LỜI CẢM ƠN
Bản khoỏ luận này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của thõy Nguyễn Văn Hựng Em xin bày tỏ lũng biết ơn sự chỉ bảo hướng dẫn tận tỡnh và
nghiờm khắc để em cú thể hoàn thành khoỏ luận này
Trong quỏ trỡnh học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khoỏ luận, em nhận được sự dạy dỗ õn cần, những lời động viờn và chỉ bảo của cỏc thầy cụ Qua đõy cho phộp em được bày tỏ lũng biết ơn chõn thành tới cỏc thầy cụ trong tổ Giải tớch, khoa toỏn trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2
Em xin chõn thành cảm ơn !
Hà Nội, thỏng 05 năm 2010
Sinh viờn
Trang 2
MỤC LỤC
07981009637 3
1.Lý do chọn đề tài . 2s 2s 2 2E 2211221102112 erre 3
2 Mục đớch nghiờn CỨU - + + tk ng ri, 2
3 Nhiệm vụ nghiờn CỨU - + ôs1 2 vn nh re 3
4 Cấu trỳc khúa luận -cc+++c+++eeerrttttrrkkrrrrrtrrrrrrrree 3
PHẢN 2: NỘI DUNG CHÍNH c- sâ t+Ek‡EEeEESEEEEEEEEvEkerkerrrsrxerke 4 CHUONG 1 KIEN THUC CHUẨN BỊ, -2 -22222222222222171220 ee 4
I9 0i 20 2 a.iIiAa A
1.2 TOPG trong khOng gian MECtric oe ee ee eeeeteeeeeeeeesececeeaeeeeeeeeeeeeeeees 7
1.3 Anh xa li6nn tuc c.seeccecsecscsssssessesscssessssssssssssucsvesscsesansussucsucsecansassusaveavease 8
1.4 Khụng gian metric day Gt ecceecceceesseessesssesssesssesssesssesssesssesssesssessees 8 1.5 Tập hợp compact và bị chặn ¿s5 xxx sksrsrrrkrererree 9 1.6 Khụng gian định chuẩn khụng gian Banach -:+ 9
c0 12
1.8 Khụng gian định chuẩn hữu hạn chiều: - 52552 cez+ce2 16
CHUONG 2: CÁC ĐỊNH LY VE DIEM BÁT ĐỘNG .- 17
2.1 Nguyờn lý ỏnh xa co banach s5 xxx sesrsersreererree 17 2.2 Định lý điểm bất động BrouWer 2-2 25c ccccrkecrxerverrreerree 23
2.3 Định lý điểm bất động Schauder 2-2+â5z+ccxz+cxseccsecee 26
CHUONG 3: MOT SO AP DUNG CUA DINH LY DIEM BAT DONG 32
3.1 Áp dụng vào phương trỡnh vi phõn thường . -.-:-+ 32 3.2 Áp dụng vào phương trỡnh tớch phõn 2- 2 2âsz+cee+e+ 39
KẾT LUẬN -cccccccrrrrrrvee 42 UV 100I290)2/)/804 621 43
Trang 3
PHẢN 1: MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài
Trong khi giải quyết cỏc bài toỏn khỏc nhau của khoa học kĩ thuật dẫn đến việc nghiờn cứu vấn đẻ
Cho X là một khụng gian nào đú và A: Ä⁄ —> X là ỏnh xạ từ tập M c X vào chớnh nú, xột phương trỡnh phi tuyến Ax= x,xeM Điểm xe M thỏa món phương trỡnh Ax = x được gọi là điểm bất động của ỏnh xạ A trờn tập M
Việc giải quyết bài toỏn trờn dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiờn cứu trong toỏn học, đú là lớ thuyết chiến bất động của ỏnh xạ
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của tớch hàm phi tuyến Ngay từ đầu thế ký 20, cỏc nhà toỏn học trờn thế giới quan tõm vộ van dộ nay va cho tới nay, cú thờ khẳng định rằng, lý thuyết điểm bất động đó được phỏt triển hết sức sõu rộng, trở thành cụng cụ khụng thể thiếu được để giải quyết nhiều bài toỏn khỏc nhau do thực tế đề ra Sự phỏt triển của lĩnh vực này gắn liền với tờn tuổi của cỏc nhà toỏn học lớn trờn thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder, conebel,
Nhưng kết quả kinh điển và đầu tiờn của lý thuyết về điểm bất động
như: nguyờn lý ỏnh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý
điểm bat động Schauder đó được ỏp dụng vào ngành toỏn học hiện đại như:
phương trỡnh vi phõn, giải tớch hàm, giải tớch đại số Với cỏc lớ do đú, em đó chọn đề tài:
“Lý thuyết điểm bắt động”
2 Mục đớch nghiờn cứu
Bước đầu làm quen với cụng tỏc nghiờn cứu khoa học và thực hiện
Trang 43 Nhiệm vụ nghiờn cứu
Nghiờn cứu một số định lý điểm bắt động trong khụng gian Banach và khụng gian định chuẩn hữu hạn chiều
Nghiờn cứu việc ỏp dụng cỏc định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trỡnh tớch phõn và phương trỡnh vi phõn thường
4 Cấu trỳc của khoỏ luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chớnh của khoỏ luận gồm 3 chương
Chương 1: Nờu một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3
Chương 2: Nờu nguyờn lý ỏnh xạ co Banach, định lý điểm bất động Schauder, chứng minh định lý, cỏc vớ dụ ỏp dụng
Chương 3: Áp dụng cỏc định lý điểm bất động vào việc giải phương trỡnh tớch phõn và phương trỡnh vi phõn thường
Trang 5
PHAN 2: NỘI DUNG CHÍNH
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này cú mục đớch xỏc định một số kớ hiệu, nhắc lại một số lý thuyết của giải tớch hàm về một số khụng gian, tập hợp được sử dụng cỏc chương sau
1.1 Khụng gian metric Dinh nghia 1.1.1
Ta gọi là một khụng gian metric một tập hợp X# ẩ cựng với một ỏnh xạ
d từ tớch Descartes X x X vào tập số thực [R thỏa món cỏc điều kiện sau:
i) (vx.y e X)d(x.y) > 0,d(x, y) =0x=y (tiờn đề đồng nhất)
Ă0 (Vx,yeX)4(x y)= 4(y,x) (tiờn đề đối xứng)
ii) (Vx.y,z X)d(x,y)<4(x.z)+ 4(z y) (tiờn đề tam giỏc)
Ánh xạ d được gọi là metric trờn X, số d(x,y) được gọi là khoảng cỏch giữa cỏc phần tử x và y, cỏc phần tử của X gọi là cỏc điểm
Kớ hiệu khụng gian metric là cặp : (X.d)
Vidu 1.1.1:
Khụng gian vộcto thuc n chiộu R" gdm cỏc vộc to dang
x=(A,x; x„)(@Ă e[ẹ) với khoảng cỏch đ(x,y)=,|`(x,— y,) là khụng
i=l
gian metric That vay:
i) Vx,ye ",tacộ d(x,y)= S(x—y,j}Ÿ >0
isl
đ(x,y) =0 â (x- yj = 0 tương đương x; = yi, (V i= Ln), (y=O")
Trang 6suyra đ(+,y)=d(3.x)
(Tiờn đề ii được thỏa món)
iii) Vx, y, z elR” ;z= (s}) i=l
Ta c6: d(x,y)= Xi} =(ŠG~s+s—x}
Ta phải chứng minh
Joo -3+3-y,) “lu -2) “XG -yy @ i=l
That vay:
Bunhiacụpxki Suy ra (1) đỳng
Vậy d(x.y)<4(x,z)+4(s.,y) (Tiờn đề iii) được thỏa món)
Vay (R", d) 1a kh6ng gian metric
Trang 7
Định nghĩa 1.1.2
Cho khộng gian metric M = (X, d), dóy điểm (x,) cX, diộm x, eX Day (x, ) được gọi là hội tụ tới điểm x„ trong khụng gian M khi
n—>œ, nếu (Ve> 0)(3n, e N'\(vn >nạ)d(x„.xạ)< Ê kớ hiệu:
limx, =X, hay x, > x(n >0)
Diộm X,) con goi 1a gidi han day (x, ) trong khộng gian M 1.2.Tụ Pụ trong khụng gian metric
Định nghĩa 1.2 1:
Cho khụng gian metric M = (X, d),a eX, số thực r>0 Ta gọi
Tap S(a, r) = {x €X; d(x, a) < r} là hỡnh cầu mở tõm a, bỏn kớnh r
Tập S'(a,r)={xe X:4(+.4)<r} là hỡnh cầu đúng tõm a, bỏn kớnh r
Định nghĩa 1.2.2:
Cho khụng gian metric M =(X.4) và tập Ac X Tập A gọi là tập mở trong khụng gian M, nếu điểm thuộc A là điểm trong của A hay núi cỏch
khỏc, nếu điểm xe A, thi tồn tại một lõn cận của x bao hàm trong A
Tập A gọi là tập đúng trong khụng gian M nếu mọi điểm khụng thuộc
A đều là điểm ngoài của A, hay núi cỏch khỏc, nếu điểm x  A thi tộn tai một lõn cận của điểm x khụng chứa điểm nào thuộc tập A
Qui ước: ỉ,X đều là tập đúng Định lý 1.2.1:
Cho khụng gian Mĩ =(X,d), tap AC X va AƠÂ Tap A dong trong
khụng gian M khi và chi khi moi day diộm (x,)C A hdi tu toi điểm x thi
Trang 8Định lý 1.2.2
Trong khụng gian metric (X Jd ) , hỡnh cầu đúng là một tậo hợp đúng
Định lý 1.2.3: Cho (X,d) là một khụng gian metric thỡ:
1) A, dong trong X,a@eJ thi () A, dong trong X ael
2) A.A, A, đúng trong X thỡ UA dong trong X
1.3 Ánh xạ liờn tục
Cho 2 khụng gian metric M; = (X, d;), M> = (Y, d>) , anh xa f tt khong
gian M, lộn khộng gian M,
Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ f gọi là liờn tục tại xạeX, nếu
Ve>0,3ð>0 sao cho Vxe X :d,(x,x,)<6 thi d,( f(x), (4))<Ê
Dinh nghia 1.3.2: Ánh xạ f gọi là liờn tục trờn Ac X, nếu ỏnh xạ f liờn tục tại mọi điểm thuộc tập A, khi A=X thỡ ỏnh xạ f gọi là liờn tục
Định nghĩa 1.3.3: Ánh xạ f được gọi là liờn tục đều trờn tập AcX
nếu: Ve >0,46 >0 sao cho Vx,x'€A:d,(x,x')<6 thi d,(f (x), f(x'))<ộ
1.4 Khụng gian metric đầy đủ
Định nghĩa 1.4.1: Cho khụng gian metric M = (X ,„d ) Dóy điểm
(x,) CX gọi là dóy cơ bản trong M nộu
(Ve >0)(An, € N°)\(Vm.n >mạ) thỡ d(x„,x,)<Ê
Hay
lim d(x,%, ) =0
Từ đõy, ta suy ra mọi dóy điểm (x,)c X hội tụ trong M đều là dóy cơ
bản
Trang 9
Định nghĩa 1.4.2: Khụng gian Metric M =(X ,d ) gọi là khụng gian đầy đủ nếu mọi dóy cơ bản trong khụng gian này đều hội tụ
1.5 Tập hợp compact và bị chặn
Định nghĩa 1.5.1: Tập hợp K trong khụng gian metric X gọi là compat nếu mọi dóy điểm {x„} trong K đều cú một dóy con { +„ } hội tụ đến một điểm
thuộc K
Định lý 1.5.1.(Định lý về ỏnh xạ liờn tục trờn compact)
Cho 2 khộng gian metric M, =(X,d,),M,(X,d,) va ỏnh xạ f ỏnh xạ
M, vao M, Nếu ỏnh xạ liờn tục trờn tập compact K =X thỡ
1.f liờn tục đều trờn K
2 f(K) là tập compact trong khụng gian Ä⁄; Định nghĩa 1.5.2:
Cho A là một tậo hợp tựy ý trong một khụng gian metric X
Số ổ(A) = Đupd(x y)
x,yeA
Được gọi là đường kớnh của tập A, nú cú thể là số hữu hạn hay vụ hạn
Nếu đ(A) <œ thỡ A được gọi là một tập hợp bị chặn Từ định nghĩa ta cú điều sau:
a) Dộ tap A là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hỡnh cầu Š(xạ,R)
chứa A
b) Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn và một tập hợp bị chặn 1.6 Khụng gian định chuẩn khụng gian Banach
Định nghĩa 1.6.1
Trang 10(x.y)>x+ÿ; x,y€X
Phộp nhõn vụ hướng xỏc định trờn K x X và lấy giỏ trị trong X:
(A, x) —Âx;Â eK,xeX
Coi là một khụng gian tuyến tớnh (hoặc khụng gian vectơ) nếu cỏc điều
kiện sau đõy được thỏa món
1) X cựng với phộp cộng là một nhúm Abel, tức là:
a, x+y=y+x,Vx,yeX
b,(x+y)+z=x+(y+z);Vx, y,se X
c,Tồn tại một phần tr @ cua X sao cho: x+O0=x, % EX
d,Với mỗi xe X, tồn tại phần tử (-x) cua x sao cho x+(—x) =0
2) Â(x+y)=Âx+Ây;Vx,yeX,VẬe6K
3) (4+)x=Âx+ux;Vxe X:VÂ,ueK 4) (4¿)x=A(u+):Vx cX;VẬ,ueK 5) lx=x;VxeX
Định nghĩa 1.6.2:
Ta gọi khụng gian định chuẩn (hay khụng gian tuyến tớnh định chuẩn) mọi khụng gian tuyến tớnh X cựng với một ỏnh xạ từ X vào tập hợp số thực
R, thường kớ hiệu là II.lI đọc là chuẩn, thỏa món cỏc điều kiện:
ĐVới VxeX, ta cú lIxll>0 và lIxll=0<âx=ỉ (kớ hiệu phần tử khụng là ỉ)
iDVới VxeX va voi VA ER, taco: |4A||=|^|èx iiD Với vx, ye X,ta cú: |x+ y||<||+ ||
số IIxIl gọi là chuẩn của phan tir x kớ hiệu khụng gian định chuẩn là (x ›
Trang 11
Định lý 1.6.1: Cho khụng gian định chuõn X Đối với 2 vecto bat ki u,v e X
Ta đặt: d(u,v) = lu — v|
khi đú d là một metric trờn X
chứng minh:
(1) d(u,v) = |u —v| > 0(Vu,v € X) do tiộn dộ (i) d(u,v)=0<|u-v|=0au =y
@) đ(wv)=|t =v|=|(C1)(y—w)|=|-Hy -ul =|ằ -ul =d(v.0)(WaveX)
(3) (Vu.v,w € X); d(u,w) = lu - w| = lỆ —v) +(v — w)| < | — v| + ly — w| =d(u,v)+d(v,w)
Nhờ định lý 1.6.1, mọi khụng gian định chuẩn đều cú thể trở thành
khụng gian metric với metric (1.6.1) Do đú mọi khỏi niệm, mệnh đờ đó đỳng trong khụng gian metric đều đỳng trong khụng gian định chuẩn
Định nghĩa 1.6.3: Dóy điểm („) trong khụng gian định chuẩn X gọi là một
day Cauchy (day co ban) nộu:
(Ve>0)( Ao EN) (Vm,n >nạ) |lu„ T— uạè| < Ê
Hay 1a:
lim ll, —U,, | =0
Định nghĩa 1.6.4: Khụng gian định chuẩn X được gọi là khụng gian Banach nếu mọi dóy Cauchy trong X đều hội tụ
Nhận xột 1.6.4:
#Trong khụng gian Banach, một dóy là hội tụ nếu nú là dóy Cauchy *Khụng gian Banach cũng là một khụng gian định chuẩn đầy
Định nghĩa 1.6.5 (Tớnh liờn tục)
Trang 12* Todn tr A:M c X —>Y được gọi là liờn tục theo dóy điểm nếu với mỗi dóy
(u„)C M.n =1,2, sao cho:
limu, =u voi ueM
no
Suy ra: lim Au, = Au
nw
* Toỏn tu A gọi là liờn tục nộu Vu,veM va mọi Ê >0 cho trước, cú một sộ
>0, sao cho ||u — v| <6 thi Au — Arl <Ê hoặc với
VueM,limAv= vo Au
Hơn nữa, cú thể chọn số ở >0 trong trường hợp này sao cho kết quả
khụng phụ thuộc vào điểm w e}⁄ thỡ khi đú toỏn tử A được gọi là liờn tục đều
trờn M
1.7 Tớnh lồi
1.7.1 Định nghĩa và tớnh chất
Định nghĩa 1.7.1:
Giả sử X là một khụng gian tuyến tớnh, [R là tập cỏc số thực Tập
AcX được gọi là lồi nếu:
tXy,x;¿ 6A, VÀ: 0<Ä4<Il xi +(I— Â)x EA Vớ dụ 1.7.1: Hỡnh cầu đơn vị trong khụng gian Banach là tập lồi
Mệnh đề 1.7.1
Giả sử A„ e X (ứ e ]) là cỏc tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ Khi đú
A=fỡ4A, cũng lồi
ael
Chứng minh:
Lay x,,x,€A khido x,,x, eA, (Vael)
Voi Vael,do A, 116i nộn:
Ax; + (1—A)x2 € Ag (Va El)
Trang 13
=>Ax,+(1-A)x,€A
Mộnh dộ 1.7.2: Gia str tap A CX AE R (i =/, 2, ., m) Khi do:
AA +A A, + +/,A, 1a tap 16i
Mệnh đề 1.7.3: Giả sử X, Y là cỏc khụng gian tuyến tớnh, 7: X —>Y là toỏn tử tuyến tớnh, khi đú
4) AcX lỗi suy ra T(A) lồi
b) BcY lỗi suy ra nghịch ảnh 7 (B) của ảnh B là tập lồi Định nghĩa 1.7.2
Vộctơ xe X được gọi là tố hợp lồi của vectơ x„,x„, x„X Nếu tồn
m m
tại Â,> 0(Ă = 1,2, m) ` Â, =] sao cho x= Ax,
i=l isl
Dinh lý 1.7.1: Gia st Ac X lồi, XĂ,3;., X„ € A.Khi đú A chứa tất cả cỏc tổ
hợp lồi của X;X;, X„,
1.7.2 Bao lồi và bao đúng
Định nghĩa 1.7.3: Giả sử tập A â X, giao của tất cả cỏc tổ hợp chứa A được
gọi là bao lỗi của tập A và kớ hiệu là CoA
Nhận xột 1.7.2
a) CoA là một tập lỗi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A b) A lỗi CoA=A
Định nghĩa 1.7.4 Giả str tap Ac X, giao của tất cả cỏc tập lồi, đúng chứa A
được gọi là bao lồi đúng của tập A và kớ hiệu là CoA Nhận xột 1.7.3:
CoA 1a một tập đúng, đú là tập đúng nhỏ nhất chứa A
Định nghĩa 1.7.5:
Trang 14spanM: khụng gian con tuyến tớnh nhỏ nhất chứa M 1.7.3.Liờn tục trờn tập compact
Mệnh đề 1.7.3: Cho M —> [R là một hàm liờn tục trờn tập compact khỏc rỗng M của khụng gian định chuẩn X Khi đú f đạt giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị
lớn nhất trờn M
Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là cỏc khụng gian định chuẩn trờn cựng trường K, và cho A:A cX ->Y là toỏn tử tuyến tớnh liờn tục trờn tập compact khỏc rỗng M của X, khi đú A là liờn tục đều trờn M
Định nghĩa 1.7.6 (Ton tir compact) Cho X,Y 1a cdc khụng gian định chuõn trờn trường K Toỏn tử A:⁄ c X ->Y được gọi là compact nếu:
()A liờn tục
đi)QA biến cỏc tập bị chặn thành cỏc tập compact tương đối Hay là nếu
(u„).n =1.2, 1a day bị chặn trong M thỡ cú một dóy con (w„.),nứ'=1,2, của
(u„) sao cho dóy ( Au„.) hội tụ trong Y
Vớ dụ 1.7.5 Xột toỏn tử tớch phõn b
Au(x) =| F(x,y,u(y))dy, Vx E [a,b] —0<a<b<o Dat:
Q = {(x, y,u) € R’: x,y € [a,b], lu| <r, r > 0), r: cỗ định
Gia st rang, ham s6 F: QR liờn tục Tập X = C[a,b] va M ={weX :|u|<r}
Khi đú, toỏn tử A:M — X 1a compact
Thật vậy:
Theo mệnh đề (1.7.4), hàm F liờn tục đều trờn tập compact Q Chứng tỏ
`Ve>0, cú một số ổ >0 sao cho
Trang 15
|F(x,y,u)-F(z.y.v)|<ộ (1.7.5)
Với W{x, y, w), (z, y, v) ceQ với |x—z|+|„—v|<ổ
+) Trước hết, ta cú toỏn tử A:⁄ —> X là liờn tục
T.V: Nộu weM thỡ hàm số w: [a,b] > R: liộn tye va |u(y)|<rvy e[a,b]
Suy raham Au: [a,b] — R liộn tuc Cho u,veM Khi d6 u(y)—v(y)| <ổ
|u ~v|= max a<Sx<b
Chứng tỏ
|Aw — Av||= max
asxsb [LFy.u() — F(xy.0(y))av] <(b-a)e
Suy ra A:M —>X liờn tục
+) Chứng minh A compact Tức là giả sử M bị chặn ta phải chứng minh
A(M) là tập compact tương đối
Ta thay, cdc gia thiết của định lý Arzela-Ascoli thỏa món tức là
1) ACM) bi chan
2) A(M) đồng liờn tục
*) Thật vậy chứng minh (1)
Dat M = max F(x, y,u) (x.yweQ „ khi đú Vụ c MT, Al = max
asxsb [[#(xằ(9))ằ < (b -a)M
*) Chứng minh (2), cho |x— z|< ổ và x,z [a,b] Khi đú theo (1.7.5) ta cú:
(4s)(s)~(45)(2)|<[èF(x.xe(s))=Fs.va(9))la
<(b—a)e,Vu eM
Trang 16Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xắp xỉ đối với cỏc toỏn tử compact)
Cho A:M <X —>Y là một toỏn tử compact, ở đõy X, Y là cỏc khụng gian
Banach trờn trường k, và M là tập con bị chặn, khỏc rỗng của X Khi đú, với
mọi 7= l,2, ,, cú một dóy toỏn tử liờn tục A,:Ä⁄ —>Ÿ sao cho
Sup|Au —A| <* va dim (Span A,(M)) <œ
Cũng như
A,(M)<CoA(M )
1.8 Khụng gian định chuẩn hữu hạn chiều: Địng nghĩa 1.8.1
Cho X là khụng gian định chuẩn N- Chiều trờn trường K,N=1,2, ,m
Một cơ sở {e y} của X ta hiểu là tập hợp cỏc phần tử €Ă, đy, Của X sao
cho VueX đều cú thể biểu diễn được dưới dạng
U=Qe,+ + Ayey
Với ứ,, +„, , xỏc định duy nhất bởi u Cỏc số đ, œ„, được gọi là
cỏc phần tử của u
Mệnh đề 1.8.1
Cho ( u,) là một dóy trong khụng gian định chuẩn hữu hạn chiều X
dimX>0, khi do, u, >u trong X khi noo, nộu va chi nộu dóy cỏc thành phần tương ứng (Với một cơ sở cố định) hội tụ đến cỏc tọa độ tương ứng của
u trong X
Hệ quả 1.8.1: Mỗi khụng gian định chuẩn hữu hạn chiều là một khụng gian Banach
Hệ qủa 1.8.2: Cho M là một tập con của khụng gian định chuẩn hữu hạn
chiều X, khi đú:
1) M là compact tương đối nếu và chỉ nếu nú bị chặn
Trang 17
2) M là compact nếu và chỉ nếu nú bị chặn và đúng
Mệnh đề 1.8.2:
Cho M là tập con khỏc rỗng, lồi và bị chặn, đúng của khụng gian định
chuẩn X, ở đõy M cú một điểm trong, khi đú M đồng phụi với hỡnh cầu
B=|ueX : |u| <1}
Mộnh dộ 1.8.3
Cho M là tập khỏc rỗng, lồi, compact của khụng gian định chuẩn hữu hạn chiều X Khi đú, M đồng phụi với cỏc N- đơn hỡnh và trong X,N = 1,2 (ẹ - đơn hỡnh trong X được định nghĩa ở chương sau)
CHƯƠNG 2: CÁC BINH LY VE DIEM BAT ĐỘNG
2.1 Nguyộn ly anh xa co banach
Dinh nghia 2.1.1 (dinh nghia anh xa co)
Giả sử X và Y là hai khụng gian metric tựy ý, ỏnh xạ ƒ: X > Y duoc gọi là ỏnh xạ co nếu 3 một số @ €[0,1) sao cho Vx,.x, EX ta đều cú
d( f(x) f(%))< ad (x,.x,)
Hiển nhiờn, một ỏnh xa co là liờn tục đều
Định lý 2.1.1 (Nguyờn lý ỏnh xạ co Banach)
Giả sử X là một khụng gian metric đẩy đủ và A:X —>ằX là một ỏnh xạ
co của X vào chớnh nú Khi đú, ton tại một và chỉ một điểm xeX sao cho
Ax=x
Chứng minh:
*) Vi A là ỏnh xạ co từ X vào chớnh nú nờn 3ứ c[0,I) sao cho
Trang 18*) Lấy xạ e X,đặt
x, =AX, 31 =1,2,
Ta cú:
d(x,,x,)=d(Ax,, Ax, )< a@d(x,,x,)=ad(x,,AX,)
Tuong tu
d(x,,x;) < ad (x,,x,) <a’d(x,AX,)
(vi d(x,.x))< ad (%),A%))
A(X, 5X ju: ) Sd (x,_,.%,) So Sa" d (xy, AX) Do đú
Vn, p =1,2,
d(X, Xp) <d(x,.x„.)+4(X„3„„;)+ +4 (x,.„ x„.„)
n n-l n+p-l
S(a" +a" + 4a )4(xạ.Ax,)
nla? =a Đà d(xạ,Ax,) a" < l-a@ d(x), Ax, )
Vi O< a <1 nộn lima” =0 Suy ra: limd (x,.,,,)=0 Vp =1,2
Do đú {x„} là dóy cơ bản
*) Vỡ X là khụng gian đủ, nờn dóy (x„) hội tụ
Giả sử im x,=x e X non
Tacộ: — d(Ax,x)<d(Ax,x,)+d(x,,2)
n?
=d(Ax,Ax,,)+d(x,,x)
Trang 19
<z4(x.x,Ă)+d(x,x)=>0 (n>) Suy ra Ax =x hay x 1a diộm bat động của ỏnh xa A
*) Gia sir laic6ộ x eX: Ax =x"
d(x,x")=d(Ax,Ax )<ad(x,x') Suy ra (1-@)d(x,x")<0
Vỡ0<œ< I suy ra I~ơœ>0^ từ đú: một đại lượng dương <0 mà Gry}
Suy ra d(x,x'}=0=x=xè Vậy điểm bất động là duy nhất
Vớ dụ 2.1.1
Cho hàm số x(t) khả vi trờn [0,1];0< x(z)<1vr e[0.1]
0< x()<2vr [0.1] Xột sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trỡnh:
x()—r=0 (1)
Giải:
Giả sử ?” là nghiệm (1): x(t’) =f" Tic  la điểm bất động Đặt X=[ 0,1] I8
: khụng gian đủ | Suy ra X là khụng gian đủ X = [0,1]: dong
Xột x: [0,1] >R
Nhung theo giỏ thiết 0< x(z)<1 nờn x:[0,1] [0,1]
Ta kiểm tra x là ỏnh xạ co khụng ?
Trang 20|x(/,)—x(,) =lxtứ)ỳ —';) = lx'ứ)èự, -1,|< ht —t,| (DL lagrang)
`“ ễễễễễễễ
suy ra x:[0,1]>[0,1] là ỏnh xạ co
suy ra 31” :A() =r Vậy phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất
Vớ dụ 2.1.2
Cho ỏnh xạ A ỏnh xạ nửa khoảng [1,+œâ) vào chớnh nú xỏc định bằng
cụng thức Ax=x+.L, X
A cú phải là ỏnh xạ co khụng? A cú điểm bất động khụng? Vỡ sao?
Giải: Ta cú [I,+œ) là tập con đúng của [Đ với metric đ(x, y) =|x— y| Do d6 [1,+00) cựng với metric [Đ lập thành một khụng gian metric đõy
Xột ỏnh xa A:[1,+00) > [1,+00)
1
XE> Ax=x+—
x
Gia str A là ỏnh xạ co suy ra A cú điểm bất động duy nhất hay Alx, €[1,4<0) sao cho
Xy = AX,
1 1 Ale
t-ang đ-ang X% =%, +— suyra —=0 (vụ lý)
Xo Xo
Vậy A khụng cú điểm bắt động do đú A khụng là ỏnh xạ co Vớ dụ 2.1.3 :
Cho khụng gian metric đầy M = (X, d), một ỏnh xạ f ỏnh xạ hỡnh cầu đúng
Trang 21
S’(xo, 1) = {x EX: d(x, Xo) Sr}
vào X sao cho tổn tai p,O<p<1,dộV x, y â S’(xo, r) dộu cú:
* d(f(x), fl) < pd(x, y)
* A(f(xo), Xo) S(1 — pyr
Chứng minh rằng f c6 diộm bat dộng duy nhat trong S’(xo, r) Giai:
Trước hết ta chứng minh f là ỏnh xạ S”(xọ, r) vào Sˆ(xọ, r) Thật vậy, với mọi x eS (xạ, r) ta cú:
(f(x), Xo) Sd(f(x), flxo)) + a(f(%o), Xo)
< p.d(x, xạ) + (l—p).r<p.r+(I—p).r Suy ra đ({3), xạ) < r tức là f{x) € S’(xo, r)
Vậy ta cú ỏnh xạ ƒ: So, r) ->Š (wứ r)
Do 7, r) là một khụng gian con đúng của khụng gian metric đầy X, nờn Š'@¿, r) là khụng gian metric đầy với metric đó cho trờn X Kết hợp với giả thiết thứ nhất ta suy ra ỏnh xạ:
ƒ So r) > S’(xo, 1)
là ỏnh xạ co, do đú f cú điểm bat động duy nhất trong S'’(xo, r)
2.1.2 Với metric xỏc định trong định lớ 1.6.1 ta cú cỏch phỏt biểu khỏc của nguyờn lớ ỏnh xạ co Banach trong khụng gian định chuẩn như sau
Giả sử rằng
(a) M là một tập đúng, khỏc rỗng trong khụng gian Banach X trờn trường K
(b) Toỏn tử A:Ä⁄—>M thỏa món |Au— Av||<k|¿—v||Wu,vejM (2.1.2) và
k cố định, k €[0,1)
Khi đú cỏc kết quả sau là đỳng:
Trang 22H„Ă=Au, ,n=0,1
Hội tụ đến nghiệm duy nhất u của phương trỡnh (2.1.3) Ta ching minh ii)
Trước hết, ta chỉ ra rằng (u„„)là một dóy Cauchy Thật vậy, với mỗi
n=1,2, Su dung (2.1.2) Ta c6: <k
Uns) Uy =||Au, — Au, |ư —U,,, =k|Aw„ — Aw, ;|| n
<k° Mạ | — Hạ 2 < <k" uy — Uo
Bõy giờ, với n=1,2 va m=1,2 tir bất đắng thức tam giỏc ta cú:
lu, ~~ Unsm | = |‹, TU ) + (U6, ~ U2) Piet (Hư —Unin)
YU, Uns aải — ẫạ+2 n+m—| — H
<| I+ |+ + | sen]
< (k” tht + km1 )\u —12||
<kh(I+k+k?+ +k”” ||, =wj|
<k"(1-k) | lu, —wj|
Vi k €[0,1) nộn k" +0 khi noo Vay day (u,) là day Cauchy do X 1a kh6ng gian Banach nộn day (u,) hdi ty tới một phan ti} we X hay u, >u khi Ăủ—>œ
Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn u của phương trỡnh (2.1.3)
Từ „ạc€jM va u,=Au, cing voi AM)cM va u, eM Tuong tu bang quy
nạp ta được u,,,, = Au, va u, €M,Vn=0,]1
Vỡ M đúng, ta cú „eM, suy ra AucM
Theo (2.1.2) ta cú:
||Au, — Aull <k|lu, —u|—>0 khi n> 00
Cho noo tu u,,, =Au, tacộd: u=Au
Trang 23
2.2 Dinh lý điểm bất động Brouwer
Định lý điểm bắt động Brouwer là định lý trung tõm của lớ thuyết điểm
bất động, đú cũng là một trong định lý cơ bản của giải tớch phi tuyến Ở đõy,
tụi sẽ nờu lờn cỏch chứng minh cua Knaster, Kuratowski va Maurarkiewicz, dựa trờn một số kết quả tổ hợp của Sperner Trước tiờn ta hóy nhắc lại một vài
định nghĩa sau Định nghĩa 2.2.1
Cho X là một khụng gian tuyến tớnh, tập hợp S trong X được gọi là n —
đơn hỡnh nếu S$ =Co{u,I, ,H„} VOI Uy,Uj, ,u, EX va cdc vộcto
tụ —Hạ,H, —Mạ, ,u, — nạ độc lập tuyến tớnh Cỏc điểm u, được gọi là đỉnh,
bao lỗi cua k +1 dinh được gọi là k- diện của S
Phộp tam giỏc phõn một đơn hỡnh S là một phộp phõn chia S thành cỏc n - đơn hỡnh con nếu giao nhau phải là một diện chung của hai đơn hỡnh đú
Đối với một tam giỏc phõn của S, sperner (1928) đó đưa ra là một phộp
gỏn cho mỗi đỉnh của cỏc đơn hỡnh con một trong cỏc số O,1, z theo qui tắc
sau đõy: Nếu Co{uạ,u, „} là điện nhỏ nhất của S chứa v thỡ v được gỏn
cho một trong cỏc số iqœ ỦỊ, l„
(Như vậy đỉnh w, phải được gan s6 i) Ta gọi đú là phộp gỏn số Sperner
Trong tam giỏc u,u,u, ba dinh duoc gan số lần lượt 0,1,2, cỏc đỉnh của
đơn hỡnh con nằm trờn canh uu, được gan 86 i hoặc k cỏc đỉnh thuộc phần
trong tam giỏc được gỏn số 0 hoặc 1 hoặc 2
Sau khi gỏn số, đơn hỡnh con nào cú cỏc đỉnh được gỏn đủ cỏc số
0,1, n thỡ được gọi là đơn hỡnh “tốt”
Trang 24SA
ZEN 1 2
Bỗ đề 2.2.1 (Sperner 1928)
Với phộp gỏn số Sperner, trong một phộp tam giỏc phõn một đơn hỡnh
bất kỳ luụn cú một số lẻ cỏc đơn hỡnh tốt
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo số chiều a)Voin= 1
Đơn hỡnh là doan u,u,, dinh u, duge gan sộ 0, dinh u, duge gan sộ 1,
cỏc đỉnh cũn lại của cỏc đơn hỡnh con nhận cỏc số 0 hoặc 1 (hỡnh vẽ)
E——+———————t—
BR
o 1 1 0
Gọi k là số đỉnh (của cỏc đơn hỡnh con) nhận giỏ trị 0 (nếu là đỉnh
chung được tớnh 2 lần) Ta cú k là số lẻ vỡ chỉ cú một đỉnh nhận số 0 ở đầu
mỳt, cũn cỏc đỉnh nhận số 0 thuộc phần trong thỡ được tớnh 2 lần
Gọi h là đỉnh nhận số 0 mà đỉnh cũn lại (Của đơn hỡnh con chứa đỉnh
đú) cũng nhận số 0
Số đơn hỡnh tốt bằng k- h là số lẻ Vậy bổ đề đỳng n = I b) Giả sử bố đề đỳng với n=m
c) Ta đi chứng minh bổ đề đỳng với n= m +l
Trang 25
Gọi k là số cỏc m — diện (diện m chiều), mà cỏc đỉnh được gỏn cỏc số
0,1, ,m (gọi tắt là điện tốt) của (m+1) — đơn hỡnh con
Khi do k =k, +k,
Với k, là số diện tốt nằm trờn biờn của đơn hỡnh gốc S
k, là số cỏc điện tốt thuộc phần trong của S
Vỡ biờn của biờn S chứa cỏc diện tốt chớnh là m — diện Co{uy, ,u, } của
S, cũng là một m — đơn hỡnh, theo giả thiột qui nap k, 11, k,ch’sn vx moi
điện tốt thuộc phCn trong 1a chung cho hai đơn hỡnh con nờn
được tớnh 2 lần Vậy k lẻ
Gọi h là số diện tốt mà đỉnh cũn lại khụng được gỏn số m+l Vậy đỉnh đú sẽ được gỏn một số trong cỏc s6 0,1, ,m Vi vay (m+1) — don hinh con
của chứa diện đú phải chứa 2 diện tốt Do đú h 1a s6 chan Vi vay (m+1) —
đơn hỡnh tốt bằng k — h Nờn phải là số lẻ
Bồ đề được chứng minh
*+ Trước khi dộn bộ dộ KKM Ta dua ra 1 số định nghĩa
Định nghĩa 2.2.2: Cho n = I,2, , và cho X là khụng gian tuyến tớnh trờn
trường K, n- đơn hỡnh Đ = Co{uạ, , }
Khi đú, điểm bu j được gọi là trọng tõm của hỡnh S n+ j=l
Định nghĩa 2.2.3: Một phộp chia nhỏ bởi trọng tõm của 1- đơn hỡnh, S=Cof{u,,u,} 1a tap hop cia hai 1- don hinh S, =Co{b,u,}, S, =Cof{b,u,}, 6 day n la tap trong tõm của S
Tộng quat, phộp chia nhộ boi trang tOm của n-đơn hxnh S$ vii
trang tOm b lụ tẾp hỡp tất cả cỏc n— đơn hỡnh Co{b,v,, v,,} Ở
day v,, ,v,_, la cdc đỉnh của (n-1) đơn hỡnh bat ky thu được từ phộp chia nhỏ
Trang 26Định nghĩa 2.2.4: Cho một đơn hỡnh ,$ =Co{u,,u,„ u„} Khi đú, mỗi điểm
xeS được biển diễn duy nhất dạng x=3_x, với x,>0, 3_x,=1 Và mỗi
i=0 i=l
+, được gọi là tọa độ trọng tõm của x, nú cũng biến đổi liờn tục theo x
Bồ đề 2.2.2: Bồ đề knaster, kusutowski, Mazurkirwicz (bỗ đề KKM)
Cho Š =Co{uạ, ,¿„} là một n — đơn hỡnh trong khụng gian định chuẩn
hữu hạn chiều X, n=0,1,2, giả sử đó cho cỏc tập đúng C, C, trong X sao cho
k
Co{u, , u, }Cc UC, (2.2.2) lọ ke m=0
Với tất cả cỏc bộ chỉ số {iạ /,} và mọi k=0,1, n Khi đú cú một
điểm bất động v trong S sao cho ve CĂ, j=1,2, n
Chứng mỡnh:
Nếu n=0 thỡ S gồm 1 điểm riờng lẻ và kết quả của bổ đề là hiển nhiờn
đỳng
Bõy giờ ta xột với 7> l
Bước l: Ta xột một phộp tam giỏc phõn S,, ,S, cua S và thực hiện phộp gỏn số như sau:
Lấy một đỉnh v bắt kỳ của S; (của đơn hỡnh con) j =1,2, ,.J
Ở đõy ve Cofu, „ w, } với k=0,1, ,n
Từ (2.2.2) suy ra cú một tập C, sao cho v € C, Ta sộ gan cho v số k đú
và kớ hiệu là v, Vậy với mdi he{0,1, n} ta đều cú v, €C, Đặc biệt, cỏc
đỉnh v, của S5 phải thuộc C,(i=0,1, ,n) Cach gan số này cũng thỏa món điều kiện của Sperner Vỡ vậy theo bố đề 2 sperner, phải cú ớt nhất một đơn
Trang 27
hỡnh con là tốt (được gỏn cỏc số từ 0 đến n), tức cú một đơn hỡnh con 3,mà
đỉnh mang cỏc số 0,1, n Vỡ vậy, cỏc đỉnh vụ, ,v, của S; thoa man diộu kiộn: vy, €C,, Vk =0,1, 0
Bước 2: Ta xột 1 dóy cỏc phộp tam giỏc phõn của đơn hinh S sao cho cac
đường kớnh của đơn hỡnh trong phộp tam giỏc phõn gần đến khụng Lấy vớ dụ,
cú thể chọn một dóy cỏc phộp chia nhỏ bởi trọng tõm của S
Theo bước 1 cỏc điểm v,'") €C,,Vk =0,1 va n=1,2,
Sao cho
lim dCo{v,™ 00,0 }=0 (2.2.3) im Vn
Vi đơn hỡnh Đ compact, cú một dóy con, vẫn được xỏc định bởi (v.đ) sao cho vy," >y khi N 00 va ve S Tir (2.2.3) ta cộ:
vụ =v khi N > 0, Vk =0, 0
Vi tap C, dong nộn suy ra vEeC, Vk = 0, ., 0
Trờn cơ sở hai bổ đề vừa nờu và cỏc khỏi niệm quan trọng về đơn hỡnh, ta cú cỏch chứng minh định lý điểm bất động Brouwer
2.3 Định lý điểm bất động Brouwer
Cho M là một tập khỏc rỗng, lụi, compact trong khụng gian định chuẩn
hữu hạn chiều X trờn trường K khi đú, toỏn tử liờn tục A:M —->M cú một
điểm bắt động Chứng mỡnh
Bước 1: Cỏc đơn hỡnh
Cho S là một đơn hỡnh n chiều trong khụng gian định chuẩn hữu hạn chiều và cho toỏn tử
A:S —> S liờn tục, trong đú Ê=0,1, ta cần chứng minh rằng A cú 1 điểm bất
Trang 28* Nếu n =0, tập S gồm I điểm riờng lẻ, kết quả trờn hiển nhiờn thỏa món * Nếu n = I, ta sẽ xột trong vớ dụ 2.2
* Nộu n = 2, thi S= Co {Uo, Uj, U2} (hay S 1a một tam giac, khi d6, voi moi
ueS ta đều cú thể biểu diễn
U=Q,(U)Uy + A (U)U, + A, (U).U, VOI OS G,a,,a, ST và
Oy +a, +a, =1 (2.2.4)
Suy Ta w— uạ = đ,()(, — Mạ) + @ (u)(u, —Hạ) và
a (u)=1-a@,(u)—a,(u)
Từ tớnh chất độc lập tuyến tinh cia u, —u,,u, —Uy, ta cú cỏc tọa độ trọng tõm
Q(u),a,(u),a,(u) cua điểm u xỏc định duy nhất bởi u và liờn tục phụ thuộc
vào u
Đặt C, ={ueS: a,(Au) < #,(w)}.j=1.2
Vỡ đặt ứ,(.) và A liờn tục trờn S nờn tập C, đúng, j =I,2
Hơn nữa điều kiện quan trọng (2.2.2) trong b6 dộ KKM thỏa món, nghĩa là:
k
Co{u, „ , }=U om k =0,1,2
m=0
}
Thật vậy, nếu điều này khụng đỳng thỡ cú 1 diộm w € Co{u, ,
Sao cho u Ê Ù C, nghĩa là:
ai, (Au) > ai, (u),VƠm=0, k và k=0,1,2 (2.2.5)
Điều này mõu thuẫn với (2.2.5) Thật vậy, nếu đổi số cỏc đỉnh thỡ điều kiện
(2.2.5) cú nghĩa là:
đ,(Au) > ứ,(w),Vj =0, k và k=0,1,2 (2.2.6)
Hon niva vi ue Sva Au e Š, nờn từ (2.2.4) ta cú
Q,(u)+a,(u)+a,(u)= | và œ;(Au)+œ(Aw)+ứ„(Au)=1L (2.2.7) Nếu k=2, cụng thức (2.2.6) sẽ khụng thể xảy ra vỡ (2.2.7)
Trang 29
Nếu k=l hoặc k=0 thỡ ứ e Co (ưạ, u;} hoặc u c{uạ} và do vậy
œ;(w)=0 hoặc a,(u)=a,(u)=0
Tương ứng lại cú (2.2.7) mõu thuẫn (2.2.6)
Bồ đề KKM chỉ ra rằng cú một điểm we Đ sao cho ve C,,Vj =0,1,2
Sử dụng (2.2.7) với =w, ta cú #,(Ay)= z,(y).Vj =0,1,2
Suy ra Av=v Vay v la diộm bat dong cia A trong trường hợp n=2 * Nếu z>3 ta sử dụng lập luận giống như với n = 2 để chứng minh
Bước 2: Gọi M là một tập con khỏc rỗng, lỗi, compact trong khụng gian định
chuẩn hữu hạn chiều X Khi đú, theo mệnh đề 1.8.3 Tập M đồng phụi với cỏc
n - đơn hỡnh S Sử dụng kết quả bước 1, ta cú toỏn tử liộn tue A:M 3M cú một điểm bất động
Vậy định lý điểm bất động Brounwer được chứng minh Hệ quả 2.2
Toỏn tử B:K-—>K cú một điểm bắt động nếu K là tập con của một khụng
gian định chuẩn sao cho nú đồng phụi với tập M như đó xột trong định lý điểm bắt động Brouwer
Chứng mỡnh: Cho C:M —> K là 1 phộp đồng phụi Khi đú toỏn tử
C!LBC:M—C yK—B yK—€— yM liờn tục
Theo định lý điểm bất động Brouwer, cú một điểm bất động u của
A=C BC, nghĩa là
C1 (B(Cu)) =u; VueM
Dat v=Cu, tacd Bv=v,ve K, nghia là B cú một điểm bất động duy nhất Vi du 2.2 Cho M =[a,b], với =<a<b<+ Khi đú, mỗi hàm số liờn tục
A:[a,b]—>[a.b] cú một điểm bất động u
Trang 30Ta sộ ching minh trực tiộp Dat:
Bu=Au-u Vu [a,b]
Vỡ A(a).A(b)e[a.b] nờn A(a)2a;A(b) <b Suy ra B(a)>0 va B(b) <0
Theo định lý giỏ trị trung bỡnh, hàm số thực B cú một điểm u [a,b] nghia la
B(u)=0, suy ra A(w) =u, vay ham số liờn tục
A:[a,b]—>[a.b] cú một điểm bắt động 2.4 Định lý điểm bất động Schauder
Năm 1930, Schauder đó chứng minh I định lý điểm bất động của toỏn tử
compact A:M —M Van nhu Banach, 6ng xem xột toan tir compact A trong khụng gian định chuẩn, tuy nhiờn tập M phải thỏa món cỏc điều kiện: khỏc rỗng, đúng, lồi, bị chặn
2.4.1 Định lý điểm bắt động schauder
Toỏn tử compact A:M >M cú một điểm bất động u nếu tập M là tập con khỏc rồng, đúng, lụi, bị chặn của khụng gian Banach X trờn trường K Chứng mỡnh:
Cho up €M ; thay thế u bởi — uạ, nếu cần cú thộ gia sit rang OEM
Theo định lý xấp xỉ đối với toỏn tử compact (mệnh đề 1.7.5) ta cú, với mỗi
n=l,2, cú một khụng gian con hữu hạn chiều X,, cua X va |
Toan tu A,:M — X,, sao cho
|A(+)- A,(+)|< ty YueM (2.28)
n
Dat M,=X,AM
Suy ra, M,, 1a tap con bi chặn, đúng, lồi của X, voi OEM, va
A,(M)CCoA(M)CM (vỡ M]ồi)
Trang 31
Theo định lý điểm bất động Brounwer, toỏn tử A,:M,->M„ cú I1 điểm bất
động u,,nghiala A,u, =u, u,€M,; Vn=1,2 (2.2.9)
Từ (2.2.8), suy ra
Au, —u,||< Tý Wnel2, (2.2.10)
n
ViM,cM; Vn=1,2 suy ra day (u,,) bi chan
Vỡ A:M —M là toỏn tử compact suy ra cú 1 dóy con vẫn được xỏc
định bởi (w,,) sao cho
Au, Vv khi no Tw (2.2.10)
||v —u,,||<|v -— Au, | +||Aw,, —u,,|| +0 khi 2 00 Khi đú:
u„ —>V khi n —>œ
Vi Au, €M,Vn=1,2, va M 1a tap dong suy ra ve MW Hon nita, ttr
toỏn tử A:Ä —>Ä, nờn cú Av=v,veM Vay dinh ly dugc ching minh
Nhận xột: Trong định lý điểm bất động Schauder nếu dimX <œ thỡ định lý
Trang 32CHUONG 3: MOT SO AP DUNG CUA DINH LY DIEM BAT DONG
3.1 Áp dụng vào phương trỡnh vi phõn thường
3.1.1 Bài toỏn 1:
*Xột phương trỡnh vi phõn:
dx(t) of (ex(9) (te R) (3.1)
Với điều kiện ban đầu
+(f)=%o (3.1%)
Trong đú ớạ,xạ là 2 số cho trước, ƒ (z.z) là hàm liờn tục cho trước của
2 biến r,u(t,ue ) Gia thiột rang f(z,w) thỏa món điều kiện Lipschitz theo
biến u, theo nghĩa sau đõy:
Với mỗi số nguyờn đương n tồn tại một hằng số L= L(n)>0 Sao cho V7 e[—n,n] ta đều cú
| (t.u,)— f (tu) < Lèm —u,|
Chứng minh rằng (3.1) với điều kiện (3.1*) cú một nghiệm duy nhất
x(t) xỏc định và liờn tục trờn đường thang thực
*) Thật vậy, ta thấy hàm số ƒ liờn tục nờn phương trỡnh (3.1) với điều kiện
(3.1*) tương đương với phương trỡnh tớch phõn:
x(t)=x)+ I, ƒ(s.x@))ds (3.2)
Ta lấy một số nguyờn n khỏ lớn sao cho t)€[-n,n] va goi
C,=C|[T-n;n] là khụng gian cỏc hàm sỐ x(t) xỏc định và liờn tục trờn đoạn
[_-m.z] Với 4 >1 là một số cố định tựy ý
Trang 33
Ta đặt:
d, (x, y)=max e 2m5) |x() — y(t)|(x ye C,)
|t|<n
Dễ dàng kiểm tra đ„ là một metric trong C, Hơn nữa, nếu
x(t) — y(t)| (x ye C,) d(x,y) = max isn Thỡ e””ấ d(x,y) <d, (x, y) < d(x, y) 6 day
A = max {n - to, n + fo} tac d va dn tuong đương với nhau
Ma (C,,.d) là một khụng gian metric đầy đủ Từ đú, suy ra (C„„đ„) là
một khụng gian metric đầy đủ
Xột ỏnh xạ
F:€, >C,
Xỏc định bởi cụng thức
(F(+)))=x¿+ Í, f(s.x(5))4* œeGŒ,)
Ta chứng tỏ F là 1 ỏnh xạ co đối voi metric d,
That vay, mdi x, ye C,, ta cộ
d, (F(x).F(y)) =maxe 2#
ll<ằ [[7(s.x6))-7(5.y(s))]@ fo < max eT E]x(s) _ y(s)|ds
q
|t\sn
Với ùĂ là đoạn [zạ,r] nếu  >t) hoặc đoạn [z,zạ] nếu ớạ > ớ
Từ định nghĩa metric dạ, ta cú:
lx(s) — y(s)| _ c2 t2 2 1 | ) — v(s)
Trang 34< ell gq (x,y)
Vậy [|x(s)~ y(s)|ds <d,(x.y).[e? lds =d, (x.y)(AL) Cam _ )
h 1,
<d,(xy)(4L) ` 1
Từ đú, suy ra rằng
d, (F(x).F(y)) <A"d, (x,y) ma 4 >1 Do đú F là ỏnh xạ co
Theo nguyờn lý ỏnh xạ Banach cú duy nhất một hàm xạ =x,(f)<C,
Sao cho: x, = ƒ (x„)
Từ định nghĩa ỏnh xa F, ta suy ra rằng:
*)x, =x,(t) là nghiệm duy nhất của phương trỡnh (3.2) được xỏc định trờn đoạn [—n,n]
*) Như vậy, với mỗi số nguyờn đương n sao cho lfa|< Phương trỡnh tớch
phõn (3.2) cú một nghiệm duy nhất x„ = x„(z) xỏc định trờn đoạn [—n,z]
*) Nếu m, n là 2 số nguyờn dương sao cho |ia|<m<n thỡ từ tớnh duy nhất của x,, ta suy ra rằng
Xn (t) =x, (Â) khi |e] <n Vi vay ham
x(t) =x, (t) khi |e <n
Được xỏc định v:e và là nghiệm duy nhất của phương trỡnh (3.2) trờn toàn bộ đường thắng thực
3.1.2 Bài toỏn 2:
Ta cõn giải bài toỏn ban đõu sau:
tụ
sXy-h<x<xyth (3.3)
U(X) =U
Trang 35
VOi (Xo, Uo) € R’ Ta sộ tim 1 nghiộm wu = u(x) cua (3.3) sao cho u:[xo-h,xo+h] OR — (3.3*)
Kha vi va (x, u(x)) ES, Vx â [xo-h, x9 +h]
Trong đú
Ss ={(x,u) eR? :|x=xe|<r,|#—=e|<r}, với r; cố định Đặt x e C [xạ— h, xạ + h] và M ={xe X :|w—wạ|<r}
u(x)
