Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mã số: 8.14.01.11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu HÀ NỘI – 2020 LỜI CẢM ƠN Từ thực tiễn thấy, để có thành cơng lĩnh vực nào, ngồi nỗ lực, cố gắng thân cần giúp đỡ, hỗ trợ người xung quanh Trước hết, tác giả xin phép gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Ban Giám hiệu nhà trường thầy giáo, cô giáo trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội dành nhiều thời gian, tâm huyết để giúp tác giả mở rộng kiến thức suốt trình đào tạo nhà trường Thời gian qua, GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu ln nhiệt tình, tận tâm hướng dẫn bảo để tác giả hồn thành luận văn Qua trao đổi hay làm việc, thầy chi tiết cụ thể nội dung liên quan đến đề tài để giúp tác giả hoàn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy mong muốn tiếp tục thầy giúp đỡ thời gian Trong trình học tập đặc biệt thời gian làm luận văn này, thân tác giả luôn nhận quan tâm, tạo điều kiện đồng nghiệp, bạn bè Đặc biệt phải kể đến chia sẻ bạn học viên lớp Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn QH-2017-S hay ủng hộ, khích lệ thầy cơng tác với tác giả trường THPT Giao Thủy tạo nguồn cổ vũ, động viên to lớn giúp tác giả hoàn thành luận văn Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 09 tháng 01 năm 2020 Tác giả Đặng Thị Phương Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Khách thể đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 1.2 Cơ sở thực tiễn 1.3 Năng lực phát triển lực cho học sinh trung học phổ thông 1.3.1 Khái niệm lực 1.3.2 Phân loại lực 1.3.3 Các lực cần phát triển cho học sinh trung học phổ thông 1.3.4 Năng lực toán học 10 1.4 Kỹ giải toán 11 1.4.1 Khái niệm kỹ 11 1.4.2 Các yếu tố ảnh hưởng đến kỹ 12 1.4.3 Kỹ giải toán 12 1.4.4 Căn để hình thành biện pháp phát triển kỹ giải toán cho học sinh trung học phổ thông 13 1.4.5 Các biện pháp nhằm phát triển kỹ giải toán cho học sinh trung học phổ thông 14 1.4.6 Một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển kỹ giải tốn cho học sinh 15 KẾT LUẬN CHƢƠNG 20 CHƢƠNG DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH 21 2.1 Hàm lồi, lõm 21 2.1.1 Hàm đơn điệu 21 2.1.2 Hàm lồi, lõm 21 2.1.3 Lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1, 2) 23 2.2 Tính lồi, lõm hàm số lượng giác 25 2.2.1 Tính đơn điệu hàm số lượng giác 25 2.2.2 Tính lồi, lõm hàm số lượng giác 26 2.3 Bất đẳng thức lượng giác liên quan đến góc tam giác 26 2.3.1 Một số đẳng thức bất đẳng thức liên quan đến góc tam giác 26 2.3.2 Độ gần thứ tự dãy tam giác 29 2.4 Vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác nhằm phát triển kỹ giải toán cho học sinh 31 2.4.1 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng đối xứng tam giác 31 2.4.2 Áp dụng bất đẳng thức Jensen 41 2.4.3 Áp dụng bất đẳng thức Karamata 49 2.4.4 Áp dụng tính đơn điệu liên tiếp bậc (1,2) 53 KẾT LUẬN CHƢƠNG 60 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 61 3.1 Đối tượng thực nghiệm 61 3.2 Mục đích thực nghiệm 61 3.3 Nhiệm vụ thực nghiệm 61 3.4 Nội dung kế hoạch thực nghiệm 62 3.4.1 Nội dung kế hoạch thực nghiệm theo thời gian 62 3.4.2 Triển khai dạy theo chuyên đề thực nghiệm 63 3.4.3 Đề kiểm tra, đánh giá học sinh 63 3.5 Triển khai thực nghiệm 64 3.6 Đánh giá kết thực nghiệm 64 3.6.1 Kết kiểm tra, đánh giá 64 3.6.2 Kết sử dụng bảng quan sát, phiếu đánh giá 68 3.6.3 Kết phiếu điều tra ý kiến học sinh 70 3.6.4 Tổng hợp, phân tích số liệu kết luận 71 KẾT LUẬN CHƢƠNG 74 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT STT Viết tắt Viết đầy đủ BĐT Bất đẳng thức CM Chứng minh ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh KN Kỹ KNGT Kỹ giải toán KT Kiểm tra LG Lượng giác 10 NL Năng lực 11 PPDH Phương pháp dạy học 12 PPDHTC Phương pháp dạy học tích cực 13 SGK Sách giáo khoa 14 TN Thực nghiệm 15 TNSP Thực nghiệm sư phạm 16 THPT Trung học phổ thông DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Mô tả nội dung kế hoạch thực nghiệm theo thời gian 62 Bảng 3.2 Mô tả kết kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 64 Bảng 3.3 Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 64 Bảng 3.4 Tỷ lệ phân loại học sinh lần 65 Bảng 3.5 Mô tả kết kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 66 Bảng 3.6 Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 66 Bảng 3.7 Thống kê tỷ lệ phân loại học sinh đạt lần 68 Bảng 3.8 Thống kê kết đánh giá kỹ giải tốn học sinh thơng qua giáo viên lần 70 Bảng 3.9 Thống kê kết đánh giá kỹ giải tốn học sinh thơng qua giáo viên lần 70 Bảng 3.10 Thống kê kết đánh giá kỹ giải tốn học sinh thơng qua giáo viên lần 70 Bảng 3.11 Thống kê kết đánh giá kỹ giải toán học sinh qua 70 điều tra 70 DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 Đường lũy tích ứng với kiểm tra số 65 Biểu đồ 3.2 Thống kê phân loại kết học tập học sinh kiểm tra số 65 Biểu đồ 3.3 Đường lũy tích ứng với kiểm tra số 66 Biểu đồ 3.4 Kết phân loại, đánh giá kết học tập học sinh qua kiểm tra số 68 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong giáo dục, dạy học theo định hướng phát triển lực trở thành xu hướng chung phổ biến Để đạt mục tiêu phát triển lực người học việc ý dạy học vận dụng tình học tập góp phần tạo tiền đề cho mục tiêu Do đó, q trình học tập nhà trường phổ thơng, học sinh (HS) cần hình thành phát triển kỹ vận dụng giải vấn đề Tốn học mơn khoa học tự nhiên gắn liền với thực tiễn đời sống, vậy, cần tạo cho học sinh hứng thú, hăng say học tập, thấy thiết thực học tập, đồng thời cịn giúp kích thích tính sáng tạo, phát triển tư logic cho học sinh Qua đó, bên cạnh hình thành phát triển lực, cần trọng tới trình vận dụng để rèn kỹ cho học sinh Bản thân công tác trường phổ thông, tác giả nhận thấy thân việc phân loại dạng tập Tốn đơi cịn có ranh giới khơng rõ ràng Có phân chia theo đơn vị kiến thức bị trùng lặp phương pháp, có phân chia theo thuật giải khó khăn có tốn đa dạng cách giải Đối với tốn có nhiều phương pháp giải, việc chọn lựa phương án tối ưu để trình bày cần thiết Song bên cạnh đó, có nhiều tốn mà thuật giải chưa rõ ràng khó định hướng q trình lựa chọn thuật giải Riêng với toán chứng minh (CM) bất đẳng thức (BĐT) nói chung hay chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác nói riêng thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp trung học phổ thông (THPT) thi Olympic sinh viên, việc chắt lọc, lựa chọn phương pháp giải phù hợp để áp dụng cần thiết Như biết, toán hệ thức lượng tam giác thường biểu diễn dạng đẳng thức bất đẳng thức thể mối liên hệ yếu tố tam giác Đặc biệt toán bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng (các hệ số m, n, p biểu thức mf ( A)  nf (B)  pf (C) không nhau) tam giác tốn thú vị khó giải toán lượng giác THPT Trong phương pháp đề xuất, việc áp dụng tính chất hàm lồi, lõm hàm số lượng giác nói riêng hàm số nói chung để khảo sát tính chất tạo mối quan hệ yếu tố tam giác mang hướng tiếp cận phù hợp hiệu để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác Đặc biệt phương pháp thể quan hệ logic tốt tư duy, phù hợp với học sinh khá, giỏi; đó, sử dụng để phục vụ cho giáo viên (GV) bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT hay phục vụ cho kỳ thi Olympic sinh viên Đã có nhiều đề tài nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói chung bao gồm bất đẳng thức lượng giác tam giác hay có đề tài nghiên cứu vấn đề sử dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức chủ yếu tập trung vào bất đẳng thức đại số Tuy nhiên, vấn đề riêng: sử dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác chưa trình bày chuyên biệt đề tài nghiên cứu cụ thể Đồng thời, đề tài túy kiến thức tốn nói chung mà rõ mục tiêu hướng đến rèn luyện kỹ (KN) hay lực (NL) cụ thể cho học sinh Từ lý tơi chọn đề tài “Dạy học vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác nhằm phát triển kỹ giải tốn cho học sinh” để nghiên cứu thơng qua dạy học lượng kiến thức, dạng toán cụ thể hình thành phát triển kỹ giải tốn hay kỹ vận dụng tính chất cho học sinh Đồng thời, đề tài B PHIẾU ĐIỀU TRA DÀNH CHO HỌC SINH Họ tên: Lớp: Trường: Em vui lịng cho biết thơng tin vấn đề Xin cảm ơn em! (Đánh dấu x vào ô tương ứng mà em chọn) Câu hỏi Khi học mơn tốn, thầy/cơ có đưa kiến thức tập vận dụng tính chất biết, em có thích học tập mơn theo hướng khơng? Thích Khơng thích Bình thường Câu hỏi Theo em, việc thầy/ cô dạy học kiến thức tập vận dụng tính chất biết có cần thiết hay khơng? Rất cần thiết Cần thiết Không cần thiết Câu hỏi Khi biết kiến thức thực tế, vận dụng chúng để giải tập tốn phù hợp, em thấy có lợi ích thân? ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… PHỤ LỤC GIÁO ÁN Chuyên đề “Vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác tam giác” Tiết Các phương pháp để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác tính lồi lõm hàm số I – MỤC TIÊU: Kiến thức: Giúp học sinh: - Hiểu rõ tính chất hàm lồi, tính đơn điệu hàm số lượng giác - Ghi nhớ tính chất hàm lồi - Ghi nhớ cách chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác: Theo phương pháp biết vận dụng tính chất hàm lồi Kỹ năng: Phát triển kỹ giải tốn cho học sinh thơng qua rèn hai kỹ bản: - Phân tích đề bài, định hướng giải toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác - Chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác cách vận dụng tính chất hàm lồi Tư duy, thái độ: - Rèn cho học sinh tư lôgic, liên hệ với kiến thức biết: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức biết phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi - Phát triển tư phát hiệu dấu hiệu giải vấn đề tư tổng hợp cho học sinh - Giúp rèn cho học sinh thái độ nghiêm túc, cẩn thận, chặt chẽ, biết quan sát phán đốn, tính tích cực giải vấn đề Năng lực: - Giúp củng cố cho học sinh lực chung như: lực tư duy, lực sáng tạo, lực hợp tác, lực giải vấn đề, lực làm chủ thân - Giúp phát triển lực sử dụng ngơn ngữ tốn học dùng thuật ngữ, kí hiệu cho học sinh - Giúp phát triển cho học sinh lực sử dụng tính chất để giải toán chứng minh bất đẳng thức II – CHUẨN BỊ: Giáo viên: - Nghiên cứu kỹ chương trình, soạn giáo án đầy đủ chi tiết, thiết kế dạy khoa học, hợp lí, chuẩn bị học liệu phục vụ cho tiết dạy cho hiệu - Giao nhiệm vụ học tập cho học sinh trải nghiệm từ tiết học trước để phục vụ cho tiết dạy, chọn sản phẩm tốt nhóm phục vụ cho dạy Học sinh: - Học cũ, đọc trước mới, chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập - Thông qua hoạt động trải nghiệm: + Chia lớp thành nhóm: Mỗi nhóm 20 học sinh, cử nhóm trưởng, thư ký, thực tuần trước dạy + Nhiệm vụ: Tìm hiểu, tổng hợp cho ví dụ phương pháp để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác để hình dung mối liên hệ với học, nộp sản phẩm theo nhóm để giáo viên chọn lọc III – PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC: - Sử dụng phương pháp dạy học tích cực: thơng qua hoạt động trải nghiệm giúp hình thành mối liên hệ với vấn đề; gợi mở giúp học sinh tự giải vấn đề; vận dụng kiến thức liên môn giúp học sinh ghi nhớ vấn đề; phối hợp với hoạt động nhóm hình thành qua kỹ thuật tổ chức nhóm, kỹ thuật sử dụng lược đồ tư duy, … - Bên cạnh đó, phương pháp truyền thống sử dụng song song hình thức thuyết trình xây dựng vấn đề mới, hình thức vấn đáp hoạt động giáo viên học sinh nhiên khắc phục tối đa lối truyền thụ chiều để học sinh tiếp nhận xử lý vấn đề cách hiệu IV – TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: Ổn định tổ chức lớp: sĩ số, sách vở, trật tự nội vụ, … Kiểm tra cũ: Kết hợp với trình dạy Bài mới: (45’) Đặt vấn đề: Dựa vào thực tế toán xuất đề thi thuộc dạng toán chứng minh bất đẳng thức tam giác nói chung để thấy cần phải chứng minh bất đẳng thức thuộc đối tượng bất đẳng thức lượng giác (2’) Hoạt động 1: Hệ thống phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác biết (15’) Hoạt động giáo Hoạt động viên học sinh Yêu cầu học sinh Các phương pháp chứng nhóm cử đại - Đại diện hai diện báo cáo sản nhóm báo cáo phẩm nhóm Ghi bảng minh bất đẳng thức lượng giác - Học sinh lại tam giác biết Học sinh lại theo theo dõi a Phương pháp sử dụng bất dõi, cho nhận xét đẳng thức Cauchy - Học sinh nhóm khơng báo cáo Ví dụ 1.1 Với tam giác nhận xét sản ABC nhọn, chứng minh phẩm nhóm tan A  tan B  tan C 9 tan A  tan B  tan C b Phương pháp đại số Ví dụ 1.2 Với tam giác ABC khơng vuông, đặt tan A  tan A  tan A - Điều hành phản biện F  tan A tan A  tan A - Học sinh tan A tan B nhóm phản biện  tan B  tan B  tan B tan B  tan B tan B tan C Giáo viên bổ sung  tan C  tan C  tan 2C chốt nội dung tan C  tan C tan 2C phương pháp - Học sinh ý nghe bổ sung chứng minh  F 2 c Phương pháp sử dụng tính chất hàm số lượng giác Ví dụ 1.3 Với tam giác ABC khơng vuông, đặt F  sin A  sin B  sin C  cos A  cos B  cos C  tan A  tan B  tan C  cot A  cot B  cot C Chứng minh F   Nhận xét, so sánh hai nhóm chấm điểm - Học sinh ý nghe nhận xét ghi nhớ phương pháp chốt Hoạt động 2: Nhắc lại tính lồi lõm hàm số (24’) Hoạt động giáo Hoạt động viên học sinh Yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất hàm lồi Ghi bảng Tính lồi lõm hàm số - Học sinh trả lời a Tính chất hàm lồi câu hỏi Định lý 1.1 Nếu f x  hàm Yêu cầu học sinh - Nêu thắc mắc khả vi I (a, b) f x  lại theo dõi, cho bổ sung hàm lồi (lõm) f "x  ( nhận xét bổ sung yêu cầu f "x   ) I (a, b) Định lý 1.2 (Định lý Jensen) Giả sử f x  liên tục a , b Khi điều kiện cần đủ để hàm số f(x) lồi I(a, b)  x  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) f ,     x1 , x2  I (a, b) - Điều hành bổ sung Định lý 1.3 (Bất đẳng thức - Học sinh tiếp tục Karamata) Cho hai dãy số bổ sung xk , yk  I (a , b), k  1, 2, , n thỏa mãn điều kiện x1  x2   xn , y1  y2   yn  x1  y1 x  x  y  y 2    x  x   x  y  y   y n 1 n 1   x1  x2   xn  y1  y2   yn Khi đó, ứng với hàm lồi f(x) với f "( x)  I (a , b) ta có f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn ) Yêu cầu học sinh nêu - Học sinh trả lời  f ( y1 )  f ( y2 )   f ( yn ) tính đơn điệu từ câu hỏi b Tính đơn điệu hàm tính lồi (lõm) Hồn thiện mục b lượng giác hàm lượng giác Tính đơn điệu c Tính lồi lõm hàm hàm lượng giác lượng giác bản Hàm số f ( x)  sin x lõm Sau tính khoảng 0 ,   lồi lõm Hàm số f ( x)  cos x lõm hàm số  khoảng  ,  2  Hàm số f ( x)  tan x lồi Giáo viên kết luận chốt nội dung  khoảng  ,  2  Hàm số f ( x)  cot x lồi  khoảng  ,  2  Củng cố (1’): Yêu cầu HS nhắc lại: - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác biết - Tính chất hàm lồi, tính đơn điệu, tính lồi (lõm) hàm lượng giác Hướng dẫn nhà (1’): - Nhớ phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác biết - Hiểu tính chất hàm lồi, tính đơn điệu, tính lồi (lõm) hàm lượng giác bản; Vận dụng làm tập: Bài toán Chứng minh với tam giác ABC , ta có sin A  sin B  sin C  3 Bài toán Chứng minh với tam giác ABC nhọn, ta có cos A  cos B  cosC  Bài toán Chứng minh với tam giác ABC nhọn ta có tan A  tan B  tan C  3 V – RÚT KINH NGHIỆM: Tiết Vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác I – MỤC TIÊU: Như tiết II – CHUẨN BỊ: Giáo viên: - Nghiên cứu kỹ chương trình, soạn giáo án đầy đủ chi tiết, thiết kế dạy khoa học, hợp lí, chuẩn bị học liệu phục vụ cho tiết dạy cho hiệu - Giao nhiệm vụ học tập cho học sinh trải nghiệm từ tiết học trước để phục vụ cho tiết dạy, chọn sản phẩm tốt nhóm phục vụ cho dạy Học sinh: - Học cũ, đọc trước mới, chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập - Làm nhà đầy đủ III – PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC: - Sử dụng phương pháp dạy học gợi mở giúp học sinh tự giải vấn đề; - Sử dụng phương pháp thuyết trình xây dựng vấn đề mới, hình thức vấn đáp hoạt động giáo viên học sinh nhiên khắc phục tối đa lối truyền thụ chiều để học sinh tiếp nhận xử lý vấn đề cách hiệu IV – TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: Ổn định tổ chức lớp: sĩ số, sách vở, trật tự nội vụ, … Kiểm tra cũ: Kết hợp với trình dạy Bài mới: (43’) Vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác Hoạt động 1: Áp dụng bất đẳng thức Jensen (15’) Hoạt động giáo Hoạt động học viên sinh Yêu cầu ba học sinh Ghi bảng Vận dụng tính chất hàm lồi trình bày lời giải Học sinh trình bày để chứng minh bất đẳng thức toán 1, 2, giao toán 1, 2, lượng giác tam giác biết nhà a Áp dụng bất đẳng thức Yêu cầu học sinh khác Học sinh nhận xét Jensen theo dõi, cho nhận xét rút phương Bài toán Chứng minh với pháp Áp dụng tam giác ABC , ta có bất đẳng thức sin A  sin B  sin C  Jensen 3 Bài toán Chứng minh với Giáo viên yêu cầu học sinh nêu dấu hiệu Học sinh trả lời câu tam giác ABC nhọn, ta có chốt hỏi cos A  cos B  cosC  Bài toán Chứng minh với tam giác ABC nhọn ta có tan A  tan B  tan C  3 Hoạt động 2: Áp dụng bất đẳng thức Karamata (15’) Hoạt động giáo Hoạt động học viên sinh Yêu cầu học sinh suy Ghi bảng b Áp dụng bất đẳng thức nghĩ giải tốn 4, Học sinh trình bày Karamata hướng giải giải Bài toán Chứng minh với tam giác nhọn ABC , ta có tốn 4, Yêu cầu học sinh khác  cos A  cos B  cosC  theo dõi, cho nhận xét Học sinh nhận xét Bài toán Cho ABC tam rút phương giác không nhọn Chứng minh pháp Áp dụng bất đẳng Karamata thức tan A B C  tan  tan  2  2 Hoạt động 3: Áp dụng tính đơn điệu hàm liên tiếp bậc (1,2)(13’) Hoạt động giáo Hoạt động học Ghi bảng viên sinh Yêu cầu học sinh suy c Áp dụng tính đơn điệu nghĩ giải tốn 6, Học sinh trình bày hàm liên tiếp bậc (1,2) hướng giải giải Bài toán Cho tam giác nhọn toán 6, Yêu cầu học sinh khác A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác ABC ta có theo dõi, cho nhận xét sin A sin B sin C   cosA0 cosB0 cos C0  tan A0  tan B0  tan C0 Học sinh nhận xét rút phương pháp Bài toán Cho tam giác nhọn A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có cosA  cosB  cosC sin A0 sin B0 sin C0  cot A0  cot B0  cot C0 Củng cố (1’): - Yêu cầu học sinh nhắc lại dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức trung gian nói để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác Hướng dẫn nhà (1’): - Ghi nhớ dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức trung gian nói để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác; Vận dụng làm tập: Bài toán Cho tam giác nhọn A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có tan A tan B tan C    2sin A0 sin B0 sin C0 2 tan A0  tan B0  tan C0  Bài toán Cho tam giác nhọn A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có cot A cot B cot C    2sin A0 sin B0 sin C0 2 cot A0  cot B0  cot C0  Bài toán Cho tam giác nhọn A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có A sin  A0 cos B sin cos 3  B0 sin C  tan A0  tan B0  tan C0 C 3 cos Bài toán Cho tam giác nhọn A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có A cos cos  A0 sin sin B  B0 cos C  cot A0  cot B0  cot C0 C 3 sin Bài toán Cho tam giác A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác ABC ta có tan tan A A0 tan  1 tan B B0 tan   tan C C0 1 2B 2C   2A   sin  sin  sin  2 3  Bài toán Cho tam giác A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác ABC ta có cot cot A A0  1 cot cot B B0  cot  cot C C0 1 2B 2C   2A   sin  sin  sin  2 3  V – RÚT KINH NGHIỆM: PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA ĐỀ KIỂM TRA SỐ Thời gian: 45 phút Bài Chứng minh với tam giác ABC ta ln có  cos2 A  cos 2C   cos2B  Bài Cho m, n, p số nguyên dương lớn Chứng minh với tam giác ABC số thực   1, ta có        A B C   m  cot   n  cot   p  cot    m  n  p   cot m n p m  n  p      ĐỀ KIỂM TRA SỐ Thời gian: 60 phút Bài Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh với n số ngun dương, ta ln có tan n A  tan n B  tan n C  3n Bài Chứng minh với tam giác ABC ta ln có a) cos2 A  cos2B  k cos 2C  2k  , k  0; 2k b) cos2 A  cos2B  k cos 2C  2k  , k  0; 2k Bài Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z Chứng minh với tam giác ABC ta có x sin  A B C  B C A C A B     y sin      z sin      x  y z 2 2 6 2 6 2 6 ... đích nhằm phát triển KNGT cho HS trình bày cụ thể chương 20 CHƢƠNG DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO. .. (C2 ) 2.4 Vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác tam giác nhằm phát triển kỹ giải toán cho học sinh 2.4.1 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng... cực nhằm phát triển kỹ giải toán cho học sinh 15 KẾT LUẬN CHƢƠNG 20 CHƢƠNG DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT