Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN XÂY DỰNG HÀM GIẢI TÍCH VỚI TẬP KHƠNG ĐIỂM LÀ TẬP KHƠNG CĨ ĐIỂM TỤ CHO TRƯỚC Người hướng dẫn : ThS Nguyễn Quốc Tuấn Cơ quan cơng tác : Khoa Tốn,Trường ĐHSPHN Họ tên sinh viên: Vũ Thị Yến Lớp : K37c Xuân Hòa - Ngày 14 tháng năm 2015 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn Người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi để tơi hồn thành khóa luận Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khóa luận Trong khn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, tơi kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, Ngày 14 tháng năm 2015 Sinh viên VŨ THỊ YẾN LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân tơi hướng dẫn tận tình ThS Nguyễn Quốc Tuấn Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài “Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, Ngày 14 tháng năm 2015 Sinh viên Vũ Thị Yến Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức dãy số phức 1.1.1 Số phức 1.1.2 Dãy chuỗi số phức 1.2 Tôpô mặt phẳng phức 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Tập bị chặn tập compact 1.2.3 Giả khoảng cách hai tập hợp 1.2.4 Đường miền mặt phẳng phức 1.3 Hàm số biến số phức 11 1.3.1 Hàm biến phức 11 1.3.2 Chuỗi hàm 13 1.4 Hàm giải tích 1.4.1 Khái niệm hàm giải tích 17 17 Chương Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước 20 2.1 Điểm bất thường, không điểm hàm giải tích 20 2.1.1 Điểm bất thường hàm giải tích 20 2.1.2 Khơng điểm hàm giải tích 21 2.1.3 Hàm nguyên hàm phân hình 21 2.2 Tích vơ hạn 23 2.3 Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước 26 2.4 Định lý Mittag - Leffler 28 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Vào kỉ XVI, số phức phát minh dựa việc giải phương trình đại số Người đưa định nghĩa số phức nhà toán học người Italia, R Bombelli (1526 –1573), ơng viết cơng trình đại số ơng năm 1572 Bologne, lúc số phức gọi số "khơng thể có" "số ảo" Nó cơng bố lâu trước ơng Trong nghiên cứu phương trình bậc ba, ơng định nghĩa số phức đưa bậc hai −1 Năm 1746, nhà toán học người Pháp, J D’Alembert (1717 – 1783) xác định dạng tổng quát số phức "a + bi", đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn n nghiệm phương trình bậc n Sau đó, nhà tốn học người Thụy Sĩ, L Euler (1707 – 1783) đưa ký hiệu "i" để bậc hai −1 Cho đến năm 1801, nhà toán học người Đức, Johann C F Gauss (1777 – 1855) dùng lại ký hiệu từ kí hiệu "i" sử dụng phổ biến Số phức đóng vai trị quan trọng việc giải toán mà với phương pháp tập số thực thông thường tỏ không hiệu Như vậy, số phức có mặt đại số, lượng giác, hình học giải tích Người nghiên cứu số khơng điểm hàm ngun hình nhà toán học người Đức, K Weierstrass (1815 – 1897) Vấn đề ơng nghiên cứu luận án "Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen" Royal Academy of Sciences, năm 1876 Mở rộng hơn, Mittag-Leffler nghiên cứu toán số khơng điểm hàm phân hình Từ năm 1876 đến năm 1877, Ông trao đổi với Weierstrass vấn đề qua thư Cuối cùng, Mittag-Leffler hồn thành tốn đăng báo "Om den analytiska framstăallningen af en funktion af rationel karakter med en godtyckligt vald grăanspunkt" xut bn nm 1877 Nm 1882, G Mittag-Leffler xut bn bi bỏo "Fullstăandig analytisk framstăallning af hvarje entydig monogen funktion, hvars singulăara stăallen utgăora en văardemăangd af făorsta slaget" Trong bi bỏo ú, ễng ó nghiên cứu đầy đủ vấn đề không điểm hàm phân hình, từ xây dựng hàm phân hình với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước Bằng ham học hỏi, tìm tịi sinh viên Sư phạm chun ngành Tốn khn khổ khóa luận tốt nghiệp, đồng thời nhận hướng dẫn nhiệt tình thầy Nguyễn Quốc Tuấn tơi chọn đề tài "Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước" để hồn thành khóa học Hy vọng đề tài đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho thân nhiều thú vị cho độc giả Cấu trúc đề tài bố cục thành hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước Chương giới thiệu hàm giải tích tính chất hàm giải tích Bao gồm: Giới thiệu số phức, dãy số phức, tôpô mặt phẳng phức tính chất chúng; giới thiệu hàm số biến số phức, nghiên cứu chuỗi hàm, điều kiện để chuỗi hàm hội tụ, hội tụ hay hội tụ tuyệt đối; giới thiệu định nghĩa hàm giải tích số tính chất đáng nhớ hàm Chương giới thiệu vấn đề lựa chọn nghiên cứu sâu hàm giải tích: “Hàm giải tích với tập khơng điểm” Bao gồm : Các khái niệm điểm bất thường hàm giải tích, khơng điểm hàm giải tích, hàm ngun hàm phân hình; tích vơ hạn hàm giải tích Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước thơng qua định lý phân tích Weierstrass, định lý Mittag-Leffler Tuy có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian lực thân nên đề cương không tránh khỏi sai sót, mong quan tâm, góp ý thầy bạn Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 14 tháng năm 2015 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức dãy số phức 1.1.1 Số phức Ta biết trường số thực R nhận cách làm "đầy" trường hữu tỷ Q Việc làm đầy xuất phát từ nghiên cứu phương trình đại số với hệ số hữu tỷ giới hạn dãy số hữu tỷ Tuy nhiên trường R khơng đầy đủ, phương trình đơn giản x2 + = (1.1) khơng có nghiệm R Cịn giải tích giới hạn R người ta khơng thể giải thích hàm f (x) = 1 + x2 khai triển thành chuỗi lũy thừa toàn đường thẳng Với lý trên, ta phải tìm kiếm trường C chứa R trường cho tối thiểu phương trình x2 + = có nghiệm Ở đây, ta nói R trường C phép toán R cảm sinh phép toán C Ta có R ⊂ C nên C chứa tất phần tử có dạng a + bi; a, b ∈ R Hay xét tập C cặp số thực z = (a, b), C = {(a, b) : a, b ∈ R} Sau đưa vào quan hệ phép toán cho với chúng C trở thành trường chứa R trường (qua phép đồng đó) Các phép tốn dẫn dắt từ phép toán trường R với ý i2 = −1 Ta có: i Quan hệ (a, b) = (c, d) ⇔ a = c b = d ii Phép cộng (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) iii Phép nhân (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) Định nghĩa 1.1 Tập hợp C với quan hệ nhau, phép cộng nhân xác định lập thành trường gọi trường số phức, phần tử C gọi số phức Số i ∈ C gọi đơn vị ảo C Bởi (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + b (0, 1) = a + bi nên số phức z ∈ C ta viết dạng z = a + bi, a, b ∈ R, gọi dạng đại số số phức z, số thực a, b gọi phần thực phần ảo z, kí hiệu a = Rez, b = Imz Khi đó, z¯ = a − ib ∈ C gọi số phức liên hợp số phức z √ 2 z gọi môđun z Với số z = x + iy ∈ C ta đặt |z| = x + y = z.¯ Đặt r = |z|, x r = cos ϕ0 , yr = sin ϕ0 , ≤ ϕ0 < 2π Số thực ϕ0 thỏa mãn dạng lượng giác (1.2) sau gọi argument z, kí hiệu argz z = |z| (cosϕ0 + i sin ϕ0 ), ≤ ϕ0 < 2π (1.2) Rõ ràng argument ϕ z tồn số nguyên k cho ϕ = arg z + 2kπ Tập hợp Argz = {arg z + 2kπ : k = 0; ±1; ±2; } gọi argument z Với khái niệm môđun argument số phức z = 0, đó, số phức z viết dạng (1.3) sau gọi dạng lượng giác z z = |z| (cosϕ + i sin ϕ), ϕ ∈ Argz (1.3) eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, (1.4) Với số thực ϕ đặt đó, số phức z = viết dạng (1.5) sau gọi dạng mũ z z = ρeiϕ (1.5) Ta có cơng thức sau  iϕ  (e + e−iϕ ) cos ϕ =    (1.6)    sin ϕ = (eiϕ − e−iϕ ) Công thức (1.6) gọi công thức Euler 1.1.2 Dãy chuỗi số phức Dựa vào hàm giá trị tuyệt đối ta nói hội tụ dãy số thực, hồn tồn tương tự ta nói hội tụ dãy số phức việc áp dụng hàm môđun Cho dãy số phức {zn } ∈ C, ta nói dãy hội tụ tới z ∈ C |zn − z| → n → ∞ Điều có nghĩa ∀ε > 0, ∃nε , ∀n > nε : |zn − z| < ε Do zn = xn + iyn , z = x + iy, |zn − z| = (xn − x)2 + (yn − y)2 nên zn → z xn → x yn → y Như vậy, tất biết hội tụ R chuyển tương ứng sang C Chẳng hạn, ta có: i Nếu zn → z |zn | → |z| ii Nếu zn → z, ωn → ω, thì: zn ± ωn → z ± ω; zn ωn zn ωn → zω; z → (ω = 0) ω iii Dãy {zn } hội tụ dãy Cauchy, tức ∀ε > 0, ∃nε , ∀n, m > nε : |zn − zm | < ε iv Mọi dãy {zn } bị chặn C (nghĩa là: sup |zn | < ∞) có dãy hội tụ n≥1 v Dãy {zn } → z Re zn → Re z Im zn → Im z 1.4 Hàm giải tích 1.4.1 Khái niệm hàm giải tích Hàm hai biến thực xem hàm biến phức Điều với cấu trúc đại số C dẫn ta đến lớp hàm quan trọng Đó lớp hàm C – Khả vi Chương nhằm trình bày số tính chất ban đầu lớp hàm Định nghĩa 1.15 Cho hàm số f xác định miền Ω ⊂ C Xét giới hạn f (z + ∆z) − f (z) , z, z + ∆z ∈ Ω ∆x→0 ∆z lim Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức f z, ký hiệu f (z) hay df (z) dz Như f (z + ∆z) − f (z) , z, z + ∆z ∈ Ω ∆z→0 ∆z f (z) = lim Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C – khả vi z Bởi f (z + ∆z) − f (z) ∆z = ∆x→0 ∆x→0 ∆z nên f C – khả vi z lim [f (z + ∆z) − f (z)] = Nói cách khác f liên tục lim [f (z + ∆z) − f (z)] = lim ∆x→0 z Cũng hàm biến thực, quy nạp ta viết f (k) = (f (k−1) ) vế phải tồn gọi đạo hàm phức cấp k f Ω Do định nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tương tự với định nghĩa đạo hàm hàm biến thực, ta dễ dàng thiết lập công thức sau Định lý 1.18 Nếu f(z) g(z) khả vi phức z0 αf (z) + βf (z), f (z).g(z) f (z)/g(z), (g(z0 ) = 0) khả vi z0 với α, β ∈ C và: i (αf + βg) (z0 ) = αf (z0 ) + βg (z0 ) ii (f g) (z0 ) = f (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g (z0 ) iii (f /g) (z0 ) = f (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g (z0 ) g (z0 ) 17 iv Nếu ω = f (z) khả vi phức z0 g(ω) khả vi phức ω0 = f (z0 ) hàm hợp g0 f khả vi phức z0 (gf ) (z0 ) = g (f (z0 ))f (z0 ) Ta có điều kiện Cauchy - Riemann sau Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định miền Ω ⊂ C Hàm f gọi R2 - khả vi z = x + iy hàm u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) Định lý 1.19 Để hàm f C - khả vi z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần đủ hàm f R2 - khả vi z điều kiện Cauchy- Riemann sau thỏa mãn z  ∂v ∂u    (x,y)= (x,y) ∂x ∂y (1.13) ∂v ∂u    (x,y)=− (x,y) ∂y ∂x Nhận xét 1.4 i Giả sử f hàm R2 - khả vi z ∈ Ω ⊂ C R2 khả vi z Ckhả vi δf (z) = δz ii Nếu f C - khả vi z ta có δf (z) = δz = 2 δu δv δu δv (z) + i (z) − i (z) + (z) δx δx δy δy δv δu (z) + 2i (z) δx δx = δu δv (z) + i (z) = f (z) δy δy Định nghĩa 1.16 Cho hàm f xác định miền Ω ⊂ C với giá trị C gọi giải tích z0 ∈ Ω tồn r > để f C – khả vi z ∈ Ω ta nói f giải tích Ω Nếu f giải tích z ∈ Ω ta nói f giải tích Ω Nhận xét 1.5 Ta mở rộng định nghĩa nêu tới trường hợp Ω miền tùy ý C f ánh xạ từ Ω vào C phép nghịch đảo Như vậy, z0 hữu hạn f (z0 ) = ∞ ta nói f giải tích z0 f (1/z) giải tích z0 , cịn z0 = ∞ ta nói f giải tích z0 f giải tích Nếu khơng có đặc biệt ta ln coi z Ω ⊂ C f hữu hạn Ta có hàm đa thức giải tích tồn mặt phẳng C Các hàm hữu tỷ giải tích C trừ điểm mà khơng xác định Từ định lý 1.18 ta có 18 Định lý 1.20 Giả sử Ω ⊂ C miền H (Ω) tập hàm giải tích Ω Khi đó: i H (Ω) không gian véctơ C ii H (Ω) vành ∈ H (Ω) f iv Nếu f ∈ H (Ω) f nhận giá trị thực f khơng đổi iii Nếu f ∈ H (Ω) f (z) = 0, ∀z ∈ Ω Cũng từ định lý 1.20 iv ta có Định lý 1.21 (về hàm hợp) Nếu f : Ω → Ω∗ g : Ω∗ → C hàm giải tích, Ω Ω∗ miền mặt phẳng (z) (w), hàm gof : Ω → C giải tích ∞ Định lý 1.22 Giả sử chuỗi lũy thừa Cn z n có bán kính hội tụ R > Khi đó, tổng n=0 ∞ f (z) giải tích z với |z| < R đạo hàm phức n=1 Hệ 1.1 i (ez ) = ez ii (sin z) = cos z iii (cos z) = − sin z iii (cos z) = − sin z iv (sh z) = ch z v (ch z) vi (ln z) = sh z , z ∈ C\ [0, ∞] = z 19 Cn z n−1 Chương Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước 2.1 Điểm bất thường, không điểm hàm giải tích 2.1.1 Điểm bất thường hàm giải tích Giả sử f hàm xác định miền Ω Điểm z0 ∈ C gọi điểm bất thường f tồn r > cho vành khăn < |z − z0 | < r bao hàm Ω f giải tích vành khăn khơng thể mở rộng giải tích tới z0 , tức khơng tồn hàm giải tích g hình tròn |z − z0 | < r cho g(z) = f (z) với < |z − z0 | < r Giả sử f giải tích vành khăn < |z − z0 | < r Chỉ xảy ba khả sau: i Tồn lim f (z) = a ∈ C Khi đó, z0 gọi điểm thường f z→z0 ii Tồn lim f (z) = ∞ Khi đó, z0 gọi cực điểm f z→z0 iii Không tồn lim f (z) (trong C) Khi đó, z0 gọi điểm bất thường cốt z→z0 yếu f Để khảo sát trường hợp ta xét khai triển Laurent f z0 vành 20 khăn < |z − z0 | < r +∞ Cn (z − z0 )n , (2.1) f (η) dη, n = 0, ±1, (η − z0 )n+1 (2.2) f (z) = n=−∞ Cn = 2πi γρ với ρ tùy ý, < ρ < r Định lý 2.1 Nếu tồn lim f (z) = a ∈ C tức z0 điểm thường f , hay tổng z→z0 quát f bị chặn lân cận a f mở rộng giải tích tới z0 Định lý 2.2 i Điểm z0 cực điểm hàm giải tích f (z) < |z − z0 | < r khai triển (2.1) tồn m > để C−m = Ck = với k < −m Số nguyên m > 0, gọi bậc cực điểm z0 ii Điểm z0 điểm bất thường cốt yếu tồn vô số k > để C−k = 2.1.2 Không điểm hàm giải tích Định nghĩa 2.1 Cho f hàm giải tích, đa thức điểm z0 gọi khơng điểm bậc m hàm giải tích f f (z0 ) = · · · = f (m−1) |z0 = 0, f (m) (z0 ) = Như vậy, z0 không điểm bậc m f (z) khai triển (2.1) có dạng ∞ ∞ k m Cm+k (z − z0 )k Ck (z − z0 ) = (z − z0 ) f (z) = k=m k=0 Trong khai triển (2.1), đặt m = inf {k : Ck = 0} Khi đó: i z0 cực điểm −∞ < m < Trong trường hợp −m bậc cực điểm z0 ii z0 bất thường cốt yếu m = −∞ 2.1.3 Hàm nguyên hàm phân hình Định nghĩa 2.2 Hàm f giải tích tồn mặt phẳng C gọi hàm nguyên 21 Như vậy, theo định lý Taylor, hàm nguyên có khai triển thành chuỗi Maclaurin C ∞ Cn z n , z ∈ C f (z) = n=0 Đối với hàm nguyên f có trường hợp xảy sau đây: i Tồn lim f (z) = a ∈ C, nói cách khác ∞ điểm thường f Khi đó, f bị z→∞ chặn C nên theo định lý Liouville f = const ii Tồn lim f (z) = ∞ Khi đó, khai triển Laurent f ∞ có phần z→∞ đa thức m ak z k g(z) = k=1 Hiệu ϕ(z) = f (z) − g(z) hàm nguyên lim ϕ(z) hệ số a0 z→∞ khai triển Laurent f ∞ Vì vậy, f (z) − g(z) số hay f (z) đa thức iii lim f (z) không tồn Trường hợp ta gọi f hàm siêu việt z→∞ Định nghĩa 2.3 Hàm giải tích miền Ω ⊂ C trừ số điểm bất thường cực điểm gọi hàm phân hình Ω Do định lý 2.1 tập cực điểm f đếm được, rời rạc Ω Giả sử f hàm giải tích Ω không đồng không f (z0 ) = 0, z0 ∈ Ω Theo định lý tồn r > cho f (z) = với < |z − z0 | < r Vậy tập khơng điểm f đếm Như vậy, f g hàm giải tích Ω f /g hàm phân hình Bây giả sử f hàm phân hình Ω có số hữu hạn cực điểm z1 , , zm với bậc pi , , pm Khi đó, hàm m g(z) = f (z) Π (z − zj )p j j=1 giải tích Ω Như vậy, f viết dạng thương hai hàm giải tích Trường hợp tổng qt định lý sau Định lý 2.3 Mọi hàm phân hình miền tùy ý Ω biểu diễn dạng thương hai hàm giải tích Ω 22 2.2 Tích vơ hạn Ta biết tập hợp khơng điểm hàm giải tích khác số miền Ω Mục đích xây dựng hàm giải tích f nhận tập khơng có điểm tụ Ω tập không điểm Nếu a = {αn } khơng có điểm tụ Ω để xây dựng hàm f với n ta lấy hàm fn ∈ H (Ω) mà có khơng điểm αn sau xét giới hạn tích pn = f1 fn n → ∞ Định nghĩa 2.4 Giả sử {un } dãy số phức mà pn = (1 + u1 ) (1 + un ) (2.3) Nếu tồn p = lim pn n→∞ Ta viết ∞ p= (1 + un ) (2.4) n=1 Các số pn gọi tích riêng tích vơ hạn (2.4) Sau ta nói tích vơ hạn (2.4) hội tụ dãy {pn } hội tụ Bổ đề 2.1 Giả sử u1 , u2 , , un số phức đặt N N ∗ pN = (1 + |un |) (1 + un ), PN = n=1 (2.5) n=1 ∗ PN ≤ exp (|u1 | + · · · + |uN |) (2.6) ∗ |PN − 1| ≤ PN − Chứng minh Từ bất đẳng thức + x ≤ ex với x ≥ 0, ta có: N ∗ N (1 + |un |) ≤ PN = n=1 exp |un | n=1 = exp (|u1 | + · · · + |un |) 23 (2.7) Đó bất đẳng thức (2.6) Với N=1, (2.7) hiển nhiên Giả sử (2.7) chứng minh N − Khi đó: |pN − 1| = |pN −1 (1 + uN ) − 1| = |(pN −1 − 1) (1 + uN ) + uN | ≤ |(pN −1 − 1) (1 + |uN |) + |uN || ∞ Định lý 2.4 Giả sử {un } dãy hàm bị chặn tập S cho chuỗi |un (s)| n=1 hội tụ S Khi đó, tích ∞ f (s) = (1 + un (s)) (2.8) n=1 hội tụ S f (s0 ) = so với s0 thuộc S tồn n để un (s0 ) = −1 Ngoài ra, {n1 , n2 , } hoán vị {1, 2, } ∞ f (s) = (1 + unk (s)) (2.9) k=1 ∞ |un (s)| bị chặn S theo bổ đề 2.1 ta Chứng minh Giả thiết suy n=1 có sup {|pN (s)| : s ∈ S, N ≥ 1} = C < ∞ Giả sử {n1 , n2 , } hoán vị tùy ý {1, 2, } Cho < ε < Lấy N0 để ∞ |un (s)| < ε với s ∈ S (2.10) n=N0 Nếu N ≥ N0 M đủ lớn cho {1, 2, , N } ⊂ {n1 , n2 , , nM } Và qM (s) ký hiệu tích riêng thứ M tích (2.9), qM − p N = pN (1 + unk ) − (2.11) nk >N Vậy (2.10) bổ đề chứng tỏ |qM − pN | ≤ |pN | (eε − 1) ≤ |pN | ε ≤ 2Cε 24 (2.12) Nếu nk = k (k = 1, 2, ) , Thì M = N qM = pN (2.12) suy dãy {pN } hội tụ S tới f Ngoài |qM − pN | ≤ |pN | ε, với M > N0 (2.13) Vì |pM | ≥ (1 − 2ε) |pN0 | Vậy |f (s)| ≥ (1 − 2ε) |pN0 (s)| với s ∈ S (2.14) Bất đẳng thức chứng tỏ f (s) = pN0 (s) = Cuối từ (2.12) ta suy dãy {qM } hội tụ tới giới hạn dãy {pN } ∞ Định lý 2.5 Giả sử ≤ un < Khi đó, ∞ (1 − un ) > n=1 un < ∞ n=1 Chứng minh Nếu pN = (1 − u1 ) (1 − un ), p1 ≥ p2 ≥ · · · ≥ pN > Vì tồn ∞ un < ∞, theo định lý 2.4 ta có p > Mặt khác p ≤ pN = p = lim pN Nếu N n=1 N (1 − un ) ≤ exp [−u1 − u2 − · · · − uN ] vế phải tiến đến không N → ∞, n=1 ∞ un = ∞ n=1 Định lý 2.6 Giả sử hàm giải tích fn , n = 1, 2, 3, , miền Ω không đồng không chuỗi ∞ |1 − fn (z)| (2.15) n=1 hội tụ compact Ω Khi đó, tích ∞ f (z) = fn (z) (2.16) n=1 hội tụ tập compact tới hàm f ∈ H (Ω) Ngoài ∞ m (fn ; z) với z ∈ Ω m (f ; z) = (2.17) n=1 đây, m(f ; z) ký hiệu bội không điểm z f (nếu f (z) = ta coi m(f ; z) = 0) Chứng minh Phần thứ định lý suy từ định lý 2.4 với un (z) = |1 − fn (z)| 25 Để chứng minh phần thứ hai trước hết từ (2.15) ta suy điểm thuộc Ω có lân cận V N để fn khơng có khơng điểm V với n > N Theo định lý 2.4 số không điểm f V (kể bội ) tổng số không điểm V f1 , , fN Vậy (2.17) chứng minh 2.3 Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước Định nghĩa 2.5 Đặt E0 (z) = p=0, 1, 2, z2 zp Ep (z) = (1 − z) exp z + + ··· + p Những hàm đề xuất Weierstrass gọi nhân tử sơ cấp Các nhân tử có khơng điểm z = Bổ đề 2.2 Với |z| ≤ q=0,1,2, |1 − Ep (z)| ≤ |z|p+1 Chứng minh Bất đẳng thức hiển nhiên với p = Đối với p ≥ ta có z2 zp −Ep (z) = z exp z + + ··· + p p Vậy −Ep (z) có khơng điểm bậc p z = khai triển theo lũy thừa z có hệ số thực khơng âm Bởi z − Ep (z) = − Ep (η) dη Hàm − Ep (z) có không điểm bậc p + z = 0, ϕ (z) = ∞ Thì ϕ (z) = − Ep (z) z p+1 an z n với an ≥ Vậy n=o − Ep (z) = |ϕ (z)| ≤ z p+1 ∞ |an | |z|n n=0 ∞ ≤ an = ϕ (1) = với |z| ≤ n=0 Do |1 − Ep (z)| ≤ |z p+1 | với |z| ≤ 26 Định lý 2.7 Giả sử {zn } dãy số phức khác không với |zn | → ∞ n → ∞ Nếu {pn } dãy số nguyên không âm cho ∞ n=1 1+pn r rn < ∞, (2.18) r > 0(ở rn = |rn |), tích vơ hạn ∞ p (z) = Epn n=1 z zn (2.19) xác định hàm ngun p (z) có khơng điểm zn Một cách xác, α số phức xuất m lần (0 ≤ m < ∞) dãy zn p khơng có bậc m α Điều kiện (2.18) luôn thỏa mãn pn = n − Chứng minh Trước hết pn = n − (2.18) thỏa mãn < r rn < với n đủ lớn Bây cố định r > Nếu |z| ≤ r, bổ đề 2.2 suy − Epn z zn z ≤ zn 1+pn ≤ r rn 1+pn , ∞ − Epn rn ≥ r ( mà thỏa mãn với n đủ lớn ) Vì từ bổ đề 2.2 chuỗi n=1 z zn hội tụ tập compact mặt phẳng Định lý 2.6 chứng tỏ tích vơ hạn ∞ Epn n=1 z zn hội tụ tới hàm nguyên p(z)c thỏa mãn yêu cầu Định lý 2.8 (Weierstrass) Giả sử f hàm nguyên với f (0) = giả sử z1 , z2 , không điểm f (không điểm bội m xuất m lần) Khi đó, tồn hàm nguyên g dãy số nguyên không âm {pn } cho ∞ f (z) = eg(z) Epn n=1 z zn (2.20) Chứng minh Giả sử p tích vơ hạn xác định định lý 2.7 với {pn } dã số nguyên không âm thỏa mãn (2.18) Bởi C đơn liên nên f p = eg hàm nguyên g Vậy ∞ f (z) = eg(z) Epn n=1 27 z zn (2.21) Định lý 2.9 Giả sử A tập khơng có điểm tụ miền Ω ∈ C giả sử α ∈ A tương ứng với số nguyên dương m (α) Khi đó, tồn f ∈ H (Ω), H (Ω) tập hàm chỉnh hình Ω cho tất không điểm f A ngồi f có khơng điểm bậc m (α) α ∈ A Chứng minh Khi Ω ≡ C định lý 2.7 Vì ta cần xét trường hợp Ω = C Giả sử {an } dãy thành lập từ A cho α xuất m (α) lần dãy với α ∈ A Vì ∂Ω = φ với αn ta tìm điểm βn ∈ / Ω cho |βn − αn | ≤ |β − αn | với β ∈ / Ω Khi |βn − αn | → n → ∞ A khơng có điểm tụ ∞ Ω Ta kiểm tra lại hàm f (z) = En n=1 αn −βn z−βn thỏa mãn đòi hỏi định lý Thật đặt rn = |αn − βn | Giả sử k tập compact tùy ý Ω Bởi rn → tồn N cho |z − βn | ≥ rn với z ∈ K n > N Khi suy − En αn − βn z − βn α n − βn ≥ ≤ z − βn |αn −βn | |z−βn | ≤ 12 Mà n Với n > N z ∈ K Áp dụng định lý 2.6 tới fn (z) = En αn −βn z−βn ∞ En , ta suy tích vơ hạn n=1 αn −βn z−βn hội tụ compact Ω tới f ∈ H (Ω) mà thỏa mãn địi hỏi định lý Định lý 2.10 Mọi hàm phân hình miền Ω viết thương hai hàm giải tích Ω Chứng minh Cho f hàm phân hình Ω Giả sử A tập tất cực điểm f giả sử α ∈ A, m (α) ký hiệu bậc cực điểm α Theo định lý 2.9 ta tìm h ∈ H (Ω) cho tập không điểm h chứa A h có khơng điểm bậc m (α) α ∈ A Đặt g = f h Những điểm bất thường g A thực g chất chúng điểm thường Vì g ∈ H (Ω) f = h 2.4 Định lý Mittag - Leffler Định lý Mittag-Leffler sau giống định lý 2.9 hàm phân hình 28 Định lý 2.11 (Mittag - Leffler) Giả sử A tập khơng có điểm tụ miền Ω giả sử α ∈ A ta có số nguyên dương m (α) hàm hữu tỷ m(α) cj,α (z − α)−j pα (z) = j=1 Khi đó, tồn hàm phân tích f Ω cho phần α ∈ A pα f khơng có cực điểm ngồi A ¯ n = {z ∈ C : |z| ≤ n} Chứng minh Để đơn giản ta xét trường hợp Ω = C Đặt ∆ An = A ∩ (∆n \∆n−1 ) Bởi A khơng có điểm tụ, An tập hữu hạn với n ≥ Đặt qn (z) = pα (z), n = 1, 2, (2.22) α∈An Do An tập hữu hạn, qn hàm hữu tỷ Hiển nhiên tập cực điểm qn bao hàm ∆n \∆n−1 Đặc biệt qn giải tích ∆n−1 = {z ∈ C : |z| < n − 1} Bằng cách đặt khai triển Taylor an ∈ ∆n−1 tìm đa thức qn cho |q (z) − pn (z)| < 2−n ; z ∈ ∆n−2 (2.23) Ta kiểm tra lại ∞ (qn (z) − pn (z)), z ∈ Ω f (z) = q1 (z) + (2.24) n=2 ¯ N ta có Thỏa mãn địi hỏi định lý Thật vậy, cố định N Trên ∆ ∞ N +1 (qn − pn ) + f (z) = q1 + n=2 (qn − pn ) (2.25) n=N +2 Từ (2.23) thành phần tổng cuối (2.25) nhỏ 2−n ∆N , ¯ N tới hàm mà giải tích ∆N Vậy hàm f − chuỗi cuối hội tụ ∆ (q1 + · · · + qN +1 ) giải tích ∆N Như f có phần pα α ∈ A 29 KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận "Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước" Khóa luận trình bày hàm giải tích xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên khóa luận đạt số kết định Tôi mong thầy cơ, bạn góp ý nhận xét để khóa luận đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt ThS Nguyễn Quốc Tuấn tận tình giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Hà Nội, Ngày 14 tháng năm 2015 Sinh viên VŨ THỊ YẾN 30 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2005), Hàm biến phức, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] Joseph Bak, Donald J Newman (1996), Complex Analysis, Second Edition, Springer - Verlag NewYork [3] W K Hagman (1964), Meromovphic Fruntions, Oxford at the Clarendon Pres [4] L Hormander (1990), An Introduction to Complex Analgois in Several Variables, 3rd edition Norse-Holland, Amsterdam [5] Jerold E Marseden, Michael J Hoffman (1986), Basic Complex Analysis Verlag [6] Walter Rudin (1987), Real and Complex Analysis , McGraw-Hill Publishing Co [7] B Shabat (1990), a L’Amalyse Complexe, (endeux tomes), E’ditions Mir Moscou [8] E.C Titchmarsh (1975),The Theory of Functions , Oxford University Press [9] W Rudin (1974), Real and complex Analygis, McGraw – Hill, New York 31 ... hàm giải tích: ? ?Hàm giải tích với tập khơng điểm? ?? Bao gồm : Các khái niệm điểm bất thường hàm giải tích, khơng điểm hàm giải tích, hàm ngun hàm phân hình; tích vơ hạn hàm giải tích Xây dựng hàm. .. Chương Xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước 2.1 Điểm bất thường, không điểm hàm giải tích 2.1.1 Điểm bất thường hàm giải tích Giả sử f hàm xác định miền Ω Điểm. .. giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước" Khóa luận trình bày hàm giải tích xây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước Do thời gian nghiên cứu