Lý thuyết hàm giải tích khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

Khéa tuận tốt nghiép Fe dug DaihocS pham Fa W6i 2

LOI CAM ON

Trong quá trình nghiên cứu và hồn thành khĩa luận này, em đã nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cơ giáo trong tổ giải tích nĩi riêng và trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nĩi chung Em xin

bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đối với các thầy giáo, cơ giáo, đặc biệt là thầy giáo

1.S Nguyễn Văn Hùng, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hồn thành khĩa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên những vấn đề mà

em trình bày trong khĩa luận này sẽ khơng tránh khỏi thiếu sĩt Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đĩng gĩp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn sinh viên để khĩa luận của em được hồn thiện hơn

Trang 2

Khéa luda tét aghiép Fe bung DaihoeS pham Fa Wéi 2

LOI CAM DOAN

Trong quá trình nghiên cứu khĩa luận “ Lý thuyết hàm giải tích” em cĩ sử dụng một số tài liệu tham khảo đề hồn thành khĩa luận của mình Danh sách tài liệu tham khảo này em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khĩa luận

Em xin cam đoan khĩa luận được hình thảnh bởi sự cố gắng nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Hùng cũng như các thầy cơ trong tơ giải tích Đây là đề tài khơng trùng với đề tài

của các tác giả khác

Trang 3

Khéa luda tét aghiép Fe bung DaihoeS pham Fa Wéi 2 MUC LUC "9671007755 4 CHUONG 1 MOT SO KIEN THỨC CHUẨN BỊ . . 6 LL S6 phe eccecceccsecssessseessecsscssecssesssessscssecsuesssesssesssessecssecssecsuecsuecsseesseeaseease 6 1.2 Một số khái niệm và định lý về giới hạn -¿ ¿+ ©cxecrscee 11 1.3 Ham bién phitte eceeceesecssesssesssesssesssesssesssesssesssesssesseessecsuecssecssecssecssesssease 13

CHUONG 2 HÀM GIẢI TÍCH .-2e 5° se ©ssevsseevssesvssevsse 20

2.1 Sự khả vi của hàm số biến số phức . - 2 s¿+2+se+cxscrxeerrsee 20

2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann 2-©225+£+2EE+EEE+EEESEEESEEEeEkesrkerrkerrk 24 2.3 Ham Qiai tich oe ad 32 2.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm - 2-2-5 ©2£©E+E££E£+EE+EEerkerrsrrerk 33

CHƯƠNG 3 MỘT SĨ TÍNH CHẤT VẺ TÍCH PHAN

HÀM GIẢI TÍCH - 52-52 cssecsssevssevsse 36

3.1 Tích phân hàm biến phức .- 2-2 ©+s+2+++2+E+E+E+EEE+EEESEEEtrEkrrkerrkree 36

3.2 Định lý Cauchy về tích phân hàm giải tích

trên đường cong đĨng .- - + + 55x +sxkeeEeeeeexrrreree 39 3.3 Một số định lý quan trọng của hàm giải tích 2- s+se+=ce+z 44

CHƯƠNG 4 CHUƯI HÀM GIẢI TÍCH 5< s<sses5sse 48

4.1 Một số định lý về chuỗi hàm giải tích -2 2255 5c cEzcxecrsrree 48

4.2 Phân tích một hàm giải tích thành chuỗi 2 252552 5552252252 52

4.3 Một vài điểm đặc biệt của hàm giải tích c ccccccccxeccrrxeee 60

KET LUAN .Ơ 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO .-e 5< 5< se se ssssseEssevssevssersserssere 64

Trang 4

MO DAU 1 Ly do chon dé tai

Giải tích là một thành phần trọng yếu của tốn học Đã cĩ rất nhiều nhà Tốn học nghiên cứu chuyên sâu về lĩnh vực này, đặc biệt là giải tích phức Tuy nhiên, đến giữa thế kỷ XIX nhờ các cơng trình của Cauchy, Riemann, Weierstrass thì bộ mơn hàm số biến số phức mới được xây dựng tương đối hồn chỉnh và trở thành một bộ mơn độc lập

Một trong những nội dung quan trọng của hàm số phức đĩ là các vấn đề

liên quan đến các hàm số giải tích Nội dung của nĩ khơng những cĩ giá trị lý

luận rất sâu sắc mà nĩ cịn ứng dụng một cách cĩ hiệu quả trong việc giải quyết hàng loạt vấn đề khĩ trong nội dung tốn học ( bài tốn phân phối số nguyên tố, tính các tích phân suy rộng ) cũng như giải quyết các vẫn đề lớn

của thực tiễn ( các bài tốn của lý thuyết đàn hồi, nước thắm, bài tốn nỗ mìn

định hướng, các bài tốn của thủy khí động hoc )

Chính vì những lý do trên, cùng với niềm yêu thích mơn giải tích và được sự gợi ý, hướng dẫn tận tình của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng em đã

mạnh dạn chọn đề tài “ ý /huyết hàm giải tích” làm đề tài khĩa luận tốt

nghiệp cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp các kiến thức về hàm giải tích 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

g Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về sự liên tục, khả vi cũng như các tính chất về tích phân và chuỗi hàm giải tích

ø Phạm vi : Nội dung kiến thức nằm trong phạm vi của giải tích phức 4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết hàm giải tích

Trang 5

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích tài liệu cĩ liên quan và tổng kết kinh nghiêm của bản thân 6 Cấu trúc khĩa luận

Khĩa luận gồm 4 chương: Chương I, em trình bày một số kiến thức cơ

bản về hàm số biến số phức, dãy và chuỗi hàm phức Chương 2 là nội dung

Trang 6

Khéa luau tot aghiép Fe ờng DaihoeS: pham Fa (ơi 2

CHUONG 1: MOT SO KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Số phức

1.1.1 Định nghĩa

Như ta đã biết trong tập hợp số thực phương trình bậc n (n>2) khơng phải bao giờ cũng cĩ nghiệm, ví dụ như phương trình x”+1=0 Vì vậy cần phải đưa vào một loại số mới cĩ bản chất tổng quát hơn Tắt nhiên khi đưa ra loại số mới này, ta phải trang bị trên nĩ một số phép tốn mà phép tốn này phải phủ hợp với phép tốn đã cĩ trên số thực Cĩ nhiều phương pháp để đưa vào loại số mới này, ở đây ta đưa vào số ¡ (đơn vị ảo) là nghiệm phương

trình x°+1=0, và ta xây dựng lên số mới đĩ là số phức

Dinh nghia 1.1.1

Số phức là số cĩ dạng z= x+iy, trong đĩ x,ye¡ và ¡ được gọi là đơn

viảo +I=0

x: được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu Rez y: được gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu là Imz

Xét mặt phẳng xOy, số phức z là một cặp cĩ thứ tự x,y của các số thực x,y

Mặt phẳng xOy lúc đĩ sẽ được gọi là mặt phẳng phức, ký hiệu là £ Khi đĩ, trục hồnh gọi là trục thực và trục tung gọi là trục ảo

Trang 7

Cho số phức z= x+iy , số phức cĩ dạng x—¡y được gọi là số phức liên hợp của số phức z Kí hiệu Z Nghĩa là Z=x+iy=x—iy 1.1.2 Các phép tốn trên số phức Trên tập số phức ta trang bị các phép tốn như sau: a, Phép cộng Ta gọi tổng của hai số phức z, = x, +iy,,z, =x, + iy; là số phức Z= x,+x, ti y,+y, ,kihigu z=z,+z, Từ định nghĩa, ta cĩ các tính chất sau: 1,Kéthop: 4+2z, +4=%+ 21g 2, Giao hốn : z¡ + z; = ấ; + Z¡ b, Phép nhân

Tích của hai số phức z, = x, + iy,,z¿= +; + iy„ là một số phức

Z= X3;—y\y; +ỉ Xy,+x2y, , kíhiệu z= Zz¿

Các phép tốn trừ và chia của số phức được đưa ra như là các phép tốn ngược của cộng và nhân

Hiệu của 2 số phức z¡ và z, kí hiệu là z¡— z„ và thương của z, và z, z¿#_ kí hiệu là z:z„ hoặc z,/z;.Ta cĩ : —⁄= X—%; Tỉ W—3; đ = = XX, + x —* ziy,=z5.lz5, = È2 31L}: „¡123 — XI}; 152 = “l4 Í S222 24 2 24 2 xy + Wy X44 Vy 1.1.3 Dạng lượng giác của số phức

Trang 8

Gọi độ dài của Oz lar Tacé r=AJx + yŸ

Đại lượng r được gọi là modul của số phức z và là một số thực khơng âm

Hướng của Oz được xác định bởi

gĩc ø Gĩc này được tạo thành bởi chiều dương của trục Ĩx và Oz VỚI

z0 Gĩc ø này được gọi là acgumen của số phức z Như vậy về mặt hình học, số phức z được xác định hồn tồn bởi 2 đại lượng r và ø Chúng được gọi là tọa độ cực của số phức z.Kíhiệu r=lzl P=argz

Cha y : Modul cua SỐ phức được xác định duy nhất, cịn acgumen được xác định sai khác một bội của 2Z

Dựa vào hình vẽ ta cĩ : x= rcosớ y=rsinø va Zz= x+y= rcosØ + 1rsinø

=7 cOSØ+1SIn@ (1.1.1)

Đây chính là dạng lượng giác của số phức

Trang 9

Khéa tuận tốt nghiép Fe dug DaihocS pham Fa W6i 2 ls.z;-z,|=|sLlss|-|, TL AIE Zj.Z„ = > are z, k=l

Trong trường hợp mọi thừa số đều bằng nhau, nghĩa là:

4=£ k=l,2, m thìta cĩ cơng thức Moivre như sau z"=|r C€OSØ +1SIn@ ver cosng +isinnge (1.1.3)

Dựa vào dạng lượng giác và cơng thức (1.1.3) ta cĩ thể tính được các căn thức của số phức Ta gọi căn bậc n cha số phức z, kí hiệu alz , trong dé n 1a sé ty nhién, là một số phức bất kì ý thỏa mãn đắng thức: go =z (1.1.4) Nếu z=0 thì rõ ràng ¿ =0 Nếu z #0, ta đặt Z=r coSs0+1sinø &=p cosa+isina thi p" cosna+isinna =r cos@+ising nghia la: p =r va argé =? _ arse n Do đĩ ¿= 4z = alr (cos 2 + isin “Ê*) (1.1.5) n n

Vì arg được xác định sai khác k2Z nên lz cĩ nhiều giá trị khác nhau Giả sử ta lấy n giá trị sau đây của arg:

Trang 10

Vi n gid trị trên đều cĩ cùng modul (bằng alr ) nên chúng cùng nằm trên một đường trịn tâm tại gốc tọa độ và bán kính là alr Ngồi ra, vì acgumen của chúng sai khác một đại lượng ;r k=0,1,.,z—1_ nên chúng tạo thành một n đa giác đều n cạnh Ví dụ 1 Tìm tắt cả các giá trị Vi a wT , 7# Ta cĩ i= cos, + isin nén Vị=en( + lv 24 22) k=0, 1 4 2 4 5 5z _ -A|2 zy = cos + isin 5 = 2 i+] 4 4 2 Vidu2 Tìm mọi giá trị của V1, n-s6 ty nhién Ta cĩ WM = cos “+ igin 2“ k=0,1 ,n-1 n n

Nhu vay c6 n gia tri cua can bac n cua 1, tao thành các đỉnh của một đa giác

Trang 11

1.2 Một số khái niệm và định lý về giới hạn

1.2.1 Lân cận

Định nghĩa 1.2.1 : Khoảng cách giữa hai diém z,= x,,y, ;z¿= x;,y; được

định nghĩa là modul của hiệu z¡ — z,,

nghĩalà đ zz;¿ =|z,-2,|=y 4-2 “+ yy

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử £ là một số dương bất kỳ, ta gọi tập hợp các điểm ze£ thỏa mãn bat đẳng thức

d 24% <£

là £ - lân cận (gọi tắt là lân cận) của điểm z¿€£, ký hiệu Ứ z,£

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử ø là một số dương bất kỳ, ta gọi tập hợp các điểm ze£ thỏa mãn bat đẳng thức

O<d z,% <é

là ¢ -1an cn thủng của điểm z„ e £

Chú ý : Khái niệm lân cận thủng hay được sử dụng trong trường hợp ta muốn loại chính điểm zạ ra khỏi tập đang xét

1.2.2 Giới hạn

Định nghĩa 1.2.4 Điểm z¿€£ ( hay thuộc £ ) được gọi là điểm giới hạn của tập DC£ ( hay thuộc £ )nếu trong bat ky lân cận thủng nào của Z, ta cling tìm được ít nhất một điểm của D

Dinh nghia 1.2.5 Day a, n=1,2, duoc goi la anh xa cua tap hop cac số tự nhién n=1,2, vao mat phang £ (hay £)

Điểm ae£ (hay thuộc £ ) là điểm giới hạn của dãy a„ m=1,2, nếu trong mọi lân cận cua a ta cĩ thể tìm được vơ hạn phần tử của dãy đĩ

Nếu z là điểm giới hạn duy nhất của dãy đĩ thì ta nĩi rằng đãy

Trang 12

a, — n=l,2, hội tụ về ø và ta viết lima, =a n n->e

1.2.3 Tập mở, tập đĩng

Cho A là một tập tùy ý trong £

Ta gọi tập S z,r = zek£ :|z-z9|< r_ là hình cầu mở tâm Zo bán kính r Tập Ss Zor = z€£ ‘|Z Z9|S r lahinh cau dong

g Diém zạ¿ được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại hình cầu mở

Sz rca

g Diém Z duge goi là điểm ngồi của A nếu tồn tại hình cầu mở S zr AA=D

g Diém Z goi la điểm biên của A nếu với mọi S Zoo đều chứa những

điểm thuộc A và những điểm khơng thuộc A

g Điểm z¿ gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận của z¿ chứa ít nhất một

điểm của A khác z¿

g Điểm Z; gọi là điểm cơ lập của A nếu tồn tại một lân cận Ù của z¿ chứa

duy nhất một điểm z„ e A

Trên cơ sở đĩ, ta cĩ một số định nghĩa như sau :

- Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A Hay nĩi cách khác , nếu điểm ze A thì tổn tại một lân cận của z bao ham trong

A

- Tập A được gọi là tập đĩng nếu mọi điểm khơng thuộc A đều là điểm ngồi của A hay nĩi cách khác, nếu z# A thì tồn tại một lân cận của z khơng chứa điểm nào thuộc A

Trang 13

- Tap A được gọi là tập liên thơng nếu khơng tồn tại hai tập mở E,,E, thoa

mãn điều kiện ACE,UE,; ANE,AE,=2 ASE.zØ; AoE,z@ - Nếu tập A là tập mở và liên thơng thì tập A được gọi là miền 1.3 Hàm biến phức 1.3.1 Định nghĩa Giả sử De£ là một tập tùy ý cho trước.Một hàm biến phức trên D với các giá trị phức là một ánh xạ : f: DoE Hàm phức như vậy được kí hiệu w= ƒ z ;zeD Các ví dụ : 1 Ánh xạ z-> ƒ (z)=az+b xác định một hàm gọi là hàm nguyên tuyến tính trên D 2 Anhxa z> f (z) ; c £0 xac dinh mot hàm gọi là hàm cz+d phân tuyến tính trên =£ \{ = ;—® } (sau này ta thường giả thiết bc~ ad # 0) Bằng cach viét w=u+iv; u= Rew; v=Imw, ham ƒ cĩ thể viết dưới dạng f(z) = u(z) + iv(z) Hai ham u,v duge goi là hàm phần thực và phần ảo của f u(z) = Re f(z) = (Re f(z) w(z=Inf z= Inf z 1.3.2 Giới hạn của hàm số

Giả sử w= ƒ z là một hàm số xác định trên tập hợp DC£ Ta nĩi

rằng hàm số w= ƒ z cĩ giới hạn là wạœ khi z—> z¿ nếu hàm số

Trang 14

w= ƒ z thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau đây :

¡, Nếu dãy z„ bấtkỳ z„el2 hội tụ về z¿ thì dãy w,= ƒ z, cũng hội

tụ về Wo

¡,, Với £e>0 bat ky, ta déu tim được ổ £ >0 sao cho nếu z thuộc vào lân cận thủng U' z,,6 thi weU wy,é

Nĩi một cách cụ thể: Cho hàm số ƒ z xác đỉnh trên 2c£ Số œe£ được gọi là số hữu hạn của f z tai z néu:

Ve>0, 3ổ>0: Vze D, s=zạ|<ở=|ƒ Zz ~d|<£

Khi đĩ ta viết lim ƒ z =ø, hoặc ƒ z -># z—>1ạ

Đỉnh lý: Giả sử hàm f z =u x,y +iv x,y xác đính trên D va

zạ= xạ +íy, là điểm giới hạn Số hạng œz=a+ib là giới hạn của hàm số

ƒ z taidiém z, khivachikhi limu x,y =a, limv x,y =b

X—>Xy XX

yr Yo Y0

Điểm xa vơ tận ø= œ e£ tJ{œ} gọi là giới hạn của ƒ(z) khi z->z¿ nếu với mọi R >0, tổn tại lân cận U cia zạ sao chol ƒ(z)l>RVzcU

1.3.3 Tính liên tục, liên tục đều

Cho hàm số ƒ xác định trên tập tùy ý DC£ với giá trị trong £ và

zạ€ D là điểm tụ của D

Hàm ƒ gọi la lién tuc tai z, nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn : ¡, Nếu Z, la điểm cơ lập của D hay nĩi cách khác tồn tại lân cận U

Trang 15

Ta thay rằng điều kiện ¡¡, tương đương với một trong hai điều kiện sau : ¡, Ve>0, 3 một lân cận U của z, sao cho:

|ƒ z =ƒ s|<eVzeUaD ¡,, Nếu z„CD,Z„ —> zạ thì

Viết ƒ(Œ)=,(z)+iŒ),zeD Khi đĩ ƒ liên tục tại Zy = Xy tiv) € D khi va chi khi u,v liên tục tại ( xạ, yạ)

Hàm ƒ_ được gọi là liên tục trên D nếu nĩ liên tục tai moi diém ze D Ham f duoc goi la lién tuc déu trén D néu

Ve>0,1650,V z,,z,#%31z,-z, kd > |f(z)-f Zz, Ixé

R6 rang néu f liên tục đều trên D thì cũng liên tục trên D Ta cĩ mệnh đề sau:

Trang 16

là các hàm liên tục trên hình trịn đơn vị

Nhưng ƒ z khơng liên tục đều trên hình trịn đĩ Thật vay: 1 1 r Với #=—,r>—, 3 20 779 z=l-—r, z¿=l—— Khi đĩ: hãm 2 1 2 |z- z|=><r nhưng l z-f % =-? 2 ror 1 r >l>£

=> f z khơng liên tục đều trên hình trịn |z|< I

Vi dụ 2: Chứng minh rằng trên nửa trục thực Rez<0 hàm số w=argz gián đoạn

Giải: Hàm số w = argz là hàm số đơn trị và xác định Vz #0

Gia su z, =x, là một điểm tùy ý thuộc nửa trục thực Rez< 0 Ta cĩ lim arg z= limarg x+iy = lim artg| 2+ z] =a yo y0 IK xX XX XX 2% „>0 x XX XX lim arg z= limarg x+iy = lim arte{ 2 z) =-Z „>0

=> limargz#limargz =>hàm số gián đoạn trên nửa trục thực Rez<0 Định lý: ( Hàm số liên tục trén tap Compact)

Cho ham w= f z lién tuc trén tap Compact K C£ Khi đĩ:

gf z liên tục đều trên K gf z bị chặn trên K

gf K la tap Compact trong £ 1.3.4 Đường cong Jordan

gø Một đường cong trong mặt phẳng phức là một ánh xạ

Trang 17

7: ab ->£ a,b Cj

yt=xttiyt; tea,b

trong do x t , y ¢ là các hàm thực liên tục trên đoạn a,b

ø Đường cong gọi là đơn nếu mọi t,,t,€ ab 3t,#t,5 23 t,t, # a,b đều cĩ 7 t, #7 t, Nếu z a =7 b thì đường cong gọi là đĩng (hay khép kín) gĐường cong gọi là trơn nếu các hàm x £ và y £ cĩ đạo hàm liên tục ' 2 ' 2 va x t + yt #0 V/c a,b g Duong cong goi là trơn từng khúc nếu cĩ hữu hạn số a=t<t< <t,=b

sao cho 7, £ =7 f ;f€ t,,,t, ; i=1,2, ,n la đường cong trơn Hay nĩi cách khác, đường cong liên tục tạo bởi hữu hạn các đường cong trơn được gọi là trơn từng khúc

ø Đường cong khơng cĩ điểm tự cắt tức là khơng tồn tai t,t, € a,b

dé xt, tiyt, =xt, tiyt, va xt, tiyt, #x a tiy a goi la dudng

cong Jordan Dudng cong Jordan kin cịn gọi là chu tuyến

gGiả sử 7 là một chu tuyến trong £ Khi đĩ đường 7 chia mặt phẳng £ thành hai miền Một miền bị chặn (khơng chứa điểm +œ ) gọi là miền trong

và kí hiệu là D, (hay D; ) Va hiển nhiên ta cĩ oD, =y7

gNếu mọi chu tuyến 7 nằm trong miền D déu thoa man D, cD thi mién D duoc goi la miền đơn liên Nếu tồn tại các chu tuyến Z¡.7; Sao cho các miền D, ,D,,, khơng bao ham trong D thi D goi la mién da lién

Trang 18

Xét dãy hàm biến số phức ƒ,, ƒ, ƒ, (1.3.1)

cùng xác định trên tập tùy ý Dc£

Dãy hàm (1.3.1) được gọi là hội tụ tại ze D nếu dãy số ƒ, z “_ hội tụ

Nếu dãy (1.3.1) hội tụ tại mọi ze Ð thì ta nĩi nĩ hội tụ trên D Trong trường hợp giới hạn của dãy là hữu hạn trên D, ta đặt ƒ z = lim ƒ, z,zeD ta được hàm ƒ:2->£ và hàm ƒ này được gọi là hàm giới hạn của day (1.3.1) và ta viết ƒ = lim ƒ, Nĩi cụ thể hơn, hàm ƒ là hàm giới hạn của day ham ƒ, trên D nếu Ve>0VzeD3N z,: : |ƒ, s —ƒ s|<e£ Nếu Ve>03N £ chỉ phụ thuộc vào £ sao cho , z—ƒ z|<# Vn>N s và VzeD thì ta nĩi dãy hàm f, hội tụ đều tới ƒ trên D ø Chuỗi hàm

Giả sử ƒ,„ là một dãy hàm trên 2C £ , khi đĩ biểu thức hình thức

fit fitout fru df, (1.3.2)

n=

được gọi là chuỗi hàm trên D

Với mỗi n=1 ta dat S, z =) f, z z€D thìta được dãy hàm S, trên

k=l

DvàS, z được gọi là tổng riêng thứ của chuỗi

Trang 19

Khi chuỗi (1.3.2) hội tụ thì đại lượng Đ, z =ƒ z —Š, z = > ƒ⁄, z gọi

k=n+l

là phan dư thứ n Do đĩ nếu chuỗi (1.3.2) hội tụ (hội tụ đều) thì day R, hdi tụ (hội tụ đều) tới khơng, nghĩa là chuỗi (1.3.2) hội tụ đều nếu với £ >0 tùy

ý, tồn tại số M £œ chỉ phụ thuộc vào £ sao cho với mọi đ>M £_ ta cĩ

| f z-S, z |<£

Nếu chuỗi cĩ dạng » c„z" được gọi là chuỗi lũy thừa

n=l

Trang 20

Khéa luau tot aghiép Se ờng DaihoeS pham Fa (ơi 2

CHUONG 2: HAM GIAI TICH

2.1 Sự khả vi của hàm số biến số phức

Giả sử hàm số w= ƒ z =u x,y +iv x,y xc dinh va hitu han trong

một lân can nao dé cua diém z, = xạ + jy, € £

Ta cĩ một số định nghĩa quan trọng sau đây: Định nghĩa 2.1.1

Hàm số w= ƒ z gọi là khả vi theo nghĩa thực (hay theo nghĩa ¡ ?) tại điểm ấp nếu các hàm số u=u x,y ,v=v x,y kha vi tai điểm Xg›s 3o

Trang 22

Từ đĩ ta tính được A= op = a Dinh nghia 2.1.2

Cho hàm số w= ƒ z xác đinh trên miền D ; z,¢ D Cho sé gia Az

sao cho z¿ + Aze 7 Khi đĩ cĩ số gia của hàm là : Aw=f z+Az -—f % Nêu tơn tại và hữu hạn lim ~~ thì giới hạn này được gọi là đạo hàm phức £ ; ¬ ds gp! df của ƒ tại z¿.Ký hiệu là ƒ z¿ hay % Zo: z ^ : _}: Aw

Nhu vay f z = lim Ae

Hàm ƒ cĩ đạo hàm phức tại z„ cũng được gọi là khả vi phức hay £ - khả vi tại z¿ Và khi đĩ

Aw=f z Az+o Az

voi o Az_ là vơ cùng bé bậc cao hơn Az khi Az->0

Ta gọi dw= ƒ ` z¿ Az= ƒ' z¿ đz là vi phân của hàm ƒ z tai z

+Az —

Ta cĩ lim | f z+Az —f z J= lim 1 2t& Azs0 Az -f z 4,

Do đĩ nếu ƒ £ - khả vi tại z thi:

lim C/ +Á =/ z ]=0

nghĩa là ƒ - liên tục tại z

Trang 23

f z/gz g % #0 cũng khả vi phức tai z, v6imoi a, Bef va i, aftBg wm =af % +Bg % i, fg 1a =Ỹ 5 81 Tƒ 6 8 $g i, fle 4 <= % 8 % —f = g = Š ủ, Nếu w= ƒ z khả vi phức tại z¿,cịn g w_ khả vi phức tại Wạ= ƒ thì hàm hợp go ƒ khả vi phức tại z¿ và of ạ =6 ƒ 8 |Ý % Vídụ: a, Tacĩ z =l, theo cơng thức ¡, và quy nạp theo n taco: n n-l Z =Hz Từ đĩ, nếu ƒ z =agz'+ +d, f z =najz"'+ 44,, b, Cho ham f z= z :Z#— 2z-1 ` 2 Khi đĩ / ; {T12 2z-1 2 22-2: 2z-1

Như vậy ƒ £ - khả vi tại thọ

c, Từ ví dụ b ta suy ra nếu f z =P z /0 z là hàm hữu tỷ thì nĩ £ - khả vi tại mọi z mà nĩ xác định

Nhận xét : Ta cĩ thể thấy rằng khái niệm khả vi phức khác với khái niệm khả

vi thơng thường của hàm biến thực

Trang 24

Vidu, ham f z = Zz tương ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực

F: x,y a x,-y Hàm này khả vi theo nghĩa thực Tuy nhiên ta thấy điều kiện tồn tại các đạo hàm thực khơng báo đảm tính khá vi phức

Thật vậy: Cĩ TS lít

Cho Az—>0 theo trục thực thì ta cĩ giới hạn trên là 1 Khi Az-—>0 theo trục ảo thì giới hạn trên là -1

Như vậy biểu thức trên khơng cĩ giới hạn khi Az—> 0

Để hàm ƒ khả vi phức , ngồi điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng

ta cần điều kiện Cauchy-Riemann 2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann Định lý 2.2.1

Để hàm ƒ£-khả vi tại z=x+iyeD, điều kiện cần và đủ là f 1 °—kha vi tại z và điều kiện Cauchy-Riemamn sau được thỏa mãn tại z

OH ey eM ys Hy a Bay y oy ox (2.2.1)

Ching minh

Điều kiện cần : Giả sử ƒ £-kha vitai z=xtiyeD Khi đĩ tồn tại giới hạn :

: +Az -

foc stim LETS ASE py axsiay

Az>0 Az

Vi giới hạn này khơng phụ thuộc vào cách tiến đến 0 của Az (cĩ thể chọn Az tiến tới 0 theo hướng Ox hoặc hướng Oy) nên nếu ta chọn Az= Ax, ta cĩ:

Trang 25

uxtAx,y -uxy v xtAx,y -v xy = lim +ilim Ax Ax>0 Ax Ax>0 Tức là u va v cĩ đạo hàm riêng theo x tại x,y va f z = ou x,y xi xy (2.2.2) Ox 3x Tương tự bằng cách chọn Áz=iAy ta cĩ : ơ ơ f z _ x,y Sy x,y (2.2.3) So sánh (2.2.2) và (2.2.3) ta được : Ou ov Ou Ov a BY =z MY 5 oy Ox `

Bây gio ta con phai ching to u x,y vav x,y khavitai x,y That vay: vi f £-kha vi tai znén

Af=f ztAz -f z=f zAzto hz (2.2.4)

