Khóa luận tốt nghiệp toán Ứng dụng hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức

LỜI CAM ĐOANEm xin cam đoan khóa luận này là sự nỗ lực của bản thân, cùng sự giúp đỡ tận tình của Cô Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận này không trùng vói kết quả của các tác giả khác.. LỜI

LỜI CẦM ƠN

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tói các thày giáo, cô giáo trong tổĐại số, đặc biệt cô giáo - TS.Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình hướng dẫn vàchỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu Mặc dù đã có nhiều cố gắngtrong quá trình làm đề tài nhưng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót, emrất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên thực hiện

Đàm Huệ Thu

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là sự nỗ lực của bản thân, cùng sự

giúp đỡ tận tình của Cô Nguyễn Thị Kiều Nga

Khóa luận này không trùng vói kết quả của các tác giả khác Em xin

chịu hoàn toàn trách nhiệm về khóa luận của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thưc hiên

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Hàm lồi 3

1.2 Tính chất hàm lồi, hàm lõm 4

1.3 Bất đẳng thức Jensen 6

Chương 2: ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 9

2.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển 9

2.2 Áp dụng hàm lồi chứng minh các bất đẳng thức đại số 21

2.3 Áp dụng hàm lồi chứng minh các bất đẳng thức hình học 26

2.4 Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác 33

2.5 Chứng minh các bất đẳng thức tích phân 39

Chương 3: SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC 44

3.1 Phương pháp sử dụng hàm lồi sáng tạo bất đẳng thức 44

3.2 Một số ví dụ 44

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU

Trong chương trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổthông hiện nay, bất đẳng thức chiếm một vị trí quan trọng Các bài toán vềbất đẳng thức luôn hấp dẫn và là niềm say mê yêu thích của những ngưòiyêu Toán

Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đó ứng dụngcác tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức là một phương phápmói , hay và hiệu quả

Với lý do trên cùng sự đam mê của bản thân và sự giúp đỡ rất tận tìnhcủa cô Nguyễn Thị Kiều Nga em xin mạnh dạn thực hiện khóa luận với đềtài: “ ứng dụng hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức”

Nội dung khóa luận chia làm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn

bị

Trong chương này trình bày định nghĩa và tính chất của hàm lồi (lõm),bất đẳng thức Jensen và ứng dụng của bất đẳng thức Jensen trong việcchứng minh các bất đẳng thức khác

Chương 2: ứng dụng của hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức

Chương này trình bày ứng dung của hàm lồi trong việc chứng minh cácbất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học, bấtđẳng thức lượng giác, bất đẳng thức tích phân

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện

LỜI CAM ĐOAN Đàm Huê Thu ■

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Như vậy, hàm số /(x ) là lồi trên I nếu với hai điểm bất kỳ M í , M 2 của

đường cong y = f ( x ) , cung M \ M 2 của đường cong nằm ở bên dưới đoạn

Hàm số /(jc) = X 2 lồi trên (- 00 ;+ 00 )

Thật vậy, với mọi x 1 , x 2 ^ (-00;+00);^ * x 2 , ta có

Cho D là tập lồi trong К Giả sử f L ( x ) , f 2 ( x ) , là các hàm lồi

xác định trên D Cho Ậ > 0 vói mọi i = l , n Khi đó hàm số

1.2.2 Tính chất 2 (Điểu kiện để một hàm số là hàm lồi)

Cho D là tập hợp lồi thuộc Ш Hàm f ( x , y ) : D ^ > M là hàm lồi trên D khi

và khi với mọi (д^, Jx), ( x 2 , y 2 ) G D thì hàm

Giả sử/ : D —» К, ở đây D là hàm lồi trong Ш Đặt

epi/ = {(x,;y)eM Z y , x e D }

(epi/ được gọi là tập hợp trên đồ thị)

Hàm/ là lồi ưên D khi và chỉ khi epi/ là tập hợp lồi ữong M

Khi đó/(jc) là hàm lồi ữên D.

Cho f ( x ) là hàm số xác dịnh trên [ a , b \ và có đạo hàm cấp hai tại mọi

x e ị a , b ị Nếu /"(X)>0 với mọi jce[о, a,fc] thì f ( x ) là hàm lồi trên [ a , b ]

Nếu / "(x) < 0 với mọi X e [ a , b ] ứiì f ( x ) là hàm lõm ữên [ a , b ị

Nếu/(x) là hàm lồi ữên (й, b ) thì /(x) liên tục ữên [ a , b )

Cho D là tập lồi ưong K, f ( x ): D —» M là hàm số xác định trên D Khi đó

f ( x ) là hàm lồi trên D khi và chỉ khi với mọi số n nguyên dương, với

mọi jCj, x 2 , ứiuộc D, vói mọi số Ấ > 0, (ỉ = 1 ,n) và =1 ta có

Giả sử (1) đã đúng với n = k > 2 Xét với n = k +1

(Rõ ràng ta có thể xét với Ấ > 0 với mọi i = l , k +1 vì nếu không áp dụng

giả thiết qui nạp sẽ suy ra điều phải chứng minh)

uw+a-A)/wMặt khác, vì / là hàm lồi nên

-Ngưòi ta hay sử dụng một dạng đặc biệt của bất đẳng thức Jensen sau Nếu

f ( x ) : D - > R và DcR Khi đó vói mọi n nguyên dương, vói mọi

a) Cơ sở lý luận

Trong bất đẳng thức thì lớp bất đẳng thức kinh điển đóng vai trò quan trọng, là

cơ sở để chứng minh rất nhiều các bất đẳng thức khác Các loại bất đẳng thứcnày hay gặp nhất(dưói dạng tường minh hay không tường minh) trong đại số.Các bất đẳng thức kinh điển thường gặp là bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thứcBunhiacopxki, bất đẳng thức Holder, Bất đẳng thức Mincopxki, bất đẳng thứcKaramata, Bất đẳng thức liên hệ giữa trang bình cộng, trung bình nhân, trungbình toàn phương và trung bình điều hòa

b) Sau đây là một lớp các bất đẳng thức kinh điển được chứng minh theophương pháp hàm lồi.

Cho a x , a 2 , , a >0 Chứng minh rằng

Chửng minh

Chỉ có một trong hai khả năng sau đây xảy ra

1 Tồn tại a = 0 (1 < ỉ < r ì ) Khi đó bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

K§t hap cä hai trucmg hop

tren ta cö di§u phäi chiing

f ( Ả l X ỉ + Ẳ){ 2 X 2 + + Ẳ){ n x n ) < + Ẳ){ 2 f ( x 2 ) + + Ả n f ( x n )

ũ (ữ + ữ, + + ũ )

n ^ > _ 1 2 _ n '

b b.+b 7 + + b

=l

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ

i

=l

i

=l

2 4

2 5

Suy ra ĩịa v a 2 a n + nỊb v b 2 l? n <^{a x +b^a 2 +b 2 ) (a n +bj

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi