MUC LUC Lời mở đầu
Chương l
Kiến thức chuẩn bị
ID S0 in 3
1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach
Khơng gian tƠpƠ .- - - <6 111211 11 1H nọ nu TH TH HH ng it 6
1.3 Tập hợp lồi 8
1.3.1 Định nghĩa và tính chat
1.3.2 Bao lồi và bao đóng 9
1.4 Anh Xa da triccsccccccccccccccsesccscceceseeseseseesesececerscsesececsssvsucecsvavssacarsesesacaceeseee 10
Chuong 2
Diém bat động của ánh xạ đa trị
P2) 0 90 14
P9) 0) 0.) 18
2.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng 2-2 s+csce+ 23 2.3.1 Nguyên lý điểm bắt động Brouwer . -czcs++xsccsecse+ 23
2.3.2 Bổ đề phân hoạch ơn VỊ ¿- 6 «+6 Sex ++kE++Eskeseskeseeese 31
2.3.3 Định lý Kakutant 2 eee ccceeseessesseseeeecececeeeeeeeeecseceeseneeaeeaeeaeees 33
2.3.4 Diém bat động trong không gian định chun cece 37 Kết luận
Trang 2
LOI MO DAU
Nhiéu hién tượng trong thực tế dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại, duy
nhất và xây dựng xấp xi cho phương trình phi tuyến Phương pháp điểm bắt động là một trong các phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của các lớp phương trình phi tuyến khác nhau Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920, được hoàn thành và phát triển cho tới ngày nay để có thể áp dụng cho ngày càng nhiều lớp phương trình
Cùng với sự phát triển của khoa học và do nhu cầu phát triển nội tại của toán học, các ánh xạ đa trị đã được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950
Chúng là công cụ hữu hiệu để mô tả nhiều hiện tượng của tự nhiên, xã hội,
kinh tế, Từ đó, nảy sinh ra yêu cầu phát triển các phương pháp nghiên cứu với ánh xạ đa trị, trong đó có phương pháp điểm bất động
Ngày nay, lý thuyết điểm bất động cho các ánh xạ đa trị đã thu được nhiều kết quả có giá trị Tuy nhiên đây vẫn là hướng nghiên cứu đang được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và hứa hẹn đạt tới những kết quả thú vị về lý thuyết cũng như ứng dụng
Với những lý do đó em đã chọn đề tài:
Lý thuyết điểm bắt động của ánh xạ đa trị”
Mục đích của khố luận này là trình bày một số định lý điểm bất động
cho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm bắt động Brouwer và suy rộng của nó Nội dung khố luận gồm 2 chương
Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm về một số không gian,
tập hợp và một số định nghĩa về ánh xạ dùng cho chương 2
Chương 2: Chương này giới thiệu một số định lý về điểm bất động của ánh
xạ đa trị , định lý điểm bắt động của ánh xạ đa trị có tính chất co, nguyên lý
Trang 3
Bản khoá luận này được hoàn thành tại trường đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy trong quá trình em hồn thành khố luận này
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, dạy bảo của các thầy cơ khoa
tốn trường đại học sư phạm Hà Nội 2 trong suốt thời gian em học tập tại
trường
Hà Nội, tháng 5 nam 2012 Sinh viên
Trang 4
CHUONG 1
KIEN THUC CHUAN BI
1.1 KHONG GIAN METRIC
Dinh nghia 1.1.1
Không gian metric là một cặp (x.4 ), trong đó X là một tập hợp khác
rỗng, d:XxX-> thoả mãn các điều kiện sau
Ù Với mọi x,yeX: đ(x,y)>0
d(x.y)=0©x=y
ii) Voi mọi x,yeX: d(x,y)= 4(y,x)
li) Với mọi x,y,z ¢X: d(x,y)<d(x,z)+d(z,y) Ánh xạ đ gọi là metric trên X
Mỗi phần tử của X gọi là một điểm của X; d(x.y) gọi là khoảng cách từ điểm x tới điểm y
Định nghĩa 1.1.2
Cho không gian metric (X.4) ,„#øeX, số r>( Ta gọi
Tập B(a,r)={x<X :d(x,a)< r} là hình cầu mở tâm ø, bán kính z
Tập B[a,r] = {x eX: d(x,a) < r} là hình cầu đóng tâm z, bán kính r
Định nghĩa 1.1.3
Trang 5
Dinh nghia 1.1.4
Cho khéng gian metric (X.4) ACcX Điểm xeX gọi là điểm trong
của A nếu tổn tại một lân cận của x bao hàm trong A
Định nghĩa 1.1.5
Cho không gian metric (x.4) ACX A là tập đóng trong X nếu với mọi điểm xe A thì tồn tại một lân cận của x giao A bằng rỗng
Định lý 1.1.1
Trong không gian metric bất kỳ mọi hình cầu đóng là tập đóng Định lý 1.1.2
Trong không gian metric bắt kỳ thì
a Giao của một họ tuỳ ý những tập hợp đóng là một tập hợp đóng
b Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng là một tập hợp đóng
Định lý 1.1.3
Cho khéng gian metric (X,d) Tap ACX va A#¢ Tap A dong
trong X khi và chỉ khi mọi dãy điểm {x,}C A hội tụ tới điểm x thi xe A Định nghĩa 1.1.6
Cho dãy {x, } trong không gian metric (X.4) Ta nói dãy {x,} hội tụ tới điểm xeX nếu Ve> 0n € “sn> nạ thì d(x,x)< £
Ký hiệu: limx, =x hoặc x, —> x(n —> œ)
Điểm x gọi là giới hạn của đãy {x, }
Định lý 1.1.4
Tập hợp A trong không gian metric (X.4) là tập hợp đóng nếu và chỉ
Trang 6
Dinh nghia 1.1.7
Giả sử A là tập hợp tuỳ ý trong một không gian metric X Số
oA = sup d(x,y)
ayeA
được gọi là đường kính của tập A, nó có thể là một số hữu hạn hay vô hạn Nếu đA <œ thi A duoc gọi là một tập hợp bị chặn
Từ định nghĩa ta có điều kiện sau
a Để tập hợp A là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu
B(x,,R) chứa A
b Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn là một tập hợp bị chặn
Định nghĩa 1.1.8
Tập hợp K trong không gian metric (X.4) gọi là compact nếu mọi dãy
điểm {x, } trong K đều có một dãy con {X, \ hội tụ đến một điểm thuộc K
Định nghĩa 1.1.9
Dãy {x,} trong không gian metric (X.4) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu Ve > 0,3øycN”:nmeN và nm > nạ thì
d(x„.x,)<£ Dinh nghia 1.1.10
Khong gian metric(X,d) được gọi là không gian đầy đủ (hay không gian metric đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc
X
Nghĩa là, nếu dãy {x,} là đãy cơ bản trong X thì tồn tại limx, va
Trang 7
1.2 KHONG GIAN DINH CHUAN, KHÔNG GIAN BANACH
KHONG GIAN TOPO Dinh nghia 1.2.1
Giả sử K là một trường số thực hoặc trường số phức Tập hợp X cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng)
Phép cộng xác định trên X xX và lấy giá trị trong X
(x.y)—>x+y ¡J,ye€X
Phép nhân vô hướng xác định trên K xX và lay giá trị trong X
(A,x) > Ax sAcKxeX
gọi là một không gian tuyến tinh (hoặc là không gian vectơ) thoả mãn 8 tiên đề sau
I)Vx,yeX:x+y=y+x
2) Vx,y,zeX:(x+y)+z=x+(y+z)
3) Tén tại một phần tử 0 của X sao cho VxeX:x+0=x 4) Với mỗi x eX, tồn tại phần tử (-x) sao cho: (-x) +x =0 5) VÂeK,Vx,yeX:Ã(x+y)=Âx+Ây
6) VxeX,VÂ,ueK: (4+) =Ax+ UX 7) Vx EX, VA, MEK: (Au)x = A(ux)
8) VxeX:lx=x
Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa không gian định chuẩn) Cho X là không gian tuyến tính trên trường K
+) Chuân trong X là một ánh xạ
rx
Trang 8Thoả mãn 3 tiên đề i) |k[>E0 VxeX |xÌ=0>x=9 (Ø là véctơ 0) AXx| =a ii) , WreX,AeK iti) |r+z|<lx|+|> » VA,y€X
+) Không gian định chuẩn là (X | ) trong do:
X là một khơng gian tuyến tính
| là một chuẩn trong X
Khi đó xe X thì X gọi là chuẩn của vectơ x
Định nghĩa 1.2.3 (Định nghĩa không gian Banach)
Nếu không gian định chuẩn X là một không gian metric đầy đủ và
khoảng cách d(x.y) = xy] thì X được gọi là không gian định chuẩn đầy đủ hay gọi là không gian Banach
Định nghĩa 1.2.4 (Định nghĩa không gian tôpô)
Một họ các tập con z2 của tập hợp X được gọi là một tôpô trong X
nếu thoả mãn các điều kiện sau
i) ócr,Xe7
li) Giao của một họ hữu hạn tuỳ ý các tập hợp thuộc 7 là một tập thuộc 7
iii) Hop của một họ tuỳ ý các tập thuộc 7 là một tập thuộc 7
Trang 9
Tập X được trang bị một tôpô z được gọi là một không gian tôpô và
được ký hiệu bởi (X,z) hoặc đơn giản là X
1.3 TẬP HỢP LÒI
1.3.1 Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 1.3.1
Giả sử X là một khơng gian tuyến tính, là tập các số thực Tập
AcX được gọi là lồi nếu: Vx,,x,eA,WÂe :0<4<I thì Ax, +(1-A)x,€A
Hàm số ƒ:A-> được gọi là lồi nếu tập A 16i va
f (Ax, +(1-A)x,)<Af(x,)+(1-A) f(x), với Vx,,x,cA,V4:0< 4<1
Ví dụ 1.3.1
1) Cho X là một không gian định chuẩn, và „yeX, r>0 Khi đó
hình cầu đơn vị 8 ={¡e X :|w— „¿|< r} là lồi
2) Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn | Dat f(u) =l|: Khi
đó, hàm số ƒ:X-> liên tục và lỗi Mệnh đề 1.3.1
Gia st A, CX, wel là các tập lồi, với 7 là tập chỉ số bắt kỳ
Khi đó tập A ={( }A„ cũng lồi
ael
Ménh dé 1.3.2
Trang 10
Mệnh đề 1.3.3
Một tập lồi A trong không gian “ bao giờ cũng có ít nhất một điểm trong tương đối
Mệnh đề 1.3.4
Nếu một tập lỗi A có một điểm trong a va nếu beA thì mọi điểm
c=aa +(I-ø)b với 0< z<1 cũng là điểm trong của A
Mệnh đề 1.3.5
Giả sử X,Y là các khơng gian tuyến tính , 7T: X —>Y là toán tử tuyến tính Khi đó
a) ACX lỗi suy ra T(A) lồi
b) 8C X lồi suy ra nghịch ảnh 7 '() của ảnh Ö là tập lồi
Định nghĩa 1.3.2
Vectơ xeX được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x,,x,, ,x„ €X nếu
tồn tại A, > OG =1,2, ,m), >4, =1 sao cho x= Ax,
i=l i=l
Dinh ly 1.3.1
Gia str tap A lồi, X),Xy 505%, EA
Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lỗi của AsXzseeXU-
1.3.2 Bao lồi và bao đóng Định nghĩa 1.3.2.1
Giả sử tập A c X, giao của tất cả các tổ hợp lồi chứa A được gọi là bao
lỗi của tập A và ký hiệu là co A
Nhận xét 1.3.2.1
a coA là một tập lồi và là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa A
Trang 11
Dinh ly 1.3.2.1
coA trùng với tất cả các tô hợp lồi của A
Hệ quả 1.3.2.1
Tap A lồi © A chứa tất cả các tô hợp lỗi cla A
Định nghĩa 1.3.2.2
Gia sir tip A CX, giao cua tất cả các tập hợp lỗi, đóng chứa A duoc gọi là bao lồi đóng của tap A, ky hiéu la coA
Nhận xét 1.3.2.2
coA là một tập hợp đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A Định lý 1.3.2.2
Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi Tức là co A =co A
1.4 ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Xét phương trình:
(P) a,x +a, x7 ”+ +ax+a,=0, 4 €6 ,a,#0,xE
Ta thấy phương trình (P) ln có n nghiệm phức Ứng với mỗi bộ số
(4,.4, 4„) ta có một tập nghiệm, ký hiệu sol(P), tương ứng Ta thiết lập
tương ứng :
F: m2 (dys Gys54,)€ ”” r> sol(P)
ở đó 2_ là tập các tập con của tập hợp số phức
Ta thấy F không phải là ánh xạ theo nghĩa thông thường
Trang 12
G: "”¬2 (,.đ, 4,)e ”” rà sol(P)
Ta thấy G cũng không phải là ánh xạ theo nghĩa thông thường Tuy nhiên việc nghiên cứu tính chất của G cũng rất hữu ích vì nó cho ta thấy mối liên hệ
giữa các hệ số với sự tồn tại nghiệm của phương trình (P) trên tập số thực
Điều này cho thấy sự cần thiết phải mở rộng khái niệm ánh xạ theo nghĩa thông thường và nghiên cứu những tính chất của nó
Định nghĩa 1.4.1
Cho X,Y là hai không gian tôpô Ký hiệu 2Ï được hiểu là tập các tập
hợp con của tập hợp Y Tương ứng Ƒ: X —>2” được gọi là ánh xạ đa trị
Dom F = {x eX: F(x) z 2) được gọi là miền hữu hiệu
ImF ={yeY: ave X,yeF(x)} được gọi là ảnh
graph F = {(.y) eXxY: ye F(x)} được gọi là đồ thị Nhận xét 1.4.1
Với mỗi xe DømF, nếu F(x) chỉ gồm duy nhất một phần tử thì F là
Trang 13
Ta thay F cũng chính là ánh xạ đơn trị b, Ánh xạ đa trị
Ta có
ImF ={ye :dx€c yeF(x)}
={ye :dx€ „y<ldx,-xÌ|=
graph F ={(x,y)e x :yeF(x)} = {(x.y) ex iy =x}
Dinh nghia 1.4.2
Anh xa da tri F: X — 2" tir khong gian t6p6 X vào không gian tôpô Y
được gọi là nửa liên tục trên tại x€DomF néu voi mọi tập mở VCY thoả mãn F(x) CV có tơn tại lân cận mở của x sao cho
F(x)cV, Vx EU ODomF
Nếu Ƒ nửa liên tục trén tai moi diém thuéc DomF thi F duoc gọi là nửa
lién tuc trén 6 trén X
Dinh nghia 1.4.3
Anh xa da tri F: X > 2" tir khong gian top6 X vao không gian tôpô Y
Trang 14
F(x)nV#Ø, VxeUoDomF
Nếu #Ƒ nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc 2ømƑ thì F được gọi là nửa liên tục dưới ở trên X
Anh xa F:X >2" được gọi là liên tục tại xe2omF nếu Ƒ đồng thời
nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc DomF thì F được gọi là liên tục ở trên X
Trang 15
CHUONG 2
DIEM BAT DONG CUA ANH XA DA TRI
Trong chương này em sẽ trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị trong không gian metric đủ (x ; p) „ có thể xem như khái quát nguyên ly anh xa co Banach
2.1.Dinh ly Caristi Dinh nghia 2.1
Ta noi ham so f:X > [-20, +20] là nửa liên tục dưới nêu với mọi #e tập {x eX: f(x) < a} bao giờ cũng đóng
Dinh ly 2.1 (Caristi)
Cho P:X-—>2 là một ánh xạ đa trị từ một không gian metric di (X,p) vào chính nó, và ƒ:X —>[0,+ø] là một hàm số nửa liên tục dưới, Z + Nếu
(vxeX) (%eP()) z(x»)</(6)=/0) 0) thì P có một điểm bắt động
Chứng minh
Với mỗi x ta định nghĩa tập A(x)={yX:ø(x.y)< ƒ(x)-#()} Khi x có định thì ƒ(y)+ ø(x.y) là hàm nửa liên tục dưới theo y,cho nên
A(x) 1a tap dong
Trang 16
Vì khi ấy với mỗi ze A(y) tacd p(y,z)< f(y)- f(z) cho nén
ø(z)<ø(5y)+ø(sz)</(x)=f)+f)=ƒ(2)=f(x)=72)
Ching to ze A(x) Dat
v(x)= inf f(y)
Ta có thể viết
(vyeA(x)) 2(xy)</(x)=v(x)
Từ đó suy ra mọi cặp y,z e A(x):
ø(›z)<ø(xy)+ø(xz)<2(ƒ(x)~v(+))
Thành thử nếu ký hiệu đường kính của một tập A là diam A =sup{p(y,z): ye A,z€ A} thi
diam A(x) <2(f(x)-v(x)) (2)
Bay giờ ta xây dựng một day {x,} nhu sau
Layx, ¢X tuy y, sau dé x, €A(x,) sao cho f(x,)<v(x,)+1/2
1 X,,, €A(x,) sao cho f(x,.,)< ¥(%,) +55 n+l Khi ấy, do A(x,,,)CA (x,) nén v(x, ) < v(x ) va suy ra nl
Vay 0</(x,)~v(x,)*s„y ~>0 khi n> +00
Do đó theo (2) diam A (x )> 0 @ —>+©) Mà x„„€A (Conan )c A (x, ) n
Trang 17
Cho nên ø(x„ ,x„)< diam A(x„,)—>0 khi n —> +, chứng tỏ dãy {x,} là dãy cơ bản trong không gian metric đủ X, cho nên x, -> xe X
Do x, €A(x,) voi m<n nén cho n> +00 taduge xe A(x, ) voi moi m, cd
nghĩa là
xef„4(,)
Do điam A(x,)—>0 nên {x} = ( ]ƒ„4(x,)
Với mọi ú ta có:
x'eA(x,) nên A(x')c A(x,), thành thử A(x')=ƒj„A(x,)={x}
và do đó A(x')={x'}:
Nhưng theo (1) phải có một y € P(x") sao cho ye A(x")
Vay y=x ,conghia x eP(x’)
Chú ý :
Nếu hình dung P(x) là tập các điểm mà từ x có thể di chuyển tới được
va f(x) là một hàm thế năng mà ta muốn tìm giá trị thấp nhất, thì giả thiết
(1) có nghĩa là: từ bất cứ vị trí x nào cũng có thê chuyền tới một vị trí y ứng với một thế năng giám đi ít nhất một lượng bằng số đo khoảng cách từ x đến
y Khi Ấy, tập A(x) xây dựng trong chứng minh trên bao gồm các vị trí y
