Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)

Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)Lý thuyết điểm bất động (Khóa luận tốt nghiệp)

Trang 1

LOI CAM ON

Bản khoá luận này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng

dẫn của thây Nguyễn Văn Hùng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc để em có thể hồn thành khố luận này

Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khoá luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô Qua đây cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cơ trong tổ Giải tích, khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên

Bùi Thị Thanh

Trang 2

MỤC LỤC

PHÂN 1: MỞ ĐẦU - 5°5 2232 S2t22Y22112221271271111111.1.xrrreg 3 1.Lý do chọn đề tài . -=- «xẻ e3 E2 3T 3 k1 12x rk re 3

2 Muc dich nghién CU 0011 2

6 jn (01085140102 0 3

4 Câu trúc khóa luận :c+©2++vertstrrtrrrtrrrrrrrrrrrrrrsrrred 3 257.928)/9)890)/€89:i))):000077 4 CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CHUÂN BỊ -2-2222222z2zreerrrrree 4

1.1 Không gl1an rmmetriC - - - 3111111231311 HH HT kn 4 1.2 TôPô trong không g1an Ime€tTIC - 5 5 555 3 33353 7

I6 an 8

1.4 Không gian metric đầy đủ . 2 se sex cxererkrxrrerererrree 8 1.5 Tap hop compact va bi ChAN .ccesccseccessssnscecesssesteecessssssneeeessssenees 9 1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach . 5 2s +: 9

y0 010 12

1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều: 2-22 sezscsee: 16

CHƯƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIÊM BẤT ĐỘNG - 17

2.1 Nguyên lý ánh xa co banach . - - «s5 s21 5e ree 17

2.2 Định lý điểm bất động BrOuW€T 22 sex reertvkcrerxrxee 23

2.3 Định lý điểm bất động Schauder - sscccs xxx ssssssrre 26

CHUONG 3: MOT SO AP DUNG CUA DINH LY DIEM BAT DONG 32

3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường .- - 2 2s se: 32 3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân 2 sec sex cxcxee 39

KẾT LUẬN -. -2: ©2222 2122223221112 crrred 42 IV.100I2009:/1,0.9:7 600 43

Trang 3

PHAN 1: MO ĐẦU

1 Ly do chon dé tai

Trong khi giải quyết các bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật dẫn đến việc nghiên cứu vẫn đè

Cho X là một không gian nào đó và A: Mí —> X là ánh xạ từ tập MX vào chính nó, xét phương trình phi tuyến Ax=x,xeM Điểm xe M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập M

Việc giải quyết bài toán trên dẫn đến sự ra đời của một hướng nghiên cứu trong tốn học, đó là lí thuyết chiến bất động của ánh xạ

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của

tích hàm phi tuyến Ngay từ đầu thế kỷ 20, các nhà toán học trên thế giới quan

tâm về vấn đề nảy và cho tới nay, có thể khăng định răng, lý thuyết điểm bắt động đã được phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu được để giải quyết nhiều bài toán khác nhau do thực tế đề ra Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuôi của các nhà toán học lớn trên thế giới nhu: Banach, Brouwer, Schauder, conebel,

Nhung kết quả kinh điển và đầu tiên của lý thuyết về điểm bất động như: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder đã được áp dụng vào ngành toán học hiện đại như: phương trình vi phân, giải tích hàm, giải tích đại số

Với các lí do đó, em đã chọn đề tải:

“Lý thuyết điểm bất động”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện khoá luận tốt nghiệp

Trang 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bắt động trong không gian Banach và không gian định chuẩn hữu hạn chiêu

Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trình tích phân và phương trình vi phân thường

4 Câu trúc của khố luận

Ngồi phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của khoá luận gồm 3 chương

Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3

Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động

Schauder, chứng minh định lý, các ví dụ áp dụng

Chương 3: Áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải phương trình tích phân và phương trình vi phân thường

Trang 5

PHAN 2: NOI DUNG CHINH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này có mục đích xác định một số kí hiệu, nhắc lại một số lý thuyết của giải tích hàm về một số không gian, tập hợp được sử dụng các chương sau

1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1

Ta gọi là một không gian metric một tập hợp XZ Ò cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X x X vào tập số thực [R thỏa mãn các điều kiện sau:

1) (Vx, ye X)d(x, y) > 0,d (x, y) =0<>x= y (tiên đề đồng nhất)

11) (Vx, yeX )d (x, y) =d ( y, x) (tiên đề đối xứng)

iii) (Vx, y,z € X )d(x,y)<d(x,z)+d(z,y) (tién dé tam giác)

Ánh xạ d được gợi là metric trên X, số d(x,y) được gọi là khoảng cách giữa các phân tử x và y, các phân tử của X gọi là các điểm

Kí hiệu không gian metric 1a cap : (X,d) Vi du 1.1.1:

Không gian vécto thuc n chiều R" gém các véc tơ dạng

x=(1,3;, 1,)@¡ elÑ) với khoảng cách đ(x,y)=,Í(x,— y,)} là không ¿=l

gian metric That vay:

i) Vx,ye ",tacd d(x,y)=,/>°(x,—y,) 20 i=l

d(x,y) = 0 <> (xr yi’ = 0 tuong duong x; = yi, (V i= Ln ), (y =Ơ¡)

tương đương x = y (tiên đề (¡) được thỏa mãn)

Trang 6

ii) Vx, y ER"

Dy _y} = Dy, —*, ỷ

i=l i=l

suy ra d(x,y) =d(y,x) (Tiên đề 1i được thỏa mãn)

iii) Vx, y,z ER" ;z=(z),

Ta có: đ(x,y)= [Se -y,) = [Et -z,+z,-y,) i=l Ta phải chứng minh ŸG=z+s—)) <a 24 Y(z-»J (1) That vay: n n d(x, —%; + Z; ~y,) < d(x, ~z,) +L — y,) i=l i=l n

23x —z} 3 (4 —y,} i=1 i=1

+2) (x—z \( s=x)<2 lŠ Ga} Ÿ(,—) (2)

i=l i=l

Dat x, — Z,=4,;Z¿ — y, =b,;

(2) (ab) i=l

BunhlacôpxkI1 Suy ra (1) dung

vay d(x,y)<d(x,z)+d(z,y) (Tién dé iii) được thỏa mãn)

Yia’,>b’, luôn đúng theo bất đăng thức ae

Vậy (IR", đ ) là không gian metric

Trang 7

Định nghĩa 1.1.2

Cho không gian metric M = (X, d), day diém (x, ) cX,điểm x,EX Day (x, ) được gọi là hội tụ tới điểm *„ trong không gian M khi

n—>œ, nếu (Ve >0)(Sm, N”)(Vn >nạ)4(x„,xạ)< e, kí hiệu:

lim x, =X) hay x, > Xx, (n —> 0)

Diém #ạ còn gọi là giới hạn day (x, ) trong khong gian M 1.2.T6 P6 trong khéng gian metric

Dinh nghia 1.2 1:

Cho không gian metric M = (X, d), a e X, số thực r>0 Ta gọi Tap S(a, r) = {x € X; d(x, a) <r} la hinh cầu mở tâm a, bán kính r

Tập S'(a,r) = {x E X;d(x,a) < r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r

Định nghĩa 1.2.2:

Cho khong gian metric M = (X ,d ) và tập Ac X Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu điểm thuộc A là điểm trong của A hay nói cách khác, nếu điểm xe A, thì tơn tại một lân cận của x bao hàm trong A

Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm xe A thì tồn tại một lân cận của điểm x không chứa điểm nào thuộc tập A

Qui ước: ý,X đều là tập đóng

Định lý 1.2.1:

Cho không gian Äƒ =(X,d), tap Ac X và A+z Tập A đóng trong

không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm (z,)C A hội tụ tới điểm x thì

x4

Trang 8

Định lý 1.2.2

Trong không gian metric (X a ) , hình cầu đóng là một tậo hợp đóng

Định lý 1.2.3: Cho (X Jd ) là một không gian metric thi: 1) A, dong trong X,ael thi [) A, dong trong X

ael

2) A, A,, A, dong trong X thi UA đóng trong X

i=l

1.3 Anh xa lién tuc

Cho 2 không gian metric Mĩ; = (X, d;), M2 = (Y, d2) , anh xa f từ không gian M, lén khong gian M,

Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ f gọi là liên tục tại xạceX, nếu

Vé>0,546>0 sao cho Vxe X :d,(x,%,) <6 thi d,( f(x) f (%)) <é

Định nghĩa 1.3.2: Ánh xạ f gọi là liên tục trên A — X, nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm thuộc tập A, khi A=X thì ánh xạ f gọi là liên tục

Định nghĩa 1.3.3: Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập AcX

nếu: Ve>0,3ổ >0 sao cho Vx,x'€ A:d,(x,x')< O thi d,( f (x), f (x')) <é

1.4 Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.4.1: Cho khong gian metric M =(X,d) Dãy điểm

(x, ) CX gọi là dãy cơ bản trong M nếu

(Ve> 0)(an, = N*)(Vm,n > ny) thi d(x,,,%,)<é

Hay

lim d (x„x, ) =0

Từ đây, ta suy ra mọi dãy điểm (x, ) CX hội tụ trong M đều là dãy cơ

bản

Trang 9

Định nghĩa 1.4.2: Không gian Metric M =(X,đ) gọi là không gian đầy đủ

nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ 1.5 Tap hop compact va bi chan

Định nghĩa 1.5.1: Tập hợp K trong không gian metric X goi 14 compat néu mọi dãy điểm { x, } trong K đều có một day con {x„ } hội tụ đến một điểm thuộc K

Định lý 1.5.1.(Định lý về ánh xạ liên tục trên compact)

Cho 2 không gian metric M, =(X,d,),M,(X.d,) và ánh xạ f ánh xạ

M, vào M; Nếu ánh xạ f lién tuc trén tap compact K CX thi

1.f liên tục đều trên K

2 f(K) là tập compact trong không gian M, Định nghĩa 1.5.2:

Cho A là một tậo hợp tùy ý trong một không gian metric X Số đ(A)= Sup d(x, y)

x,yeA

Được gọi là đường kính của tập A, nó có thể là số hữu hạn hay vô hạn Nếu ở (A)<œ thì A được gọi là một tập hợp bị chặn

Từ định nghĩa ta có điều sau:

a) Để tập A là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu S(xạ,)

chứa A

b) Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn và một tập hợp bị chặn 1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach

Giả sử K là một trường số thực IR hoặc trường số phức C Tập hợp

X #ó cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng) Phép cộng xác định trên X x X và lẫy giá trị trong X:

Trang 10

(xy)>x+ y; x,yex

Phép nhân vô hướng xác định trên K x X va lấy giá trị trong X: (A, x) Ax; A EK, x EX

Coi là một không gian tuyến tính (hoặc khơng gian vectơ) nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn

1) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là: a, x+y=y+x,Vx,ycX

b,(x+y)+z=x+(y+z);Vx,y,zc X

c,Tôn tại một phần tử Ð của X sao cho: x + =x, WeX

d,Với mỗi xe X, tồn tại phần tử (-x) của X sao cho x+ (-x) =0 2) 2(x+ y)=2x+^Äy;Vx,yceX,V2Â2ceK

3) (Ä+u}x=Âx+ ux;,Vxc X;VẬ,jue K 4) (Â4u)x=AÁ(u+);Vxc X;VÂ,juc K

5) l.x=x;Vxe X Dinh nghia 1.6.2:

Ta gọi không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) mọi khơng gian tuyến tính X cùng với một ánh xạ từ X vào tập hợp số thực

IÑ, thường kí hiệu là l|.|Í đọc là chuẩn, thỏa mãn các điều kiện:

Với VxeX, ta có II xIl>0 và lIxll=0<©©x=Ø (kí hiệu phần tử không là Ø)

i)Với VxeX và với VÄ eR, ta có: |Ax||=|^|Ìx

iii) Với Vx, ye X,ta có: |x+ y||<||x||+ | x|

sơ lÌ x lÍ gọi là chuân của phân tu x

kí hiệu khơng gian định chuẩn là ( X, )

Trang 11

Định lý 1.6.1: Cho không gian định chuẩn X Đối với 2 vecto bat kì u,v e X Ta đặt: d(u,v) = | — vị

khi đó d là một metric trên X chứng minh:

(1) d(u,v) = Ìu —vl > O(Vu,v E X) do tiên dé (i)

d(u,v) =0<©|#— vÌ=0 cu =y

(2) d(u.v) =|pe-v|=|(-1)(v—u)|=|-1llv -u|= |v - ul] = d(v,u) (Vu, eX)

(3) (Vu,v,w € X); d(u,w) = lu — w| = |(u —v) + (v — w)| < Ìu -y| + lv — w|

= d(u,v)+d(v,w)

Nhờ định lý 1.6.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.6.1) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6.3: Dãy điểm (w„) trong không gian định chuẩn X gọi là một dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu:

(Vz> 0) ( hạ eÑ) (Vm,n >nạ) llw„ — „|| < 8

Hay là:

lim |lu,, —u,||=0

Định nghĩa 1.6.4: Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

Nhận xét 1.6.4:

*Trong kh6ng gian Banach, mot day 1a hdi tụ nếu nó là dãy Cauchy *Khơng gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy

Định nghĩa 1.6.5 (Tính hiên tục)

Cho X, Y là không gian định chuẩn trên trường K, khi đó:

Trang 12

* Toán tử A:⁄ c X —->Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy

(u, ) <M,n=1,2, sao cho: limu, =u voiueM

n—-0o

Suy ra: lim Au, = Au

no

* Toan tu A goi la lién tuc néu Vu,yveM va moi £ >0 cho trước, có một sơ

6 >0, sao cho ||u —v||< ổ thì |Au — Av||< e hoặc với

Vu c M ,lun Áy = Áu

Hơn nữa, có thể chọn số ở >0 trong trường hợp này sao cho kết quả không phụ thuộc vào điểm uc Ä⁄4 thì khi đó toán tử A được gọI là liên tục đều trên M

1.7 Tính lơi

1.7.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.7.1:

Giả sử X là một khơng gian tuyến tính, ÍR là tập các số thực Tập

Acx được gọi là lồi nếu:

t%ụ, x¿ 6A, VÀ 6Â: 0 <24<l D>Ax, + (1—-A)n EA Ví dụ 1.7.1: Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lỗi

Mệnh đề 1.7.1

Giả sử A„ e X (ø e ]) là các tập lôi, với I là tập chỉ số bất kỳ Khi đó A=fnA, cũng lồi

ael

Chứng minh:

Lẫy x,x; 6A khidé x,x,¢A,(Vael) Với Vœe1, do A_ là lồi nên:

Ax, + (1 —A)x2 € Ag (Va €1)

Trang 13

=> Ax,+(1-A)x, EA

Mệnh đề 1.7.2: Giả sử tập A, X, Â; e lÑ (¡= 1, 2, , m) Khi đó: 4A +^A, + + ,„A.„ là tập lồi

Mệnh đề 1.7.3: Giả sử X, Y là các khơng gian tuyến tính, 7: X —>Y là toán tử tuyến tính, khi đó

a) AcX lỗi suy ra 7(A) lỗi

b) BCY lỗi suy ra nghịch ảnh 7 '(B) của ảnh B là tập lôi

Véctơ xe X được gọi là tô hợp lỗi của vectơ x,x,, x„cX Nếu tồn

tại 4, >0(¡ =1, 2, m) dA, =1 sao cho x= y Ax,

i=l i=l

Dinh ly 1.7.1: Gia st Ac X lơi, *¡.X; ,%„€ A.Khi đó A chứa tắt cả các tô

hợp lỗi của x;,x; x,

1.7.2 Bao lồi và bao đóng

Định nghĩa 1.7.3: Giả sử tập A — X, giao của tất cả các tô hợp chứa A được gọi là bao lồi của tap A va kí hiệu là CoA

Nhận xét 1.7.2

a) CoA là một tập lỗi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A b) A lỗi ©CoA=A

Định nghĩa 1.7.4 Giả sử tập Ac X, giao của tất cả các tập lỗi, đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là CoA

Nhận xét 1.7.3:

CoA là một tập đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A Định nghĩa 1.7.5:

Cho M là một tập con của không gian tuyến tính X trên trường K, khi đó ta định nghĩa:

Trang 14

spanM: không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M 1.7.3.Lién tuc trén tap compact

Mệnh đề 1.7.3: Cho M —› [R là một hàm liên tục trên tập compact khác

rỗng M của không gian định chuẩn X Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M

Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng

trường K, và cho A:AX->Y là tốn tử tuyến tính liên tục trên tập

compact khác rỗng M của X, khi đó A là liên tục đều trên M

Định nghĩa 1.7.6 (Toán tử compact) Cho X,Y là các không gian định chuẩn trên trường K Toán tử A:M c X —>Y được gọi là compact nếu:

()A liên tục

(ii)A biến các tập bị chặn thành các tập compact tương đối Hay là nếu

(u, ),n=1,2, 1a day bi chan trong M thi c6 mét day con (u,.),n'=1,2, cua

(u, ) sao cho day (Au,.) hdi ty trong Y

Ví dụ 1.7.5 Xét tốn tử tích phân

Aw(x)= [`F(x.y,w(y))4»,vx e[a,b]

0 <a<b<o Dat:

QO = {(x, y,u) e ` :x, y e la, b], lu| <r, r > 0}, r: cổ định Giả sử rằng, ham s6 F: QR lién tục Tập X =C[ø,b] và

M ={ue X :|u|<r]

Khi đó, tốn tử A:M —->X là compact Thật vậy:

Theo mệnh đề (1.7.4), hàm E liên tục đều trên tập compact Q Chứng tỏ V£ >0, có một số ổ >0 sao cho

Trang 15

|F(x y,u)-F(z,y,v) <£ (1.7.5)

V6i V(x, y, w), (z, y, v) e Q với |x— z|+|wT— v|< ổ

+) Trước hết, ta có tốn tử A: 4 —> X là liên tục

T.V: Nếu „e1 thì hàm số w : /z,bJ — Ñ: liên tục và |⁄(y)|<rvy e[a,b]

Suy raham Au: [a,b] > R lién tuc Cho u,veM Khi đó

u(y)-v(y)|<6 lu — v|| = max q<x<b

Chứng tỏ

|| Au — Av] = max

aSxSb [ LF (%».u(y))- F(x,y,v(y))ay] <(b-a)e

Suy ra A:M > X lién tục

+) Chứng minh A compact Tức là giả sử M bị chặn ta phải chứng minh A(M) là tập compact tương đối

Ta thấy, các giả thiết của định lý Arzela-Ascoli thỏa mãn tức là

1) A(M) bi chan 2) A(M) đồng liên tục *) Thật vậy chứng minh (1)

Đặt M = max F(x,y,u)

(x,y u)eQ , khi đó VucM,

Al|=ma aSx<b [ˆƑ(x.».(y))» <(b—a)M

*) Chứng minh (2), cho |x— z|< ổ và x,z [a,b] Khi do theo (1.7.5) ta cd:

|( Au)(x) -(Au)(2)|s [F(x y.u(y)) -F (z.y.u(y)) ay

<(b-a)e,vueM

Như vậy các giả thiết của định lý Arzela — Ascoli thỏa mãn, do đó A(M) compact tương đối Vậy toán tử A:Ä⁄ > X là compact

Trang 16

Mệnh đề 1.7.5 (Định lý xấp xỉ đối với các toán tử compact)

Cho A:M cX >Y là một toán tử compact, ở đầy X, Y là các không gian

Banach trên trường k, và M là tập con bị chặn, khác rỗng của X Khi đó, với

mọi + = ],2, ,, có một day toan tu lién tue A,:M —>Ÿ sao cho

1

Sup||Au —A,u||S— va dim (Span A,(M)) <œo

ucM H

Cũng như

A, (M ) = CoA(M )

1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều: Địng nghĩa 1.8.1

Cho X là không gian định chuẩn N- Chiều trên trường K,N=1,2, ,m

Một cơ sở {s,, y„} của X ta hiểu là tập hợp các phần tử ¢,, e, cla X sao

cho Vue X đều có thể biểu diễn được dưới dạng I = 0€, + + duy

Với ø,, ư„ eR, xác định duy nhất bởi u Các số ø,, „ được gọi là

các phần tử của u

Mệnh đề 1.8.1

Cho ( uạ) là một dãy trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X dimX>0, khi do, u, >u trong X khi noo, néu va chi néu day cac thanh phần tương ứng (Với một cơ sở cô định) hội tụ đến các tọa độ tương ứng của u trong X

Hệ quả 1.8.1: Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian Banach

Hệ qủa 1.8.2: Cho M là một tập con của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, khi đó:

1) M là compact tương đôi nêu và chỉ nêu nó bi chặn

Trang 17

2) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng

Mệnh đề 1.8.2:

Cho M là tập con khác rỗng, lồi và bị chặn, đóng của khơng gian định

chuẩn X, ở đây M có một điểm trong, khi đó M đồng phơi với hình cầu

B={ueX ul] <1}

Ménh dé 1.8.3

Cho M là tập khác rỗng, lồi, compact của không gian định chuẩn hữu

hạn chiều X Khi đó, M đồng phơi với các N- đơn hình và trong X, N = 1,2 (N - đơn hình trong X được định nghĩa ở chương sau)

CHƯƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BÁT ĐỘNG

2.1 Nguyên lý ánh xạ co banach

Định nghĩa 2.1.1 (định nghĩa ánh xa co)

Giả sử X và Y là hai không glan metric tùy ý, ánh xạ ý: X —->Ÿ được gọi là ánh xạ co nêu 31 một sô @ €[0,1) sao cho Vx,,x, eX ta déu cé

d(f(%).f(%))sad(x,%)

Hién nhién, mét anh xạ co là liên tục đều

Định lý 2.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach)

Giả sử X là một không gian metric đây đủ và A:X —>X là một ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó, tơn tại một và chỉ một điểm xeX sao cho

Ax=x

Chứng minh:

*) Vì A là ánh xạ co từ X vào chính nó nên 1ø c[0,1) sao cho d(Ax,Ax') < ad(x,x');Vx,x'eX

Trang 18

*) Lay xạ eX, đặt

*„=AX,i;n=L,2,

Ta có:

d(x,,x,)=d(Ax,, Ax, )< ad (x,,x,)=ad(x,,AX,)

Tuong tu d(X,,X;)S ad (x,,x,)< ad (Xx, AX, ) (vi d(x,,x,)<ad(x),A%)) d(x„.x„¡)< œđ(x„ ,,x„) < < đ".4 (xạ, Axạ) Do đó Vn, p =1,2, 4(X„:%„ „) < đ(X„›%„.) + đ(X„.\›X„„.; ) TT dÂX„.„ 1s3„., ) <(œ' +Q"" + +a0"*? ld (x), AX) ,l-a? = a" d(x,,Ax, ) <a d(%, 4%)

Vi O<a@ <1 nén lima” =0 Suy ra: limd(x,,%,.,)=0 Vp =1,2 Do do {x,} 1a day co ban

*) Vì X là không gian đủ, nên dãy (x, ) hội tụ

Gia st limx,=x € X

Taco: d(Ax,x)<d(Ax,x, )+d(x,,x]

— d(Ax,Ax, ,) + d(x,,x]

Trang 19

< a.d(x,x, 1) + d(x,,x) >0 (n>)

Suy ra Ax =x hay x là điểm bất động của ánh xạ A

*) Giả sử lại có x eX:Ax =x

d(x,x`) = d( Ax, Ax’ | < ad(x,x")

Suyra (1-a)d(x,x")<0

Vì0<ơ< 1 suyra I-ơ>0 từổó: một đại lượng dương <0

mà đ(x,x`) of

Suy ra d(x,x")=0>x=x"

Vậy điểm bất động là duy nhất

Ví dụ 2.1.1

Cho ham sé x(t) khả vi trên [0,1];0< x(t) <1Vt €[0,1]

O<x'(t)< sv [0.1] Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình: x(t)-t=0 (1)

Giai:

Giả sử £” là nghiệm (1): x(?”)}=z” Tức f° 1a diém bat dong Đặt X=[0,1]cIR

: không gian đủ | Suy ra X là khong gian du X =[0,1]: đóng

Xét x: [0, 1] lR

Nhưng theo giả thiết 0< x(z) <1 nên x:[0,1]~>[0,1]

Ta kiểm tra x là ánh xạ co không 2

Vt,,t, €[0,1]

Trang 20

Ix(¡,)— x(,)|=|x'()(, —+,)|=|x')|l,—s|< hi -1,| (DL lagring) suy ra d(x(t,),x(t)) sid (tt)

suy ra x:[0,1] [0,1] là ánh xạ co

suy ra 3W”: x(£`)=f Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2.1.2

Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoảng [1,+o) vào chính nó xác định bằng

cơng thức Ax=x+T, X

A có phải là ánh xạ co không? A có điểm bất động khơng? Vì sao?

Giải: Ta có [1,+©) là tập con đóng của [§ với metric đ(x, y) =|x — y|

Do đó [1,+œ) cùng với metric [§ lập thành một không gian metric đây Xét ánh xạ A:[1,+00) b> [1,+00)

1 XE> Áx=x+—

X

Giả sử A là ánh xạ co suy ra A có điểm bất động duy nhất hay 3!xạ e[1,+œ)

sao cho

Xọ = Ảo

1 1 A

t-ang đ-ơng #=#*+ suyra =0 (v6ly)

Xo Xo

Vậy A khơng có điểm bất động do đó A không là ánh xạ co Ví dụ 2.1.3 :

Cho không g1an metric đây M=CŒ, d), một ánh xạ f ánh xạ hình cầu đóng

Trang 21

S’(xo, r) = {x €X: d(x, x9) Sr}

vao X sao cho tén tai p,O<p<1,déV x, y € S’(Xo, r) déu có:

* đŒ(x), f(y)) < pá(x, y) * d(f{xo), Xo) S(1 — p)r

Chứng minh răng f có điểm bất động duy nhất trong S”(xạ, r)

Giải:

Trước hết ta chứng minh f là ánh xạ S”(xọ, r) vào S”(xạ, r) Thật vậy, với mọi X € S’(Xo, r) ta co:

A(f(x), Xo) SA(f(X), f(Xo)) + A(f(xo), Xo)

< p.d(x, xo) + (1 -—p).r<p.r+(1—p).r Suy ra d(f(x), xo) < r tic la f(x) € S’(xo, 7)

Vậy ta có anh xaf: S’(xo, r) > S’(xo, r)

Do S’(xq, r) 1a mét khéng gian con đóng của khơng gian metric đầy X, nên Š”@&ø r) là không gian metric đầy với metric đã cho trên X Kết hợp với giả thiết thứ nhất ta suy ra ánh xạ:

⁄ 5 6œ r) ->Š (%o r)

là ánh xạ co, đo đó f có điểm bắt động duy nhất trong ,Š”(x¿, r)

2.1.2 Với metric xác định trong định lí 1.6.1 ta có cách phát biểu khác của nguyên lí ánh xạ eo Banach trong không gian định chuẩn như sau

Giả sử rằng

(a) M là một tập đóng, khác rỗng trong không gian Banach X trên trường K (b) Toán tử A:M —>M thỏa mãn || Au — Ap| <k|lu —v|ÌVu,v eM (2.1.2) và

k cố định, & e[0,1)

Khi đó các kết quả sau là đúng:

¡) Tôn tại và duy nhất nghiệm u của phương trình u=Au (2.1.3)

i)Với mỗi uạ e M đã cho dãy (w„) tạo bởi

Trang 22

w„.; = Âu, ,n=0,1

Hội tụ đến nghiệm duy nhất u của phương trình (2.1.3) Ta chứng minh 11)

Trước hết, ta chỉ ra rằng (z„)là một dãy Cauchy Thật vậy, với mỗi

n=1,2, Su dung (2.1.2) Ta c6:

lee —u,||=||Au, — Au, _,|| <u, -—u,_,||=k|Au,_, -— Au,,_.|

<k?|b„ ¡ —w„ ;|< <k"

Bây giờ, với ø = ],2, và mm = 1,2, từ bất đăng thức tam giác ta có:

Hạ a Un sm| — (4, 7 Uy.) + (Un 7 Uy.) + + (H„ ; 7 Unim)|

< lu, ~ Un + fee, 1 ~ | Ft Ì, ; ~~ H nimll

< (k” +k tt ker Vi, |

Sk" (L+k +h? + 4k"") |, —uo|

< k"(1-k) lu, — ||

Vi k e[0,1) nén k" +0 khi no Vay day (u,) 1a day Cauchy do X là không gian Banach nên dãy (ø„) hội tụ tới một phan tr we X hay w„ —>u

khin- oo,

Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn u của phương trình (2.1.3)

Từ u,¢M và w¿= Âu, cùng với A(M)CM và uc Tương tự bằng quy

nạp ta được u,,, =Au, vau, €M,Vn=0,]1,

ViM dong, taco wEM,suyra AueM Theo (2.1.2) ta có:

||Au, — Aul|<k|lu, —u|| 0 khi no

Cho no tr u,,, =Au, tacd: u=Au

Trang 23

2.2 Định lý điểm bat động Brouwer

Định lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lí thuyết điểm

bất động, đó cũng là một trong định lý cơ bản của giải tích phi tuyến Ở đây, tôi sẽ nêu lên cách chứng minh của Knaster, Kuratowski và MaurarklewIcz, dựa trên một số kết quả tô hợp của Sperner Trước tiên ta hãy nhắc lại một vài

định nghĩa sau Định nghĩa 2.2.1

Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là n — đơn hình nếu S= Co{u,,w,, ,M } VỚI Up U,, 4,EX va cac vécto

Ủ, —Mạ,M; —Hạ, ,ú —uạ, độc lập tuyến tính Các điểm u, dugc goi 1a dinh,

bao lỗi của k+1 đỉnh được gọi là k- diện của S

Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia 5 thành các n - đơn hình con nếu giao nhau phải là một diện chung của hai đơn hình đó

Đối với một tam giác phân của S, sperner (1928) đã đưa ra là một phép gán cho mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số O,1, m theo qui tắc

sau đây: Nếu Co{uạ,w,, ,u,} là diện nhỏ nhất của S chứa v thì v được gán

cho một trong các số lọ lỊ, lạ

(Như vậy đỉnh u, phải được gán số ¡)

Ta gọi đó là phép gán số Sperner Ví du 2.2.1:

Trong tam giác ¿w„ ba đỉnh được gán số lần lượt 0,1,2, các đỉnh của đơn hình con nằm trên cạnh uu, duge gan số ¡ hoặc k các đỉnh thuộc phan trong tam giác được gán số 0 hoặc 1 hoặc 2

Sau khi gán số, đơn hình con nào có các đỉnh được gán đủ các số

0,1, ,n thì được gọi là đơn hình “tốt”

Trong ví dụ trên có 5 đơn hình tốt

Trang 24

1 2 1 2

Bồ đề 2.2.1 (Sperner 1928)

Với phép gán số Sperner, trong một phép tam giác phân một đơn hình bat kỳ ln có một số lẻ các đơn hình tốt

Chung minh

Ta sé chimg minh bang qui nap theo sé chiéu a)Voin=1

Don hinh 1a doan u,u,, dinh u, duge gan số 0, dinh u, duge gan sé 1,

các đỉnh còn lại của các đơn hình con nhận các sô 0 hoặc 1 (hình vẽ)

01 1 0 1

Gọi k là số đỉnh (của các đơn hình con) nhận giá trị 0 (nếu là đỉnh chung được tính 2 lần) Ta có k là số lẻ vì chỉ có một đỉnh nhận số 0 ở đầu mút, còn các đỉnh nhận số 0 thuộc phần trong thì được tính 2 lần

Gọi h là đỉnh nhận số 0 mà đỉnh còn lại (Của đơn hình con chứa đỉnh đó) cũng nhận số 0

Số đơn hình tốt bằng k- h là số lẻ Vậy bố đề đúng n = 1 b) Giả sử bố đề đúng với n=m

c) Ta đi chứng mính bồ đề đúng với n = m +1

Trang 25

Gọi k là số các m — diện (diện m chiều), mà các đỉnh được gán các sỐ 0,1, ,m (gợi tắt là diện tốt) của (m+1) — đơn hình con

Khi do k =k, +k,

Với k, là số diện tốt nằm trên biên của đơn hình gốc S

k, là số các diện tốt thuộc phần trong của S

Vì biên của biên S chứa các diện tốt chính là m — diện Co{u,, ,,} của

S, cũng là một m — đơn hình, theo giả thiết qui nap k,11,k,ch⁄zn vx mợi diOn tét thuéc phCn trong là chung cho hai đơn hình con nên được tính 2 lần Vậy k lẻ

Gọi h là số diện tốt mà đỉnh còn lại không được gán số m+1 Vay đỉnh

đó sẽ được gán một sỐ trong các số 0,1, m Vì vậy (m+]) — đơn hình con

của chứa diện đó phải chứa 2 diện tốt Do đó h là số chẵn Vì vậy (m+1) — đơn hình tốt bằng k— h Nên phải là số lẻ

Bồ đề được chứng minh

* Trước khi đến bổ đề KKM Ta đưa ra 1 số định nghĩa

Định nghĩa 2.2.2: Cho n = 1,2, , và cho X là không gian tuyến tính trên trường K, n- đơn hình S =Co{u,, ,u, }

1 r2" „ được gọi là trọng tâm của hình S n+ j=l

Khi do, diém b=

Định nghĩa 2.2.3: Một phép chia nhỏ bởi trọng tâm của 1- don hinh,

S =Cof{u,,u,} 1a tap hop của hai 1- đơn hinh S, = Co{b,u,}, S, =Co{b,u,}, 6

đây n là tập trong tam cua S

Tổng quát, phép chia nhỏ bởi trng tâm của n-đn hxnh S vii

träảng t©m b lụ tÊp hip tất cả các n— đơn hình Co{b,v,, ,v,} Ở

đây v,, v, là các đỉnh của (n-1) đơn hình bắt kỳ thu được từ phép chia nhỏ

bởi trọng tâm của (n-1) — diện của S

Trang 26

Định nghĩa 2.2.4: Cho một đơn hình Š = Co{u,,,, ,u„} Khi đó, mỗi điểm

xeS được biển diễn duy nhất dạng x=) Xu, voi x, 20, » =1 Và mỗi

1=0 i=l

+, được gọi là tọa độ trọng tâm của x, nó cũng biến đôi liên tục theo x

Bồ đề 2.2.2: Bồ đề knaster, kusutowski, Mazurkirwicz (bố đề KKM)

Cho S =Co{u,, ,.u,} 14 mét n — don hình trong khơng gian định chuẩn

hữu hạn chiéu X, n=0,1,2 , giả sử đã cho cac tap dong C,, C, trong X sao cho

k

Co{u, ., }< U C, (2.2.2)

Với tất cả các bộ chỉ số {iạ, /,} và mọi k=0,1, n Khi đó có một

điểm bắt động v trong S sao cho ve C,, j =1,2, ,m" Chứng mình:

Nếu n=0 thì S gồm 1 điểm riêng lẻ và kết quả của bố đề là hiển nhiên

đúng

Bây giờ ta xét với n > Ì

Bước l: Ta xét một phép tam giác phân sŠ,, ,S, của 5 và thực hiện phép gán số như sau:

Lẫy một đỉnh v bất kỳ của 3, (của đơn hình con) 7 =l,2, ,J

Ở đây veCo(u, u, } với k=0,1, ,n

Từ (2.2.2) suy ra có một tập C, sao cho v € Cự Ta sẽ gán cho v số k đó và kí hiệu là v, Vậy với mỗi zc{0,1, n} ta đều có v„ cC, Đặc biệt, các đỉnh v, của § phải thuộc Œ,(¡=0,1, ,z) Cách gán số này cũng thỏa mãn điều kiện của Sperner Vì vậy theo bố đề 2 sperner, phải có ít nhất một đơn

Trang 27

hình con là tốt (được gán các số từ 0 đến n), tức có một đơn hình con s,mà đỉnh mang các số 0,1, n Vì vậy, các đỉnh v,, ,v, cua S, thỏa mãn điều kiện:

v„ eC,, Vk =0,1, ,n

Bước 2: Ta xét l dãy các phép tam giác phân của đơn hình Š sao cho các đường kính của đơn hình trong phép tam giác phân gần đến khơng Lẫy ví dụ, có thể chọn một dãy các phép chia nhỏ bởi trọng tâm của S

Theo bước 1 các điểm v, 0) c C,, Vk =0,1, n va n=1,2,

Sao cho

lim 6Co{v,f9, v®1=0 (2.2.3)

N-»e

Vì đơn hình S compact, có một dãy con, vẫn được xác định bởi (v,™) sao cho y,“? >y khi W —>œ và ye S Từ (2.2.3) ta có:

vu" =v khi N —->œ, Vk =0, ,m

Vì tập C, đóng nên suy ra ve y, V & = Ú, , n

Trên cơ sở hai bỗ đề vừa nêu và các khái niệm quan trọng về đơn hình,

ta có cách chứng minh định lý điểm bất động Brouwer 2.3 Định lý điểm bat d6ng Brouwer

Cho M là một tập khác rồng, lôi, compact trong không gian định chuẩn hữu hạn chiéu X trén truong K khi đó, tốn tử hên tục A:M —>M có một điểm bất động

Chứng mình

Bước 1: Các đơn hình

Cho S là một đơn hình n chiều trong khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều và cho toán tử

A:S > Slién tuc, trong d6 n=0,1, ta cần chứng minh rằng A có 1 điểm bất động

Trang 28

* Nếu n = 0, tập S gồm 1 điểm riêng lẻ, kết quả trên hiển nhiên thỏa mãn

* Nếu n = 1, ta sẽ xét trong ví đụ 2.2

* Néu n = 2, thi S= Co {uo, uy, uo} (hay S 1a một tam giác, khi đó, với mọi ueS ta déu c6 thé biéu diễn

U=Q,(u)u, + a, (UU, +A, (U).U, VOI OS Q,,a,,a, <1 va

A, +,+a,=1 (2.2.4)

Suy ra u—u, =a,(u)(u, —uy) + a, (u)(u, —Uy) Va a,(u)=1-a,(u)-—a@,(u)

Từ tính chất độc lập tuyến tính của 4 —w„,w„ — wạ, ta có các tọa độ trọng tâm Q,(u),a,(u),a,(u) của điểm u xác định duy nhất bởi u và liên tục phụ thuộc

Vào U

Đặt C, ={ueS: a,( Au) <a, (w)}.j=1.2

Vi dat a, (.) và A liên tục trên S nén tap C, dong, j=1,2

Hơn nữa điều kiện quan trọng (2.2.2) trong b6 dé KKM théa mãn, nghĩa là:

k

Co{u, „ M; } C UC k =0,1,2

Thật vậy, nếu điều này khéng dung thi cd 1 diém ue Co{u, , U;, }

k

Sao cho u £ UC, nghĩa là:

Ai, (Au) > ai, (u),Vm =0, ,k va k =0,1,2 (2.2.5)

Điều này mâu thuẫn với (2.2.5) Thật vậy, nếu đôi số các đỉnh thì điều kiện (2.2.5) có nghĩa là:

đ,(Aw) > ø,(w).Vj =0, k và k=0,12 (2.2.6)

Hon ntta vi we Sva Au eS, nén từ (2.2.4) ta có

a,(u)+a,(u)+a,(u)= 1 va a,(Au)+a,(Au)+a,(Au)=1 (2.2.7)

Nếu k=2, công thức (2.2.6) sẽ không thể xảy ra vì (2.2.7)

Trang 29

Nếu k=l hoặc k=0 thì u © Co {uo, u;} hoadc u e{u,} va do vậy

a,(u)=0 hoae a,(u)=a,(u)=0 Tương ứng lại có (2.2.7) mâu thuẫn (2.2.6)

Bồ đề KKM chỉ ra rằng có một diém ve S sao cho ye Œ,,Vj =0,1,2

Sử dụng (2.2.7) với w =v, ta có #,(Ay)= ø,(v),Vj =0,1,2

Suy ra Ay=v Vậy v là điểm bất động của A trong trường hợp n=2

* Nếu ø >3 ta sử dụng lập luận giống như với n = 2 để chứng minh

Bước 2: Gọi M là một tập con khác rỗng, lỗi, compact trong không gian định

chuẩn hữu hạn chiều X Khi đó, theo mệnh đề 1.8.3 Tập M đồng phôi với các

n - đơn hình S Sử dụng kết quả bước 1, ta có tốn tử liên tục A:M —>M có

một điểm bắt động

Vậy định lý điểm bất động Brounwer được chứng minh Hệ quả 2.2

Toán tử B:K ->K có một điểm bất động nếu K là tập con của một không gian định chuẩn sao cho nó đồng phôi với tập M như đã xét trong định lý điểm bat dong Brouwer

Chứng mình: Cho C:M —> K là 1 phép đồng phôi Khi đó tốn tử

C'B.C:M—°—->K—->K—€—>M liên tục

Theo định lý điểm bất động Brouwer, có một điểm bất động u của A=C'.B.C, nghĩa là

C*(B(CŒu)) =u; VueM

Dat v=Cu, ta có Bv = v,yc K, nghĩa là B có một điểm bất động duy nhất

Ví dụ 2.2 Cho #⁄ =[a,b], với =<ø<b<+œ Khi đó, mỗi hàm số liên tục

A:[a,b] >[a,b] có một điểm bất động u

Đây là một trường hợp đặc biệt của định lý điểm bất động Brouwer

Trang 30

Ta sẽ chứng minh trực tiếp Đặt: Bu=Au-u Vue|a,b]

Vi A(a),A(b)e[a,b] nén A(a)>a;A(b) <b Suy ra B(a)>0 và B(b)<0

Theo định lý giá trị trung bình, hàm số thực B có một điểm „ e[a,b]| nghĩa là

B(u)=0, suy ra A(u) =u, vay ham s6 lién tuc

A:[a,b]—>[a,b] có một điểm bất động

2.4 Định lý điểm bất động Schauder

Năm 1930, Schauder đã chứng minh 1 định lý điểm bất động của toán tử compact A:M —>M Vẫn như Banach, ông xem xét toán tử compact A trong không gian định chuẩn, tuy nhiên tập M phải thỏa mãn các điều kiện: khác rỗng, đóng, lồi, bị chặn

2.4.1 Định lý điểm bất động schauder

Toán tử compact A:M —->M có một điểm bất động u nếu tập M là tập con khác rồng, đóng, lơi, bị chặn của không gian Banach X trên trường K Chứng mình:

Cho uy €M ; thay thế u bởi —Hạ, nếu cân có thê giả sử rằng 06M Theo định lý xấp xi đối với toán tử compact (mệnh đề 1.7.5) ta có, với mỗi

n = l,2, có một không gian con hữu hạn chiều X, cua X va 1

Toan tr A,:M —>X„ sao cho

|A(u)-A, (w)| <= VueM (2.2.8)

n

Dat M,=X,AM

Suy ra, M, la tap con bi chan, dong, lồi của X, voi OEM, và A, (M) Cc CoA(M ) <M (viM16i)

Trang 31

Theo định lý điểm bất động Brounwer, toán tử A,:ÄM, ->M„ có 1 điểm bất động u,, nghiala A,u, =u, ,u,EeM,; Vn=1,2 (2.2.9)

Từ (2.2.8), suy ra

Vì M„CM; Vn=l,2, suy ra dãy (z„) bị chặn

Vì A:M —>M là tốn tử compact suy ra có 1 dãy con vẫn được xác

định bởi (u„) sao cho

Au, —>v khi n—>œ Từ (2.2.10)

Iy—w,|<|y— Aw,|+ [Áw, —u,||—>0 khí n—>œ

Khi đó:

Vi Au, eM,Vn=1,2, va M là tập đóng suy ra yeMí Hơn nữa, từ tốn tử A:ÄM —->M, nên có Áy =v,vcÄ Vậy định lý được chứng minh

Nhận xét: Trong định lý điểm bất động Schauder nếu dimX <œ thì định lý

này cũng chính là định lý điểm bất động Brouwer

Trang 32

CHUONG 3: MOT SO AP DUNG CUA DINH LY DIEM BAT DONG

3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường

3.1.1 Bài toán 1:

*Xét phương trình vi phan:

dx(t 19 _ r(,x() (te) (3.1)

Với điều kiện ban đầu

x(fa)= *o (3.1)

Trong đó íạ,xạ là 2 số cho trước, ƒ(z,u) là hàm liên tục cho trước của

2 biến z,u(z,ue ) Giả thiết rằng ƒ (z,z) thỏa mãn điều kién Lipschitz theo

biến u, theo nghĩa sau đây:

Với mỗi số nguyên đương n tôn tại một hằng số 7,= L{n) >0

Sao cho Vt e[—n,n] ta đều có If (t,m)- f (tug) < Liu, —Ha|

Chứng minh rằng (3.1) với điều kiện (3.1*) có một nghiệm duy nhất

x(t) xác định và liên tục trên đường thẳng thực

*) Thật vậy, ta thấy hàm số ƒ liên tục nên phương trình (3.1) với điều kiện (3.1) tương đương với phương trình tích phân:

x(t)=x9 +f) f(s.x(s))ds (3.2)

Ta lẫy một số nguyên n khá lớn sao cho he [—n,n] và gợi

C, =C[—n;n| là không gian các hàm số x(?) xác định và liên tục trên đoạn [-n,n] Voi 4 >1 là một số cô định tùy ý

Trang 33

Ta đặt:

đ„(x, y)= max ¿ 2M) |x(?) — y(t)|(x, yeŒ,)

|t|<n

Dễ dàng kiểm tra đ„ là một metric trong C„ Hơn nữa, nêu

d(x, y) = max x(t) — y(t) (x, ye C,,) |t|<n

-ALA

ở đây

A = max {n- to, + fạ} tức d và dn tương đương với nhau

Mà (C,,đ) là một không gian metric đầy đủ Từ đó, suy ra (C,,d,) là

một không gian metric đây đủ Xét ánh xạ

F:C, >C,

Xác định bởi công thức

(F(z))Œ) =X) + J,7(s.x(s))4 (xEC,) Ta chứng tỏ F là 1 ánh xạ co đối với metric dạ

Thật vậy, mỗi x, ycC„ ta có

d,, (F (x), F(y)) — max e MH al

lt|<n I LF (s.x(s))-s(s.»(s)) Jas fo

< max el Lf |x(s) — y(s)|ds

|/|<n

h

Với 1, là đoạn [z;,z] nếu £ >íạ hoặc đoạn [z,z„ | nếu íạ >í

Từ định nghĩa metrIc dạ, ta có:

x(s)- y(s|=e "9# |x(s) — v(s)

< c2H:-®|¿~^Hs~n| |x(s) _ y(s)

Trang 34

< eso] d,, (x,y)

Vay Jlx(s) — y(s)|ds <đ,(%, y).|e "8" "l4; =đ,(z y)(4L)” em -¬])

I, h

<d,(x,y II etd

Từ đó, suy ra rằng

d,, (F(+).F()) <Ä 4, (x,y) mà 4 >1 Do đó F là ánh xạ co

Theo nguyên lý ánh xạ Banach có duy nhất một hàm x, =x, (t)EC,

Sao cho: x, = f (x, )

Tw dinh nghia anh xa F, ta suy ra rang:

*) x, =X, (t) là nghiệm duy nhất của phương trình (3.2) được xác định trên đoạn [—n,n]

*) Nhu vậy, với mỗi số nguyên dương n sao cho líạ|< Phương trình tích

phân (3.2) có một nghiệm duy nhất x„ = x„ (r) xác định trên đoạn [—n,n]

*) Nếu m, n là 2 số nguyên đương sao cho lfa|<m<n thì từ tính duy nhất của

x,» ta suy ra rang

X(t) =x, (¢) khi |e] <n

Vi vay ham

x(t) =x, (t) khi |¢|<n

Duge x4c dinh Vre và là nghiệm duy nhất của phương trình (3.2) trên toàn bộ đường thăng thực

3.1.2 Bài toán 2:

Ta cân giải bài toán ban đâu sau: tô

„*ạTh<x<x¿+h_ (3.3) U(X) =Up

Trang 35

V6i (xo, uo) € R* Ta sé tim 1 nghiém u = u(x) của (3.3) sao cho

u:[xo-h,xo th] OR (3.3*) Kha vi va (x, u(x)) €S, Vx € [xo-h, xo +h]

Trong do

S ={(x,u) eR? :|x—x9] <r, > \., voi r ; cỗ định Dat x é C [xạ— h, xạ + h] và M ={xeX :|#—wa||<r}

Ta xác định chuẩn: |u| = _Imax Je(x)

Xg -hSxSxg+

Ta xét phuong trinh tich phan

=U, +[ F ))ay; #q—=hSŠxSxạ+h,ucM (3.4)

Cùng với phép lặp

Uns ( x)=uy +] F( w„(y ))dy,xạ — h<x<sx ,+h,n=1,2, (3.5) VỚI u, (x) = Uv

Ménh dé 3.1:

Gia sử

(a) Ham sé F : S SR liên tục và có các đạo hàm riêng F„: $ —>ÏÑ cũng liên tục

(b) DatM = max |F (x, u)| va L=max

(wes F (x, và chọn số thực h trong trường hợp này sao cho 0< h<r, hM <r, và hL<]

Khi đó, các điều sau là đúng

(¡) Bài toán ban đầu (3.3) có nghiệm duy nhất dạng (3.3*) (ii) Đây là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân (3.4)

(iii) Day „„ tạo bởi (3.5) hội tụ đến u trong không gian Banach X (V)Với ứ=Q,1, , ta có đánh giá sa1 số

