TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI KHOA t o n TRƯƠNG THỊ TUYẾT HẠNH ỨNG DỤNG THẶNG Dư LOGARIT ĐỂ TÌM S ố KHƠNG ĐIỂM CỦA HÀM GIẢI TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Ngưịi hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN QUỐC TUAN LỊI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Quốc Tuấn - Người thầy tận tình hướng dẫn giúp đố tơi để tơi hồn thành khóa luận Thầy khơng dạy cho tơi kiến thức mà cịn rèn cho tơi tính cẩn thận, tỉ mỉ xác Hơn nữa, học nhiều ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào Tốn học từ thầy Thầy dạy cho biết làm việc phải dành hết tâm huyết hồn thành tốt cơng việc Với lời dạy q giá đó, tơi ln ghi nhớ cố gắng thực Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy tổ Giải tích thầy khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khóa luận Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tơi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 14 tháng năm 2015 Sinh viên Trương Thị Tuyết Hạnh LỊI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình ThS Nguyễn Quốc Tuấn Trong nghiên cứu hồn thành đề tài nghiên cứu tơi tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài “ứng dụng Thặng dư logarit đ ể tìm số khơng điểm hàm giải tích” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, Ngày 14 tháng năm 2015 Sinh viên Trương Thị Tuyết Hạnh Mục lục Chương Kiến thức chuẩn bị Hàm biên phức Đ ị n h n g h ĩ a h m b iế n p h ứ c 1.1.2 T ín h liến tuc v liên tuc đ ê u l 1.2 Chuỗi hàm 1.3 Tích phân ]làm giải tích 11 1.3.1 K h i n i ệ m h m g iải tíchỊ 11 1.3.2 Đ ị n h lý C a u c h y c h o m i ê n đ n liên 11 1.3.3 Đ ị n h lý C a u c h y c h o m i ê n đ a liên 12 1.3.4 S ự tồ n c ủ a n g u y ê n h m 13 1.4 Chuỗi Taylor 14 1.4.1 Đ ị n h lý T ay lo r 14 1.4.2 Đ ị n h lý d u y n h ấ t 15 1.5 Chuỗi Laurent 15 1.5.1 Đ ị n h lý L a u r e n t 15 1.5.2 Đ i ể m b â t th n g c ủ a h m giải tích 16 18 21 1.6 Khái niệm thặng dư định lý thặng dư 1.6.1 Đ ị n h n g h ĩ a v c c h tín h 1.6.2 C c đ ị n h lý b ả n vê t h ặ n g dư 18 Chương ứ n g dụng Thặng dư logarit để tìm số khơng điểm hàm giai ’ ỉ tíchl .! 22 22 Thặng dư logarit 1 K h ô n g đ iể m c ủ a h m giải t í c h 22 1.2 C ự c đ iê m c ủ a h m giải t í c h 22 2.1.3 T h ặ n g d l o g a r i t 23 2.2 Mối liên hệ cực điểm, không điểm hàm giải tích 2.3 Sơ khơng điếm tống hai hàm giải tích 2.4 Ngun lý bảo tồn miên 2.5 Tính chât dãy hàm giải tích hội tụ tập compact M ột sồ ví d ụ 25 25 26 27 28 MỞ ĐẦU Giải tích phức, hay cịn gọi lý thuyết hàm biến phức nhánh toán học nghiên cứu hệ hàm số hay nhiều biến biến số số phức (các ánh xạ C" n) Giải tích phức ngành cổ điển toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 chí trước M ột số nhà tốn học tiếng nghiên cứu lĩnh vực Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass nhiều nhà toán học khác đầu kỷ 20 Khi đó, hàm phức nghiên cứu hàm đối số hàm số nhận giá trị phức Chính xác hơn, hàm phức hàm mà tập xác định Q tập mặt phẳng phức tập giá trị tập mặt phẳng phức Với hàm phức tùy ý, đối số hàm số tách thành phần thực phần ảo: z = x + iỵ va w = f ( z ) = u(z) + iv(z), x ,y e M u(z), v(z) hàm thực Nói cách khác, thành phần hàm f(z ): u = u( x, y) V = v(*,;y) hiểu hàm thực hai biến thực Jt y Các khái niệm giải tích phức thường nghiên cứu dựa mở rộng hàm thực sơ cấp (ví dụ như: hàm mũ, hàm logarit hàm lượng giác) lên miền phức Năm 1890, báo "Oeuvres Completes" Cauchy cơng bố, nghiên cứu tích phân hàm biến phức mà ta hay gọi tích phân Cauchy Cơng thức tích phân Cauchy cho hàm biến phức / mà có đạo hàm điểm Zo có đạo hàm cấp điểm Cơng thức tích phân Cauchy hệ kết quan trọng nhiều ứng dụng Lý thuyết hàm biến phức Từ kết đó, người ta thấy hàm / khai triển thành chuỗi lũy thừa có tâm điểm Zo- Trái lại, hàm / khơng giải tích điểm Zo hàm / khai triển thành chuỗi khác mà ta gọi chuỗi Laurent Năm 1843, chuỗi Laurent lần xuất Pierre Alphonse Laurent sau chuỗi đặt tên theo tên ơng Cũng có thông tin Karl Weierstrass người phát chuỗi Tuy nhiên, báo ơng viết vào năm 1841 không công bố ông qua đời Khái niệm chuỗi Laurent dẫn đến khái niệm thặng dư Ngược lại, với lý thuyết thặng dư thực tính tốn tốn ứng dụng Khái niệm thặng dư logarit nhiều người đưa vào nửa cuối kỉ 20 nhu cầu phát triển việc thực tính tốn tốn ứng dụng Khi nghiên cứu ứng dụng giải tích tốn học, thặng dư logarit cho ta cơng cụ để tìm số cực điểm khơng điểm hàm miền Vào thời gian này, nhà khoa học tìm mối liên hệ cực điểm không điểm hàm giải tích, ngun lý Argument (xem Ịl5lỊ) Đồng thời, nhà khoa học nghiên cứu cách tìm số khơng điểm tổng hai hàm giải tích (Định lý Rouché) (xem ) Năm 1962, định lý Rouché chứng minh cách rõ ràng Estermann (xem 10) Đến năm 1982, Challener Rubel chứng minh định lý ngược định lý Rouché (xem [Hl)- Định Hurwitz đặt tên theo tên nhà tốn học A dolf Hurwitz đưa tính chất dãy hàm giải tích hội tụ tập compact Như vậy, thặng dư logarit ứng dụng khơng đóng vai trị quan trọng giải tích mà cịn ngày phát triển rộng rãi Tốn học Với khóa luận tơi nghiên cứu đề tài “ ứ n g dụng T h ặn g dư logarit đ ể tìm số khơng điểm hàm giải tích” Nội dung nghiên cứu tơi khơng phải kết tìm thấy, với tinh thần hoc hỏi, tìm tịi kiến thức mới, hi vọng đề tài đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho thân nhiều thú vị cho độc giả Vì vậy, hướng dẫn thầy giáo ThS.Nguyễn Quốc Tuấn sau thời gian nghiên cứu, tơi trình bày khóa luận với nội dung gồm hai chương: Chương trình bày kiến thức lý thuyết hàm giải tích biến phức, khái niệm tính chất hàm giải tích, lý thuyết tích phân Cauchy, lý thuyết chuỗi thặng dư Chương trình bày lý thuyết thặng dư logarit; mối liên hệ cực điểm, khơng điểm hàm giải tích; tìm số khơng điểm hàm số miền; nguyên lý bảo tồn miền tính chất dãy hàm giải tích hội tụ tập compact Đồng thời, từ lý thuyết Thặng dư logarit trình bày, áp dụng tìm số khơng điểm hàm giải tích Tuy có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian lực thân nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót, mong quan tâm, góp ý thầy bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, sử dụng kí hiệu Q tập tập số phức c , d£l biên miền £1, Ỵ chu tuyến trơn khúc nằm Q 1.1 Hàm biến phức 1.1.1 Định nghĩa hàm biến phức Đ ịnh nghĩa 1.1.1 (xem [QỊ]) Giả sử ũ tập tùy ý cho trước, ánh xạ / từ Q vào c gọi hàm biến phức Kí hiệu /:£ ^ C Z'-> (ữ = f ( z ) , Q gọi tập xác định, f ( z ) gọi tập giá trị 1.1.2 Tính liên tục liên tục Cho ù) = f ( z ) xác định tập tùy ý Q, z E n , zo điểm tụ £2 Ta nói hàm f ( z ) z dần đến zo có giới hạn lim f ( z ) = CI,CI e c , z— >-Zo Ve > ,3 = ỗ(e,zo) cho Vz G n v o < \z —zo\ < ỏ \ f ( z ) - a \ < £ Nếu lim f ( z ) = f(zo) ta nói / liên tục ZQ Nghĩa là, Z^Zo Ve > ,3 = ổ(zo,z) > cho V z G Í l ,|z - z o | < ổ |/ ( z ) - / ( z o ) | 0,3Ỗ = ô( e) > cho Vzi,z2 e ũ m ầ \zỉ - z 2\ < ỏ \ f{ z2) - f { z ] ) \ < £ N hận xét 1.1.1 Nếu / liên tục Q liên tục £1 Đ ịnh lý 1.1.1 (xem (О) Nếu / liên tục tập compact к с с / liên tục К Đ inh lý 1.1.2 (xem Щ ) Nếu / liên tục tập compact к с с hàm z —>• \ f ( z) \ đạt cận cận K, tức tồn a, b G к để |/ ( a ) | = s u p /(z ) \f(b)\ = inf |/ ( z ) | Z E K z e k Đ ịnh lý 1.1.3 (xem ß j ) Nếu / liên tục tập compact к с с / (А") с с compact 1.2 Chuỗi hàm Đ ịnh nghĩa 1.2.1 (xem Щ ) Giả sử {fn}, z G £2 dãy hàm phức xác định Г2 Tổng vô hạn / i (z) + / (2 ) H -, kí hiệu 00 £ /„ (z ), 11=1 (1.2.1) gọi chuỗi hàm £2 Nếu đặt n > s n{z) = ỵ , f k ( z ) , z e £1, k=\ ta nhận dãy hàm {s/z} £2 Dãy hàm gọi dãy tổng riêng chuỗi hàm ị \ 2.1Ị) Hơn nữa, s n(z) gọi tổng riêng thứ n Chuỗi hàm (Ịl.2.11) gọi hội tụ hay khả tổng dãy { s n} hội tụ Nếu dãy {Sn} hội tụ chuỗi d1.2.1 Ị) gọi hội tụ Hàm f ( z ) = lim s n(z), z e £1 n— y°° gọi tổng d1.2.1 Ị) viết oo oo / = £ ỉn hay f ị z ) = £ fn(z), z e fí n=\ n=\ Giả sử chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ / tổng Với n > 1, đặt co Rn{z) = f { z ) - S n{ z ) = fk(z),ze£l k=n+ Khi đó, {/?n} dãy hàm ũ gọi dãy phần dư chuỗi (Ị1.2.1Ị), Rn gọi phần dư thứ n Rõ ràng chuỗi (Ị1 -2.1Ị) hội tụ dãy { Rn} hội tụ tới không, chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ dãy { Rn} hội tụ tới khơng Vì vậy: i Chuỗi (Ị1.2.1D hội tụ Vz G > , N = N ( e ìz ) ìy n > N : |/?n(z)| < e ii Chuỗi ị \ 2.1Ị) hội tụ Ve > , N = N { e ) , \ / n > N , \ / z e £ l : |/?n(z)| < e Cũng hàm biến thực ta có tiêu chuẩn sau hội tụ chuỗi hàm Đ ịnh lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem ) Đ ể chuỗi (Ị1.2.1Ị) hội tụ ũ, điều kiện cần đủ Ve > , N ( e ) , 'in > N, V/7 > 1, Vz G n , \ fn+l{z) H f- fn + p(z) \ < £■ Đ ịnh lý 1.2.2 (Tiêu chuẩn Weierstrass, xem (Ó) Nếu chuỗi số dương £ an n= hội tụ tồn N cho \fn{z) \ < a n,\/z e chuối (Ị1.2.1D hội tụ > N Khỉ đó, hàm f ( z ) biểu diễn dạng tổng chuối Laurent +00 /(z)= £ Cn{ z - z ữỴ n = —00 Các hệ số chuỗi xác định công thức ^ _ f / í 7?) " n i ỉ ( ĩ j —zó)'!+ ! ’ ĩp 7p đường tròn | z - Zo | = p , r < p < R 1.5.2 Điểm bất thường hàm giải tích Đ ịnh nghĩa 1.5.2 (xem [0]) Giả sử / hàm xác định miền £2, Zo e c Nếu tồn r > cho vành khăn < |z —Zol < r bao hàm Q ZQ gọi điểm bất thường / Hàm / giải tích vành khăn < \z —Zol < r khơng thể mỏ rộng giải tích tới ZQ, tức khơng tồn hàm giải tích g hình tròn \z — Zo| < r cho g(z) = f ( z ) v i O < \ z - z o \ < r Giả sử / giải tích vành khăn < \z —Zo| < r- Chỉ xảy ba khả sau: i Tồn lim f ( z ) = a e c Khi đó, Zo gọi điểm thường (điểm bất z —> Z q thường bỏ được) / ii Tồn lim f ( z ) = 00 Khi đó, Zo gọi cực điểm hàm giải tích z—>Zq /• iii Không tồn lim f ( z ) (trong C) Khi đó, ZQ gọi điểm bất Z -> Z ữ thường cốt yếu / Đ ể khảo sát xem điểm ZQ điểm bất thường loại f ( z ) ta phải khai triển hàm f ( z ) thành chuỗi Laurent hình vành khăn < \z —Zo\ < r Ta có - | - 00 f(z)= £ C„(z-zoỴ, 16 (1.5.4) ĩp với p tùy ý, < p < r N hận xét 1.5.1 (xem [ ) i Như đa thức điểm Zo gọi không điểm bậc m hàm giải tích / /(z o ) = = / (m“ 1)|zo = / (" ° ( z o ) ^ Như vậy, ZQ không điểm bậc m f ( z ) khai triển (Ị1.5.4Ị) có dạng oo /( z ) = £ oo c*(z - Zo)k = (z - Zo)m Y, Cm+k(z - Zữ)k- k= m k= ii Trong khai triển (Ị1.5.4Ị), đặt m = i nf { k : Cỵ Ỷ 0}Khi a ZQ cực điểm —oo < m < Trong trường hợp —m bậc cực điểm Zo b Zo bất thường cốt yếu m = —oo iii Zo cực điểm bậc m f ( z ) khơng điểm cấp m hàm — f(ì) iv Điểm oo gọi điểm bất thường hàm giải tích f ( z ) |z| > R điểm bất thường hàm g(z) = f ^ Như vậy, tồn R > cho / giải tích vành khăn |z| > R khơng giải tích hàm / °o Khai triển Laurent vành khăn < |z| < — đưa tới khai triển mà ta gọi khai triển Laurent hàm f ( z ) oo, vành khăn |z| > R oo f(z)= £ n = — oo 17 c ,tzn (1.5.6) oo Nhưng (Ị1.5.6Ị),chuỗi £ cnzn _ n = làphần cịn chuỗi £ cnzn 11= -c o phần Tuy nhiên,d1.5.6Ị) khaitriển Laurent / vành khăn R < |z| < +°° Phân loại tính bất thường °o suy tương ứng từ phân loại tính bất thường điểm hàm / Như vậy, tồn lim f ( z ) e z— c z = 00 điểm thường hàm / , tức / mở rộng giải tích tới °o Nếu tồn lim f ( z ) = 00 tồn m > để cn = với n > m z—>°° c m Ỷ 0- Khi đó, z = 00 gọi cực điểm cấp m f ( z) Nếu không tồn lim f ( z ) (trong C) có vơ số m > để c m Ỷ 0* Khi đó, oo gọi z— ^00 điểm bất thường cốt yếu f ( z ) Như vậy, z = 00 cực điểm đa thức Ỷ const Bậc bậc đa thức 1.6 Khái niệm thặng dư định lý thặng dư 1.6.1 Định nghĩa cách tính Đ ịnh nghĩa 1.6.1 (xem 01) Giả sử f ( z ) hàm giải tích vành khăn < \z — zo| < r, Ỵ chu tuyến (đặc biệt đường tròn) vây quanh zo nằm vành khăn Khi đó, tích phân 1 f{ĩ ]) drị , (1.6.7) gọi thặng dư / ZQ' Kí hiệu res[f,Zữ\ = ^ / f ( rl ) drl ■ Tích phân (Ị1.6.7Ị) không phụ thuộc vào việc chọn chu tuyến ỵ Vì vậy, (Ị1.6.7Ị) phụ thuộc vào hàm / điểm zo (xem (Ó) Nếu f ( z ) giải tích vành 18 khăn R < \z\ < 00 thặng dư / 00 số res[f,°°} = ^ j j f { i ì ) dr \ = Ị f (r\ )drị Ỵ- Trong đó, chu tuyến bao quanh điểm z = nằm hình vành khăn R < \z\ < Nếu biết khaitriển Laurent hàm / vành khăn < \z —Zo| < r R< \z\ < 00 (tại ZQ = 0) theo định lý Laurent, ta có res[f,zo\ = ^ ~ / Ỉ M d r i = C _ , res[f,°°] = ^ j p Ị f ( n ) d r ị = —c _ ] T Từ điều kiện định nghĩa điểm bất thường, zo điểm bất thường bỏ f ( z ) res[f,zo\ = Định lý 1.6.1 (xem [51]) i Nếu ZQ cực điểm cấp hàm f r es [ f , z oị = lim (z —Zo)f(ì) z— >-Zo (1.6.8) với ọ ( z o ) Ỷ 0, V( zo) = y/ (z o ) Ỷ ii Nếu f ( z ) = res[f,zo} = ( L6-9) V( zo) iii Nếu Zq cực điểm bậc m > f res[f,Zữ\ = - * lim [( z - z o )" ( z )] (m_1)(ra — 1)! z->z0 Ví dụ 1.2 Xét hàm f ( z ) = a) Tính res[f, 0] Vì w _ ( ^ 19 1 (1.6.10) nẽn b) Tìm res Bởi (1 + z 2y (7 - i)m— !— = — 1— (1 + z ỉ )m (z + i)m nên tính đạo hàm vế trái m — lần, ta ) (m- (z - iỴ (z + i) 2m—1 (1 + z 2y Theo cơng thức d1.6.10Ị), ta có res (—\Ỵn(2m —2)! (1 + z 2)m (ra — 1)! (m — 1) !22m 1i2m (2 m —2 )! 22m-lỊ(m _ ) f]2 * Đ ịnh lý 1.6.2 (xem [ ) Nếu f giải tích 00 res[f; 00] = lim z[/(°°) - / ( z ) ] Hệ 1.6.1 (xem Ĩ ) 00 khơng điểm bậc m > Cíỉứ /zổm / ( z ) , róc là khơng điểm bậc m hàm f Co —c_ — — C - m+\ — 0, res[f,o 0] = C ị = Nếu m = 1, tức Co = lim /( z ) = z—>°° ré?s[/,°o] = - l i m / ( z ) ^°° 20 1.6.2 Các địn h lý b ả n th ặn g dư Đ inh lý 1.6.3 (Định lý thặng dư, xem (31) Giả sử hàm f ( z ) giải tích miền Q trừ số hữu hạn điểm Z \t ■■,Zn nằm miền Khỉ đó, với chu tuyến Ỵnằm Q cho {zi, ,Z/v} c ílỵ c n í * / f ( v ) d r i = Ki £ res[f\ zk] y k=\ Chứng minh Vậy điểm ZI , ' " , ZN chu tuyến i, , 7/v cho miền £2% đôi không giao ũ.Ỵk c ^ N v Theo định lý Cauchy miền (N + 1) - liên Í2y\ u k=ỉ I m d ĩỊ r +E / ta có f { n ) d r ) =0 k=l n Vì í SL í SL / f ( ĩ ] ) d ĩ \ = L / f ( 7l ) d l = 2x i res[ f ^’ kì Y k = ì ĩk k=ỉ □ Đ ịnh lý 1.6.4 (Định lý thặng dư toàn phần, xem [J3]l) Cho f giải tích tồn mặt phẳng trừ số hữu hạn điểm Z\, • • • ,Zn = °°- Khỉ đó, N ỵ , res[f;zk\ = k= Chứng minh Xét chu tuyến cho theo định lý |1.6.3[ ta nhận chứa tất Z i, , ZN- 1- Khi đó, í / f ( n ) d r i = 2ni £ res[f -, Zk\ y k= M ặt khác, theo định nghĩa - Ị f { i \ ) dĩ ] =2icires[f\oo\ ĩ □ Cộng hai đẳng thức ta có điều phải chứng minh 21 Chương / Ưng dụng Thặng dư logarit đê tìm sơ khơng điểm hàm giải tích Trong chương này, chúng tơi sử dụng kí hiệu £2 tập tập số phức chu tuyến trơn khúc nằm í l c, 2.1 Thặng dư logarit 2.1.1 Khơng điểm hàm giải tích Đ ịnh nghĩa 2.1.1 (xem ỊŨỮI) Giả sử f { z ) giải tích miền Q tùy ý Điểm Zo G ũ, gọi không điểm (0 - điểm) / f (zo) = Giả sử z = Zo - điểm f ( z) Nếu khai triển Taylor hàm f ( z ) lân cận zo có dạng co f(z)= L a n ( z - z o ) nì a m Ỷ n= m zo gọi - điểm cấp m f ( z ) Trường hợp m = gọi điểm đơn 2.1.2 Cực điểm hàm giải tích Đ ịnh nghĩa 2.1.2 (xem [Ị3]]) Giả sử hàm biến phức / giải tích vành khăn < \z —zo| < ri tồn lim f ( z ) = Khi đó, zo gọi cực điểm / z->zo Đinh lý 2.1.1 (xem ) i Điểm Zq cực điểm hàm giải tích f ( z ) < \z —Zq\ < r khai triển (|1.5.4Ị), tồn m > đ ể 22 С-т ф о с* = о, với к < —т số nguyên т > о gọi bậc cực điểm Zo ll Điểm Z() điểm bất thường cốt yếu tồn vô số к > đ ể c _ k Ф 2.1.3 Thặng dư logarit Với hàm giải tích f ( z ) , xét hàm số Bởi vì, hình thức ọ( z ) = ịLnf(z)Ỵ nên hàm (Ọ gọi đạo hàm logarit hàm / Định nghĩa 2.1.3 (xem Щ ) Giả sử / hàm giải tích miền £2 trừ số hữu hạn điểm, không chứa cực điểm bất thường - điểm / cho Ũ.Ỵ С £1 Khi đó, tích phân (2.1.1) r gọi thặng dư logarit / chu tuyến ỵ Đỉnh lý 2.1.2 (xem Щ ) Giả sử f giải tích miền Q trừ số hữu hạn điểm, Ỵ không chứa cực điểm bất thường - điểm f cho Пу С £1 Khi ĩ Trong đó, Ny( f) số - điểm Py ( f ) số cực điểm hàm ílỵ (0 - điểm bậc m tính m lần) Chứng minh Giả sử a \ , , a s cực điểm bậc P ] , , P S hàm / b \ , , b ị - điểm bậc « , , « / hàm / íly Ta ý 23 a1, , , b , , bị tất điểm bất thường —Ỵ— Theo định l ýịl 6.3[ ta có res L — ’bi 2n i J f(z) ĩ (2 1.2 ) Với k = , , viết f k(z) f(z) (z - a k) Pk fk(z) với z đủ gần ak Bởi f ( z ) _ f'kị z ) ị z - a ky~> { z - a ky* Mz) _ f k(z) f(z) (z - a k)2Pt : { z - a k)Pt = | -Pk z-ak fk(z) f k(z) ta có res 't f Tương tự, với j = 1, , viết (2.1.3) = —Pkik — /( z ) = { z - b j ) aigj(z), gj(z) với z đủ gần bị Bởi /'(z «j , 6ý ({ 2ni J f(z) r □ 2.2 Mối liên hệ cực điểm, không đỉểm hàm giải tích Định lý 2.1.2 phát biểu dạng hình học mà gọi nguyên lý argument Giả sử / giải tích miền Q trừ số hữu hạn điểm không chứa cực điểm bất thường - điểm / cho í l y c £2, với cho bỏi phương trình z = z(t), cc ^ t ^ /3 VI ln \f(z) \ hàm đơn vị nên ta có / / § = / = / i ìnf(z(t)) = ln/(z(í)) a a p /3 + ỉ'argln/(z(/)) = í' [(í'arg)/(z(j5)) - a r g / ( z ( a ) ) ] Hiệu Ar a r g / = arg(z(/3)) - a r g /( z ( a ) ) gọi gia số argument hàm / dọc theo chu tuyến Ỵ Đỉnh lý 2.2.1 (Nguyên lý Argument, xem Q ) Giả sử f giải tích miền Q trừ số hữu hạn điểm Ỵ không chứa cực điểm bất thường - điểm f cho Q y c £ Khi (2.2.5) N y ( f) = ^ & y a r g f + Pỵ{f) 2.3 s ố khơng điểm tổng hai hàm giải tích Định lý 2.3.1 (Định lý Rouché, xem 101) Giả sử f g hàm giải tích lân cận miền đóng bị chặn Q cho \f(z) \ > Is(z)| với z £ = d£l (2.3.6) Khi đó, số - điểm hàm F = f + g hàm f £2 25 Chứng minh Với z £ y, điều kiện (Ị2.3.6Ị) cho ta |F(z)|>|/(z)|-|s(z)l>0 Do đó, F(z) f ( z ) khác không với z G y Ký hiệu N( F) N ( f ) số - điểm F / £1 Vì F / khơng có cực điểm Q nên theo cơng thức (Ị2.2.5I), ta có W(F) = ^ A r arg F = ^ A r a r g | / ^ g / = ^ A 1+ - /J r a rg (l + ^ Bởi g(z) < l,Vz € /(z ) g(z) chay (0 = H — 7-7- chay môt đường không bao quanh /(z ) điểm co = Từ nên z Ar a r g ỉ l + ỷ Vậy N( F) = ^ A 7argF = ^ A ya r g / = N( f ) □ 2.4 Nguyên lý bảo toàn miền Định lý 2.4.1 (xem [Ù) Giả sử f hàm giải tích miền Q f Ỷ const Khi đó, Í2* = f(Cl) miền Chứng minh Hiển nhiên Í2* liên thơng Ta chứng minh í ì * mở Giả sử (ỞQ điểm tùy ý thuộc £2* z £2 cho 0)0 = f(zo) Do định lý 1.4.2, ta tìm > cho D(zo, S) E Q v ầ f ( z ) - (ỞQỹ^O |z-zo| = 26 Ta chứng minh D(ứ)0, ) c í ì * Giả sử (0\ £ D((ỞQ,oc) điểm tùy ý Xét hàm /( z ) - © = (f(z) - (Oo) + (ũ)Q - (0\ ) Bởi If ( z ) - 0)0| > cc với | z - z o | = |© —COol, V |z —Zo| = ổ Như vậy, hai hàm f ( z ) — CỚQ CỚỊ — C0q thỏa mãn điều kiện định lý Rouché Do đó, hai hàm f ( z ) — (ởị = (f ( z ) — ứ)o ) + ((»0 - ứ ) |) f { z ) - )0 CÓ số - điểm D(zo,ổ), có nghĩa ta tìm Z] £ d(zo, S) để f ( z ] ) = (0] □ 2.5 Tính chất dãy hàm giải tích hội tụ tập compact Định lý 2.5.1 (Định lý Hurwitz, xem [J3]]) Giả sử dãy hàm giải tích {/„ } miền Cl hội tụ tập compact tới hàm f giả sử f Ỷ const Khi đó, với a G / ( n ) tồn N cho a E /n ( n ) với n > N Chứng minh Thật vậy, lấy Zo € ũ, để f(zo) = ữ- Do / Ỷ const, ta tìm ổ > cho D( zq, ô ) c £1 a = inf \f(z) —a \ > \z-zo\ = S Vì { f n} hội tụ tới \z —Zo| tồn N cho với n > N nên ta có \fn{z)-f(z) \ < «với |z-zo| Khi đó, hai hàm / —a , f n —f , n > N thỏa mãn điều kiện định lý Rouché Vì a G fn(Q) với n > N □ 27 2.6 Một số ví dụ V í dụ 2.1 Xét hàm f ( z ) = z5 + 5z3 + 2z hình trịn \z\ < Ta thấy |z| = 1, ta có |r ’ l = > Iz5l + 2|z| = Áp dụng định lý 2.3.1 với đường tròn |z| = hai hàm g(z) = 5z3, h(z) = z5 + 2z ta suy ra, hàm g(z) + /ỉ(z) số - điểm với hàm g(z) Mà hàm g(z) có ba - điểm |z| < hàm / = g + h có ba - điểm |z| < Khi |z| = 2, ta có 5|z3| = 40 > |z | + |z | = 36 Do đó, hình trịn \z\ < , / có ba - điểm Từ đó, ta suy hàm / khơng có - điểm vành khăn < |z| < Ví d ụ 2.2 Xét hàm f ( z ) = Z2 (e z2 — 1) Zo - điểm f Ta khai triển Taylor f ( z ) = Z (e z2 — 1) ^ íz2y , z2 z4 z2n + т т + хт + - " + - ^ + n 1! 2! ẻặ -1 f{z) = n= - ,2n—2 + + iĩ + Do n\ + / -2 _2n—2 lim f ( z ) = lim z4 ( + 7 H -1 — + z—>0 z—>о \ 1! n! nên z = - điểm hàm số f ( z ) cho Đ ể xác định bội z = 0, ta có lim /(z) = lim ( + — H -b z—>0 z zz“^ oо V V 1! 1! , 2/1 - n\ + = 1^ Suy z = - điểm bội bốn hàm số f ( z ) cho V í dụ 2.3 Cho hàm g(z) giải tích điểm a, hàm f ( z ) giải tích vành khăn < \z —a\ < ỗ, với a - điểm bội n f (z) Giả sử Q miền hữu hạn giới hạn chu tuyến trơn khúc Ỵ Hàm g(z) giải tích Q liên tục Q = Q и 7, hàm f ( z ) giải tích Q trừ số hữu hạn cực điểm hàm Q Hàm f ( z ) khác không Q trừ 28 số hữu hạn - điểm hàm í Theo định lý 2.1.2, ta tính f(z) thăng dư hàm sô g( z) —J-г- tai a f(z) = ns(a) (theo giả thiết) = ^ / g(z) 29 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận "ứng dụng Thặng dư logarỉt đ ể tìm số khơng điểm hàm giải tích" Trong khóa luận này, tơi trình bày thặng dư, thặng dư logarit ứng dụng để tìm số khơng điểm hàm giải tích Song song với lý thuyết ví dụ minh họa Nội dung khóa luận bao gồm: Hàm giải tích, không điểm, cực điểm Thặng dư logarit Mối liên hệ Argument với không điểm, cực điểm Nguyên lý bảo toàn miền Các định lý hàm giải tích Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu lực cịn hạn chế nên khóa luận đạt số kết định Tôi mong thầy cơ, bạn góp ý nhận xét để khóa luận đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt thầy giáo ThS.Nguyễn Quốc Tuấn tận tình giúp đố tơi hồn thành khóa luận Hà Nội, Ngày 14 tháng năm 2015 Sinh viên Trương Thị Tuyết Hạnh 30 ... KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận "ứng dụng Thặng dư logarỉt đ ể tìm số khơng điểm hàm giải tích" Trong khóa luận này, tơi trình bày thặng dư, thặng dư logarit ứng dụng để tìm số khơng điểm hàm. .. tốn ứng dụng Khi nghiên cứu ứng dụng giải tích tốn học, thặng dư logarit cho ta công cụ để tìm số cực điểm khơng điểm hàm miền Vào thời gian này, nhà khoa học tìm mối liên hệ cực điểm khơng điểm. .. Chương trình bày lý thuyết thặng dư logarit; mối liên hệ cực điểm, không điểm hàm giải tích; tìm số khơng điểm hàm số miền; nguyên lý bảo toàn miền tính chất dãy hàm giải tích hội tụ tập compact