Trang 26

Ou Ou

Au v= Sar Fayre |Az| = = Fans Bayt, |Az|

Ov Ou ov

Ay vas Art Ay +0, |Az| = Far Say to, |Az| Điều đĩ cĩ nghĩa là w và w khả vi tại x,y

Trang 27

A Az Az

=> jim =lim wl tiv + | ly ;Ơ | |

\>0 Az Az>0 Az Az

|Az| +i0, |Az]

=u +iv, +iim CEO Te PN ey i, Az>0 Az * * A > tim haw +iv, Az>0 Az Tức là ƒ—£ khả vi tại z= x+iy gNhan xét : 1, Giả sử ƒ là ¡ ? khả vi tại zeDCc£ Theo cơng thức (2.1.3) và (2.1.4) ta cĩ : 2 of df = ác đt dc ự= Oz Trong đĩ : Of _1feu ov) if dv ov =| —+— +3 ——— Oz 2\Øx ơy} 2(ơx dy of lf ou_ ev), if ev ov % 2\Øx dy) 2\dx dy Do đĩ nếu ƒ thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemamn tại z nếu và chỉ nếu “=< =0 (2.2.5) Nĩi cách khác, hàm ƒ - ¡ ” khả vi tại z là £ — khả vi tại đĩ khi và chỉ khi of =z =0 Oz 6

2, Từ nhận xét trên ta thấy, nếu ƒ -£ khả vi tại z thì ta cĩ :

Trang 28

Ta cĩ thể thấy rằng điều kiện (2.2.5) làm cho lớp hàm khả vi theo nghĩa giải

tích phức là rất hẹp so với lớp hàm khả vi theo nghĩa thực Trong giải tích phức, việc tìm ra một hàm số liên tục trên một khoảng nhưng khơng kha vi tai bat kỳ điểm nào trong khoảng ấy được coi là một việc khơng cĩ gì khĩ khăn Vidunhu ham f z =u x,y +iv x,y sau đây:

f Zz =cosx+ 3iy f 2 =3y+5ix

déu khong thoa man diéu kién Cauchy-Riemann, nghĩa là khơng khả vi mặc dù chúng liên tục tại mọi nơi

Hơn nữa, chúng ta cũng thấy rằng, đối với hàm số biến số phức, hai khái niệm khả vi theo nghĩa £ và cĩ đạo hàm là tương đương nhau Tuy nhiên, vì ý nghĩa quan trọng của nĩ, ta vẫn nêu lên và chứng minh định lý sau đây :

Định lý 2.2.2

Điều kiện cần và đủ để một hàm số w = f z ,xac định trong một lân

cận nào đĩ của điểm z„c£ , cĩ đạo ham tại điểm z„ là tại điểm đĩ, nĩ khả vi

theo nghĩa £

Điều kiện đủ : giả sử tại Z) ham số khả vi theo nghĩa £ , nghĩa là w= ƒ z khả vi theo nghĩa ¡ ˆ và x Z =0 Theo đăng thức df = was chaz ta

Trang 29

Khéa tuận tốt nghiép Fe dug DaihocS pham Fa W6i 2 -, Af of , F Az 0 Az Az Oz OzAz Az 8 ; , Do % z¿ =0 nên từ đăng thức trên ta cĩ: OZ Af _ of , o kz Az Oz Ag Af 9 Từ đây ta suy ra lim Sf = of A0Az Oz Giới hạn trên khơng phụ thuộc vào vị trí tiến đến khơng của Az nghĩa là + ask 6 w= ƒ z cĩ đạo hàm tại điểm zạ¿ và đạo hàm đĩ là ns Zz Diéu kién can : Gia sir tai z,, ham s6 w= f z cd dao ham la A=a,+ia, xa Aƒ , ¬ Khi đĩ : en A+n Az trong do 7 Az là một vơ cùng bé khi Az—>0 Zz Từ đẳng thức trên ta suy ra : Af =Au+iAv= a,t+ia, Axt+idy +7 Az Mat khac Au at Ax Ay to Az Ox oy Ava avs Vv Ayto Az Ox y ou ov ou ov Ou Ov Ou_ dv Do d6 —=a; —=a,; —=-a,; —= h =; SS - men Ox “ Ox x Oy x Oy ay ox Oy Oy Ox nghĩa là hàm số w= ƒ z thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemamn Do đĩ ƒ z

Trang 30

Giải : Ta cĩ ƒ z =|c|Rez=xJx°+ y? =u x,y tiv x,y v x,y =0 > 24 2 Vz=xtive£ ux,y =xj|x +y Ta hãy kiểm tra các điều kiện Cauchy-Riemann đối với hàm số này tại các điểm z0 Ta nhận thấy : [2 2 _ 2x? 2x ty” _ ty S +y = +y? Vì vậy, tại những điểm z=0ta cĩ : Az|.Ax tim af © = jim AIAY = 0 > f 0 =0 4290 Az Az>0 Áz

Vậy hàm số ƒ z =|z|.Rez chỉ khả vi duy nhất tại điểm z=0 và ƒ` 0 =0

Trang 31

=> f z thỏa mãn diéu kién Cauchy-Riemann tai z=0 Nhung ham số

khéng tén tai dao ham tai z=0 Thật vậy :

A Fe _ 1m |ŠXÂY af _ mg ŸAxy Ấy lẤy JÍAxAy Ax—iA

A30 Áz - Ac20Ay+tiAy A0 Ay? + Ay? =ằœ \f Z Nghĩa là khơng tồn tại giới han lim tai z=0 Az => hàm số đã cho khơng khả vi tại z = 0 Bài tập tương tự : 1, Đặt z= re” Ta cĩ ƒ z =w r,Ø +iv r,0 a Chứng minh rằng ƒ z thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann nếu và chỉ , Ou 1 Ov Ơy -1 Cu nêu : —= ér rg’ ér rap ; =

( điều kiện Cauchy-Rlemamn dạng tọa độ cực)

Trang 32

Khéa tuận tốt nghiép Fe dug DaihocS pham Fa W6i 2 Ou Ou 1 ou với r=x|x°+ y2 và @=arcrg > ,khi đĩ -== < =cosø— —< -sỉn 7 ? 8 x Ox Or ? r 0g ? tương tự ta cũng tính được < Kết hợp điều này với phần a, ta suy ra được Ox f z = D(H) cos — isin Ox Ox \Or Or ? ?

2, Cho hai hàm số thực x,y vav x,y khả vi theo nghĩa giải tích thực

Chứng minh rằng điều kiện để hàm số w= ƒ z =w x,y + x,y kha vi

theo nghĩa giải tích phức cĩ thể biểu diễn bằng đẳng thức : Vu,Vv =0 \Vul=|Vv} Ổu +ỉ—; Vy=—+i— Ou ov .Ov Ox Oy Ox Oy Trong do Vu=

Vu,Vv_ 1a tích vơ hướng của hai vecto Vu,Vv

Từ trước tới giờ ta mới chỉ đề cập tới sự khả vi của hàm số w= ƒ z tai mot điểm Sau này ta sẽ thấy sự hạn chế của khái niệm này và thấy tính chất quan trong của một hàm số khả vi trong một lân cận Và những hàm như vậy người ta gọi là hàm giả tích

2.3 Hàm giải tích

2.3.1 Định nghĩa

Trang 33

Ta cĩ thể chỉ ra ví dụ về một hàm số khả vi tại một điểm nhưng khơng

chính hình tại điểm đĩ :

Hàm số w= ƒ z =|) =x + y=zz

Rõ ràng là kha vi theo nghĩa ¡ ? trên tồn mặt phẳng phức £

_ O ¬ ta gs aed sad pean ands coxe be Tuy nhién a =z chỉ triệt tiéu tai diém z=0, vi thé trén toan mat phang £ ,

z

hàm số w= z.z chỉ khả vi theo nghĩa £ tại z=0 nhưng khơng chỉnh hình

tại điềm đĩ

Chú ý : Trong một số trường hợp ta cịn phải xét sự khả vi tại điểm z=œ Ta nĩi rằng hàm số w=ƒ z khả vi tại điểm vơ cực nếu hàm số

w=4(4}-0 z kha vitai diém z=0

Như vậy các hàm đa thức chỉnh hình trên tồn mặt phẳng Các hàm hữu tỷ chỉnh hình trên tồn mặt phẳng trừ những điểm mà nĩ khơng xác định

Định lý 2.3.1 (về hàm hợp): Nếu ƒ:72->Ø” và g:D”->£ là các hàm

chỉnh hình, ở đây D và Đ” là các miền trong các mặt phẳng z; w , thì hàm goƒ:D->£ chỉnh hình

2.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

_ £oTÁZ —Í wm] BÀ QÁ no Giàn nơn Bà

gTagọi lim = ferent là hệ số co giãn của hàm ƒ z dọc

ZI Z

zt Azey

theo cung 7 tại điểm 29

Hàm ƒ z gọi là cĩ hệ số co giãn đều tại z¿ nếu tại z, cd hé s6 co gian

khơng đổi dọc theo mọi cung đường cong qua 2y

Trang 34

gHàm ƒ z gọi là bảo tồn gĩc giữa hai đường cong 7:7; đi qua z nếu đặt I,= ƒ 7, ;Ï;= ƒ 7; thì gĩc giữa 7,7; tại z, bằng gĩc giữa ro, taiw,=f % Hàm gọi là bảo tồn gĩc tại Zq nếu nĩ bảo tồn gĩc giữa hai đường cong bất ky di qua z, gHam duoc goi la bao giac tai z, nếu nĩ cĩ hệ số co giãn đều và bảo tồn gĩc tại zạ gHàm ƒ z bảo giác trên miền D nếu và chỉ nếu ƒ z giải tích trên D và ƒ z #0 VzeD

gHệ số co giãn tại z¿ là ƒ z„ Nếu if Z <1 thì ta nĩi ƒ z co tại zạ,

nếu | ƒ sy|>1 thìtanĩi ƒ z giãn tại z

Sau đây ta xét một vài ví dụ về hàm giải tích Vi du 1,

a, Xac dinh cac sé thuc a,b,c dé ham ƒ z =x+ay+i bx+cy giải tích trên £

b, Với giá trị nào của z thì hàm f z =x’ +iy’ giai tich Giải: a, ƒ z =x+ay+i bx+cy =u x,y +iv x,y

( x,y =xtay =>

v x,y =bx+cy

Trang 35

Khéa tuận tốt nghiép Fe dug DaihocS pham Fa W6i 2 Hay f z = l-ia z b, Cĩ „= x”,v= yŸ là các hàm giải tích thực Do đĩ ƒ z cĩ đạo hàm u = v, 2x= 2y 2,0 9 S&S Sy=x 0=0 l

vậy ƒ z cĩ đạo hàm tại các điểm thuộc đường phân giác thứ nhất A Vì

V¿€A,Ve >0—> hình cầu mở tâm z, bán kính £, 2% z,£ ŒA

=> ƒ z khơng giải tích tại điểm nảo

Ví dụ 2, Chứng minh rằng hàm số Inz= Inr+i@ là hàm giải tích trên £ \ 0 va Inz it

z

Tacé u=Inr; v=9; Gu 1 ov 5 ou _o, wy Or r Or

_,Ou_ Lay, dv _-1éu ér roy’ or rơp

Trang 36

Khéa tuận tốt nghiép Fe ờng DaihoeS pham Fa Wi 2

CHUONG 3: MOT SO TINH CHAT VE TiICH PHAN

HÀM GIẢI TÍCH

Chương này được dành cho việc trình bày lý thuyết tích phân dọc theo một đường cong của hàm giải tích Đây là một trong các mặt rất đặc sắc của hàm giải tích

3.1 Tích phân hàm biến phức 3.1.1 Khái niệm tích phân

Cho hàm số ƒ z là hàm số xác định và liên tục trên đường cong Z với các

đầu mút là A và B

Chia cung AB thành các phần nhỏ bởi các điểm chia lần lượt là

A=ïi<,< <',= B Trong đĩ 7j,— số phức với mọi ¡ = I,2, , Trên cung

77,7, lay diém £, và ta đặt 3 = max, — ï1, |

Lap tong tich phan S, = y fo 47-1

isl

Nếu tổn tại giới hạn hữu hạn lim S= lim5, f ế, ,—r?, khơng phụ thuộc

> OF

vao cach chon diém ¢, thì giới hạn đĩ được gọi là tích phân của hàm ƒ z trên đường cong Z và kí hiệu là Ỉ f zdz

⁄

Nếu z là đường cong đĩng thì ta cịn kí hiệu Đ z dz Giả sử ƒ z =utiv; z=xt+iy >dz=dx+idy

Trang 37

Khéa tuận tốt nghiép Fe dug DaihocS pham Fa W6i 2 i,, Ỉ ƒ zdz=-— Ỉ ƒ z đc với y_ là đường cong lấy theo chiều ngược lại của đường Z i,, | af z +bg z wz=ajZ zdz+b[g zdz ⁄ ữ É iff cdc= ff cdc+ ff š đc với y=#4©27, y ⁄\ 72 i, fr <a < |r z \|dz|< sup|ƒ z lớn y trong do my là độ dài của cung Z is, Néu z =@ 7 laham kha vi lién tuc, anh xa I-I đường T lên 7 thì [f cac=|f on wn dn Y T Nĩi riêng, nếu z=z 7 ; re a,b là phương trình của đường cong Z thì (f cde=[f zt z tdt (*)

g Néu tén tai ham giai tich g trong mién D chta y ma g z =f z voi

Trang 38

Đây chính là cơng thức Newton-Leibniz, trong đĩ A là điểm đầu cịn B là

điểm cuối của 7

Vi du: 1, Tinh [edz với 7 là đường thắng nối 2 điểm z=0 và z=3+¡ Ta cĩ z= x— iy; đ¿= dx+idy Do đĩ [4= [x-iy dxtidy ữ ữ = la + ydy+i F ydx + xảy ⁄ v ung voi z=3+i ta cĩ y=, tir do ta suy ra 0 [caz = bàn ti ae ⁄É =5 fate 5° =5 2, Tinh Lá, trong đĩ z là đường trịn tâm O bán kính r với lz|=r Ta cĩ z=r.€”; dz=ire"do; 0<@<2Z => 4= [ à= i {dg = lệ =2Zi xã re 5

Trang 39

Ching minh: Viday ƒ z hội tụ đều đến f z nênvới e>0 ton tại số n € khong phy thuộc vào z sao cho lf z-f z |<e Vzer

Va néu k=n taco: If zde-ff ca

[A zof z fz <flf.c-f f | alse

Voi [1a do dai cung [’

Như vậy khi k đủ lớn thì [ƒ, z đz sai khác [f z đz một đại lượng nhỏ tùy vr T ý Nghĩa là: lim [ƒ, z đz= [ƒ z dz T T 3.2 Định lý Cauchy về tích phân hàm giải tích trên đường cong đĩng 3.2.1 Định lý Cauchy

g Định lý 3.2 Nếu hàm w= ƒ z giải tích trong miền đơn liên D thì với mọi chu tuyến trơn từng khúc ZC D ta cĩ: Ỉ fdz=0

v

Trong định lý trên ta phải đặt điều kiện z nằm hồn tồn trong ? Tuy nhiên định ly vẫn đúng trong trường hợp 7 là biên cua cua D Cy thé 1a, ta co định lý Cauchy suy rộng như sau:

ø Định lý 3.3 Giả sử D là miền đơn liên bị chặn với biên CD 1a mot chu

tuyến trơn từng khúc Khi đĩ nếu ƒ là hàm liên tục trên D= DLơD và ƒ

giải tích trên Ð thì f fdz=0 âD

Đề chứng minh định lý, ta cĩ thê giả thiết thêm rằng, trong miền ? cĩ một điểm z¿ sao cho mọi tia xuất phát từ z„ chỉ cắt ơ72 tại một điểm ( nếu miền

D khơng cĩ tính chất này nghĩa là khơng cĩ điểm zạ¿ thì bao giờ ta cũng cĩ

thể chia miền Ð thành hữu hạn miền và mỗi miền cĩ tính chất trên)

Trang 40

Khi đĩ phương trình của ơD cĩ thể viết là: z=ãt+đi 0<Si<27

trong dd @ t co dao ham liên tục từng đoạn (9D trơn từng khúc)

Ta thực hiện một phép vị tự, tam z,, ti số 2 0<ø<1 Khi đĩ đường êD biến thành đường cong 7 „ cĩ phương trình : Z=ã+Ø0#ữ í íc 0,2Z Và fa CĨ Z„ nằm hồn tồn trong D Theo định lý Cauchy : 2z [fr zdz= [fla +a t luz t dt=0 Yo 0 > fr Zz dz= | f z dz- 7 z dz 6D eD Yo = [rato t a’ tar | flat 00 t |p’ t dt 0 0 =Ï ƒ z+at |—Ðpƒ|[s¿+øa t ]# tái 0 =Ï l-pf atat lat are |p flatat |-flz+peat la tái 0 0 =[I-øƒfz dct fo f atat|-flzy+eat|a tdt 0 6D Đặt max ƒ z =M, maxa@ t =m và gọi L là độ dài của đường ƠD, khi zeeD 1€ 0,20 đĩ ta cĩ [f cae 2z <1~ø ML+m| ƒ s+ø t |—ƒ[zạ+ø + |á 0

Khi ø#l thì hai điểm zạ+ø / và z¿+ øœ ? khá gần nhau Do tính chất liên tục của hàm số ƒ_ z , khi đĩ ta cĩ

Định dạng
Số trang	63
Dung lượng	7,3 MB