Ứng dụng thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRƯƠNG THỊ TUYẾT HẠNH ỨNG DỤNG THẶNG DƯ LOGARIT ĐỂ TÌM SỐ KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM GIẢI TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN QUỐC TUẤN Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Quốc Tuấn - Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành bài khóa luận của mình. Thầy không chỉ dạy cho tôi kiến thức mà còn rèn cho tôi tính cẩn thận, tỉ mỉ và chính xác. Hơn nữa, tôi đã học được rất nhiều ứng dụng công nghệ thông tin vào Toán học từ thầy. Thầy đã dạy cho tôi biết rằng khi làm bất cứ việc gì đều phải dành hết tâm huyết thì mới hoàn thành tốt được công việc. Với những lời dạy quý giá đó, tôi sẽ luôn ghi nhớ và cố gắng thực hiện. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt bài khóa luận này. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015 Sinh viên Trương Thị Tuyết Hạnh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của ThS. Nguyễn Quốc Tuấn. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015 Sinh viên Trương Thị Tuyết Hạnh Mục lục Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Định nghĩa hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Tính liên tục và liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 7 1.2. Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Tích phân hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Khái niệm hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Định lý Cauchy cho miền đơn liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Định lý Cauchy cho miền đa liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Sự tồn tại của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Định lý Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Định lý duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Định lý Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Điểm bất thường của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư . . . . . . . 1.6.1. Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Các định lý cơ bản về thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 13 14 14 15 15 15 16 18 18 21 Chương 2. Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Thặng dư logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Không điểm của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Cực điểm của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Thặng dư logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích . . . . . . 2.3. Số không điểm của tổng hai hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Nguyên lý bảo toàn miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact 2.6. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 22 22 23 25 25 26 27 28 MỞ ĐẦU Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số phức (các ánh xạ giữa Cn và Cm ). Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 và thậm chí có thể là trước đó. Một số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở đầu thế kỷ 20. Khi đó, hàm phức được nghiên cứu là một hàm trong đó đối số và hàm số nhận giá trị phức. Chính xác hơn, hàm phức là hàm mà tập xác định Ω là tập con của mặt phẳng phức và tập giá trị cũng là tập con của mặt phẳng phức. Với một hàm phức tùy ý, cả đối số và hàm số có thể tách thành phần thực và phần ảo: z = x + iy và w = f (z) = u(z) + iv(z), trong đó x, y ∈ R và u(z), v(z) là các hàm thực. Nói cách khác, các thành phần của hàm f (z): u = u(x, y) và v = v(x, y) có thể hiểu như các hàm thực của hai biến thực x và y. Các khái niệm cơ bản của giải tích phức thường được nghiên cứu dựa trên mở rộng các hàm thực sơ cấp (ví dụ như: hàm mũ, hàm logarit và các hàm lượng giác) lên miền phức. Năm 1890, bài báo "Oeuvres Complètes" của Cauchy được công bố, trong đó nghiên cứu tích phân hàm biến phức mà ta hay gọi là tích phân Cauchy. Công thức tích phân Cauchy cho hàm biến phức f mà có đạo hàm tại điểm z0 thì nó có đạo hàm mọi cấp tại điểm đó. Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả của nó là những kết quả rất quan trọng và nhiều ứng dụng trong Lý thuyết hàm biến phức. Từ kết quả đó, người ta thấy rằng hàm f có thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa có tâm tại điểm z0 . Trái lại, nếu hàm f không giải tích tại điểm z0 thì hàm f vẫn có thể khai triển được thành một chuỗi khác mà 4 ta gọi là chuỗi Laurent. Năm 1843, chuỗi Laurent lần đầu tiên được xuất bản bởi Pierre Alphonse Laurent và sau này chuỗi đó được đặt tên theo tên của ông. Cũng có thông tin Karl Weierstrass mới là người phát hiện ra chuỗi đó đầu tiên. Tuy nhiên, bài báo của ông được viết vào năm 1841 đã không được công bố cho đến khi ông qua đời. Khái niệm chuỗi Laurent sẽ dẫn đến khái niệm thặng dư. Ngược lại, với lý thuyết thặng dư chúng ta có thể thực hiện các tính toán trong các bài toán ứng dụng. Khái niệm về thặng dư logarit đã được nhiều người đưa ra vào nửa cuối thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển việc thực hiện tính toán các bài toán ứng dụng. Khi nghiên cứu về ứng dụng trong giải tích toán học, thặng dư logarit cho ta một công cụ để tìm số cực điểm và không điểm của một hàm trên một miền nào đó. Vào thời gian này, các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ của cực điểm và không điểm của hàm giải tích, đó chính là nguyên lý Argument (xem [5]). Đồng thời, các nhà khoa học cũng nghiên cứu được cách tìm số không điểm của tổng hai hàm giải tích (Định lý Rouché) (xem [6]). Năm 1962, định lý Rouché được chứng minh một cách rõ ràng bởi Estermann (xem [6]). Đến năm 1982, Challener và Rubel cũng đã chứng minh được định lý ngược của định lý Rouché (xem [4]). Định Hurwitz được đặt tên theo tên nhà toán học Adolf Hurwitz đã đưa ra tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact. Như vậy, thặng dư logarit là một ứng dụng không những đóng vai trò quan trọng trong giải tích mà còn ngày càng phát triển rộng rãi trong Toán học. Với khóa luận này tôi nghiên cứu đề tài “Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích”. Nội dung nghiên cứu của tôi tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thần hoc hỏi, tìm tòi kiến thức mới, hi vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả. Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ThS.Nguyễn Quốc Tuấn và sau một thời gian nghiên cứu, tôi trình bày khóa luận với nội dung gồm hai chương: Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản của lý thuyết hàm giải tích một biến phức, đó là khái niệm và các tính chất của hàm giải tích, lý thuyết tích phân Cauchy, lý thuyết chuỗi và thặng dư. Chương 2 trình bày lý thuyết thặng dư logarit; mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích; tìm số không điểm của hàm số trong một miền; nguyên lý bảo toàn miền và tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact. Đồng thời, từ lý thuyết Thặng dư logarit đã trình bày, áp dụng 5 tìm số không điểm của hàm giải tích. Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm, góp ý của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu Ω là tập con của tập số phức C, ∂ Ω là biên của miền Ω, γ là chu tuyến trơn từng khúc nằm trong Ω. 1.1. Hàm biến phức 1.1.1. Định nghĩa hàm biến phức Định nghĩa 1.1.1 (xem [3]). Giả sử Ω là một tập tùy ý cho trước, một ánh xạ f từ Ω vào C được gọi là một hàm biến phức. Kí hiệu f :Ω→C z → ω = f (z), trong đó Ω gọi là tập xác định, f (z) được gọi là tập giá trị. 1.1.2. Tính liên tục và liên tục đều Cho ω = f (z) xác định trên tập tùy ý Ω, z ∈ Ω, z0 là điểm tụ của Ω. Ta nói hàm f (z) khi z dần đến z0 có giới hạn lim f (z) = a, a ∈ C, z→z0 nếu ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε, z0 ) sao cho ∀z ∈ Ω và 0 < |z − z0 | < δ thì | f (z) − a| < ε. Nếu lim f (z) = f (z0 ) thì ta nói f liên tục tại z0 . Nghĩa là, z→z0 ∀ε > 0, ∃δ = δ (z0 , z) > 0 sao cho 7 ∀z ∈ Ω, |z − z0 | < δ thì | f (z) − f (z0 )| < ε. Nếu z0 là điểm cô lập cuả Ω thì quy ước f liên tục tại z0 . Nếu hàm số f liên tục trên tập Ω thì ta nói f liên tục tại mọi điểm thuộc Ω. Ta nói hàm f liên tục đều trên tập Ω, nếu ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > 0 sao cho ∀z1 , z2 ∈ Ω mà |z1 − z2 | < δ thì | f (z2 ) − f (z1 )| < ε. Nhận xét 1.1.1. Nếu f liên tục đều trên Ω thì liên tục trên Ω. Định lý 1.1.1 (xem [3]). Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì f liên tục đều trên K. Định lý 1.1.2 (xem [3]). Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì hàm z → | f (z)| đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên K, tức là tồn tại a, b ∈ K để | f (a)| = sup f (z) và | f (b)| = inf | f (z)| . z∈K z∈K Định lý 1.1.3 (xem [3]). Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì f (K) ⊂ C là compact. 1.2. Chuỗi hàm Định nghĩa 1.2.1 (xem [3]). Giả sử { fn }, z ∈ Ω là một dãy hàm phức xác định trên Ω. Tổng vô hạn f1 (z) + f2 (z) + · · · , kí hiệu là ∞ ∑ fn(z), (1.2.1) n=1 được gọi là chuỗi hàm trên Ω. Nếu đặt đối với mỗi n ≥ 1 n Sn (z) = ∑ fk (z), z ∈ Ω, k=1 ta nhận được dãy hàm {Sn } trên Ω. Dãy hàm này được gọi là dãy các tổng riêng của chuỗi hàm (1.2.1). Hơn nữa, Sn (z) được gọi là tổng riêng thứ n. 8 Chuỗi hàm (1.2.1) được gọi là hội tụ hay khả tổng nếu dãy {Sn } hội tụ. Nếu dãy {Sn } hội tụ đều thì chuỗi (1.2.1) được gọi là hội tụ đều. Hàm f (z) = lim Sn (z), z ∈ Ω n→∞ được gọi là tổng của (1.2.1) và viết ∞ f= ∞ ∑ fn hay f (z) = ∑ fn(z), z ∈ Ω. n=1 n=1 Giả sử chuỗi (1.2.1) hội tụ và f là tổng của nó. Với mọi n ≥ 1, đặt ∞ Rn (z) = f (z) − Sn (z) = ∑ fk (z), z ∈ Ω. k=n+1 Khi đó, {Rn } là một dãy hàm trên Ω và được gọi là dãy các phần dư của chuỗi (1.2.1), hơn nữa Rn được gọi là phần dư thứ n. Rõ ràng chuỗi (1.2.1) hội tụ nếu và chỉ nếu dãy {Rn } hội tụ tới không, chuỗi (1.2.1) hội tụ đều nếu và chỉ nếu dãy {Rn } hội tụ đều tới không. Vì vậy: i. Chuỗi (1.2.1) hội tụ nếu và chỉ nếu ∀z ∈ Ω, ∀ε > 0, ∃N = N(ε, z), ∀n > N : |Rn (z)| < ε. ii. Chuỗi (1.2.1) hội tụ đều nếu ∀ε > 0, ∃N = N (ε) , ∀n > N, ∀z ∈ Ω : |Rn (z)| < ε. Cũng như đối với hàm biến thực ta có các tiêu chuẩn sau về sự hội tụ đều của chuỗi hàm. Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [3]). Để chuỗi (1.2.1) hội tụ đều trên Ω điều kiện cần và đủ là ∀ε > 0, ∃N(ε), ∀n > N, ∀p ≥ 1, ∀z ∈ Ω, | fn+1 (z) + · · · + fn+p (z)| < ε. n Định lý 1.2.2 (Tiêu chuẩn Weierstrass, xem [3]). Nếu chuỗi số dương ∑ an n=1 hội tụ và tồn tại N sao cho | fn (z)| ≤ an , ∀z ∈ Ω, ∀n > N thì chuỗi (1.2.1) hội tụ đều. 9 Định lý 1.2.3 (xem [3]). Nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ đều và ϕ (z) là hàm bị chặn trên Ω thì chuỗi ∞ ∑ ϕ (z) fn (z) n=1 hội tụ đều. Định lý 1.2.4 (xem [3]). Nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ đều và các hàm fn liên tục trên Ω thì tổng f của nó cũng liên tục trên Ω. Định lý 1.2.5 (xem [3]). Giả sử chuỗi (1.2.1) hội tụ đều trên Ω và z0 ∈ ∂ Ω. Giả sử tồn tại các giới hạn hữu hạn lim f (z) = Ck , k = 1, 2, . . . z→z0 z∈Ω ∞ Khi đó, chuỗi ∑ Ck hội tụ và nếu f là tổng của chuỗi (1.2.1) thì k=1 ∞ ∞ lim f (z) = z→z0 lim ∑ Cn = ∑ z→z n=1 n=1 z∈Ω f (z) . 0 z∈Ω Nhận xét 1.2.1. Từ định lý 1.2.5 suy ra nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ đều trên Ω và các hàm fn liên tục trên Ω thì chuỗi cũng hội tụ đều trên Ω và tổng của nó cũng là hàm liên tục trên Ω. +∞ Ví dụ 1.1. Xét chuỗi ∑ zn trong hình tròn đơn vị D (0, 1). Với z = 0 tổng n=0 riêng thứ n của chuỗi số là n−1 1 − zn Sn = ∑ z = 1−z k=0 k +∞ 1 , chuỗi ∑ zn hội tụ. Ta chứng minh n→∞ 1−q n=0 sự hội tụ này là không đều trên D (0, 1). Khi đó, với mọi |z| < 1 thì lim Sn = +∞ Thật vậy, giả sử chuỗi ∑ zn hội tụ đều trên D(0, 1). Vì mọi hàm zn liên n=0 +∞ tục trên C nên theo nhận xét 1.2.1 chuỗi ∑ zn hội tụ trên hình tròn đóng n=0 10 +∞ D(0, 1). Với z = 1 ∈ D(0, 1) thì lim Sn = lim 1n = ∞, chuỗi ∑ 1n phân kỳ n→∞ n→∞ n=0 (mâu thuẫn). +∞ Vậy chuỗi ∑ zn không hội tụ đều trong hình tròn đơn vị. n=0 1.3. Tích phân hàm giải tích 1.3.1. Khái niệm hàm giải tích Định nghĩa 1.3.1 (xem [3]). Cho hàm ω = f (z) xác định trên miền Ω, z0 ∈ Ω. Nếu tồn tại giới hạn f (z0 + ∆z) − f (z0 ) lim ∆z ∆z→0 thì ta nói hàm ω = f (z) khả vi (hay có đạo hàm) tại z0 . Giới hạn đó được gọi là đạo hàm tại z0 , kí hiệu f (z0 ) hoặc ω (z0 ). Định nghĩa 1.3.2 (xem [1]). Cho hàm ω = f (z) xác định trên miền Ω, z0 ∈ Ω. Nếu hàm số ω = f (z) có đạo hàm tại z = z0 và tại mọi điểm trong lân cận của điểm z0 thì f (z) giải tích tại z0 và z0 là một điểm thường của f (z). Định nghĩa 1.3.3 (xem [1]). Giả sử f (z) giải tích tại mỗi điểm thuộc miền Ω. Khi đó, hàm ω = f (z) được gọi là giải tích trên miền Ω. 1.3.2. Định lý Cauchy cho miền đơn liên Định lý 1.3.1 (Cauchy, xem [3]). Nếu hàm Ω = f (z) giải tích trong miền đơn liên Ω thì với mọi γ, ta có f dz = 0. γ Định lý 1.3.2 (xem [3]). Giả sử Ω là miền đơn liên bị chặn, với biên ∂ Ω là một chu tuyến trơn từng khúc. Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên Ω = Ω ∪ ∂ Ω và giải tích trên Ω thì f dz = 0. ∂Ω 11 Hình 1.1: Miền Ω, biên ∂ Ω, chu tuyến γ 1.3.3. Định lý Cauchy cho miền đa liên Bổ đề 1.3.1 (xem [3]). Ta gọi Ω là miền n - liên (hay đa liên bậc n) nếu biên của Ω gồm có chu tuyến ngoài γ và các chu tuyến γ1 , . . . , γn−1 đôi một không giao nhau nằm trong Ωγ . Như vậy n−1 Ω = Ωγ Ωγk k=1 và ∂ Ω = γ ∪ γ1 ∪ . . . ∪ γn−1 . Chiều dương của ∂ Ω như đã quy ước (xem Hình 1.2). Hình 1.2: Miền đa liên Chứng minh. Bổ sung vào biên của Ω các đường l1 , . . . , ln−1 (hình 1.2), ta được miền Ω. Khi đó, Ω trở thành miền đơn liên với biên là L = ∂ Ω ∪ l1 ∪ . . . ∪ ln−1 . 12 f dz = − Bởi vì lk+ f dz nên theo định lý 1.3.2 lk− f dz = f dz = 0. L ∂Ω Định lý 1.3.3 (xem [3]). Nếu Ω là một miền n - liên (hay đa liên bậc n), f là hàm liên tục trên Ω, giải tích trên Ω thì f dz = 0. ∂Ω 1.3.4. Sự tồn tại của nguyên hàm Giả sử hàm f là hàm giải tích trên miền đơn liên Ω và z0 , z là các điểm trong Ω. Khi đó, tích phân z φ (z0 , z) = f (η)dη z0 không phụ thuộc vào đường cong nối z0 và z trong Ω. Thật vậy, giả sử γ1 và γ2 là hai đường cong tùy ý nối z0 với z. Có thể coi γ1 ∩ γ2 = {z0 , z} bởi vì γ1 ∪ γ2 là chu tuyến trong Ω. Theo định lý 1.3.1, ta có 0= f dη = γ1 ∪γ2− f dη + f dη. γ2− γ1 Vì thế f dη = γ2 f dη. γ1 Định lý 1.3.4 (xem [3]). Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao cho với mọi γ, ta có f (z)dz = 0. Khi đó, với mọi z0 ∈ Ω cố định và z ∈ Ω, γ hàm z φ (z) = f (η)dη z0 là nguyên hàm của f (z) trên miền Ω. Hơn nữa, hàm φ (z) giải tích trên Ω và φ (z) = f (z) với mọi z ∈ Ω. 13 Định lý 1.3.5 (xem [3]). Giả sử Ω là miền đơn liên, f là hàm giải tích trên Ω và f (z) = 0, z ∈ Ω. Khi đó, tồn tại hàm g giải tích trên Ω sao cho eg (x) = f (z), z ∈ Ω. Định lý 1.3.6 (Công thức tích phân Cauchy, xem [3]). Giả sử f là hàm giải tích trên miền Ω và z0 ∈ Ω. Khi đó, với mọi γ, z0 ∈ Ωγ ⊂ Ω, ta có công thức tích phân Cauchy 1 2πi f (z0 ) = γ f (η) dη. η − z0 Nếu f liên tục trên Ω và ∂ Ω là một chu tuyến thì với mọi z ∈ Ω, ta có f (z) = f (η) dη. η − z0 1 2πi (1.3.2) ∂Ω 1.4. Chuỗi Taylor Định nghĩa 1.4.1 (xem [3]). Chuỗi hàm có dạng ∞ ∑ Cn(z − z0)n n=0 được gọi là chuỗi Taylor tại z0 hay chuỗi lũy thừa của z − z0 . 1.4.1. Định lý Taylor Định lý 1.4.1 (xem [3]). Nếu f (z) là hàm giải tích trên hình tròn |z − z0 | < R thì trong hình tròn này, f (z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0 . Cụ thể là ∞ f (z) = ∑ Cn(z − z0)n, |z − z0| < R, n=0 ở đây các hệ số Cn được xác định một cách duy nhất theo công thức f (n) (z0 ) 1 Cn = = n! 2πi f (η) dη. (η − z0 )n+1 |η − z0 | = r 0 R nếu 1 0 là điểm bất thường của hàm g(z) = f . Như vậy, tồn tại R > 0 sao cho z f giải tích trên vành khăn |z| > R và không giải tích tại ∞. Khai triển Laurent 1 1 của hàm f trong vành khăn 0 < |z| < đưa tới khai triển mà ta cũng z R gọi là khai triển Laurent của hàm f (z) tại ∞, trong vành khăn |z| > R ∞ f (z) = ∑ n=−∞ 17 Cn zn . (1.5.6) ∞ Nhưng trong (1.5.6), chuỗi ∑ Cn zn là phần chính còn chuỗi n=1 0 ∑ Cn zn là n=−∞ phần đều. Tuy nhiên, (1.5.6) cũng chính là khai triển Laurent của f tại 0 trong vành khăn R < |z| < +∞. Phân loại tính bất thường của ∞ được suy tương ứng từ phân loại tính bất 1 thường của điểm 0 đối với hàm f . Như vậy, nếu tồn tại z lim f (z) ∈ C z→∞ thì z = ∞ là điểm thường của hàm f , tức là f có thể mở rộng giải tích tới ∞. Nếu tồn tại lim f (z) = ∞ thì tồn tại m > 0 để Cn = 0 với mọi n > m và z→∞ Cm = 0. Khi đó, z = ∞ được gọi là cực điểm cấp m của f (z). Nếu không tồn tại lim f (z) (trong C) thì có vô số m > 0 để Cm = 0. Khi đó, ∞ sẽ được gọi là z→∞ điểm bất thường cốt yếu của f (z). Như vậy, z = ∞ là cực điểm của mọi đa thức = const. Bậc của nó chính là bậc của đa thức. 1.6. Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư 1.6.1. Định nghĩa và cách tính Định nghĩa 1.6.1 (xem [3]). Giả sử f (z) là hàm giải tích trên vành khăn 0 < |z − z0 | < r, γ là chu tuyến bất kỳ (đặc biệt là đường tròn) vây quanh z0 nằm trong vành khăn đó. Khi đó, tích phân 1 2πi f (η)dη, (1.6.7) γ được gọi là thặng dư của f tại z0 . Kí hiệu res[ f , z0 ] = 1 2πi f (η)dη. γ Tích phân (1.6.7) không phụ thuộc vào việc chọn chu tuyến γ. Vì vậy, (1.6.7) chỉ phụ thuộc vào hàm f và điểm z0 (xem [3]). Nếu f (z) giải tích trên vành 18 khăn R < |z| < ∞ thì thặng dư của f tại ∞ là số res[ f , ∞] = 1 2πi f (η)dη = − γ− 1 2πi f (η)dη. γ Trong đó, γ là chu tuyến bao quanh điểm z = 0 nhưng nằm trong hình vành khăn R < |z| < ∞. Nếu biết khai triển Laurent của hàm f trong vành khăn 0 < |z − z0 | < r hoặc trong R < |z| < ∞ (tại z0 = 0) thì theo định lý Laurent, ta có res[ f , z0 ] = 1 2πi f (η)dη = C−1 , γ res[ f , ∞] = 1 2πi f (η)dη = −C−1 . γ− Từ điều kiện và định nghĩa về điểm bất thường, nếu z0 là điểm bất thường bỏ được của f (z) thì res[ f , z0 ] = 0. Định lý 1.6.1 (xem [3]). i. Nếu z0 là cực điểm cấp 1 của hàm f thì res[ f , z0 ] = lim (z − z0 ) f (z). z→z0 ii. Nếu f (z) = (1.6.8) ϕ(z) với ϕ(z0 ) = 0, ψ(z0 ) = 0 và ψ (z0 ) = 0 thì ψ(z) res[ f , z0 ] = ϕ(z0 ) . ψ (z0 ) (1.6.9) iii. Nếu z0 là cực điểm bậc m > 1 của f thì res[ f , z0 ] = 1 lim [(z − z0 )m f (z)](m−1) . z→z (m − 1)! 0 Ví dụ 1.2. Xét hàm f (z) = sinz . z6 a) Tính res[ f , 0]. Vì 1 z3 f (z) = 6 z − + . . . 3! z = 19 1 1 1 − + −... z5 3!z3 5!z (1.6.10) nên res[ f , 0] = b) Tìm res 1 . 5! 1 , i . Bởi vì (1 + z2 )m (z − i)m 1 1 = (1 + z2 )m (z + i)m nên nếu tính đạo hàm vế trái m − 1 lần, ta được 1 (z − i) (1 + z2 )m (m−1) m (−1)m−1 (m + 1) . . . (2m − 2) = . (z + i)2m−1 Theo công thức (1.6.10), ta có res 1 (−1)m (2m − 2)! ; i = (1 + z2 )m (m − 1)!(m − 1)!22m−1 i2m−1 (2m − 2)! . = −i 2m−1 2 [(m − 1)!]2 Định lý 1.6.2 (xem [3]). Nếu f giải tích tại ∞ thì res[ f ; ∞] = lim z[ f (∞) − f (z)]. z→∞ Hệ quả 1.6.1 (xem [3]). Nếu ∞ là không điểm bậc m > 1 của hàm f (z), tức 1 là 0 là không điểm bậc m của hàm f thì z C0 = C−1 = . . . = C−m+1 = 0, và do đó res[ f , ∞] = C−1 = 0. Nếu m = 1, tức là C0 = lim f (z) = 0 z→∞ thì res[ f , ∞] = − lim f (z). z→∞ 20 1.6.2. Các định lý cơ bản về thặng dư Định lý 1.6.3 (Định lý cơ bản về thặng dư, xem [3]). Giả sử hàm f (z) giải tích trong miền Ω trừ ra chỉ một số hữu hạn điểm z1 , . . . , zN nằm trong miền này. Khi đó, với mọi chu tuyến γ nằm trong Ω sao cho {z1 , . . . , zN } ⊂ Ωγ ⊂ Ω N f (η)dη = 2πi ∑ res[ f ; zk ]. k=1 γ Chứng minh. Vậy các điểm z1 , . . . , zN bởi các chu tuyến γ1 , . . . , γN sao cho miền Ωγk đôi một không giao nhau và Ωγk ⊂ Ωγ . N Theo định lý Cauchy đối với miền (N + 1) - liên Ωγ \ Ωγk , ta có k=1 N f (η)dη = 0. f (η)dη + ∑ k=1 γ γ k Vì vậy N f (η)dη = N f (η)dη = 2πi ∑ res[ f ; zk ]. ∑ k=1 γ γ k=1 k Định lý 1.6.4 (Định lý về thặng dư toàn phần, xem [3]). Cho f giải tích trên toàn bộ mặt phẳng trừ ra một số hữu hạn điểm z1 , . . . , zN = ∞. Khi đó, N ∑ res[ f ; zk ] = 0. k=1 Chứng minh. Xét chu tuyến γ sao cho Ωγ , chứa tất cả z1 , . . . , zN−1 . Khi đó, theo định lý 1.6.3, ta nhận được N−1 f (η)dη = 2πi ∑ res[ f ; zk ]. k=1 γ Mặt khác, theo định nghĩa − f (η)dη = 2πires[ f ; ∞]. γ Cộng hai đẳng thức này ta có điều phải chứng minh. 21 Chương 2 Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích Trong chương này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu Ω là tập con của tập số phức C, γ là chu tuyến trơn từng khúc nằm trong Ω. 2.1. Thặng dư logarit 2.1.1. Không điểm của hàm giải tích Định nghĩa 2.1.1 (xem [1]). Giả sử f (z) giải tích trong miền Ω tùy ý. Điểm z0 ∈ Ω được gọi là không điểm (0 - điểm) của f nếu f (z0 ) = 0. Giả sử z = z0 là 0 - điểm của f (z). Nếu khai triển Taylor của hàm f (z) ở lân cận z0 có dạng ∞ f (z) = ∑ an(z − z0)n, am = 0 n=m thì z0 được gọi là 0 - điểm cấp m của f (z). Trường hợp m = 1 được gọi là 0 điểm đơn. 2.1.2. Cực điểm của hàm giải tích Định nghĩa 2.1.2 (xem [3]). Giả sử hàm biến phức f giải tích trên vành khăn 0 < |z − z0 | < r, tồn tại lim f (z) = ∞. Khi đó, z0 được gọi là cực điểm của f . z→z0 Định lý 2.1.1 (xem [3]). i. Điểm z0 là cực điểm của hàm giải tích f (z) trên 0 < |z − z0 | < r nếu và chỉ nếu trong khai triển (1.5.4), tồn tại m > 0 để 22 C−m = 0 và Ck = 0, với k < −m. Số nguyên m > 0 gọi là bậc của cực điểm z0 . ii. Điểm z0 là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu tồn tại vô số k > 0 để C−k = 0. 2.1.3. Thặng dư logarit Với mỗi hàm giải tích f (z), xét hàm số ϕ(z) = f (z) . f (z) Bởi vì, về hình thức ϕ(z) = [Ln f (z)] nên hàm ϕ được gọi là đạo hàm logarit của hàm f . Định nghĩa 2.1.3 (xem [3]). Giả sử f là hàm giải tích trên miền Ω trừ ra một số hữu hạn các điểm, γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho Ωγ ⊂ Ω. Khi đó, tích phân f (z) dz f (z) 1 2πi (2.1.1) γ được gọi là thặng dư logarit của f đối với chu tuyến γ. Định lý 2.1.2 (xem [3]). Giả sử f giải tích trên miền Ω trừ ra một số hữu hạn các điểm, γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho Ωγ ⊂ Ω. Khi đó 1 f (z) Nγ ( f ) = dz + Pγ ( f ). 2πi f (z) γ Trong đó, Nγ ( f ) là số 0 - điểm và Pγ ( f ) là số cực điểm của hàm trong Ωγ (0 - điểm bậc m được tính m lần). Chứng minh. Giả sử a1 , . . . , as là cực điểm bậc p1 , . . . , ps của hàm f còn b1 , . . . , bl là 0 - điểm bậc α1 , . . . , αl của hàm f trong Ωγ . Ta chú ý rằng 23 f (z) trong Ωγ . Theo f (z) a1 , . . . , as , b1 , . . . , bl là tất cả các điểm bất thường của định lý 1.6.3, ta có 1 2πi γ s 1 f (z) f f dz = ∑ res ; ak + ∑ res ;bj . f (z) f f j=1 k=1 (2.1.2) Với mỗi k = 1, . . . , s viết f (z) = fk (z) , (z − ak ) pk trong đó fk (z) với z đủ gần ak . Bởi vì −pk −1 fk (z)(z − ak ) pk (z − ak ) pk f (z) = f (z) (z − ak )2pk f (z) −pk = + k z − ak fk (z) fk (z) : fk (z) (z − ak ) pk ta có f ; ak = −pk , k = 1, . . . , s. f Tương tự, với mỗi j = 1, . . . , 1 viết res (2.1.3) f (z) = (z − b j )α j g j (z), trong đó g j (z) = 0 với z đủ gần b j . Bởi vì αj f (z) g (z) = + f (z) z − b j g(z) nên f ; b j = α j , j = 1, . . . , 1. f Thay (2.1.3) và (2.1.4) vào (2.1.2), ta được res 1 2πi γ 1 s f (z) dz = − ∑ Pk + ∑ α j f (z) j=1 k=1 = Nγ ( f ) − Pγ ( f ). 24 (2.1.4) Vậy Nγ ( f ) = f (z) dz + Pγ ( f ) f (z) 1 2πi γ 2.2. Mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích Định lý 2.1.2 có thể phát biểu dưới dạng hình học mà nó được gọi là nguyên lý argument. Giả sử f giải tích trên miền Ω trừ ra một số hữu hạn các điểm và γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho Ωγ ⊂ Ω, với γ cho bởi phương trình z = z(t), α t β . Vì ln | f (z)| là hàm đơn vị nên ta có f (z) dz = f (z) γ β f (z(t)) z (t)dt = f (z(t)) α β d ln f (z(t)) = ln f (z(t)) dt α β = ln | f (z(t))| β α β + iarg ln f (z(t)) α α = i [(i arg) f (z(β )) − arg f (z(α))] . Hiệu ∆γ arg f = arg(z(β )) − arg f (z(α)) được gọi là gia số argument của hàm f dọc theo chu tuyến γ. Định lý 2.2.1 (Nguyên lý Argument, xem [5]). Giả sử f giải tích trên miền Ω trừ ra một số hữu hạn các điểm và γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho Ωγ ⊂ Ω. Khi đó Nγ ( f ) = 1 ∆γ arg f + Pγ ( f ). 2π (2.2.5) 2.3. Số không điểm của tổng hai hàm giải tích Định lý 2.3.1 (Định lý Rouché, xem [6]). Giả sử f và g là các hàm giải tích trên một lân cận của miền đóng bị chặn Ω sao cho | f (z)| > |g(z)| với mọi z ∈ γ = ∂ Ω. Khi đó, số 0 - điểm của hàm F = f + g và hàm f trong Ω bằng nhau. 25 (2.3.6) Chứng minh. Với mọi z ∈ γ, điều kiện (2.3.6) cho ta |F(z)| | f (z)| − |g(z)| > 0. Do đó, F(z) và f (z) đều khác không với mọi z ∈ γ. Ký hiệu N(F) và N( f ) là số 0 - điểm của F và f trong Ω. Vì F và f không có cực điểm trong Ω nên theo công thức (2.2.5), ta có 1 1 g ∆γ arg F = ∆γ arg f 1 + 2π 2π f 1 1 g = ∆γ arg f = ∆γ arg 1 + . 2π 2π f N(F) = Bởi vì g(z) < 1, ∀z ∈ γ f (z) nên khi z chạy trên γ thì ω = 1 + g(z) chạy trên một đường không bao quanh f (z) điểm ω = 0. Từ đó ∆γ arg 1 + g f = 0. Vậy N(F) = 1 1 ∆γ arg F = ∆γ arg f = N( f ). 2π 2π 2.4. Nguyên lý bảo toàn miền Định lý 2.4.1 (xem [3]). Giả sử f là hàm giải tích trên miền Ω và f = const. Khi đó, Ω∗ = f (Ω) là một miền. Chứng minh. Hiển nhiên Ω∗ là liên thông. Ta chứng minh Ω∗ là mở. Giả sử ω0 là điểm tùy ý thuộc Ω∗ và z ∈ Ω sao cho ω0 = f (z0 ). Do định lý 1.4.2, ta có thể tìm được δ > 0 sao cho D(z0 , δ ) ∈ Ω và f (z) − ω0 = 0 trên ∂ D(z0 , δ ). Đặt α = min | f (z) − ω0 | > 0. |z−z0 |=δ 26 Ta chỉ còn chứng minh rằng D(ω0 , α) ⊂ Ω∗ . Giả sử ω1 ∈ D(ω0 , α) là điểm tùy ý. Xét hàm f (z) − ω1 = ( f (z) − ω0 ) + (ω0 − ω1 ). Bởi vì | f (z) − ω0 | ≥ α với mọi |z − z0 | = δ . Ta có | f (z) − ω0 | > |ω1 − ω0 |, ∀ |z − z0 | = δ . Như vậy, hai hàm f (z) − ω0 và ω1 − ω0 thỏa mãn điều kiện của định lý Rouché. Do đó, hai hàm f (z) − ω1 = ( f (z) − ω0 ) + (ω0 − ω1 ) và f (z) − ω0 có cùng số 0 - điểm trong D(z0 , δ ), có nghĩa là ta tìm được z1 ∈ d(z0 , δ ) để f (z1 ) = ω1 . 2.5. Tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact Định lý 2.5.1 (Định lý Hurwitz, xem [3]). Giả sử dãy các hàm giải tích { fn } trên miền Ω hội tụ đều trên các tập compact tới hàm f và giả sử f = const. Khi đó, với mọi a ∈ f (Ω) tồn tại N sao cho a ∈ fn (Ω) với mọi n > N. Chứng minh. Thật vậy, lấy z0 ∈ Ω để f (z0 ) = a. Do f = const, ta tìm được δ > 0 sao cho D(z0 , δ ) ⊂ Ω và α = inf |z−z0 |=δ | f (z) − a| > 0. Vì { fn } hội tụ đều tới trên |z − z0 | tồn tại N sao cho với mọi n > N nên ta có | fn (z) − f (z)| < α với |z − z0 | . Khi đó, hai hàm f − a, fn − f , n > N thỏa mãn điều kiện của định lý Rouché. Vì thế a ∈ fn (Ω) với mọi n > N. 27 2.6. Một số ví dụ Ví dụ 2.1. Xét hàm f (z) = z5 + 5z3 + 2z trên hình tròn |z| < 2. Ta thấy khi |z| = 1, ta có 5|z3 | = 5 > |z5 | + 2|z| = 3. Áp dụng định lý 2.3.1 với γ là đường tròn |z| = 1 và hai hàm g(z) = 5z3 , h(z) = z5 + 2z ta suy ra, hàm g(z) + h(z) cùng số 0 - điểm với hàm g(z). Mà hàm g(z) có ba 0 - điểm trong |z| < 1 cho nên hàm f = g + h cũng có ba 0 - điểm trong |z| < 1. Khi |z| = 2, ta có 5|z3 | = 40 > |z5 | + 2|z| = 36. Do đó, trong hình tròn |z| < 2, f cũng chỉ có ba 0 - điểm. Từ đó, ta có thể suy ra hàm f không có 0 - điểm nào trong vành khăn 1 < |z| < 2. 2 Ví dụ 2.2. Xét hàm f (z) = z2 (ez − 1) và z0 là 0 - điểm của f. Ta khai triển 2 Taylor của f (z) = z2 (ez − 1) 2 f (z) = z n (z2 ) ∑ n! − 1 = z2 n=0 ∞ 4 =z Do 4 lim f (z) = lim z z→0 z→0 z2n z2 z4 +··· −1 1+ + +···+ 1! 2! n! z2 z2n−2 1+ +···+ +··· . 1! n! z2 z2n−2 1+ +···+ +··· 1! n! =0 nên z = 0 là một 0 - điểm của hàm số f (z) đã cho. Để xác định bội của z = 0, ta có f (z) z2n−2 z2 lim +··· = lim 1 + + · · · + z→0 z4 z→0 1! n! = 1 = 0. Suy ra z = 0 là một 0 - điểm bội bốn của hàm số f (z) đã cho. Ví dụ 2.3. Cho hàm g(z) giải tích tại điểm a, hàm f (z) giải tích trong vành khăn 0 < |z − a| < δ , với a là 0 - điểm bội n của f (z). Giả sử Ω là miền hữu hạn giới hạn bởi chu tuyến trơn từng khúc γ. Hàm g(z) giải tích trên Ω và liên tục trên Ω = Ω ∪ γ, hàm f (z) giải tích trên Ω trừ một số hữu hạn cực điểm của hàm trong Ω. Hàm f (z) khác không trên Ω trừ 28 một số hữu hạn 0 - điểm của hàm trong Ω. Theo định lý 2.1.2, ta tính được f (z) thặng dư của hàm số g(z) tại a f (z) Res g(z) z=a f (z) 1 = f (z) 2πi g(z) f (z) = ng(a) (theo giả thiết) . f (z) L 29 KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận "Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích". Trong khóa luận này, tôi đã trình bày về thặng dư, thặng dư logarit và ứng dụng của nó để tìm số không điểm của hàm giải tích. Song song với lý thuyết là các ví dụ minh họa. Nội dung chính của khóa luận bao gồm: 1. Hàm giải tích, không điểm, cực điểm. 2. Thặng dư logarit. 3. Mối liên hệ của Argument với không điểm, cực điểm. 4. Nguyên lý bảo toàn miền. 5. Các định lý về hàm giải tích. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận mới chỉ đạt được một số kết quả nhất định. Tôi rất mong các thầy cô, các bạn góp ý và nhận xét để khóa luận này được đầy đủ và hoàn thiện hơn. Trước khi kết thúc khóa luận này, một lần nữa tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô giáo trong trường, đặc biệt là thầy giáo ThS.Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015 Sinh viên Trương Thị Tuyết Hạnh 30 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Bài tập hàm số biến số phức, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội. [2] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2005), Hàm Biến Phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [4] Challener D., Rubel L. (1982), A Converse to Rouché’s Theorem, Amer. Math. Monthly 89. [5] Frank Smithies (1997), Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, p.177. [6] Estermann T. (1962), T. Complex Numbers and Function, London: Oxford University Press, p.156. 31 [...]... luận "Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích" Trong khóa luận này, tôi đã trình bày về thặng dư, thặng dư logarit và ứng dụng của nó để tìm số không điểm của hàm giải tích Song song với lý thuyết là các ví dụ minh họa Nội dung chính của khóa luận bao gồm: 1 Hàm giải tích, không điểm, cực điểm 2 Thặng dư logarit 3 Mối liên hệ của Argument với không điểm, cực điểm 4 Nguyên lý... chứng minh 21 Chương 2 Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích Trong chương này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu Ω là tập con của tập số phức C, γ là chu tuyến trơn từng khúc nằm trong Ω 2.1 Thặng dư logarit 2.1.1 Không điểm của hàm giải tích Định nghĩa 2.1.1 (xem [1]) Giả sử f (z) giải tích trong miền Ω tùy ý Điểm z0 ∈ Ω được gọi là không điểm (0 - điểm) của f nếu f (z0 ) = 0... là bậc của cực điểm z0 b z0 là bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu m = −∞ iii z0 là cực điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu nó là không điểm cấp m 1 của hàm f (z) iv Điểm ∞ gọi là điểm bất thường của hàm giải tích f (z) trên |z| > R nếu 1 0 là điểm bất thường của hàm g(z) = f Như vậy, tồn tại R > 0 sao cho z f giải tích trên vành khăn |z| > R và không giải tích tại ∞ Khai triển Laurent 1 1 của hàm f... nên hàm ϕ được gọi là đạo hàm logarit của hàm f Định nghĩa 2.1.3 (xem [3]) Giả sử f là hàm giải tích trên miền Ω trừ ra một số hữu hạn các điểm, γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho Ωγ ⊂ Ω Khi đó, tích phân f (z) dz f (z) 1 2πi (2.1.1) γ được gọi là thặng dư logarit của f đối với chu tuyến γ Định lý 2.1.2 (xem [3]) Giả sử f giải tích trên miền Ω trừ ra một số hữu hạn các điểm, ... z→z0 Định lý 2.1.1 (xem [3]) i Điểm z0 là cực điểm của hàm giải tích f (z) trên 0 < |z − z0 | < r nếu và chỉ nếu trong khai triển (1.5.4), tồn tại m > 0 để 22 C−m = 0 và Ck = 0, với k < −m Số nguyên m > 0 gọi là bậc của cực điểm z0 ii Điểm z0 là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu tồn tại vô số k > 0 để C−k = 0 2.1.3 Thặng dư logarit Với mỗi hàm giải tích f (z), xét hàm số ϕ(z) = f (z) f (z) Bởi vì,... - điểm của hàm số f (z) đã cho Để xác định bội của z = 0, ta có f (z) z2n−2 z2 lim +··· = lim 1 + + · · · + z→0 z4 z→0 1! n! = 1 = 0 Suy ra z = 0 là một 0 - điểm bội bốn của hàm số f (z) đã cho Ví dụ 2.3 Cho hàm g(z) giải tích tại điểm a, hàm f (z) giải tích trong vành khăn 0 < |z − a| < δ , với a là 0 - điểm bội n của f (z) Giả sử Ω là miền hữu hạn giới hạn bởi chu tuyến trơn từng khúc γ Hàm g(z) giải. .. giải tích trên Ω và liên tục trên Ω = Ω ∪ γ, hàm f (z) giải tích trên Ω trừ một số hữu hạn cực điểm của hàm trong Ω Hàm f (z) khác không trên Ω trừ 28 một số hữu hạn 0 - điểm của hàm trong Ω Theo định lý 2.1.2, ta tính được f (z) thặng dư của hàm số g(z) tại a f (z) Res g(z) z=a f (z) 1 = f (z) 2πi g(z) f (z) = ng(a) (theo giả thiết) f (z) L 29 KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận "Ứng dụng. .. là gia số argument của hàm f dọc theo chu tuyến γ Định lý 2.2.1 (Nguyên lý Argument, xem [5]) Giả sử f giải tích trên miền Ω trừ ra một số hữu hạn các điểm và γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho Ωγ ⊂ Ω Khi đó Nγ ( f ) = 1 ∆γ arg f + Pγ ( f ) 2π (2.2.5) 2.3 Số không điểm của tổng hai hàm giải tích Định lý 2.3.1 (Định lý Rouché, xem [6]) Giả sử f và g là các hàm giải tích trên... một số hữu hạn các điểm, γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho Ωγ ⊂ Ω Khi đó 1 f (z) Nγ ( f ) = dz + Pγ ( f ) 2πi f (z) γ Trong đó, Nγ ( f ) là số 0 - điểm và Pγ ( f ) là số cực điểm của hàm trong Ωγ (0 - điểm bậc m được tính m lần) Chứng minh Giả sử a1 , , as là cực điểm bậc p1 , , ps của hàm f còn b1 , , bl là 0 - điểm bậc α1 , , αl của hàm f trong Ωγ Ta chú ý... ( f ) f (z) 1 2πi γ 2.2 Mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích Định lý 2.1.2 có thể phát biểu dư i dạng hình học mà nó được gọi là nguyên lý argument Giả sử f giải tích trên miền Ω trừ ra một số hữu hạn các điểm và γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho Ωγ ⊂ Ω, với γ cho bởi phương trình z = z(t), α t β Vì ln | f (z)| là hàm đơn vị nên ta có f (z) dz = f (z) ... dung khóa luận "Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm hàm giải tích" Trong khóa luận này, trình bày thặng dư, thặng dư logarit ứng dụng để tìm số không điểm hàm giải tích Song song với... hàm giải tích; tìm số không điểm hàm số miền; nguyên lý bảo toàn miền tính chất dãy hàm giải tích hội tụ tập compact Đồng thời, từ lý thuyết Thặng dư logarit trình bày, áp dụng tìm số không điểm. .. chứng minh 21 Chương Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm hàm giải tích Trong chương này, sử dụng kí hiệu Ω tập tập số phức C, γ chu tuyến trơn khúc nằm Ω 2.1 Thặng dư logarit 2.1.1 Không