Hàm giải tích các định lý picard

BỘ GIÁ O DỤC VÀ ĐÀO T O ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ KHẮC HIỆU HÀM GIẢI TÍCH CÁC ĐỊNH LÝ PICARD LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T O ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ KHẮC HIỆU HÀM GIẢI TÍCH CÁC ĐỊNH LÝ PICARD Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ng i hướng dẫn khoa học: TS Lê Hồng Trí Đà Nẵng – Năm 2015 ii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn ký ghi rõ họ tên iii MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng phạm vi nghiên cứu IV Nội dung nghiên cứu V Ý nghĩa khoa học thực tiễn VI Phương pháp nghiên cứu VII Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 1.1 SỐ PHỨC 1.1.1 Định nghĩa số phức 1.1.2 Phép cộng 1.1.3 Phép trừ 1.1.4 Phép nhân 1.1.5 Phép chia 1.1.6 Căn bậc hai số phức 1.1.7 Biểu diễn hình học 1.1.8 Argument số phức 1.1.9 Dạng lượng giác số phức 1.1.10 Công thức Moivre i ii ii 1 2 2 3 7 8 iv 1.1.11 Căn bậc n số phức 1.1.12 Dạng mũ số phức 1.1.13 Dãy trị phức - Chuỗi trị phức 1.2 ĐỊNH NGHĨA HÀM BIẾN PHỨC 1.2.1 Khái niệm miền biên miền 1.2.2 Định nghĩa hàm biến phức 1.2.3 Phép biến hình thực hàm biến phức 1.2.4 Hàm ngược 1.2.5 Giới hạn hàm biến phức 1.2.6 Hàm biến phức liên tục 1.2.7 Đạo hàm hàm biến phức 1.2.8 Điều kiện khả vi 1.2.9 Các quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức 1.3 HÀM GIẢI TÍCH 1.3.1 Định nghĩa tính chất hàm giải tích 1.3.2 Quan hệ hàm giải tích hàm điều hòa 1.3.3 Hàm lũy thừa: 1.3.4 Hàm mũ: 1.3.5 Hàm logarít: 1.3.6 Hàm lượng giác 1.3.7 Hàm Hypebol: 1.3.8 Hàm lũy thừa tổng quát: 1.3.9 Chuỗi hàm phức 1.4 TÍCH PHÂN PHỨC 1.4.1 Tích phân tính chất 1.4.2 Định lý Cauchy cho miền đơn liên 1.4.3 Cơng thức tích phân Cauchy 1.4.4 Tích phân Cauchy 1.4.5 Định lý giá trị trung bình 9 10 12 12 14 15 16 16 17 18 18 21 22 22 22 23 24 25 26 28 30 30 34 34 38 42 43 46 CHƯƠNG CÁC ĐIỂM BẤT THƯỜNG 47 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG 47 2.1.1 Định nghĩa 47 2.1.2 Phân loại điểm bất thường 47 v 2.2 ĐIỂM BẤT THƯỜNG CỐT YẾU CHƯƠNG CÁC ĐỊNH LÝ PICARD 3.1 ĐỊNH LÝ PICARD NHỎ 3.1.1 Nguyên lý môđun cực đại 3.1.2 Định lý Bloch 3.1.3 Định lý Picard nhỏ 3.2 ĐỊNH LÝ PICARD LỚN 3.2.1 Các định lý dãy hàm giải 3.2.2 Định lý Schottky 3.2.3 Định lý Picard lớn KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO tích 51 53 53 53 56 63 65 65 66 69 72 74 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học mn hình muôn vẻ Tất nghành khoa học khác sinh phát triển dựa phát triển Toán học Sự phát triển Toán học tiến triển theo phát triển tư lơgic lồi người Việc giải tốn khơng gian thực dần đưa đến với trường số phức Trong Tốn học, trường số phức đóng vai trò quan trọng Tập hợp số phức tập số lớn tập số mà học Vì vậy, việc nghiên cứu giải vấn đề trường số phức phức tạp Để hiểu sâu vào lĩnh vực nghiên cứu trường số phức, cần nắm rõ định nghĩa, định lý, khái niệm liên quan sau đến việc giải toán trường số phức Với hiểu biết tư hạn hẹp chun ngành tốn, tơi cần học tập tìm hiểu nhiều mong nắm ý tưởng phương pháp nghiên cứu toán liên quan đến trường số phức mà cụ thể giải tích hàm trường số phức Với hướng dẫn thầy Lê Hồng Trí giúp cho tơi nhận diện phần giải tích hàm Nắm số nội dung khái niệm định lý giải tích hàm trường số phức Do đó, tơi mạo muội nghĩ đến việc nên sâu vào nghiên cứu lĩnh vực mà cụ thể định lý Picard Vì lý trên, xin chọn đề tài “HÀM GIẢI TÍCH VÀ CÁC ĐỊNH LÝ PICARD” II Mục đích nghiên cứu Nắm, hiểu nội dung chứng minh định lý Picard III Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Hàm giải tích - Định lý Picard nhỏ, - Định lý Picard lớn IV Nội dung nghiên cứu Hàm giải tích, điểm bất thường, định lý, bổ đề, mệnh đề liên quan hai định lý Picard nhỏ, Picard lớn V Ý nghĩa khoa học thực tiễn Về mặt khoa học, luận văn giúp người đọc có nhìn tổng quan hàm giải tích trường số phức Về mặt thực tiễn, luận văn giúp người, người viết luận văn hiểu sâu sắc trường số phức, cung cấp số kiến thức cho người đọc để sâu vào vấn đề nghiên cứu trường số phức VI Phương pháp nghiên cứu Thu thập, phân tích tìm kiếm tài liệu thơng tin liên quan đến hàm giải tích vấn đề liên quan đến việc chứng minh định lý Picard Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực đề tài VII Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục, luận văn gồm chương: Chương 1: Những kiến thức số phức Trong chương này, luận văn trình bày kiến thức số phức, dãy số phức, chuỗi số phức, hàm biến phức, đạo hàm hàm biến phức, hàm giải tích, tích phân phức Chương 2: Các điểm bất thường Trong chương trình bày khái niệm, định lý hệ điểm bất thường, phân loại điểm bất thường Chương 3: Các định lý Picard Chương trình bày mục đích luận văn chứng minh định lý Picard cách cụ thể CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC Trong giải tích: số thực bao gồm số hữu tỷ số vơ tỷ Bình phương số thực khơng âm, lấy bậc hai, số âm lấy bậc hai khơng giải phương trình bậc hai với hệ số thực Do người ta đưa khái niệm số phức xác định phép toán số phức phải đạt yêu cầu: cho số thực phép toán tập số thực có xem số thực trường hợp riêng số phức phép toán tập số phức 1.1 1.1.1 SỐ PHỨC Định nghĩa số phức Định nghĩa 1.1.1.1 Chúng ta kí hiệu C tập hợp tất cặp số (a; b) a b số thực mà phép cộng phép nhân định nghĩa sau: (a; b) + (c; d) = (a + b; c + d) (a; b)(c; d) = (ac − bd; bc + ad) tập hợp số phức Dễ dàng kiểm tra với cách định nghĩa C thỏa mãn tất tiên đề cho trường số Đó là, C thỏa mãn tính kết hợp, tính giao hốn, tính phân phối phép nhân phép cộng (0; 0) (1; 0) phần tử đơn vị phép cộng phép nhân tồn số đối phép cộng phép nhân C Chúng ta viết a cho số phức (a; 0) Ánh xạ a → (a; 0) đẳng cấu trường từ R vào C xem R tập C Nếu đặt i = (0; 1) (a; b) = a + bi Dựa vào điểm này, kí hiệu số phức (a; b) a + bi Như vậy: Số phức số có dạng z = x + iy (1.1) Trong đó: x, y số thực i đơn vị ảo thỏa mãn i2 = −1, x phần thực z : x = Rez, y phần ảo z : x = Imz Tập hợp số phức C = z = x + iy; x, y ∈ R Nếu: y = z = x: số thực trường hợp riêng số phức Nếu: x = z = iy: số ảo Cho hai số phức: z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , x1 , y1 , x2 , y2 ∈ R z1 = z2 ⇔ x1 = x2 y1 = y2 (1.2) Định nghĩa 1.1.1.2 Số phức liên hợp: Cho số phức z = x + iy, x, y ∈ R Số phức liên hợp phức z, kí hiệu là: z = x − iy (1.3) Với số phức z bất kì, ta có: z = z Định nghĩa 1.1.1.3 Mơđun số phức: Cho số phức z = x + iy, x, y ∈ R Môđun số phức z, kí hiệu là: |z| = x2 + y (1.4) Với số phức z bất kì, ta có: |z| = |z| 1.1.2 Phép cộng Định nghĩa: 1.1.2.1 Tổng hai số phức Cho hai số phức: z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , x1 , y1 , x2 , y2 ∈ R Một số 60 Đặt r0 = sup{r : h(r) = 1} h(r0 ) = 1, r0 < h(r) < r < r0 (Tại sao?) Chọn a cho |a| = r0 |f ′ (a)| = K(r0 ) thì: (3.7) |f ′ (a)| = (1 − r0 )−1 1 Bây giờ, |z − a| = (1 − r0 ) = ρ0 , |z| < (1 + r0 ); từ suy 2 r0 < (1 + r0 ) Dựa vào định nghĩa r0 ta có: (1 + r0 ) |f ′ (z)| ≤ K −1 1 = h (1 + r0 ) − (1 + r0 ) −1 < − (1 + r0 ) = ρ0 Suy 1 (3.8) (1 + r0 ) < |f ′ (z)| ≤ K ρ0 với |z − a| < ρ0 Từ (3.7) (3.8) ta có: |f ′ (z) − f ′ (a)| ≤ |f ′ (z)| + |f ′ (a)| < 2ρ0 Theo bổ đề Schwarz, ta có biểu thức |f ′ (z) − f ′ (a)| < với z ∈ B(a; ρ0 ) Do đó, z ∈ S = B a; ρ0 3|z − a| 2ρ0 thì: |f ′ (z) − f ′ (a)| < = |f ′ (a)| 2ρ0 Theo bổ đề bổ đề 3.1.2.6 f đơn diệp S Điều lại chứng minh f (S) chứa đĩa có bán kính 72 61 Cho biểu thức xác định g : B 0; ρ0 → C g(z) = f (z + a) − f (a) g(0) = 0, |g ′ (0)| = |f ′ (a)| = (2ρ0 )−1 Nếu z ∈ B 0; ρ0 đoạn thẳng γ = [a; z + a] nằm S ⊂ B(a; ρ0 ) Vì vậy, theo (3.8) ta có: |g(z)| = γ f ′ (w)dw ≤ 1 |z| < ρ0 Kết bổ đề 3.1.2.5 cho thấy : B(0; σ) ⊂ g B 0; ρ0 σ= ρ0 2ρ0 = 72 Nếu phép tịnh tiến dựa vào khái niệm hàm f , ta thấy B f (a); 72 ⊂ f (S) Hệ 3.1.2.8 Cho f hàm giải tích miền chứa B(0; R) f (B(0; R)) chứa đĩa có bán kính R|f ′ (0)| 72 Chứng minh: [f (Rz) − f (0)] Vận dụng kết định lý Bloch, ta xét hàm g (z) = Rf ′ (0) ( Kết hiển nhiên f ′ (0) = 0, giả định f ′ (0) = 0) Định nghĩa 3.1.2.9 Hằng số Bloch: Cho F tập hợp tất hàm giải tích miền chứa bao đóng đĩa D = {z : |z| < 1} thỏa mãn f (0) = 0, f ′ (0) = Với f ∈ F, đặt β(f ) cận của r cho có đĩa S ⊂ D mà f đơn ánh f (S) chứa đĩa có bán kính r Vì β(f ) ≥ 72 Hằng số Bloch số B xác định bởi: B = inf{β(f ) : f ∈ F} (3.9) 62 Theo định lý Bloch, B ≥ 72 Định nghĩa 3.1.2.10 Hằng số Landau: Cho F tập hợp tất hàm giải tích miền chứa bao đóng đĩa D = {z : |z| < 1} thỏa mãn f (0) = 0, f ′ (0) = Với f ∈ F, đặt λ(f ) = sup{r : f (D) chứa đĩa có bán kính r} Hằng số Landau L xác định bởi: L = inf{λ(f ) : f ∈ F} (3.10) Rõ ràng L ≥ B dễ dàng thấy L ≤ Mệnh Đề 3.1.2.11 Nếu f hàm giải tích miền chứa bao đóng đĩa D = {z : |z| < 1} f (0) = 0, f ′ (0) = f (D) chứa đĩa có bán kính L Chứng minh: Ta biết f (D) chứa đĩa có bán kính λ = λ(f ) Với n, ln có số αn ∈ f (D) cho B αn ; λ − ⊂ f (D) ⊂ n f (D) f (D) tập compact Vì ln có số α ∈ f D dãy {αnk } cho αnk → α Dễ dàng thấy giả thiết α = lim αn Nếu |w − α| < λ, ta chọn n0 cho |w − α| < λ − Khi ln có số n0 nguyên n1 > n0 cho |αn − α| < λ − − |w − α| với n ≥ n1 n0 Do |w − αn | ≤ |w − α| + |α − αn | Mặt khác, fn hội tụ đến f γ nên tồn số nguyên N thỏa mãn n ≥ N z ∈ γ |f (z) − fn (z)| < δ < |f (z)| ≤ |f (z)| + |fn (z)| Do dựa vào định lý Rouché, ta chứng minh f fn có số khơng điểm B(a; R) (đpcm) Hệ 3.2.1.2 Nếu {fn } ⊂ H(G) hội tụ đến f ∈ H(G) fn khơng triệt tiêu G f ≡ f không triệt tiêu Định nghĩa 3.2.1.3 Một tập F ⊂ H(G) gọi bị chặn địa phương với điểm a ∈ G, tồn số M r > cho với f ∈ F, |f (z)| ≤ M, với |z − a| < r Các khái niệm sau tương đương: F gọi bị chặn địa phương tồn số r > thỏa mãn sup{|f (z)| : |z − a| < r, f ∈ F} < ∞ F gọi bị chặn địa phương với a ∈ G tồn đĩa B(a; r) mà F bị chặn đều.Điều có nghĩa F bị chặn tập compact G 66 Bổ đề 3.2.1.4 Một tập F ⊂ H(G) bị chặn địa phương với tập compact K ⊂ G tồn số M cho |f (z)| ≤ M với f ∈ F z ∈ K Định lý 3.2.1.5 Định lý Montel Một tập hợp F ⊂ H(G) tầm thường F bị chặn địa phương 3.2.2 Định lý Schottky Cho f hàm xác định miền đơn liên chứa B(0; 1) giả sử f không nhận giá trị Chúng ta nghiên cứu phần chứng minh bổ đề 3.1.3.1 Nếu l vài nhánh ln(f (z)), đặt l 2πi √ √ H = F − F −1 F = g = nhánh ln H Có hai chỗ sơ đồ mà nắm cách chắn, việc chọn hàm l g nhánh ln f ln H theo thứ tự Để thuận tiện cho phần chứng minh định lý Schottky ta có giá trị đặc biệt sau: ≤ Iml(0) < 2π (3.12) ≤ Img(0) < 2π (3.13) Định lý 3.2.2.1 Định lý Schottky Cho hai số thực α β, < α < +∞ ≤ β ≤ 1, tồn số C(α; β) thỏa mãn f hàm giải tích miền đơn liên chứa B(0; 1) mà bỏ qua giá trị và |f (0)| ≤ α |f (z)| ≤ C(α; β) với |z| ≤ β 67 Chứng minh Chỉ cần chứng minh định lý với ≤ α < +∞ Phần chứng minh hoàn thành cách xét trường hợp sau: Tường hợp 1: Giả sử ≤ |f (0)| ≤ α Sử dụng hàm F , H, g bổ đề 3.1.3.1, dựa vào cơng thức (3.12) ta có: |F (0)| = |ln |f (0)| − iIml(0)| 2π ≤ ln α + 2π ln α + Như vậy, Đặt C0 (α) = 2π F (0) ± F (0) − ≤ F (0) + F (0) − 1 ln |F (0)| + exp ln |F (0) − 1| = exp 2 1 = |F (0)| + |F (0) − 1| 1 ≤ C0 (α) + [C0 (α) + 1] Suy F (0) ± 1 F (0) − ≤ C0 (α) + [C0 (α) + 1] (3.14) Đặt C1 (α) = C0 (α) + [C0 (α) + 1] Bây |H(0)| ≥ theo (3.13) (3.14), ta có: |g(0)| = |ln |H(0)| + iImg(0)| ≤ ln |H(0)| + 2π ≤ ln C1 (α) + 2π Nếu |H(0)| < tương tự, ta có |g(0)| ≤ − ln |H(0)| + 2π = ln + 2π H(0) = ln F (0) + F (0) − + 2π ≤ ln C1 (α) + 2π Đặt C2 (α) = log C1 (α) + 2π Nếu |a| < hệ 3.1.2.12 nói g(B(a; − a)) chứa đĩa có bán kính L(1 − |a|)|g ′ (a)| (3.15) 1 Theo bổ đề 3.1.3.2 g(B(0; 1)) khơng chứa đĩa có bán kính 68 Do đó, biểu thức (3.9) phải nhỏ 1, nghĩa là: |g ′ (a)| < [L(1 − |a|)]−1 với |a| ≤ (3.16) Nếu |a| < 1, đặt γ đoạn thẳng [0; a] thì: |g(a)| ≤ |g(0)| + |g(a) − g(0)| ≤ C2 (α) + suy ra: g ′ (z)dz γ ≤ C2 (α) + |a| max{|g ′ (z) : z ∈ [0; a]} |g(a)| ≤ C2 (α) + Từ (3.16) |a| L(1 − |a|) Nếu C3 (α; β) = C2 (α) + β[L(1 − β)]−1 ta có: |g(z)| ≤ C3 (α; β) |z| ≤ β Vì vậy, |z| ≤ β thì: f (z) = | exp[πi cosh 2g(z)]| ≤ exp[π| cosh 2g(z)|] ≤ exp[πe2|g(z)| ] ≤ exp[πe2C3 (α;β) ] Đặt C4 (α; β) = exp[πe2C3 (α;β) ] Trường hợp 2: Giả sử < |f (0)| < Trong trường hợp này, (1 − f ) thỏa mãn điều kiện trường hợp Vì |1 − f (z)| ≤ C4 (2; β) |z| ≤ β Do |f (z)| ≤ + C4 (2; β) Nếu đặt C(α; β) = max{C4 (α; β); + C4 (2; β)} định lý chứng minh Hệ 3.2.2.2 Cho f hàm giải tích miền đơn liên chứa B(0; R) giả sử f bỏ qua giá trị Nếu C(α; β) số có định lý Schottky |f (0)| ≤ α |f (z)| ≤ C(α; β) với |z| ≤ βR Chứng minh Xét hàm f (Rz) với |z| ≤ (để đến kết quả) 69 Những mà định lý Schottky nói điều chắn họ hàm bị chặn nhóm đĩa riêng B(0; 1) Với định lý Montel họ hàm tầm thường Đây quan sát mà dùng phần chứng minh định lý Picard lớn phần 3.2.3 Định lý Picard lớn Định lý 3.2.3.1 Định lý Montel-Caratheodory Nếu F tập hợp tất hàm giải tích miền G mà khơng nhận giá trị F tầm thường C(G, C∞ ) Chứng minh Lấy z0 ∈ G cho tập hợp G H sau: G = {f ∈ F : |f (z0 )| ≤ 1} H = {f ∈ F : |f (z0 )| ≥ 1} Như F = G ∪ H Điều cho thấy G tầm thường H(G) H tầm thường C(G, C∞ ) (số ∞ giới hạn dãy nằm H mà thấy dễ dàng việc xem xét hàm hằng) Để thấy G tầm thường H(G), định lý Montel vận dụng, đủ để thấy G bị chặn Nếu a ∈ G, ta đặt γ đường cong nằm G kẻ từ z0 đến a, D0 , D1 , , Dn đĩa nằm G có tâm z0 , z1 , , zn = a {γ} cho zk zk−1 nằm Dk−1 ∩ Dk với ≤ k ≤ n Cũng giả sử Dk ⊂ G với ≤ k ≤ n Bây vận dụng định lý Schottky với D0 Suy tồn số C0 cho |f (z)| ≤ C0 với z ∈ D0 f ∈ G (Nếu D0 = B(z0 ; r) R > r B(z0 ; R) ⊂ G Theo hệ 3.2.2.2, |(z) ≤ C(1; β) với z ∈ D0 f ∈ G, hiển nhiên β chọn cho r < βR) Suy |f (z1 )| ≤ C0 Vì theo định lý Schottky G bị chặn số C1 D1 Tiếp tục vậy, có G bị chặn Dn Vì a tùy ý nên G bị chặn Theo định lý Montel, G tầm thường H(G) Bây giờ, ta xét H = {f ∈ F : |f (z0 ) ≥ 1} Nếu f ∈ H giải tích f 70 G f khơng triệt tiêu Vì khơng nhận giá trị 1, H= f :f ∈H f không triệt tiêu f (z) ≤ Do đó: ⊂G Suy H tầm thường H(G) Vì vậy, {fn } dãy H suy tồn dãy {fnk } hàm giải tích h G hội tụ đến h Theo hệ 3.2.1.2 (hệ cho H(G) dãy f nk định lý Hurwitz) h ≡ h khơng triệt tiêu Nếu h ≡ dễ dàng thấy fnk hội tụ đến ∞ tập hợp compact G Nếu h khơng triệt tiêu giải tích, suy h tập compact G fnk hội tụ đến h(z) Định lý 3.2.3.2 Định lý Picard lớn Giả sử hàm giải tích f có điểm bất thường cốt yếu z = a lân cận a, f nhận giá trị phức với điểm bị bỏ đi, số vô Chứng minh Để đơn giản, ta giả sử f có điểm bất thường cốt yếu z = Giả sử tồn số R mà tồn hai số không thuộc tập {f (z) : < |z| < R} xảy mâu thuẫn Trở lại vấn đề, giả sử f (z) = f (z) = với < |z| < R Đặt G = B(0; R)\{0} định z Như hàm fn nghĩa hàm fn : G → C fn (z) = fn n hàm giải tích khơng có hàm fn nhận giá trị Theo định lý Montel – Caratheodory, fn họ tầm thường C(G, C∞ ) Lấy fnk dãy fn cho fnk hội tụ đến ϕ {z : |z| = R}, suy ϕ hàm giải tích G ϕ ≡ ∞ Nếu z ϕ giải tích, đặt M = max{|ϕ(z)| : |z| = R} f = |fnk (z)| ≤ nk |fnk (z) − ϕ(z)| + |ϕ(z)| ≤ 2M với nk lớn tùy ý z| = R Do |f (z)| ≤ R với nk lớn tùy ý 2M với |z| = 2nk 71 Theo ngun lý mơđun cực đại f bị chặn hình khun đồng tâm có bán kính nhỏ dần Suy f bị chặn 2M lân cận bỏ điểm 0, z = điểm bất thường bỏ Do ϕ khơng thể hàm giải tích, suy ϕ đồng với vơ Điều trái với giả thiết thấy ϕ ≡ ∞ f phải đạt cực điểm Vì hầu hết số phức khơng xác định Nếu có số phức w thỏa mãn số hữu hạn với đĩa nhỏ tùy ý, có đĩa thủng mà f khơng nhận đến hai giá trị (đpcm) Một hệ suy từ định lý sau: Hệ 3.2.3.3 Nếu f có điểm bất thường cô lập z = a tồn hai số phức mà không nhận giá trị vơ thơng thường f z = a cực điểm điểm bất thường bỏ Hệ 3.2.3.4 Nếu f hàm nguyên mà hàm đa thức f xác định với số phức, với điểm loại trừ, số vô Chứng minh Vì f khơng phải đa thức, suy g có z điểm bất thường cốt yếu z = Kết suy từ định lý Picard lớn Ta xét hàm g(z) = f Chú ý: Hệ 3.2.3.4 kết hoàn thiện cho định lý Picard nhỏ 72 KẾT LUẬN Luận văn nhằm cung cấp cho người đọc số kiến thức số phức, hàm giải tích trường số phức Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Những kiến thức số phức Trong chương này, luận văn trình bày khái niệm phép toán trường số phức, khái niệm định lý hội tụ phân kỳ dãy số phức, chuỗi số phức Cũng chương này, luận văn trình bày khái niệm định lý hàm biến phức, giới hạn hàm biến phức, hàm biến phức liên tục, đạo hàm hàm biến phức, hàm giải tích phức Đặc biệt, luận văn trình bày chứng minh cụ thể khái niệm, định lý hệ liên quan đến tích phân trường số phức Chương 2: Các điểm bất thường Trong chương này, Luận văn trình bày đầy đủ các khái niệm, định lý hệ điểm bất thường, phân loại điểm bất thường Điểm đặc biệt nêu chứng minh cụ thể định lý Weierstrass Casorati, định lý liên quan trực tiếp đến phần chứng minh định lý Picard Chương 3: Các định lý Picard Chương trình bày mục đích luận văn chứng minh định lý Picard cách cụ thể.Nhưng trước vào phần nêu chứng minh định lý Picard, luận văn trình bày chứng minh số định lý liên quan như: định lý Môđun cực đại, bổ đề Schwarz, định lý Rouché, định lý Bloch, định lý Hurwitz, định lý Montel, định lý Schottky, định lý Montel - Caratheodory 73 Như vậy, luận văn trình bày đảm bảo nội dung nêu Mặc dù luận văn giới hạn phạm vi nhỏ, xem tài liệu hữu ích cho bạn đọc nghiên cứu làm luận văn số phức phục vụ trình giảng dạy Luận văn cung cấp cho người đọc kiến thức quan trọng phạm vi Tuy nhiên q trình thực hiện, luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Mong q thầy cô bạn thông cảm bỏ qua! 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hoàng Tụy Hàm thực – giải tích hàm -2003 Nguyễn Thuỷ Thanh, Hà Huy Khối dịch Nhập mơn giải tích phức - P1: Hàm biến NXB HN.: Đại học trung học chuyên nghiệp, 1980 Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải Hàm biến phức NXB HN: Đại học quốc gia, 2007 Tiếng Anh Berberian Lectures in function Analysis and Operator theorem 1974 Halmos A Hilbert Space Problem Book 2nd ed - 1974 John B Conway Graduate Texts In Mathematics – Functions of One Complex Variable - 1978 Wermer Banach Algebras And Several Complex Variables 2nd ed XIV, 162 page -1976 ... - Hợp hai hàm giải tích hàm giải tích - Hàm ngược hàm giải tích đơn diệp có đạo hàm khác khơng hàm giải tích đơn diệp 1.3.2 Quan hệ hàm giải tích hàm điều hòa Định nghĩa 1.3.2.1 Cho hàm số thực... nghiên cứu - Hàm giải tích - Định lý Picard nhỏ, - Định lý Picard lớn IV Nội dung nghiên cứu Hàm giải tích, điểm bất thường, định lý, bổ đề, mệnh đề liên quan hai định lý Picard nhỏ, Picard lớn... Nếu hàm w = f (z) giải tích miền mở chứa G, gọn ta nói w = f (z) giải tích miền đóng G Tính Chất 1.3.1.2 - Tổng, tích hai hàm giải tích hàm giải tích - Thương hai hàm giải tích hàm giải tích