Ta xac dinh chuẩn: |u| = max ,VxeX, Xo—-h<x<xg+h
Ta xột phương trỡnh tớch phõn
u(x)=u, +f F(y.u(y))ay; Xe—h<Sx<xạ+h,uceM (3.4)
+0
Cựng với phộp lặp
Una (X) = Uy + i F(y.u, (y dy, xy —h<x<xy,+h,n=1,2, (3.5)
30
Với m(x)= uọ
Mệnh đề 3.1:
Giả sử
(a) Ham sộ F : SR liờn tục và cú cỏc đạo hàm riờng Ƒ„: Š —>Í8 cũng liờn tục
(b) Đặt M = max , va chọn số thực h trong
(xu)es F(x,u)| va L=max
(xueS F (x,u)
trường hợp này sao cho 0<h<r, hM <r, và hL<]
Khi đú, cỏc điều sau là đỳng
(i) Bai toan ban dau (3.3) cú nghiệm duy nhất dạng (3.3*)
(1) Đõy là nghiệm duy nhất của phương trỡnh tớch phõn (3.4)
(iii) Day u,, tao boi (3.5) hdi tu đến u trong khụng gian Banach X
Trang 36li, —z|<&”(1—ằ} ig uo
Una ul|sk"( (I- n) H„.Ă —H„| với k=hL Ching minh:
Bước 1: Dinh nghia toan tử qua
x)=uy +] F ))dy ›#o—h<x<xg;+h
Khi đú phương trỡnh (3.4) tương ứng với bài toỏn điểm bắt động
Au=u,ueM (3.4*)
Với „MM ,hàm số: w:[xụ — b,xạ + w]—ằIR liờn tục tà (x.w(x))< S.vx e[xụ —h,xạ +h]
Suy ra hàm số F`:x—> F(x,u(x)) cũng liờn tục trờn [x¿ — h, xạ + h]
Và hàm số
Au:[x—h,xạ+h]—>IR - liờn tục
Vậy ta cú một toỏn tử A:⁄ —> X, ta chứng minh được
l) A(M)M
2) |Au— Av||<k|u — v|,Vu,y e1 ,k e[0.1]
Thật vậy
1)Với uejM bất kỡ, khi đú
Fvằ) ay <|x— xo] max |F (yw) < hM sr V6i Vx [xạ — h,xọ + h] Hay |Au —mạ| = max AXo-h<x<xg+h [}r(x(s))” <r Từ đú, suy ra AucM
Trang 372)Theo định lý giỏ trị trung bỡnh
LF(x, w) — F(x, v)l = |F„(x, w)llu — vè <L | w - vè
V(x,).(x,v)eS
Khi đú, Vu,yc M Ta cú
[ [r(s4(ứ))~F(ằằ(x))]ð|
<hL max Iz(y)—v(y)|=k|¿—v|| với k=hL<1
Xg-h<x<xg+h
|Au — Ay|| = max Ag-h<x<xg+h
Vậy cỏc giả thiết của định lý điểm bất động Banach thỏa món ỏp dụng định lý với phương trỡnh (3.4*)
Đước 2: Sự tương đương Gọi u là một nghiệm của phương trỡnh (3.4)
Lấy đạo hàm (3.4), ta cú hàm số u cũng là một nghiệm của bài toỏn giỏ trị ban
đầu (3.3) —(3.3*)
Ngược lại, gọi u là một nghiệm của (3.3) — (3.3*) Tớch phõn của (3.3) cho
thấy hàm số u cũng là nghiệm của phương trỡnh tớch phõn (3.4)
Chứng tỏ, hai bài toỏn (3.3)-(3.3*) và (3.4) tương đương Vậy mệnh đề được
chứng minh
Vớ dụ 3.1 Bài toỏn ban đầu
1 _ 3,4
u'=F(x,u)=x +] 1 <x< 1
4 4
Cú nghiệm duy nhất trờn tập Š = == clR2 : < ae < i
*That vậy, ta cú hàm số
F:S>R
; _w là hàm liờn tục và cú đạo hàm riờng #„ = 1 cũng liờn tục
Trang 38*Dat M = max (xu)eS P(xw) =a tea Va L= max (xu)eS F(x,u)|= RI 1
Theo giả thiết ta cú — đú 0<h<r,hM <r.hL <l
Do đú, cỏc mệnh đề điều kiện mệnh đề (3.1) đều thỏa món nờn bài toỏn
trờn luụn cú nghiệm duy nhất trờn tập S
Ta tỡm nghiệm duy nhất này Phương trỡnh ban đầu cú đạng:
u iu =x`, phương trỡnh đặc trưng của nú là
A2-1=0=4=1, Do A=1z0 nờn ta cú:
4 4 4
Tỡm nghiệm riờng u (x) dưới dạng
u (x)=Ax° + Bx’ +Cx+D
Thay vào phương trỡnh ban đầu, ta cú
3Ax? +2Bx+ CS [Ax + Bx? +Cx+D)=x°
Đồng thời hộ sộ, ta thu duge A=—4;B =—-48,C =-384 D=-1536
Suy ra
u (x)=—4x° —48x° —384x - 1536
Vỡ vậy, nghiệm của phương trỡnh là:
1
u=Ce* —4x° 48x? ~384x—1536
Do u(0)=0=C, =1536 nộn nghiộm duy nhat 1a
1
u=1536e4 —4x3 — 48x? —384x—1536
Trang 39
3.2.Áp dụng vào phương trỡnh tớch phõn
3.2.1 Bài toỏn 3
Ta muốn giải phương trỡnh tớch phõn
x)=4{ F( x,y.u(y))dy+ f(x) asx<b (3.6)
Bang phuong phap lap
Una x)=Af’ F( x,y,H y))dy + f (x ),a<x<b,n=0,1,
ở đõy -o<a<b<œ
Mệnh đề 3.2 Giả sử cú cỏc điều kiện sau:
1) Hàm số f :[a,b]>R liờn tục;
2) Hàm số F: [z.b]x[a.b]xIR—>IR liờn tục và đạo hàm riờng
F„ :[a,b]x[a,b]xI >R cũng liờn tục; 3) Cú 1 số L sao cho IF, (x, y.u) <LVx,ye [a.b].u ER 4) Cú một số thực 4 cho trước sao cho (b-a)|A|L <1;
u(x); Khi đú, cỏc điều kiện sau đõy được thỏa món
5) Tap X =C[a,b] va ||u||= max
a<x<b
? Bài to,n ban đầu (3.6) cú một nghiệm duy nhất e X ;
ii) Day (u,,) tao bội (3.6*) hội tụ đến u trong X,n=1,2
iii) Vn =0,]., ,ta cd cac đỏnh giỏ sai SỐ: ls,—s|<k"(1—k) lỏi,
Una =t<k{L—k) ` lu „|| với k=(b—a)|A|L:
Chứng mỡnh: Định nghĩa toỏn tử:
Trang 40Khi đú, phương trỡnh tớch phõn (3.6) tương đương với bài toỏn điểm bất động
u=Au
Nếu ứ: [a, b] —IR liờn tục thỡ hàm số A, :[a,b] —>lR cũng liờn tục Vậy ta cú todn tu A: X ->X
Theo định lý gớa trị trung bỡnh, với Vx, y e[a,b] va Vu, v € R, dw € R sao cho
LF(x, y, u) — F(x, y, vJI <S LF„(x, y, w)èè w — vị <Llu-v
Suy ra
|| Au — Av|| = max (Au)(x)-(Ay )(x)| <|A|(b-a)Lmax
a<x<b asxsb u(x) - v(x)
Suy ra |Au _ Arl < ku —v||.Vw,v cX.k= (b —a)|A|L
Đặt M = X =C[a,b] Khi đú, định lý điểm bất động được thỏa món Vậy bài
toỏn được chứng minh
Vớ dụ 3.2: Phương trỡnh tớch phõn tuyến tớnh Cho phương trỡnh tớch phõn
u(x)=Af’k(x.y)udy + f(x), a<x<b (3.7)
Giả sử hàm s6 K:[a,b]x[a,b] >R va f :[a,b]>R liờn tục và
1 L- “xu (b-a)L aSx,y<b k(x.y)| va |A|<
Khi đú, phương trỡnh (3.7) cú 1 nghiộm duy nhat That vay, ta chi ra gia thiết
mộnh dộ 3.2 thỏa món:
+) Ham sộ f: [a,b] >R liờn tục
+) Do K:[a,b]x[a,b] > R 1iộn tuc nộn cộc ham
F: [a,b] [a,b] R->R
(x, y,u) LE> F(z,y,w) = k(x.y)u