Dùng hàm lồi lõm chứng minh bất đẳng thức

KHAI THÁC KHÁI NIỆM đỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LạM đỂ đÁNH GIÁ BẤT đẲNG THỨC I.. Khái niệm hàm lồi trong chương trình SGK cũ và mới bài ựọc thêm ựược ựịnh nghĩa dựa vào vị trắ nằm trên, nằm dư

KHAI THÁC KHÁI NIỆM đỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LạM

đỂ đÁNH GIÁ BẤT đẲNG THỨC

I LÝ DO CHỌN đỀ TÀI

Ứng dụng hàm lồi ựể ựánh giá bất ựẳng thức (BđT) ựã ựược khai thác nhiều và

ựại diện cho ứng dụng ựó là BđT Jensen Khái niệm hàm lồi trong chương trình

SGK cũ và mới (bài ựọc thêm) ựược ựịnh nghĩa dựa vào vị trắ nằm trên, nằm dưới của tiếp tuyến với ựồ thị hàm số Trong ựịnh nghĩa ựó, ựã cho ta một tắnh chất hình học của tiếp tuyến đó là: ta có thể ựánh giá f x ( ) thông qua một biểu thức bậc nhất của x Vận dụng tắnh chất này, ta có thể tìm ựược lời giải ựơn giản cho một số bài toán chứng minh BđT Hơn nữa thông qua ựó ựể chúng ta thấy ựược việc dạy cho

HS Bản chất của các khái niệm Toán học rất quan trọng trong phát triển tư duy cho học sinh đó là lắ do mà tôi chọn ựề tài ỘKhai thác khái niệm ựồ thị hàm số lồi, lõm

2 Khó khăn:

Khi dạy khái niệm Toán học giáo viên chưa chú trọng nhiều vào việc dạy cho học sinh nắm ựược bản chất của khái niệm mà chủ yếu tập trung vào việc khảo sát các ựối tướng có thuộc về khái niệm ựó hay không? Do ựó học sinh

cũng ít quan tâm ñến bản chất cảu khái niệm ñã học nên một phần nào ñó hạn chế việc phát triển tư duy cũng như sự hứng thú trong học tập

III NỘI DUNG ðỀ TÀI

b Dấu hiệu ñồ thị lồi

ðịnh lí 1: Cho hàm số y = f x ( ) có ñạo hàm cấp hai liên tục trên ( )a b ;

b _

a

Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và có ñạo hàm ñến cấp hai trên [a;b]

i) Nếu f ''( ) x ≥ ∀ ∈ 0 x [ ; ] a b thì f x ( ) ≥ f x '( )(0 x − x0) + f x ( ) 0 ∀ ∈ x0 [ ; ] a b

ii) Nếu f ''( ) x ≤ ∀ ∈ 0 x [ ; ] a b thì f x ( ) ≤ f x '( )(0 x − x0) + f x ( ) 0 ∀ ∈ x0 [ ; ] a b

ðẳng thức trong hai Bất ñẳng thức trên xảy ra ⇔ = x x0

Ta có thể chứng minh ñịnh lí trên như sau

i) Xét hàm số g x ( ) = f x ( ) − f x '( )(0 x − x0) − f x ( 0), x ∈ [ ; ] a b

Ta có : g x '( ) = f x '( ) − f x '( )0 ⇒ g ''( ) x = f ''( ) x ≥ 0 ∀ ∈ x [ ; ] a b

0 '( ) 0

ðẳng thức trong các BðT trên có khi và chỉ khi x = a hoặc x = b

2 Nội dung, biện pháp thực hiện giải pháp của ñề tài:

Ví dụ 1: Cho các số thực dương a b c , , thỏa a + + = b c 1 Chứng minh rằng

3 10

• Nếu BðT có dạng f a ( ) ( ) (1 f a2 f an) ≥ k thì ta lấy loganepe hai vế

• Nếu BðT cần chứng minh ñồng bậc thì ta có thể chuẩn hóa Tùy thuộc vào từng bài toán mà ta lựa chọn cách chuẩn hóa phù hợp

Ví dụ 3 : Cho các số thực dương a b c , , thỏa : a + + = b c 3 Tìm GTLN của biểu

ðẳng thức xảy ra ⇔ = = = a b c 1 Vậy GTLN của P = + (1 2)3

Ví dụ 4 : Cho x y , > 0 thỏa x + + = y z 1 Tìm GTNN của biểu thức

P = x − + y − + z −

Giải : Áp dụng BðT Cô si, ta có :

3

3

3 3 3

thực dương a,b,c thỏa mãna2 + b2 + c2 = 1, khi ñó bñt cần chứng minh trở thành: ( ) ( ) ( ) 1

=

≤

∑

Ta cần chứng minh :

2 1

1

n i

n i

i

a a

=

≤ +

f x

x

= +

n a

⇔ = = = =

Nhận xét : Qua các ví dụ trên, ta có ñược kết quả tổng quát sau

ðịnh lí 4 : Cho hàm số y = f x ( ) có ñạo hàm cấp hai trên a b ;  và nsố a a1 2, , , an

nằm trong ñoạn a b ;  thỏa mãn :

1

,

n i i

Không mất tính tổng quát, ta giả sử 2

2 '( )

2

2 5 3

_ y

x0

a _

vẫn có thể ñánh giá ñược f x ( ) qua tiếp tuyến của nó tại ñiểm có hoành ñộ x = 2 (vì

3 5 [ ; ]

Lời giải Vì Bñt cần chứng minh là thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh Bñt ñúng

với mọi số thực dương a b c , , thỏa mãna + + = b c 1 Khi ñó Bñt ñã cho trở thành:

Nhận xét : Từ cách giải trên, ta có ñược cách giải cho bài toán tổng quát sau :

Cho ∆ ABC nhọn Tìm GTLN của E = sinm A sinn B sinpC , với m n p , , là những số thực dương (Xem ở phần bài tập)

Ví dụ 17 : Cho tam giác ABC nhọn Tìm GTNN của biểu thức :

tan 2 tan 3 tan

2

 

Áp dụng BðT tiếp tuyến với ∆ MNP nhọn, ta có :

cos ( ) cos ( ) cos ( )

2

Ta chọn các góc M N P , , sao cho : cos M = > k 0; cos N = 2 ; cos k P = 3 k

Vì M N P , , là ba góc của tam giác nên ta có ñẳng thức :

Với M N P , , là ba góc của tam giác nhọn ñược xác ñịnh bởi :

cos M = > k 0; cos N = 2 ; cos k P = 3 k, trong ñó k là nghiệm dương duy nhất của

PT (1)

Nhận xét : Tương tự cách làm trên, ta cũng tìm ñược giá trị nhỏ nhất của biểu thức

tan tan tan

F = m A + n B + p C , trong ñó m n p , , là các số thực dương và A B C , , là ba góc của tam giác nhọn (Xem ở phần bài tập)

Ví dụ 18: Cho x y z , , > 0 thỏa x + + = y z 1 Tìm GTNN của :

với k là nghiệm nằm trong (0;1) của (2)

Ví dụ 19 (BðT Jensen) Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và có ñạo hàm cấp hai trên

Chú ý: ðiều thú vị là BðT Cô si lại là một hệ quả của bài toán trên Thật vậy:

n i i n

x

x n

6 Cho n số thực dương thoả mãn:

1

n i i

8 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

9 Cho tam giác ABC nhọn và m n k , , > 0 Tìm:

1) Giá trị lớn nhất của F = sinm A sinn B sinkC

2) Giá trị nhỏ nhất của F = m tan A + n tan B + k tan C

10 Cho nsố thực không âm a a1, 2, , an có tổng bằng 1 Chứng minh: n 1 2 1

• Học sinh giải quyết ñược một lớp bài toán khó về BðT

V BÀI HỌC KINH NGHIỆM

• Khi dạy học các khái niệm Toán học cần chú ý ñến bản chất của khái niệm ñó và khai thác bản chất của khái niệm

• Trong quá trình dạy học, chúng ta có thể gợi mở một số hướng phát triển từ một khái niệm Toán học cho học sinh tìm tòi và nghiên cứu

VI KẾT LUẬN

Việc khái thác khái niệm ñồ thị lồi lõm của ñồ thị hàm số cho chúng ta:

• Một phương pháp chứng minh BðT và giải một số dạng toán cực trị khá hiệu quả

và ñơn giản

• Dựa vào hai BðT tiếp tuyến và cát tuyến kết hợp với phương pháp cân bằng hệ

số, chúng ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán BðT hay và khó

NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Tất Thu