Lý thuyết hàm giải tích

Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Néi LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hồn thành khóa luận này, em nhận quan tâm, động viên, khích lệ thầy giáo, giáo tổ giải tích nói riêng trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo, cô giáo, đặc biệt thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Lờ Th Thm SV Lê Thị Thắm K33 C Toán Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội LI CAM OAN Trong quỏ trỡnh nghiên cứu khóa luận “ Lý thuyết hàm giải tích” em có sử dụng số tài liệu tham khảo để hồn thành khóa luận Danh sách tài liệu tham khảo em đưa vào mục tài liệu tham khảo khóa luận Em xin cam đoan khóa luận hình thành cố gắng nỗ lực thân với hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Văn Hùng thầy tổ giải tích Đây đề tài không trùng với đề tài tác giả khác Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Sinh viên Lê Thị Thm SV Lê Thị Thắm K33 C Toán Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Néi MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức 1.2 Một số khái niệm định lý giới hạn 11 1.3 Hàm biến phức 13 CHƢƠNG HÀM GIẢI TÍCH 20 2.1 Sự khả vi hàm số biến số phức 20 2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann 24 2.3 Hàm giải tích 32 2.4 Ý nghĩa hình học đạo hàm 33 CHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍCH PHÂN HÀM GIẢI TÍCH 36 3.1 Tích phân hàm biến phức 36 3.2 Định lý Cauchy tích phân hàm giải tích đường cong đóng 39 3.3 Một số định lý quan trọng hàm giải tích 44 CHƢƠNG CHUỖI HÀM GIẢI TÍCH 48 4.1 Một số định lý chuỗi hàm giải tích 48 4.2 Phân tích hàm giải tích thành chuỗi 52 4.3 Một vài điểm đặc biệt hàm giải tích 60 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 SV Lª Thị Thắm K33 C Toán Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội M ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích thành phần trọng yếu tốn học Đã có nhiều nhà Toán học nghiên cứu chuyên sâu lĩnh vực này, đặc biệt giải tích phức Tuy nhiên, đến kỷ XIX nhờ cơng trình Cauchy, Riemann, Weierstrass, mơn hàm số biến số phức xây dựng tương đối hoàn chỉnh trở thành môn độc lập Một nội dung quan trọng hàm số phức vấn đề liên quan đến hàm số giải tích Nội dung khơng có giá trị lý luận sâu sắc mà cịn ứng dụng cách có hiệu việc giải hàng loạt vấn đề khó nội dung tốn học ( tốn phân phối số ngun tố, tính tích phân suy rộng…) giải vấn đề lớn thực tiễn ( toán lý thuyết đàn hồi, nước thấm, tốn nổ mìn định hướng, tốn thủy khí động học…) Chính lý trên, với niềm u thích mơn giải tích gợi ý, hướng dẫn tận tình thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng em mạnh dạn chọn đề tài “ Lý thuyết hàm giải tích” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu Cung cấp kiến thức hàm giải tích Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu g Đối tượng: Các kiến thức liên tục, khả vi tính chất tích phân chuỗi hàm giải tích g Phạm vi : Nội dung kiến thức nằm phạm vi giải tích phức Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm giải tích SV Lê Thị Thắm K33 C Toán Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích tài liệu có liên quan tổng kết kinh nghiêm thân Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 1, em trình bày số kiến thức hàm số biến số phức, dãy chuỗi hàm phức Chương nội dung khả vi, liên tục hàm giải tích Chương 3, em trình bày tính chất quan trọng tích phân hàm giải tích Chương nghiên cứu chui hm gii tớch SV Lê Thị Thắm K33 C Toán Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội CHNG 1: MT S KIN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức 1.1.1 Định nghĩa Như ta biết tập hợp số thực phương trình bậc n (n 2) khơng phải có nghiệm, ví dụ phương trình x Vì cần phải đưa vào loại số có chất tổng quát Tất nhiên đưa loại số này, ta phải trang bị số phép tốn mà phép tốn phải phù hợp với phép tốn có số thực Có nhiều phương pháp để đưa vào loại số này, ta đưa vào số i (đơn vị ảo) nghiệm phương trình x , ta xây dựng lên số số phức Định nghĩa 1.1.1 Số phức số có dạng z x iy , x, y ¡ i gọi đơn vị ảo i x : gọi phần thực số phức z , kí hiệu Re z y : gọi phần ảo số phức z , kí hiệu Im z Xét mặt phẳng xOy , số phức z cặp có thứ tự x, y số thực x, y Mặt phẳng xOy lúc gọi mặt phẳng phức, ký hiệu £ Khi đó, trục hồnh gọi trục thực trục tung gọi trục ảo Đặc biệt, y , số phức z x i0 x số thực x , số phức z iy iy số ảo Hai số phức z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , gi l bng nu SV Lê Thị Thắm K33 C Toán x1 x2 y1 y2 Khóa luận tốt nghiệp Cho s phc z Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội x iy , s phức có dạng x iy gọi số phức liên hợp số phức z Kí hiệu z Nghĩa z = x iy = x iy 1.1.2 Các phép toán số phức Trên tập số phức ta trang bị phép toán sau: a , Phép cộng Ta gọi tổng hai số phức z1 z x1 x2 x2 iy2 số phức x1 iy1, z2 i y1 y2 , kí hiệu z z1 z2 Từ định nghĩa, ta có tính chất sau: 1, Kết hợp : z1 z2 2, Giao hoán : z1 z2 z3 z1 z2 z1 z2 z3 b , Phép nhân Tích hai số phức z1 z x1x2 y1 y2 i x1 y2 x2 iy2 số phức x1 iy1, z2 x2 y1 , kí hiệu z z1z2 Các phép toán trừ chia số phức đưa phép toán ngược cộng nhân Hiệu số phức z1 z2 kí hiệu z1 z2 z2 thương z1 z2 kí hiệu z1:z2 z1 /z Ta có : z1 z2 z1 /z x1 x2 i y1 y2 z1 z1 / z2 z2 x1 x2 x22 y1 y2 y22 i x2 y1 x22 x1 y2 y22 1.1.3 Dạng lƣợng giác số phức Để thấy rõ chất hình học số phức, ta trở lại cách biểu diễn hình học SV Lê Thị Thắm K33 C Toán Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội uur Gọi độ dài Oz r Ta có r = x y2 Đại lượng r gọi modul y số phức z số thực không âm uur Hướng Oz xác định y Góc tạo thành uur chiều dương trục Ox Oz với góc r O gọi z Góc z φ x x acgumen số phức z Như mặt hình học, số phức z xác định hoàn toàn đại lượng r phức z Kí hiệu Chúng gọi tọa độ cực số r |z| = argz Chú ý : Modul số phức xác định nhất, acgumen xác định sai khác bội Dựa vào hình vẽ ta có : x r cos y z x iy r sin r cos irsin r cos isin (1.1.1) Đây dạng lượng giác số phức Dựa vào dạng lượng giác ta thực phép tính nhân trường số phức cách đơn giản Thật z1z2 r1 cos r1r2 cos isin 1 r2 cos isin isin 2 (1.1.2) Đẳng thức (1.1.2) suy rộng trường hợp nhân nhiều số phức với ta có th vit : SV Lê Thị Thắm K33 C Toán Khóa luận tốt nghiệp z1.z2 zn Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội z1 z2 zn n arg z1 zn arg zk k Trong trường hợp thừa số nhau, nghĩa là: zk ta có cơng thức Moivre sau z k 1,2, , n zn r cos n isin r n cos n isin n (1.1.3) Dựa vào dạng lượng giác cơng thức (1.1.3) ta tính thức số phức Ta gọi bậc n số phức z , kí hiệu số phức n z (1.1.4) =0 Nếu z r cos n cos n isin isin n r cos isin argz = n r arg = = n n nghĩa là: Do , ta đặt isin cos z , n số tự nhiên, thỏa mãn đẳng thức: z Nếu z rõ ràng n =nz= n r ( cos arg z n isin arg z ) n Vì arg xác định sai khác k2 nên (1.1.5) n z có nhiều giá trị khác Giả sử ta lấy n giá trị sau arg: arg z;arg z ; ;arg z 2(n 1) n z = n r (cos n z nhận n giá trị khác arg z k arg z k +isin ) n n k (1.1.6) 0, n-1 SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Tr-êng Đại học S- phạm Hà Nội Vỡ n giỏ trị có modul (bằng n r ) nên chúng nằm đường tròn tâm gốc tọa độ bán kính 2k n chúng sai khác đại lượng n r Ngoài ra, acgumen 0,1, , n nên chúng tạo thành k đa giác n cạnh Ví dụ Tìm tất giá trị Ta có i cos i nên cos z0 z1 cos cos Ví dụ Ta có isin isin k2 isin i isin k2 k 0, i 2 i Tìm giá trị n , n -số tự nhiên n cos k2 n isin k2 n k 0,1 , n Như có n giá trị bậc n 1, tạo thành đỉnh đa giác nội tiếp đường trịn tâm O bán kính Một đỉnh nằm điểm z Ví dụ Tìm giá trị i Ta có i Vậy zk Nghĩa z0 cos cos i ; z1 i sin k2 i SV Lê Thị Thắm K33 C Toán isin k2 k 0, z0 10 Khãa luËn tèt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội cú số hạng hàm giải tích miền D , hội tụ tập hợp compak E miền D tổng f z chuỗi hàm giải tích miền D Thật : chuỗi f k z hội tụ nên tổng f z hàm liên tục k chuỗi (4.1.1) lấy tích phân số hạng dọc theo đường cong Jordan kín, trơn khúc L nằm D (cùng với miền nó), nghĩa ta có: f z dz f k z dz (4.1.2) k L Theo định lý Cauchy, số hạng chuỗi vế phải khơng Do f z dz L Theo định lý Morera, ta suy f z hàm giải tích ( tích phân f z dọc theo đường Jordan kín, trơn không) g Định lý Weierstrass thứ hai Nếu chuỗi (4.1.1) có số hạng hàm giải tích miền D , liên tục D chuỗi hội tụ miền D , lấy đạo hàm hạng số hạng chuỗi miền D Nghĩa là: fn z fk n z (4.1.3) k n 1,2, Lấy điểm z D gọi d khoảng cách từ z đến biên D Như vậy, cố định z d số Gọi chạy biên im thỡ : z d SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n (4.1.4) 50 Khãa ln tèt nghiƯp Nu chui Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội hội tụ fk chuỗi : k i hội tụ i n! z n! z k ta có: fk n fk n dt k k n! i fk n! i f n z dt fk n z (4.1.5) k Mặt khác i n! fk n z dt k z Từ (4.1.5) (4.1.6) ta suy f n z fk n n fn z dt (4.1.6) z k Định lý chứng minh Chú ý : Trong định lý trên, ta chứng minh tính chất lấy đạo hàm số hạng chuỗi (4.1.1) điểm z D z D , chứng minh ta phải sử dụng khoảng cách d Ta lấy ví dụ, chứng tỏ z Ví dụ : Chuỗi k d z, định lý khơng cịn zk hội tụ hình trịn z k số hạng hàm giải tích hình trịn Tuy nhiên chuỗi thành lập đạo hàm số hạng : k zk k lại phân kỳ điểm z đường trịn Do gọi f z k : z zk thỡ k SV Lê Thị Thắm K33 C Toán 51 Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội ' f z z k z k2 ' k z zk 1 k k 1 k g Định lý Weierstrass thứ ba Nếu chuỗi (4.1.1) có số hạng hàm giải tích miền D , liên tục miền D chuỗi hội tụ biên D hội tụ miền D Định lý suy trực tiếp từ nguyên lý cực đại modul, nghĩa từ bất đẳng thức: max f n z D z fn z max f n z z fn z 4.2 Phân tích hàm giải tích thành chuỗi 4.2.1 Chuỗi Taylor gĐịnh nghĩa Giả sử hàm f khả vi vô hạn lần lân cận điểm z0 Khi chuỗi : n f n z0 n! z n z0 (4.2.1) Được gọi chuỗi Taylor hàm f z theo lũy thừa z z0 , hay chuỗi Taylor hàm f z z0 Khi z0 , chuỗi (4.2.1) gọi chuỗi Maclaurin gĐịnh lý 4.2.1 (Định lý Taylor) Giả sử f z hàm giải tích hình tròn S z0 , R z z0 R Khi hình trịn này, f z tổng chuỗi Taylor z0 Cụ thể ta có : n f z cn z z0 , z z0 R n hệ số cn xác định cách theo công thức SV Lê Thị Thắm K33 C Toán 52 Khóa luận tèt nghiÖp f cn n z0 n! r Tr-êng Đại học S- phạm Hà Nội f i n z0 z0 r d R Chứng minh: Lấy z S z0 , R tùy ý Chọn r cho z z0 Gọi r đường tròn z z0 r R r Khi theo cơng thức tích phân Cauchy ta có f i f z z r d Mặt khác, ta có: 1 z z0 Vì thế, z ; r z z0 z0 z0 z z0 z0 z0 ta có: z z0 z0 z k k z0 z0 Do 1 z z0 Và chuỗi hội tụ i f r z d i k r z z0 z0 k k k Khi theo định lý (4.1.1) ta có: z f r k z z0 z0 k SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n z0 z0 k k d 53 Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Néi k z z0 k f i Hơn nữa, ck z0 r i f d k không phụ thuộc vào r, r Vậy ta có f z i z0 r k k z0 , k k! d 0,1,2 R f cn z z0 z r f n n Hệ quả: Hàm f z xác định miền D giải tích với D hàm f khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z z0 mà z0 hội tụ tới f z bán kính hội tụ R d z0 , D Ví dụ: Tìm khai triển Taylor hàm f z ln z Viết f z dạng tích phân: z ln z d đường lấy tích phân khơng chứa điểm z 1 Nếu z n Với ta có: n n chuỗi hội tụ đều, dó hình trịn z ta có z ln z k k d k zk 1 k k k Trong mục này, ta thấy tính chất đặc biệt hàm giải tích, cụ thể hàm giải tích hoàn toàn xác định dãy điểm hội tụ điểm miền D SV Lª Thị Thắm K33 C Toán 54 Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Ta có định lý sau nói hàm giải tích g Định lý 4.2.2 Cho hai hàm giải tích f z g z xác định miền D Nếu tồn dãy điểm zk đôi khác D , zk n f z z0 D f zk g zk với g z với z D Chứng minh: Gọi d d z0 , D , hình trịn r d nằm D z z0 hình trịn ta có khai triển Taylor hàm f z g z z0 là: f z n an z z0 ; g z bn z n z0 n n Khi hai chuỗi hội tụ hình trịn z z0 d Do tính chất liên tục chuỗi nên a0 lim a0 zk b0 Măt khác, f zk z0 z0 bn zk z0 z0 an zk z0 n bn zk n a1 zk n n g zk nên Từ ta suy a0 n n lim b0 zk an zk n an zk z0 n b1 zk z0 bn zk n a1 n b0 , ta viết z0 Ta xem zk z0 z0 n z0 , nên chia vế đẳng thức cho zk an zk z0 n b1 bn zk n z0 z0 ta có : n n Lại cho đẳng thức qua giới hạn zk q trình ta ak n bk k SV Lê Thị Thắm K33 C To¸n z0 ta lại a1 b1 Tiếp tục 2,3, 55 Khãa luËn tèt nghiÖp Vậy f z g z z Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội z z0 Bây ta chứng minh f z r g z với z D Lấy điểm z* D g z* tùy ý, nối z* z0 đường cong compak nên ta tìm D Do hữu hạn điểm a0 n r' cho g z0 z* z0 , a1, , an D , r ' D D i D , r ' , i 0,1, , n Khi với z D a0 , r ' ta có f a1 zn* D, f zn* g zn* mà lim zn* D a1 , r ' Cứ tiếp tục ta f z ta có f z* f z g z g a1 tồn dãy điểm khác a1 Vì f z g z g z D an 1, r ' , đặc biệt g z* Vì z* điểm thuộc D nên ta suy z D Định lý cho ta biết có tồn hay khơng hàm số giải tích Ví dụ : Hãy xem có hàm số f z giải tích tồn mặt phẳng £ thoả mãn điều kiện f n f n Gọi E tập hợp điểm dãy z £ Hàm số F z n n 1,2, Rõ ràng dãy có giới hạn n z thỏa mãn tập E điều kiện F n n theo định lý không cú hm s no khỏc SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n 56 Khãa ln tèt nghiƯp Vậy F z Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội n z Tuy nhiên f f z Do khơng có hàm số n thỏa mãn điều kiện đề Như ta thấy chuỗi Taylor cơng cụ có hiệu lực để khảo sát hàm số lân cận điểm mà hàm số giải tích Tuy nhiên có hàm số giải tích lân cận thủng điểm z0 , cịn điểm z0 hàm số tính chất giải tích, chuỗi Taylor khơng thể dùng ta phải sử dụng loại chuỗi mới, chuỗi Lauretnz 4.2.2 Chuỗi Laurentz g Định nghĩa Chuỗi có dạng cn z z0 n (4.2.2 ) n gọi chuỗi Laurentz theo lũy thừa z z0 hay chuỗi Laurentz z0 Nếu ta viết chuỗi (4.2.2) thành hai chuỗi cn z z0 n cn z n z0 n n chuỗi thứ gọi phần chính, chuỗi thứ hai gọi phần chuỗi (4.2.2) gĐịnh lý 4.2.3 Nếu hệ số cn chuỗi (4.2.2) thỏa mãn lim n c n n r R (4.2.3) lim n cn n miền hội tụ chuỗi (4.2.2) hình vành khăn r z z0 R SV Lê Thị Thắm K33 C Toán (4.2.4) 57 Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội v tng f z ca chui (4.2.2) hàm giải tích vành khăn (4.2.4) hệ số (4.2.2) cho công thức cn đây, s i f s d n 0, 1, z0 s với r s R n z0 đường tròn (4.2.5) Chứng minh : gXét chuỗi phần cn z z0 n chuỗi (4.2.2) n Khi chuỗi phần có bán kính hội tụ R Và giả sử f z lim k ck k tống chuỗi phần hình trịn z z0 g Xét chuỗi phần cn z n z0 n z0 Đặt u cn z n Khi R z z0 c nu n n n chuỗi có miền hội tụ 1 u z z0 lim n c n z z0 n r Vậy miền hội tụ phần z z0 Gọi f r r z tổng chuỗi phần z Khi f z f z f z0 r z Vậy chuỗi (4.2.1) có miền hội tụ vành khăn r z z0 R f z hàm giải tích vành khăn Bây ta chứng minh cơng thức (4.2.5) SV Lª Thị Thắm K33 C Toán 58 Khóa luận tốt nghiệp Ly ng trũn tựy ý Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội : z z0 s Bng phộp đổi biến z z s r s R sei , dz isei với z0 ta có: 0,2 n s nein isei d z0 dz s is n e i n n i n d 1 (4.2.6) Nhân hai vế đẳng thức f z cn z n z0 r z z0 R n với z z0 m m 0, 1, lấy tích phân dọc theo f z s z z0 m dz s f z s Do n m z z0 cn z z0 m n m s ta có : dz n dz cn z z0 n n m dz s nghĩa n m từ đẳng thức công thức (4.2.6) ta suy f z s hay cn z z0 i m dz icm f z s z z0 n dz g Định lý 4.2.4 (Định lý Laurentz) Nếu f z hàm giải tích hình vành khăn r z z0 R f z biểu diễn dạng tổng chuỗi Laurentz f z cn z z0 n n SV Lê Thị Thắm K33 C – To¸n 59 Khãa ln tèt nghiƯp Tr-êng Đại học S- phạm Hà Nội Cỏc h s chuỗi xác định công thức i cn s f z z z0 s n dz n 0, 1, đường tròn z z0 s, r s R 4.3 Một số điểm đặc biệt hàm giải tích 4.3.1 Khơng điểm (0-điểm) hàm giải tích g Cho hàm số f z xác định giải tích miền D Điểm z0 không điểm hàm f z nghiệm phương trình f z f z0 D gọi , hay nói cách khác, z0 g Điểm z0 gọi 0-điểm bội m f z f z ck z z0 k cm k m Điều kiện tương đương với hai điều kiện sau : i f z z ii z0 m z z giải tích lân cận z0 f k z0 f m z0 k z0 0,1,2 , m 4.3.2 Điểm kỳ dị hàm giải tích (điểm bất thƣờng) 4.3.2.1 Định nghĩa - Điểm z0 gọi điểm kỳ dị cô lập hàm số f z , f z giải tích lân cận thủng - Điểm z0 z z0 r z0 gọi điểm kỳ dị cô lập hàm số f z , f z giải tích lân cận z R điểm z0 - Điểm kỳ dị cô lập f z chia làm ba loại: SV Lª Thị Thắm K33 C Toán 60 Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội z0 gọi điểm kỳ dị bỏ tồn lim f z z z0 a z0 gọi cực điểm lim f z z z0 z0 gọi điểm kỳ dị cốt yếu lim f z không tồn £ z z0 £ 4.3.2.2 Một số điều kiện điểm kỳ dị g Đối với điểm kỳ dị cô lập hữu hạn z0 gọi điểm kỳ dị bỏ hàm giải tích f z khai triển Laurentz f z lân cận z0 khơng có phần chính, nghĩa : f z an z z0 n n z0 cực điểm cấp m hàm giải tích f z khai triển Laurentz f z lân cận z0 phần có mặt lũy thừa âm nhỏ m : f z ck z k z0 k m z0 cực điểm cấp m hàm giải tích f z f z0 và z0 0- điểm bội m hàm số F z f z z z0 z z0 z0 điểm kỳ dị cốt yếu f z phần khai triển Laurentz f z lan cận thủng z0 có vơ số số hạng g Đối với điểm kỳ dị cô lập z SV Lê Thị Thắm K33 C Toán 61 Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội điểm kỳ dị bỏ khai triển Laurentz z0 lân cận z0 f z có dạng f z cn z n n cực điểm cấp m khai triển Laurentz lân z0 cận z0 f z có dạng f z cn z n n m điểm kỳ dị cốt yếu khai triển Laurentz lân z0 cận z0 f z có dạng f z n c nz cn z n n n sin z nhận z điểm bất thường bỏ z Ví dụ 1, Hàm số f z sin z z lim z 2, Hàm số f z điểm lim z z n ( n số tự nhiên bất kỳ) nhận z cực n z z 3, Hàm số f z lim e z z Im z lim e z Re z e nhận z làm điểm kỳ dị cốt yếu lim e x z lim e lim e y z z Im z iy lim cos y SV Lê Thị Thắm K33 C To¸n z lim e x z 0 1 isin y y không tồn 62 Khãa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội KẾT LUẬN Nghiên cứu đề tài dựa kiến thức hàm số biến số phức, luận văn đưa lý thuyết phù hợp để giải vấn đề liên quan tới hàm giải tích Như đề tài “ Lý thuyết hàm giải tích” hồn thành mục đích nội dung nghiên cứu Bước đầu làm quen với tài liệu nghiên cứu khoa học, trình độ thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn sinh viên để luận văn em c hon thin hn SV Lê Thị Thắm K33 C Toán 63 Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội TI LIU THAM KHO (1) Trần Anh Bảo (1976) Lý thuyết hàm số biến số phức, NXB giáo dục (2) Đậu Thế Cấp (2000) Bài tập hàm biến phức , NXB giáo dục (3) Nguyễn Phụ Hy- Nguyễn Quốc Bảo (1993) Giáo trình hàm số biến số phức (lý thuyết tập), Đại học sư phạm hà Nội (4) Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải (1997) Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (5) Nguyễn Văn Khuê- Vũ Tuấn (1990) Hàm số biến số phức, NXB giáo dục SV Lê Thị Thắm K33 C Toán 64 ... chuỗi hàm giải tích khai triển hàm giải tích thành chuỗi để thấy giải tích phức , chuỗi hàm có tính chất khác giải tích thực 4.1 Một số định lý chuỗi hàm giải tích 4.1.1 Định lý tổng chuỗi hàm. .. CHẤT VỀ TÍCH PHÂN HÀM GIẢI TÍCH Chương dành cho việc trình bày lý thuyết tích phân dọc theo đường cong hàm giải tích Đây mặt đặc sắc hàm giải tích 3.1 Tích phân hàm biến phức 3.1.1 Khái niệm tích. .. 39 3.3 Một số định lý quan trọng hàm giải tích 44 CHƢƠNG CHUỖI HÀM GIẢI TÍCH 48 4.1 Một số định lý chuỗi hàm giải tích 48 4.2 Phân tích hàm giải tích thành chuỗi