Khoá luận tốt nghiệp toán ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s u PHẠM HÀ NỘI 2 KHỎA TOÁN ===£r)lũũlG8 = = = LƯU THỊ HÒNG YÊN LÍ ÁNH XẠ co ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN VÀO DÃY SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • C huyên ngành: G iải tích Ngưòi hưóng dẫn khoa học PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2015 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp L Ờ I C Ả M ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, nhờ đó mà em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học. Qua đây em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán Truông Đại học sư phạm Hà Nội 2 - những người đã tận tình dạy dỗ em trong bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu này. Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên khóa luận này không tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý phê bình của các thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm 0’n! Lưu Thị Hồng Yên K37A Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 L Ờ I CA M Đ O A N Khóa luận này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình học tập, nghiên cún và thực hiện khóa luận. Khi nghiên cún và hoàn thành khóa luận này, em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần: Tài liệu tham khảo. Vì vậy em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Lưu Thị Hồng Yên Lưu Thị Hồng Yên K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tôt nghiệp M Ụ C LỤC MỞ ĐẦU......................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài..................................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.........................................................................1 3. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................ 1 4. Cấu trúc...................................................................................................................2 NỘI DU NG................................................................................................................. 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN B Ị ..................................................................3 1.1 Sai s ố ..................................................................................................................... 3 1.1.1 Số gần đúng........................................................................................................3 1.1.2 Sai số tuyệt đối.................................................................................................. 3 1.1.3 Sai số tương đối................................................................................................. 5 1.2 Một số định lí về dãy số .......................................................................................6 1.3 Một số định lí về hàm số liên tục........................................................................9 1.4 Không gian metric.............................................................................................. 12 1.5 Nguyên lí ánh xạ co............................................................................................ 16 1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz................................................................................16 1.5.2 Ánh xạ c o ........................................................................................................16 1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach.................................................................... 17 1.5.4 Ví d ụ .................................................................................................................22 CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH....................................................................................................................... 25 2.1 ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt.... 25 2.1.1 Bài to á n ............................................................................................................25 2.1.2 Bậc hội tụ của dãy s ố .....................................................................................29 2.1.3 Ví d ụ .................................................................................................................30 CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o VÀO GIẢI MỘT SÓ BÀI TOÁN VỀ DÃY SÓ.........................................................................................49 Lim Thị Hổng Yên K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tôt nghiệp 3.1 Phương pháp lặp................................................................................................. 49 3.1.1 Phương pháp lặp để giải phương trình đại số vàsiêu việt......................... 49 3.1.2 ứ ng dụng nguyên lí ánhxạ co vào giải một số bài toán về dãy số............. 50 KẾT LUẬN............................................................................................................... 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................59 Lim Thị Hổng Yên K37A Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 M Ở ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ra đời vào cuối thế kỉ XVIII, Giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chưong trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường Đại học sư phạm và các trường kĩ thuật. Đây là môn học hấp dẫn với các sinh viên, khi giải quyết các bài toán người học gặp phải những tình huống , những giả thiết phức tạp. Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về toán học liên quan và kiến thức về phần mềm về lập trình tĩnh toán. Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện sớm trong Toán học giải tích. