hop (2), (3) va (4) suy ra 1 ở(£) d(é Uy expt) 9) 5(0)

Hơn nữa vì X lồi đều và |x/||<I,|x;|<1 nên ta phải có

<£

|x—x›

Vậy bổ đề được chứng minh

Định lý 2.1.1 Mội không gian lỗi đều là không gian phản xạ

Chứng minh Cho X là lồi đều, ta cần chứng minh 8x=x” với

B là hình cầu đóng trong khơng gian tương ứng

Lay x eX” với |x" =1 tacan chimg minh x, e Bx

Theo định lý Golstein #” là bao đóng của 8x trong khơng gian tôpô

(x7.X)) vậy tồn tai day suy rộng {x„} Bx sao cho Vx` e X” ta có

x(x)>x; (x)

Vì II =1 nên Vổ >0 tồn tại xjeX” với || =1 sao cho

xy (x")-y| <

> 0

a7 (2) <1+5 (5)

Trang 13

Tw day va (5) ta suy ra

Lấy e>0 bất kì và chọn ư=ở(£) (trong Dinh nghia 2.1.1) theo bé đề

trên ta có

|x„ -x;|<

Vì z tùy ý nên ta có thé suy ra day {x,} la Cauchy suy rộng

Do Bx dong va X day di Bx ciing day du

Vi vay x, >x, €Bx tức là 8x=Bx” và do đó x=x,

Vậy X 1a phan xa và một trong hai tính chất quan trọng thứ hai của

không gian lồi đều đã được chứng minh

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh tính chất quan trọng thứ hai của

không gian lồi đều

Định lý 2.1.2 Cho C là một tập hợp lơi đóng trong không gian lỗi đều

X_ Khi đó với mọi xeX tôn tại duy nhất một điểm yeC la điểm gan

Trang 14

Chứng minh

a Tén tai

Đặt /(2)=|x~z ,zZeC

Dễ dàng kiểm tra được ƒ là phiến ham lỗi trên C , hơn nữa ƒ liên tục có thể giá thiết C bị chặn vì nếu cần có thê thay C bang giao của C với

mọi œ >0 các tập hợp mức dưới {z eC, f(z) <a} là lồi ( do ƒ lồi) và

đóng

(do ƒ liên tục) và vì vậy cũng đóng yếu Điều đó chứng tỏ ƒ liên tục

dưới yếu (trong tôpô yếu trên C ).Do X phán xạ ( theo định lý 2.1.1) và C lồi đóng bị chặn trên nên C compact yéu ( Dinh ly Kabutani) Do f

nửa liên tục dưới yếu nên ƒ đạt cực tiểu trên C

b.Duy nhất

Trước hết ta nhận xét rằng trong điều kiện (1) của định nghia 2.1.2, sỐ

1 có thể thay thế bằng øœ >0 bất kỳ, bằng cách thay hình cầu đơn vi bang

hình cầu bán kính @

Bay go ta gia str ton tại yị;}; €C, y#y; Và

lx- »|=|x~ y:||=œ =min|x- ;|

Vì C lồi nên slityyec

Do đó

x~2(0 +3) Dar (6)

Trang 15

NA ÔÒ

Điều này mâu thuẫn với (6)

Chú ý

Theo dõi chứng minh trên ta thấy kết luận của định lý 2.1.2 và đúng nếu X là lồi chặt và phản xạ

Người ta cũng chứng minh điều ngược lại

Nếu X là không gian Banach mà với mọi tập hợp lồi đóng của nó đều tồn tại duy nhất một điểm gần nhất đến một điểm cho trước

thì X là chặt và phản xạ

2.2 ANH XA KHONG GIAN

Nguyên lý ánh xạ co phát biểu cho các ánh xạ co, nguyên lý đây không được áp dụng choc ho một lớp ánh xạ rộng hơn như ta sẽ

thấy dưới đây

Định nghĩa 2.2.1.Cho X là một không gian mefric, ánh xạ

T: X—X được gọi là không gian giãn (nonex pansive) nếu

d(Tx,Ty) < d(x,y), Vx,yeX

Định nghĩa 2.2.2 Tập Dc X được gọi là có tính chất điểm bất động đối

Trang 16

Chú ý

Mọi không gian Banach không nhất thiết có tính chất điểm bắt động đối với ánh xạ khơng giãn (ví dụ X=R, Tx=x+l, là ánh xạ không giãn nhưng X khơng có tính chất điểm bắt động)