Trang 36

lu, —z||<&*(I—n) la =9]

ena —4| Sk" (1-n)|w,,, -u,|| voi k= AL

Chứng minh:

Bước 1: Định nghĩa toán tử qua

x)= +] F ))dy.xạ—h<x<x;+h

Khi đó phương trình (3.4) tương ứng với bài toán điểm bất động

Au=uyueM (3.4*)

Với „ eM ,hàm số: :[xạ —h,xạ + b]—»IR liên tục tà

(x,u(x)) ES,VxE[x)—h,x) +h]

Suy ra ham số F:x->F (x,u(x)) cing lién tuc trén [xp —h, xo + h]

Và hàm số

Au:[xạ—h,xạ+h|—>lR_ liên tục

Vậy ta có một tốn tử A:Ä⁄ —> X, ta chứng minh được 1) A(M)cM

2) |Au— Av|| < k|[ — v||,u,v eM,k e|[0.1| Thật vậy

1)Với „eM bất kì, khi đó

Ia y,M ())2|<|x- Xạ| maX F(y,u)|< hM <r (y.„)e5

Với Vxe [xX —h,x9+ hị Hay

Au —wo[= max [}r(»x(s))2 <r Từ đó, suy ra AucM

Trang 37

2)Theo định lý giá trị trung bình

LF(x, u) — F(x, v)| = LF„{x, w)lÌu — vÌ <L Ì w - vị

V(+,u).(x,v)<S

Khi đó, Vu,ycM Ta có

J.Ir,.G0))-F (v.»(y)) fo

<hL max lz(y)—v(y)|=k|w—v|| với k=nL<1

Xụạ—-h<xSxụ+h

|A+ — Arl = max

*g-h<x<xụ+h

Vậy các giả thiết của định lý điểm bất động Banach thỏa mãn áp dụng định lý

với phương trình (3.4*)

Bước 2: Sự tương đương Gọi u là một nghiệm của phương trình (3.4)

Lẫy đạo hàm (3.4), ta có hàm số u cũng là một nghiệm của bài toán giá trị ban

dau (3.3) -(3.3*)

Negugc lai, goi u la mot nghiém cua (3.3) — (3.3*) Tich phan cua (3.3) cho thấy hàm số u cũng là nghiệm của phương trình tích phân (3.4)

Chứng tỏ, hai bài toán (3.3)-(3.3*) và (3.4) tương đương Vậy mệnh đề được chứng minh

Ví dụ 3.1 Bài toán ban đầu

ha — x Là

u (x,u) Xx °F

lA oe lA

Bile Kile

u(0)=0

Có nghiệm duy nhất trên tập Š = |(«+) elR?:|x|< oH < |

*Thật vậy, ta có hàm sô

F:S>lR

; 1 là hàm liên tục và có đạo hàm riêng F, = + cũng liên tục

(x,u) box + 4 4

Trang 38

*Dat M = max F(xw|==~+-==—-

(xu)es 64 16 64

Va L= max F(x,u)|=— (x,u)eS 4 1

Theo giả thiết ta có h = air =< Khi đó 0<h<r,hM < r,hL <1

Do đó, các mệnh đề điều kiện mệnh đề (3.1) đều thỏa mãn nên bài toán trên ln có nghiệm duy nhất trên tập S

Ta tìm nghiệm duy nhất này Phương trình ban đầu có dạng: u'— a =+z”, phương trình đặc trưng của nó là

A-1=0—=A=Ä1, Do A=1zo0 nên ta có:

4 4 4

Tìm nghiệm riêng ue (x) dưới dạng

u (x)=Ax +Bx”+Cx+D

Thay vào phương trình ban đầu, ta có

3Ax? +2Bx+C—2 (Ax + Bx? +Cx+D)=x'

Đồng thời hệ số, ta thu duoc A=—4; B =-48, C =-384 D=-1536

Suy ra

u(x) =—4x° — 48x° —384x - 1536

Vi vậy, nghiệm của phương trình là:

1

u=Cye* —4x° — 48x” —384x —1536

Do u(0) =0>C; =1536 nên nghiệm duy nhất là

1

u=1536e4 —4x3 — 48x? —384x -1536

Trang 39

3.2.Áp dụng vào phương trình tích phân

3.2.1 Bài tốn 3

Ta muốn giải phương trình tích phân

x)=A[ F( x,y,u(y))dy+ f(x) asx<b 6)

Bằng phương pháp lặp

"„ Í x)=A[ F( *,y,„(y))dy + ƒ(x)sa<x<b,n=0/1,

ở đầy -coo<a<b<œ

Mệnh đề 3.2 Giá sử có các điều kiện sau: 1) Hàm số ƒ: [z.;|—>R liên tục;

2) Ham sé F: [z.ø]~x[a.b]xIR—>RR liên tục và đạo hàm riêng

F, :[a,b]x[a,b]xR —IR cũng liên tục;

3) Có 1 số L sao cho LF, (x, y,u) <L,Vx,ye€[a,b],ueR 4) Có một số thực 4 cho trước sao cho (b—a)|A|L<1:

u(x);

Khi đó, các điêu kiện sau đây được thỏa mãn

5) Tap X =C[a,b] va ||u|| = max

aSx<b

¡ Bài to,n ban đầu (3.6) có một nghiệm duy nhất e X ; ii) Day (u, ) tạo bởi (3.6*) hội tụ đến u trong X,n=1,2 ili) Vn =0,]1, ,ta co cac đánh gia sai sé:

lu, —ul)s&"(1-k)

| — z||< k(1 -k)}” |h„ — u„|| với k=(b—a)|Ã|L:

Chứng mình: Định nghĩa tốn tử:

x)=Aj F( X, YU y))dy + f(x )ạ a<x<b

Trang 40

Khi đó, phương trình tích phân (3.6) tương đương với bải toán điểm bất động u=Au

Nếu u: [a, b] >R lién tyc thi ham s6 A, :[a,b] > R citing liên tục Vậy ta có

tốn tử A: X > X

Theo định lý gía trị trung binh, v6i Vx, y e[a,b] va Vu, v € R, dw € R sao cho

IF’ (x, y, u) — F(x, y, v)| S F(x, y, w) ll u — vi < Llu—v|

Suy ra

|Au— Av] = max|(Au)(x)—(ay )(x)] $|4|(6—a) Lmax je(x)—v(x) Suy ra ||A— Avl|< k||u — vÌ|,Vu,vc X,k =(b— a)|A|L

Đặt M = X =C[a,b] Khi đó, định lý điểm bất động được thỏa mãn Vậy bài

tốn được chứng minh

Ví dụ 3.2: Phương trình tích phân tuyến tính

Cho phương trình tích phân

u(x)=Af k(x,y)udy + f(x); aSx<b (3.7)

Giả sử hàm số K:[a,b]x[a,b] >R va f :[a,b] >R lién tuc va

- 1

be masa) whey

Khi đó, phương trình (3.7) có 1 nghiệm duy nhất Thật vậy, ta chỉ ra giả thiết mệnh đề 3.2 thỏa mãn:

+) Ham sé f :[a,b]>R lién tuc

+) Do K:[a,b]x[a,b] >R lién tuc nén céc ham F :[a,b]x[a,b]x RoR

(x, y,u) b> F (x, y,M) = k(x, y)u

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	4,98 MB