thấp hơn x mà có thê chuyên đến được từ x
(“thấp hơn” theo nghĩa f(y) < ƒ(x)- ø(.y) )
Thật ra, chứng minh trên không chỉ xác nhận sự tồn tại một điểm
Trang 18
vì nếu có xeX thoả mãn p(x x)< f(x )-F(x) thi xeA(x'), ma nhu trén vira thay, A(x')=l*]: cho nên chỉ có thể x=x” Thành thử, từ x
khơng cịn có thể đi chuyển hạ thấp thế năng hơn nữa
Ta biết rằng nếu X khơng compac thì một hàm nửa liên tục dưới ƒ (x) có thể khơng có điểm cực tiểu trên X, nghĩa là khơng có điểm x nào với tính chất (vy) f(y) > f(x) Định lý Caristi cho thấy tuy vậy vẫn có một điểm x” xấp xỉ cực tiêu theo nghĩa: mọi điểm x # x` đều có
f(x) > #(x')+ø(xx)
Điều đó được khẳng định tường minh hơn trong định lý sau đây
Hệ quả 2.1 (nguyên lý £- biến phân Ekeland)
Trong một không gian metric đủ X, cho một hàm nửa liên tục dưới f:X [0,400], mot điểm „eX với ƒ(w)< +, và một số ø >0
Bao giờ cũng có một x` eX sao cho
(vxz+x') f(x*)<)+ø(x*`) (3)
p(x'u)<[f(u)- f(x’) \/e (4)
Chứng minh
Chỉ cần chứng minh cho £ =1, vì không gian X với metric p(x, y)/ £ cũng là không gian metric đủ Đặt P(x)={yeX: ø(y.w)< #(w)-£()):
Nếu mệnh đề không đúng, tức là không có điểm x” thoả mãn (3), (4) thì ta có
(1), cho nên theo định lý Caristi phải có một điểm x'” e P(x’) Nhu vay x" thoa min (4) va theo nhan xét 6 trén, x" cing chinh 1a diém co tinh chat (3)
(điều này mâu thuẫn)
Trang 19
Vậy mệnh đề luôn đúng hay định lý được chứng minh Nhận xét 2.1
Không chỉ định lý Ekeland là hệ quả của định lý Caristi, mà ngược lại cũng đúng, thành thử đó là hai định lý tương đương
Chú ý : hai tính chất (3), (4) hạn chế lẫn nhau theo nghĩa £ càng nhỏ thì tính chất (3) của x” càng sát với tính chất một điểm cực tiểu, nhưng tính
chất (4) cho thấy [Z) - f(x") Je tức là cận trên khoảng cách từ x” đến
càng lớn
2.2 Định lý Nadler
Đây là định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co, định lý
đã mở rộng nguyên lý Banach cho các ánh xạ đa trị co
Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức sau
Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa ánh xạ co)
Cho hai không gian metric M, = (X.4) M, = (Y.d,) Ánh xạ A từ không gian M⁄, vào không gian M⁄, gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số a,
0<a@<\1 sao cho:
d, (Ax, Ax ) < ad, (x.x).vx, xeX
Định lý 2.2.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach)
Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian mêtric đầy M = (x ,d ) vào chính nó đều có điểm bất động x” duy nhất, nghĩa là x eX thoả mãn hệ thức
Ax =x’
Chứng minh
Trang 20
d(x, x, )= d(Ax,, Ax, _,)Sad(x,, Xx, _)s a'd(Ax,, X) +17
Voi n=1,2, Từ đó suy ra Vn, p = l,2, ta có
"mẽ k=l k=l
_ a -a" _ “d(Ax, x 0) Sd (Avo) a’
Vì 0<z<l1,nên lim ax" =0, do đó limd(x,., ,x,}=0,VpeNÏ
Nghĩa là dãy (x,) la dãy co ban trong không gian metric day M Từ đó tồn
tại limx, =x` eX Ta có
d(Ax',x')< d(Ax',x,)+4(x„x'} = d(Ax',Ax,,)+d(x,.x`)
<ad (x, wx ) + d(x, wx ).vn =1,2,
Cho n> ta duoc d (Ax VÀ ) =0 hay Ay` =x`, nghĩa là x' là điểm bất
động của ánh xạ A
Ta đi chứng minh tính duy nhất
Thật vậy, giả sử tồn tại điểm y' eX cũng là điểm bắt động của anh xa A, thi
d(x y')= d(Ax’,Ay’)< ad(x',y" ) > (1 —a)d(x’,y')< 0
=d(x,y')=0,0<ø<D=x = Vì vậy x” là điểm bắt động duy nhất của ánh xạ A
Định lý được chứng minh
Trang 21
Vi du 2.2.1
Giải và biện luận phương trình sau
x+asinx=z, a là tham sô, 4| <l Phương trình đã cho tương đương với
x=Z—asinx (1)
Đặt y= Ax=Z—asinx, ta nhận được ánh xạ A ánh xạ không gian đầy
vào chính nó Hơn nữa
x—x
, ¬ x+x
|Ax-Ax | =|asinx~asinx | = 2|a| cos
x—x 2 < 2a [-l +|
Suy ra A là ánh xạ co (do |a| <1) Theo nguyên lý Banach về ánh xạ co, ánh
xạ A có điểm bất động duy nhất x”, nghĩa là phương trình (1) có nghiệm duy nhất x”
Dễ dàng kiểm tra được nghiệm duy nhất đó là x” = Z
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = Z,Va (—11) Dinh nghia 2.2.2 (Dinh nghia anh xa da tri co)
Cho không gian metric (x ; p)
Một ánh xạ đa trị P tir mét tap Vc X vào chính X gọi là co nếu có một
số Ø, 0< Ø<1, sao cho
(vx.x c v) 4(P(x).P(x)) < Op(x.x)
Bồ đề 2.2.1
Nếu P:V—>2* là ánh xạ co thì f (x)= p(x,P(x)) la ham nia lién tuc
Trang 22
Chứng minh
Ta phải chứng minh rằng nếu p(x, P(x, )) <a ma p(x, Xp) > 0 thì
p(x»P(%)) Sa
Theo dinh nghia ø(x,.P(x,)) ta có thể chọn y, €P(x,) dé cho
2(x 9,)<ø(x,.P(x,))+1/4
Khi ấy do y, eP(x,) nên ø(y,.P(x,))< 4(P(x,).P(x,))< 0(%,.%)) va vi
vậy
Ø(x;P(%4))<ø(usx,)+2(.y,)*Ø(3P(x))
<øp(s,.x,)+ø(x,.P(x,))+1/k+92(x,.x,)
ø(%y.x,)+œ+1/k+ Ø9(x,.xy)—> ø,khi k —š + Dođó ø(x,.P(x,))<ø
Bồ đề được chứng minh
Dinh ly 2.2.2 (Nadler)
Trong một không gian metric đủ X cho một điểm øeX và một ánh xạ đa
trị P:X-—>2* sao cho với mỗi xeX tập P(x) đóng và khơng rỗng Nếu có một số Ø, 0< Ø<1, để cho
(vx.x eV) d(P(x),P(x))<@(x,x) d)
_P(aP(a))
thì với mỗi ø e(Ø,1) tồn tại một điểm x” <P(z) mà p(x",a) a- 2
Trang 23
Ching minh
Theo bé dé 2.2.1, ham sé f (x)= p(x,P(x)) 1a ham nita lién tue duéi Do d6 E={xeX:(a-0)p(x,a)< f(a)— f(x)} la mot tap con đóng của X
(Ezø vì aeE) và bản thân E, với metric (œ—Ø)ø, cũng là một không gian metric đủ Ta chứng minh rằng
(vxeE)(Ey<P(+)¬E) (x~8)z(x»)< £(x)= Z0) @)
Thật vậy, cho xe X Do øz<1 nên theo định nghĩa của ø(x.P(x)) phải có
yeP(x) đề cho
ap(x.y)< p(x,P(x)) (3)
Mặt khác vì y c P(x) nên theo giả thiết
ø(y.P(y))<4(P(x).P(y))<@(xz) (4)
Cộng từng về (3) và (4):
ap(x.y)+ø(».P(y))< p(x.P(x))+90(x>)
Từ đó suy ra
(z-9)ø(xy)<#(x)=#0)
Sau cùng, vì xe E tức là (a- 0) p(x,a)< f(a)- f(x), cho nén
(z~9)ø(9,ø)<(œ=9)Lø(x.y)+ ø(s.4) |
</(x)=ƒ0)+7(a)=#(x)= 7(a)=#)
Chứng tỏ ye E
Trang 24
Do đó theo định lý Caristi, phdi cé mét diém x° <P(x)nE, tức là xeP (x)
Và 2(s.4)<f49=8*)„ Z6) (vì #(x)=0 dox`eP(x`))
Định lý được chứng minh
Chú ý :
Nếu ánh xạ P chỉ xác định trong một hình cầu đóng VCX, tâm z, bán
kính r, thì với mọi x eV va ye P(x) ta có
p(y.a) < d(P(x),P(a)) < 0p(x.a)< Or<r
Tuc la yeV,cho nén, đặt E = {x eV: (a-0)p(x.y) < f(a)-f(x)}, ta van có (2) do đó định lý vẫn đúng Nếu lại có thêm giả thiết ø(a,P(a))< (1— 9)z
1-0
œơ-8
thì có thể khẳng định thêm p(x’.a) < r
2.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng
2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer
Nguyên lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động, đó cũng là một trong những nguyên lý cơ bản nhất của giải tích phi tuyến Nguyên lý này được Brouwer chứng minh năm 1921 dựa vào một công cụ tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục Tuy nhiên cách chứng minh này là quá khó đối với những người chưa biết lý thuyết này, nên nhiều người đã tìm cách chứng minh sơ cấp hơn Ở đây em nêu lên cách chứng
minh của Knaster, Kuratowki, và Mazurkierwicz, dựa trên một kết quả về toán học tô hợp của Sperner Trước tiên ta hãy nhắc lại một vài định nghĩa sau
Trang 25
Dinh nghia 2.3.1
Cho X là một không gian tuyến tinh, tập hợp $ trong X được gọi là,
một n đơn hình nêu $=cot,,i,, M, } VỚI Hạ,H,, U,CX Và các vécto
—M,,M, —Hạ, M, — uạ độc lập tuyến tính Các điểm u, được gọi là đỉnh, bao 012
H
lồi của +1 đỉnh được gọi là &_ diện của S
Phép tam giác phân một đơn hình § là một phép phân chia S thành các n đơn hình con $' (¡=0,1, ) sao cho hợp của chúng bang S va hai đơn hình con nếu giao nhau thì giao phải là một diện chung của hai đơn hình
đó
Đối với một phép tam giác phân S,Sperner đưa ra một phép gán cho
mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0,I, : theo quy tắc sau
đây: nếu CO {Uy st, 5-54, } là diện nhỏ nhất của $ chứa v,thì y được gán cho một trong các số i,,i,, ,7, (Nhu vay dinh u, phai duge gan số i)
Ta gọi đó là phép gán số Sperner
Vi du 2.3.1
Trong tam giác w„ww„ ba đỉnh lần lượt được gán số 0,1,2 các đỉnh
của đơn hình con nằm trên cạnh uu, dugc gan s6 i hodc k; cdc dinh thuộc phan trong của tam giác được gán số 0 hoặc I hoặc 2
Sau khi gán số, đơn hình con nào có các đỉnh được gán đủ các số
0,1, n thì được gọi là đơn hình “tốt”
Trang 26
Bo dé 2.3.1 (Sperner)
Với phép gán số Sperner, trong một phép tam giác phân một đơn hình
bất kỳ ln có một số lẻ các đơn hình tốt
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số chiều a) Với n=l
Đơn hình là đoạn u,u,, dinh u, duge gan số 0, đỉnh u, được gắn 36
1,các đỉnh còn lại của các đơn hình con nhận các số 0 hoặc 1 (hình vẽ)
Gọi & là số đỉnh (của các đơn hình con) nhận giá trị 0 (nếu các đỉnh
chung được tính 2 lần) Ta có & là số lẻ vì chỉ có một đỉnh nhận số 0 ở đầu
mút, còn các đỉnh nhận số 0 thuộc phần trong thì được tính 2 lần
Trang 27
Goi A 1a dinh nhan sé 0 ma dinh con lai (của đơn hình con chứa đỉnh
đó) cũng nhận số 0
Số đơn hình tốt bằng k—J là số lẻ Vậy bổ đề đúng với ø =l
b) Gia str bé dé dung voi n =m Ta sẽ chứng minh bồ đề đúng với n=m-+1
Gọi & là các m_dién (dién m chiều), mà các đỉnh được gán các số
O,1, ,m (gọi tất là diện tốt) của các (m+l) đơn hình con Khi đó
k=k,+k,, với k, là số điện tốt nằm trên biên của đơn hình gốc $ và &, là số các diện tốt thuộc phần trong của Š Vì biên của $ chứa các diện tốt chính là m_ diện co{H,„, , Ì của Š$ cũng là một m_ đơn hình, nên theo giả thiết quy nạp k, la số lẻ Số k, là sé chin vi mdi diện tốt thuộc phần trong là chung cho hai đơn hình con nên được tính hai lần Vậy k lẻ
Goi œ là số các diện tốt mà đỉnh cịn lại khơng được gán SỐ m+ 1 Vậy đỉnh đó sẽ được gán một trong các s6 0,1, ,m Vi vay (m + 1)_đơn hình con
chứa diện đó phải chứa 2 diện tốt Do đó ¡ là số chẵn Vì các số (m + 1)_đơn hình tốt bằng k—J nên &— phải là số lẻ
Bồ đề được chứng minh
Bồ đề 2.3.1 (Knaster — Kuratowski — Mazurkiewicz)
Cho đơn hình S=co{u,,, u,} trong R" va cdc tap hop dong
F,,F F, trong S thoả mãn điều kiện sau
với mọi tập hợp con Jc {0.1 n} Ta có: co {u, M= he UF (KKM)
iel
Khi đó (F, zø
i=0
Chứng minh
Trang 28
Lay mét dinh v bat ky ( ca mét đơn hình con) trong phép tam giác phân
đó, gọi co{u,:ie/} la điện nhỏ nhất của Š chứa v.Khi đó theo điều kiện
(KKM) ve|LJZ, Vậy tồn tai mel dé choveF_ Ta sé gan cho v số m đó và
ie
ký hiệu là v„ Vậy với méi h €{0,1, ,n} ta déu c6 v, € F, Dac biét, cdc dinh u, cua S$ déu phải thuộc #,¡ =0,I, Cách gán này cũng thoả mãn điều
kiện Sperner Vì vậy theo bố đề Sperner, phải có ít nhất một đơn hình con là tốt (được gán các số từ 0 đến n), ta có kí hiệu đó là _'=co{v,,v v, Ì Theo
nhận xét ở trên ta cd vi e#; với ¿=0,1, ,m
Ta thực hiện trong S$ phép tam giác phân bước hai, tức là tiếp tục chia nhỏ các đơn hình con đã có ở bước một sao cho các điều kiện của tam giác phân (trên Š) vẫn được bảo đảm Các đính mới xuất hiện vẫn được gán số theo cách đã nêu trong bước một, kết quả ta tìm được một đơn hình tơt mới,
về, „v2 } với vì €F,¡ =0,1, n ký hiệu là *=coly;,
Tiếp tục quá trình trên ta được một dãy đơn hình tốt { “tím =1,2, } với 2= colvg,VP sả } va v" €F,i=0,1, ,n
Day {ve} nằm trong tập hợp compac $ nên tồn tai day con {vy } hoi tu dén
THị
v, €F, do F, dong Day {y ‘} hội tụ đến v, 6#; do # đóng
Sau n+1 lan trích dãy con, ta được dãy con {vr} cua day {vr} hội tụ
đến y,cƑ, Vậy ta được dãy con các đơn hình tốt { mI cua day { "\ ma
mỗi dãy các đỉnh {v/" Ì hội tụ dén v, ef, 1=0,1, ,0
Trang 29
Có thể giả thiết limdiam ”+=0 (chỉ cần chọn phép tam giác phân thích
k-»=
hợp) Khi đó các dãy đỉnh {v" i =0,1, ,2 hdi tu về cùng một điểm, tức là
=v,= =v„ Ký hiệu điểm giới hạn chung đó là v, ta có y= (Ff
Vo 1
i=0
Bồ đề được chứng minh
Bồ đề trên được gọi là bô đề KKM Trước khi str dung b6 dé KKM dé chứng minh nguyên lý bất động Brouwer, ta cần nhắc lại một số kiến thức sau
Định nghĩa 2.3.2
Cho hai không gian tôpô X,Y Ánh xạ ƒ:X —>Y
Gia sir ƒ là một song ánh từ X lên Y,nếu ƒ và ƒˆ” liên tục thì ƒ là ánh
xạ đồng phôi hay phép đồng phôi
Hai không gian tôpô X và Y gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y
Mệnh đề 2.3.1
Gia st’ M là một tập hợp trong khơng gian tơpơ có tính chất sau: mọi ánh
xạ liên tục 7: M —> IM' đều có điểm bất động Nếu M' đồng phơi voi M
thì ˆ cũng có tính chất đó Chứng minh
Cho ø là phép đồng phôi từ M lên M va T :M —> M' là ánh xạ liên
tục Ta cần chứng minh 7” có điểm bắt động
Thật vậy, đặt T=ø 'Tø ta được 7:M ->M là ánh xạ liên tục, nên
theo giả thiết, tồn tại xe với 7x, =+x„ Khi đó ø(x,) là điểm bat động
của 7
Trang 30
Dinh nghia 2.3.2
Cho một đơn hình §=co{u,, t, } Khi đó mỗi điểm xe$ được
biểu diễn duy nhất dưới dạng x= 5 xịn, VỚI x, = 0,5" x, =1 Sau day ta sé
i=0 i=0
viết y= (%ạ.x 1„ và mỗi x, được gọi là toạ độ trọng tâm của x, nó cũng
biến đổi liên tục theo x
Định lý 2.3.1 (Nguyên lý điển bất động Brouwer)
Moi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị dong trong R” vào chính nó đều có
điểm bất động (ở đây ký hiệu là đường thang thực)
Chứng minh
Vì hình cầu đóng trong R#" đồng phôi với một ø_ đơn hình Š$ nên ta chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ liên tuc T:S > S sẽ có điểm bắt động trong S
n
Với mỗi xe$ ta có x= (xạ.x, 3, ) va y=Tx= (Yy.- ,)-
Voi méi i=0,1, , ta đặt F ={x eS:x, >»,} Do 7 liên tục nên các #
đều đóng Ta sẽ chứng minh các F thoả mãn điều kiện KKM
Lấy /C{0,1, m} và xeco{u,:iel]} Vậy với x¿=0 nếu ¿#1 va x, >0 néu ie/,va Y=(Vys Ypres) ) VỚI ÿ, >0, 9y, =1 "
¡=0
Để chứng minh xe UF ta can chứng minh ton tại i, el dé cho xe F „ tức là
iel
x, 2y, Gia su ngược lại rang x, <y,, voi moi ie/ Khi do ta gap mau thuan » iy ¡SỞ 0 é
Trang 31
Vậy điều kiện (KKM) được thoả mãn Theo bé dé KKM, ton tai x” ef) F
i=0 i
Khi đó ta có x, >y,, với ¡=0,1, m, trong đó các y, 1a toa độ trọng tâm của
*
y =Tx’
Vì 3x; =>`y, =1, các bất đẳng thức trên phải là đẳng thức, tức là x; = y;,
¡=0 ¡=0
với mọi ¡=0,1, ,m Vậy ta có x` =y” =TY' Nguyên lý được chứng minh
Chú ý :
Từ định lý Brouwer cũng có thể suy ra bố đề KKM, thành thử hai định ly
này thật ra tương đương nhau
Định lý Brouwer cũng có nội dung trực quan rất tự nhiên như sau: Giả sử có n doanh nghiệp cạnh tranh nhau trên một thị trường, và mỗi điểm xe$
biểu thị tình thế trong đó doanh nghiệp ¡ chiếm được một thị phần bằng Xị
Do cạnh tranh nên từ một tinh thé xe có thể dẫn tới tình thế mới ƒ(x)
Đương nhiên doanh nghiệp ¡ mong muốn chuyên đến một tình thế ƒ (x) voi
#(x)>x, Định ly Brouwer cho biết nếu ánh xạ ƒ liên tục thì bao giờ cũng
có một điểm + = ƒ(+'), nghĩa là một tình thế cân bằng mà không doanh
nghiệp nào muốn thay đổi để được lợi hơn Chính với ý nghĩa đó mà định lý bất động Brouwer (cùng với các mở rộng của nó) là cơng cụ xây dựng các lý
Trang 32
2.3.2 Bé dé phan hoach don vi
Dinh ly Brouwer được phát biểu cho ánh xạ đơn trị Để mở rộng nó cho
ánh xạ đa trị ta đựa vào bỗ đề sau „ gọi là bé dé “ phân hoạch đơn vị””
Bỗ đề 2.3.2
Cho một tap compac C trong một không gian metric X và một số hữu hạn tap mo G,,G,, ,G,, phu C Bao gid cũng có những hàm sé lién tuc
e:X> [0,1] (i =1, ,:m) sao cho
1) e(x)=0 ở ngoài G,
2)6, (x)+e, (x)+ +e„ (x)=1 voi moi x EC
Ching minh
Trước hết ta nhận xét rằng nếu “,E; là hai tập đóng rời nhau trong không
gian metric X thì có một hàm số liên tục e,:X —>[0.1] bằng 0 trên # và
bằng | trén F,, d6 1a
p(x.F)
ph )+p (sh)
(trong đó p(x,M) là khoảng cách từ x đến 4, tức là số inf ø(x.y)) Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo mú
Nếu m=2 thi dat F=C\G,R=C\G,, và lấy e(x) như trên,
e,(x)=1—e, (x) ta sẽ có được những hàm số đòi hỏi Giả sử bố đề đã được
chứng minh cho trường hợp z—l tập mở phủ C, và xét trường hợp có z tập
nhu thé G,,G,, G,, Tap F =C\G, compac (vi la tap con dong cua C) va
được phủ bởi —I tập mở Ớ,, ,Ớ m-1? cho nên theo giả thiết quy nạp, có
những hàm liên tục h,:X [0,1] sao cho h, (x)=0 ở ngoài G, va
Trang 33
h,(x)+ +h, ,(«)=1 trén F,mặt khác, hai tập đóng # va F =C\U"'G,
rời nhau, cho nên có một hàm số liên tục #: X —> [0,1] bang 0 trên # và bằng 1 trên Các hàm liên tục
€, (x) =h, (x).A (x) (i =1, ,m—1)
e, (x)= l-e, (x)- -e,., (x), đáp ứng yêu cầu nêu ra trong bố đề
Bồ đề được chứng minh
Cac ham e, (3) „ (x) như trên gọi là một phân hoạch đơn vị ứng với phủ mở Ớ, ,Ớ,, của Œ
Dựa vào bổ đề 2.3.2 có thể suy ra đễ dàng hệ quả sau đây của định lý
Brouwer
Hệ quả 2.3.2
"
Mọi ánh xạ liên tục ƒ:C —>C từ một tập lồi compac Cc vào chính
nó đều có một điểm bất động x` = f(x" )
Chứng minh
Bằng cách tịnh tiến và thay (nếu cần) ” bằng không gian nhỏ nhất chứa C, có thể cho rằng C có một điểm trong z và C nằm trong phần trong của
một đơn hình Š Với mỗi k =1,2, , cho C, = {x eC: p(x,S\C)21 kt
Hai tập mở intC (phần trong của C) và S\C, phủ S$, cho nén theo trén, cd
một ham lién tuc e, :S > [0,1] sao cho e, (x)=1 trén C, va bang 0 ở ngoài
Œ.Đặt ø, (x) =e, (x)f(x)+(1 —Œ (x))a ta có một ánh xạ liên tục từ Š vào
Trang 34
O<e, (x) <1,ta có thể thay (nếu cần) các dãy bằng dãy con thích hợp để có
X >X, (x,)> œ.Nếu với một & nào đó e, (x,)=1 thi x, =f (x,) la
điểm bất động Vậy có thể coi như e (x,)<1 với mọi k Khi ấy p(x,.S\C)<1/k>0, cho nén p(x",S\C)=0, tite 1a x" 1 một điểm biên
cla C Ma x =af(x')+(I-a)a
Theo tính chất của tập lồi, chí có thé ø =1, tức là x” = f(x’) 2.3.3 Dinh ly Kakutani
Dinh nghia 2.3.3.1
Một ánh xạ đa trị ƒ:C —>2” từ một tập C trong không gian định chuẩn
X vào một không gian định chuẩn Y, gọi là đóng, nếu đồ thị của nó
Í(x.): x+eŒ,yc f(x)
là tập đóng trong không gian X xY, hay nói cách khác, từ x, —> x,y, > y va y,€ F(x,) luôn lu6n suy ra ye f (x)
Dinh ly 2.3.3.1 (Heine-Borel)
M6t tap M 1a compac khi va chỉ khi mọi họ tập mở {G._,} pha lén M:
U,G 1M, đều có chứa một họ con hữu hạn: G,, „Ở„ , Ở, ay vẫn phủ được
M:\J".G,>M
Trang 35
Dinh ly 2.3.3.2
Cho một tập 16i compac Cc", va mét anh xa da tri dong f:C > 2° tir
n
C vao mét tap compac Dc ", sao cho voi moi xEC, f(x) la tap lỗi
compac không rỗng Khi ấy có x` eC và y` e f(x’) nghiệm đúng
(vx eC) (x-x.y)>0 (1)
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh có một x` eC để cho
(vx eC) (ave s(x’)) (x-x.y)>0 (2)
Giả sử trái lại, tức là
(vx EC) (3ue€)(Vye ƒ(x)) (u—=x.y)<0 @)
Với mỗi ¡e(C đặt
G(u) = {x E C:(u-x,y) <0Vye f(x)}
Nếu xeC thì theo (3) phải có ít nhất một weC sao cho xeG(u) Vay họ
các G(u).ueC, phủ C Dễ thấy các G(u) đều là tập mo trong C.That vay
nếu x,e C\G(u) và x, => x(v ->s) thì với mỗi y có một y,eƒ(x,)
nghiệm đúng (u-x,,y,)2 0, và do D compac ta có thê thay (nếu cần) các dãy bằng dãy con thích hợp để có 9y —y khi ấy, chú ý rằng ƒ đóng, ta có
ye f(x) va (u-x,y)20, chimg to xeC\G(u)
Trang 36
g(x)= de, (x)u,
isl
Vi C lồi nên g(x)C, tức là ø:C —> C Mặt khác ánh xạ ø liên tục, cho nên theo hệ quả 2.3.2 phải có một x= g(x) Nhưng với mọi xeC và mọi
ve/(s): (ø)=xy)=Ư.e (6) =xở):
Trong đó 3 biểu thị tổng lấy theo các j nào mà e(x)>0, tức là xeG(w,)
(do đó (u,—x.y)<0) Ta có Д ø(x)=1, vậy (g(x)—+x.y)<0: điều này
đưa đến mâu thuẫn khi lấy x = x (theo giả thiết ƒ (x) đ voi moi x) Vậy ta phải có (2)
Bây giờ ta dat, voi mdi x EC:
D(x)= {y </(x'):(x-xy)< 0}
Để hoàn thành việc chứng minh định lý ta chỉ còn phải vạch rõ ràng có ít nhất một điểm y` của f(x’) không thuộc một D(x ) nao ca
Giả sử trái lại, các D(+x), x eC,phủ lên tập ƒ(x') Vì mỗi D(x) hién nhiên là một tập mở, mà ƒ (x) compac nên theo tính chất Heine-Borel, phải
có một số hữu hạn các D(x), chang han D(x,),D(x,) genes D(x,,) vẫn phủ f(x’) Ta khang dinh c6 mt 6 ¢ > 0 đủ nhỏ đề cho hệ bắt đẳng thức
(x, -x°,y)+¢20 (i=1,2, m) (4)
khơng có nghiệm trong ƒ(x`).Thật vậy, nếu trái lai ta sé co mot day y, €ƒ(x')(k= 12 ) sao cho (x,— x`,y, + ø, >0 = 1,2, m)
Trang 37
với ø¿ J 0(k —> œ)
Vì f(x" ) compac ta có thé lay mot day con để có YPM E f(x" )
Hiển nhiên(x, x”,yụ ) > 0(¡ = l,2, m)
nghĩa là yạ không thuộc cdc D(x, ) (i=1,2, ,22) (Mau thuẫn với trên)
Vậy với e>0 đủ nhỏ hệ khơng có nghiệm trong tập lồi ƒ (x) Theo định lý vé bat dang thức không tương thích, phải có những số thực “He O(i = 1, ,m) sao cho ø= Ð_ /, >0 và
i=l
(vy € f(x’) Dalle, -x,y)+e]20
i=l
Đặt ø, = / /ø ta có xụ =>, ax eC va
(vy e f(x’) (x, -x',y) <0 Mâu thuẫn với trên , vậy điều giả sử là sai
Định lý được chứng minh
Dinh ly 2.3.3.3 (Kakutani)
Cho một tập lồi compac Cc " va mot anh xa da tri dong f:C > 2° tir
C vao chinh nó, sao cho với mọi xe C.f (x) la tap lồi, compac, không rỗng
Trang 38
Chứng minh
Áp dụng định lý trước cho ánh xạ F(x) =x— f(x) ( ở đây C compac dé
thấy D cũng compac) ta được một điểm x` eC và một y” e ƒ (x) sao cho
(vx eC) (xxx -y')20
Lay x=y" eC tasuyra (v —xx -y’) >0 Từ đó x' =y” </(x)
Định lý được chứng minh
Ta thấy định lý Brouwer là trường hợp riêng của định lý Kakutani, khi
f ja anh xa don tri
2.3.4 Điểm bất động trong không gian định chuẩn
Các kết quả trên có thê mở rộng vào không gian định chuẩn Định lý 2.3.4.1 (Ky Fan)
Cho một tập lỗi compac C trong một không gian định chuẩn X, và một ánh
xạ đa tri dong f :C > 2° tir C vao chính nó sao cho với mọi xeC, ƒ(x) là tập lồi compac, không rỗng Khi ấy tồn tai x" €C sao cho x" ef (x):
Chứng minh
Xét một hình cầu mở W, tâm ở gốc ,và có bán kính bằng 1/z Họ các tập mở x+W phủ Œ, mà C compac nên có một số hữu hạn tập ấy vẫn phủ
C:x,+W.,¡=1, n Gọi S la bao lồi của các Xs dt, VÀ F:S—+2° 1a anh
xa xac dinh boi
F(x)=(f(x)+W,)os
Trang 39
Với mỗi xe$ có ít nhất một y ef(x)cC va với y này lại có một x, sao
cho yex,—W, tức là x¿ey+W(vì W=-W.), mà hiển nhiên x;eS nên
x,€ F(x)
Vay F(x) ø Cũng rõ ràng F(x) lồi vì là giao của hai tập lồi ƒ(x)+W, và
S
Ta kiểm tra lại F 1a 4nh xa dong
Giả sử x, > x,y, >y.y, € F(x,) Taco y, =z, +u, Voi Z,€ f(x, ).u, e W
Vì {z ke C ma C compac nén co mét day con z,, > 2EC, và do ƒ là ánh xạ đóng nên ze ƒ(x) Mặt khác, H, =ÿ, —2, =*ÿ—Z7, Tà Ww dong nén
y-zeW, do đó yez+W.cƒf(x)+W,, tức là yeF(x) vi hién nhién y eS Vay F là ánh xạ đóng
Theo định lý Kakutani phải có x, sao cho x, € f(x, )+W, tức là có một y, ef (x,) sao cho y, €x, +W Vi {x, r= 1,2, } C C compac nên có một day con x, > x° €C (s > +00) Khi ay y, ox, va do ƒ đóng ta phải có
xe f(x’)
Hé qua 2.3.4.2 (Schauder)
Một ánh xạ liên tục ƒ:C —>C từ một tập lồi compac C trong một không gian định chuân vào chính nó bao giờ cũng có một điểm bất động x” = ƒ (x" )
Trang 40
KET LUAN
Trên đây là toàn bộ nội dung của khoá luận “ Lý thuyết điểm bất động
cua anh xa da trị ” Nội dung cơ bản của khoá luận gồm 2 chương:
Chương 1:
Nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm về một số không gian, tập
hợp và một số định nghĩa về ánh xạ dùng cho chương 2
Chương 2:
Nội dung chủ yếu bao gồm: định lý Caristi về điểm bất động của ánh xạ đa trị; định lý Nadler về điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co; ngun lý điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó
Đề hồn thành khố luận này, mặc dù bản thân có nhiều cố gắng song do kiến thức còn hạn chế hơn nữa đây là một vấn đề khó của giải tích hàm nên khố luận khơng tránh được những thiếu sót Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn đề khố luận được hồn thiện hơn
Em xin chân thành cảm ơn