Mọi tập hợp lơi đóng, bị chặn trong không gian Banach khơng nhất thiết có tính chất điểm bắt động đối với ánh xạ không giãn

Thật vậy

Xét C„ là không gian các dãy hội tụ về không với chuẩn

lx|=suphi:

Đặt D= {x eC, ||| < 1} là hình cầu đơn vị đóng trong C,

Ta xét ánh xạ 7: D-—>D như sau: Nêu môi x=(#.1%; 1„, )€ D, đặt T% =(,,„.X;„ , X„„ )

Hiển nhiên 7x Ð hơn nữa 7 là ánh xạ không gian giãn vì

lrx-7v|=seplx, - >,|=|x= »|

Giả sử tồn tại điểm bất động x' trong Ð

Tức là

Thế thì

Từ đó ta suy ra

Trang 17

Hiển nhiên

x EC, Vay T khơng có điểm bất động trong C, -

Van dé dat ra la : can đặt điều kiên gì trên không gian Banach X dé

cho moi tap hop lồi đóng, bị chặn trong nó đều có tính chất điểm bất

động đối với ánh xạ không giãn

Hiển nhiên câu hỏi này chỉ chỉ có nghĩa khi X là không gian vơ hạn

chiều, vì nếu X hữu hạn chiều thì mọi tập hớp đóng bị chặn đều

compact và mọi ánh xạ không giãn đều liên tục, nên ta có ngay câu trả lời khẳng định, theo nguyên lý diém bat déng Browder:

Mọi tập hợp lồi, compact trong không gian i8” đều có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ liên tục

Câu trả lời tổng quát cho câu hỏi trên Browder và Gohdel độc lập

đưa ra năm 1965 Trước khi phát biểu và đưa ra định lý ta cần một định

nghĩa và một mệnh đề quan trọng sau đây

Định nghĩa 2.2.3 Cho X 1a khéng gian Banach, DCX anh xa ổ:D->X_ được gọi là nửa đóng trên D nếu với mọi dãy {x,} <X sao

cho nếu x„->x (yéu) va Sx,—y manh khi ø->œ thì xe va

Sx=y

Mệnh đề 2.2.1 Cho X la khong gian Banach loi déu, M <X là một

tap hop lài đóng, bị chặn và T:M —>X là ánh xạ khơng giãn Khi đó

Trang 18

khơng giãn Khi đó tập hợp các điểm bắt động của T, kí hiệu là Fix(T) không rỗng lôi và đóng

Chứng minh

a.Ta sẽ chứng minh Fix(T) z Ø

Lấy peM, và đặt n(x)=(1-4\r, +P:VxeM;n =1,2,

n n Khi đó 7„ thỏa mãn bất đẳng thức frx-raI<[t=x ]Ìx~3 , Vx,yeM n Vì M lồi nên ta có 7,(M)c M

Theo nguyên lý ánh xạ co Banach tồn tại duy nhất x, €M_ sao cho

w,=T,()=[I=z |, +, ()

n n

Vi X phản xạ và M là tập lỗi dong, bi chan nén M compact yếu vậy

có thể trích được dãy con {x,} sao cho x,—>xeM (yếu)

Từ (1) suy ra x„ —7,x„ —>0 (mạnh)

Theo mệnh đề trên 7 —7 là nửa đóng Vậy x—-7x=0 tức là xe Fix(T) b.Ta chứng minh #?x(7) đóng

Do C lién tue nén néu Tx, =x, va x, > x thi Tr=x

Vay Fix(T) dong

c.Từ mệnh đề 2.2.1 ta có

Trang 19

Tx,-x,|<a@(e), Va>0

Vì a(œ)—>0 khi e—>0 ta được TX,—x,

Do đó x, € Fix(T) nếu x,eƑix(T), i=0,1 (vi x, econv{x,,x)})

Vay Fix(T) là tập lồi

2.3 ANH XA LIPSCHITZ DEU

Định nghĩa 2.3.1 Giả sử X là không gian Banach, T: X + X là một ánh xạ

T được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hệ số k sao cho

d(Tx,Ty) < kd(x,y), Vx,yeX

Ví dụ sau đây chứng tỏ định lý Browder — Gohde khơng cịn đúng cho

ánh xạ Lipschitz với k >1

Giả sử E là hình cầu đóng trong /', ¢ (0.1)

Với mỗi x=(x,,x, )c” ta đặt 7x=(e(1- |x||).x,.x; ) thế thì

T(B)CB

Thật vậy

Với ||x[<1 ta có

Trang 20

=1~2|x|+2|xÏ =1=2|x|(t=||)

<1 (dolx|<1)

Suy ra T(B) eT

Bây giờ ta sẽ chứng minh 7 là ánh xạ Lipschitz với hệ số 1+e

Thật vậy

Irx-?Ÿ =z'(Ix|~|sl) +|x- »Ÿ

<£? x=#|Ï+||x~ x|Ï =(z?+1)|x- x|Ï

<(z+1|x- y|Í

[fx-Tz|<(z + 1)|x - y|

Vậy 7 là ánh xạ Lipschitz với hệ số Ì+£

Cuối cùng ta chứng minh 7 không có điểm bất động trong Ö

Giả sử ngược lại

3(x:.x7 }€ B sao cho x =T7Y`

Khi đó ta có

(x 5: ) =(z( —x)).xj.3: )

): i=1,2,

Trang 21

Vi vay

Néu f'|-1s4/=0.7-12 sf]=o

Nổi [v[zl ==enwz0, ví=L2 =|v|eF

Cá hai trường hợp trên đều gặp mâu thuẫn Do đó 7 khơng có điểm bất động trong B

Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau : Dù /? là không gian Hilbert tức là có nhiều tính chất tốt, nhưng hệ số Lipschitz bằng 1+£ (với £>0 tùy ý)

thì hình cầu đơn vị đóng cũng khơng có tính chất điểm bắt động đối với ánh

xạ loại này

Mặt khác nếu T:K->K_ (với K_ là một tập hợp nào đó trong khơng

gian Banach X ) là ánh xạ không giãn thì ta ln có

Điều này gợi ý cho ta xét các ánh xạ thỏa mãn điều kiện

Trường hợp đặc biệt, với ø =1 ta có

, VxyeK,neNĐ

T"x-T"y

I*| T””x —T""| < < |x -y

, Vx,yeK,neN’, voik>1

7"x—7"y| < k|x— y

r-l<k|x~y , Vx,y€X ,tứclà 7 là ánh xạ Lipschitz với k >l

Trang 22

, VWx,yeK,neN (5)

Như vậy, nếu 7 không gin thi voi k>1 va VneN’

T"x—T”y <k|x—y

Do đó lớp các ánh xạ k-Lipschitz đều với & >1là lớp trung gian giữa lớp các ánh xạ không giãn và lớp các ánh xạ Lipschitz

Ta biết rằng nếu không gian Banach X có một số tính chất tốt nào đó (chẳng hạn lồi đều) và K là tập hợp lỗi, đóng, bị chặn trong X_,

T:K —>K là ánh xạ khơng giãn thì 7 có điểm bất động trong K

Đối với ánh xạ Lipschitz, tập hợp K như trên có thể khơng có tính chất

Trang 23

Chương 3 MỘT SÓ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN DEN TINH LOI CUA LY THUYET DIEM BAT DONG

Các định lý điểm bắt động cho các ánh xạ Lipschitz đồng đều nhưng đều có hạn chế của không gian Banach £(X)<1 Điêu kiện này đã được

thảo luận; đặc biệt người ta đã chỉ ra rằng điều kiện đối với không gian Banach tương đương với điều kiện được đưoa ra bởi E.A.Lifschitz cho mét

không gian metric bất kỳ Tính ổn định cúa điều kiện này cũng được xem xét đối với khoảng cách Banach — Mazur và các không gian hàm Lebesgue

— Bochner

Giả sử K là tập hợp đóng khơng rỗng bị chặn trong không gian

Banach X Mot anh xa T:K —>K duoc goi 1a k_ -Lipschitz dong déu

(Œ>I) nếu Vx,yeK_ và mọi số tự nhiên ø =l,2, ,, ta có

Những ánh xạ này là một lớp trung gian giữa các lớp ánh xạ không T"x—T”y <k|>—y › qœ)

giãn và lớp các ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz lớp hơn một Ta biết

rằng lớp ánh xạ thứ hai này có thê khơng có điểm bắt động ngay cả đối với không gian Hilbert và hằng số Lipschitz gan 1 bao nhiêu tùy ý Hơn nữa ta

Trang 24

Trong các kết quả họ nhận được, có hai kết quả mang ý nghĩa hình học

khác nhau về hình thức được đặt ra trong bài toán Trong luận văn này, mối liên hệ giữa hai điều kiên được khám phá Ta sẽ chỉ ra rằng trong các không

gian Banach, các điều kiện này tương đương về mặt định tính, mặc dù

không tương đương về mặt định lượng

Hơn nữa, tính Ổn định của các điều kiện này đã được bàn luận; đặc biệt

ta chỉ ra rằng trong các không gian Banach X vào một không gian hàm

Lebegue - Bochner /(/,X) tương ứng với 1<p<øœ và ¿ là độ đo bất

kỳ

Các ánh xạ Lipschitz đồng đều được nghiên cứu bởi Goebel và Kirk,

và sau đó bởi Goebel, Kirk và Thele [9] theo một nửa nhóm tổng quát hơn Họ đã phát hiện ra quan hệ giữa modol lồi của X và các điểm bất động của

ánh xạ Lipschitz đồng đều

3.1 TINH LOI TRONG DINH LY GOEBEL, KIRK, THELE

Ta biết rằng X là lồi đều (tương ứng không vuông đều) nếu và chỉ

nếu é,(X)=0 [6, p.154] (tương ứng : &,(X)<2 [6, p.146]) Y tưởng

chính của [8] và [9] có thê phất biểu như sau

Định lý 3.1.1 (Goebel, Kirk) Cho € là một tập hợp lơi đóng, bị chặn

Trang 25

i! _& (+) v ˆ Ị

Định nghĩa 3.1.1 Cho A là một nửa nhóm, X là một không gian Banach va U là một tập con khác rỗng trong X Khi đó cho một họ ánh xạ

%=(T,:ze A), trong đó 7, :U —>U được gọi là một nữa nhóm Lipschitz

trên nếu thỏa mãn các điều kiện sau :

i) Toy (x) = T„T,(x) voia,BeA, xeU

ii) Với mỗi ae A tồn tại k„ >0 sao cho

lr.(x)-7„(y)|<1.|x- » ,„ Vx,yceU,VøeA

Một nửa nhóm $ được gọi là khả nghịch trái nếu bất kì hai ideal phải của

% đều có giao khác rỗng Khi đó (S,<) và một định hướng với quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi

a <b <> {a} VaS 5 {b} UbS

Định nghĩa 3.1.2 Cho một nửa nhóm Lipschitz trên U được gọi là một k — Lipschitz đều nếu k, =k, VaeA nghia la ton tại một k>0 sao cho

I (x)-T,(y)| ST, |x-y , VxyeU,Vaed

Định nghĩa 3.1.3 Cho U là một tập hợp con của không gian Banach X

xét nửa nhóm XS các ánh xạ 7': —>Ù/ Giả sử Sš là khả nghịch trái, tức là

Trang 26

Khi đó với 7 e% ta gọi là chuẩn Lipschitz của 7 đối với U và kí hiệu là ||T||, có giá trị xác định bởi

li = sop IED, x,y€U,xz Ì x—y

Nhận xét

Bắt đẳng thức

*>3Í<1~ø(z)

Trong định nghĩa 2.1.2 có thể viết lại thành

1- x+y

<6d(e)

Điều này chứng tỏ ổ(£) không xác định duy nhất bởi £ vì nó có thể thay thế bằng số nhỏ hơn và số lớn nhất có thể được chính là 1—

“tH

Vì vậy, để đo tính lồi của không gian Banach người ta đưa ra định nghĩa

sau

Dinh nghia 3.1.4 Modul lồi của không gain Banach X là hàm 6: [0,2] > [0,1] xac dinh boi

;Vx,yeXx,

6, (e)=inf h -

Trang 27

Ta có kết quả sau đây :

- Hàm ở, tang ngặt trên đoạn le 2] > [0, 1] và liên tục trên đoạn [0,2],

_

- Không gian Banach lồi đều khi và chỉ khi ổy (2) với mọi >0

hơn nữa

lx[<4:|y|<4:|x- xÏÌ>= x+y

2

Thật vậy

Giả sử X là không gian lồi đều suy ra V£ > 0,3đ(£) >0 sao cho

Vx,yeX mà ||| < 1,|| < 1|x— | >e£ ta có

x+y x+y

<1-6(€)> 6(e)<1-

Do do

Ổy (e)=int 1- |v E 8,|s~›|>e|>0

Trong đó B, 1a hinh cau don vi dong trong X

Ngược lại, theo định nghĩa của ổy (£) thì Vx, ye By.|x— y||>£

Ta có

Trang 28

Khi đó chi can chon ổ(£)= ðy (£) ta sẽ có

<1-6, (e)

Vậy X là không gian lồi đều

Định nghĩa 3.1.5 Đặc trưng lồi của không gian Banach được ký hiệu là

&,=&,(X)=sup{e €[0,2]:5, (e)=0}

Ta có một số kết quả sau :

- Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi z,(X )=0

Thật vậy

Vì ở, là hàm không giảm, nhận giá trị trong [0,1] va 5, (0)=0

Suy ra 6, (e) >0,Ve>0

Điều này tương đương với X là lồi đều

- Nếu ¢,<2 thì khơng gian Banach X là không vuông đều và đẳng

cầu với không gian lồi đều, do đó phản xa

Sau đây ta sẽ xét thêm một số tính chất của modul lồi của không gian

Trang 29

Voi ge [0, 2] ta dinh nghia

#()=sup[|x+ v|||x|<E|y|<1|x~ »|>ej

Thế thì

f(2)=2(1-4; (¢))

Do do:

1) f 1ién tuc trén [0,2] 0)

2) ƒ_ giảm nghiêm ngặt trên [z„,2] (2)

3) /?(c)=e néu eefe,,2] (3)

That vay

Gia sit ¢ €[e,,2] va lay ne (0.1 —y (£))-

Chọn x,y trong hình cầu đơn vị của X thỏa mãn x - vị =e£ và

Trang 30

Vì ø là tùy ý nên

<1-6, (2(1-6, (e))) (4)

Do d6, vi 6, (€) 1a ham déng biến trên đoạn [z„,2] nên

&<2(1-6, (1)) > 5, (2(1-6, (t)))

Từ đây ta suy ra

1-6, (€) 21-6, (2(1-6, (2)) (5)

Thay £=¿ và (4) ta được

Trang 31

Từ (5) và (6) ta suy ra

Vì vậy

£=1-6, (2(1-6,(9))

Vì r có thể giả thiết là một giá trị bất kì nào đó thuộc đoạn [z„,2] nên ta có thể kết luận

£ =1-6,(2(1-6,(¢))) Vee[4,.2]

Ta có điều phải chứng minh

4 /?(e)=/(2) nếu ee[0.z,]

Thật vậy

Theo định nghĩa của đặc trưng lỗi và vì ở, là hàm khơng giảm, nhận

giá trị trong đoạn [0,1] nên

Trang 32

Do đó

#⁄{z)=Z(Z(z))=7[2(I=#y(2))|=#@)

Vì vậy ƒ”(z)= ƒ(2).Vee [0 é,| ( điều phải chứng minh)

5) Néu € <1 thì từ tính liên tục của ƒ suy ra tỒn tại re (z„!) thỏa

mãn ƒ(r)=2r Vậy nêu I<k<l thì từ 2 >r>á, và do (2) ta có

r /[y)<0=>r<2 Sử dụng (2) và (3) ta có 2 c>s,=/2)<f (7) 2) p(t P Do đó ‹/[2)< với ke[ 14) k r (7)

6) Chú ý rằng từ (4): cho e—>2 tacó 5, (2(1-6, (2)))=0

Do đó

Trang 33

Vì bất dang thức ngược lại đạt được khi e->e£„ nên ta có 6, (2)=1- hay lim 6, («)=1- “o^2"

Điêu này chỉ ra rắng

lim ƒ(£)=£, (8)

c2"

Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng ta sử dụng ký hiệu

B(x.p) xeX,p>0 để chỉ hình cầu đóng trong X

B(x.p)={y<X:|x~ v|< pj

Dinh ly 3.1.2 (Goebel, Kirk, Thele) Gia sw X la mét không gian Banach

voi &,(X)<1 va gia st y>1 thỏa mãn

frst}

Khi đó nếu K_ là tập lỗi, đóng bị chặn khong réng trong X va

T:K->K làmột ánh xạ k -Lipschiz dong déu voi k <K,(X) ,thìT có

một điểm bất động trong K

Khi phát triển kết quả này Lifschitz đã đề xướng một kết quả mang

tính tơpơ hơn và xem xét các ánh xạ Lipschitz đồng đều trong khơng gian metric Thay vì dung modul lồi, Lifschitz đã kết hợp mỗi không gian metric

Trang 34

£(M )=sup{/8 >0: 3z >1} sao cho Vx,yeM,r>0

p(x.y)>r dzeM_ sao cho B(x,Ør)=B(y,ar)c B(z.r)

Trong đó (x,r) kí hiệu là hình cầu đóng tâm x bán kính z Thế thì tức khắc ta có k(M) >1 đối với không gian metric (M, P) bất kỳ

Lifschitz đã chứng minh được rằng nếu (, p) là không gian metric

đầy đủ và bị chặn nếu ánh xạ 7 :A⁄ —> là một ánh xạ k - Lipschitz đồng

đều với k<£„(M) thì T có một điểm bất động trong M Để so sánh kết

quả này với kết quả của Goebel-Kirk-Thele trong không gian Banach, người ta định nghĩa x, (x ) 1a infimum cua K(C ), trong đó C chạy trên tất cả các tập lồi, đóng, bị chặn, không rỗng của của khơng gian Banach X Khi đó định lý Lifschitz được suy ra

Định lý 3.1.3 (Lifschitz) Giả sử X là không gian Banach voi K,(X)> 1

Nếu K là một tập lồi đóng khơng rỗng trong X và T:K->K_ là một ánh

xạ k - Lipschiz đồng đều với k <kK,(X)., thì T có một điểm bắt động

trong K

Trang 35

aoe

Như vậy, đối với các không gian Banach, cách tiếp cận của Lifschitz mang lại một kết quá rõ nét hơn về độ lớn của hằng số Lipschitz có thể lấy được mà vẫn bảo đảm ánh xạ có điểm bất động cũng nên lưu ý rằng

J.Baillion đã tìm được một ví dụ về một ánh xạ 5 - Lipschitz dong đều xác

định trên một tập lồi đóng bị chặn của khơng gian /? có điểm — ty do bat

động

Kết quả đầu tiên của chúng ta chỉ ra rằng cách tiếp cận của Lifschitz luôn cho ước lượng về kích thước của k ít nhất thì cũng như là những ước lượng được tìm ra bằng cách sử dụng tiếp cận của Goebel-Kirk-Thele

3.2 CÁC ĐỊNH LÝ KHÁC LIÊN QUAN ĐÉN TÍNH LÒI

Định lý 3.2.1 Cho X là không gian Banach và giả sử y>1 thoa man 1

phương trình i — oy (

⁄ J+» a z<k,(X)

Để thuận tiện cho việc chứng minh định lý 3.2.1, chúng tôi phát biểu

một bổ đề sau

Trang 36

k„(X)> sup{/>0:3z>1 sao cho VyeX, Iz|>1

3ï e[0,1] sao cho B(0,B)OB(y,@) < B(ty,1)}

Ching minh dinh ly 3.2.1 Lay yeX với lx|>1 và giả sử xeZØ(0.,7)=B(y,z) Khi đó * ⁄ x—y Y <1 ¬l; <1 va É Y x mi Y

Vì vậy theo định nghĩa của ở, thì

1|F-*-*Ì<i—ø (+) 2Iy z “ly

Do do

x2 <y|1-6, 1

2 £

Nghĩa là xe (21 Theo bé dé 3.2.2 tacd ,(X >7

Định lý được chứng minh

Mặc dù về mặt định tính, kết quả của LIfschitz cho ước lượng về kích

thước của k rõ rang hơn kết quả của Goebel-Kirk-Thele, định lý tiếp theo cho thấy rằng trong các không gian Banach nhất định là tương tương về mặt

Trang 37

Định lý 3.2.3 Giả sử X là không gian Banach Khi đó ,(X)<1 néu va

chi néu K,(X)>1

Chig minh Néu ¢,(X)<l1, lap tite suy ra rang y thoa mãn

na (Ì|" Y

Là lớn hon 1 Do đó, theo dinh ly 3.2.1 «,(X)27>1

Bây giờ giả str rang ¢,(X)>1 va lay B>1 va a> Khi do ton tai

các phần tử x,ye X có chuẩn bằng 1 sao cho

l—l>> va FY 4 y 7

Do đó + = min {ø, 8,2} >1

Xét 8(0.8)B(y(x- y).z)

Vì |zx|=z và [yzx—y(x— y)|=z||x|=z<ø , nên

yxeB(0,8)B(z(x~ y).2)

Tương tự

-yx€ B(0.8)B(y(x- y).@)

Trang 38

B(0.8) SB(#(x~ y),@) < B(z,1)

Vì0 và z(x— y) đều thuộc 4B, đồng thời >1 và z >l là tùy ý nên «(4B,)=1; do đó «,(X)=1

Điều này hoàn thành định lý 3.2.3

Các điều kiện trong định lý 3.2.3 là ôn định theo một nghĩa nào đó

Nhắc lại rằng, đối với các không gian Banach đẳng cấu X và Y, hệ số

khoảng cách Banach — Mazur từ X vào Y, được ký hiệu là d (x iY), xác

định bởi

d(X.Y) =inf(|U|L|U '|:U : X —>Y Tà toán tử khả nghịch}

Định lý 3.2.4 Giả sử X là một không gian Banach voi €, (X)< l và giả sử z >l là nghiệm của phương trình

eal) Y

Khi đó nếu Y là một không gian Banach đẳng cấu với X và d(X.Y) <ƒ

thì ø„(Y)<1

Chứng minh Khơng mất tính tổng quát giả sử U là một đẳng cấu từ X

lên Y sao cho

Trang 39

Chọn các phần tu y,.y, €Y c6 chuan bang một sao cho

|>,— y; > lel va tir dinh nghia x,=U'(y,) va x, =U "(y;) Lập tức ta

Y

có

1

|xi|<1.|:|< l|x — x:||> y

Khi đó theeo định nghĩa của ở, thì

Trang 40

Định lý 3.2.4 cho phép chúng ta mở rộng một vài cơng trình mới của Bynum Ông đã chỉ ra rằng nếu X là trịn đều, thì tồn tại / >1 sao cho nếu Y là không gian Banach với đ(X,Y)< Ø, thi các tập lồi, đóng, bị chặn trong Y đều có điểm bất động đối với ánh xạ không giãn Sau đây là hệ quả tức khắc của định lý 3.1.2 và định lý 3.2.4

Hệ quả 3.2.5 Cho X là một không gian Banach với é,(X)<1 Khi do

tôn tai hang số y>1,B>1 sao cho nếu Y là một không gian Banach với d(X.Y)< 8 thì các cặp lơi, đóng, bị chặn trong đều có điểm bắt động

đối với ánh xạ k— Lipschitz déu với k<y

Cuối cùng chúng ta chỉ ra rằng các điều kiện này là ổn định theo nghĩa thứ hai

Định lý 3.2.6 Nếu X là một không gian Banach với é,(X) <1, uw la mot

độ đo bắt kỳ và 1< p<, thi €,(L?(u,X))<1

Định lý 3.2.6 được suy ra tức khắc từ định lý 3.2.7 dưới đây Có thể

tìm thấy một tham luaanjveef các không gian hàm Lebesgue — Bochener

trong [4] hoặc [8] Nếu Lt là độ đo đếm được trên tập hợp nào đó, thì

L’ (u,X )la không gian các dãy /”(X ) Định lý sau đây sẽ biểu diễn đặc

trưng lồi của không gian Banach X và đặc trưng lồi của không gian hàm Lebesgue — Bochener tương ứng cách chứng minh của Day [6] rằng

L’ (u,X)néu va chi néu 1< p<oo

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	4,47 MB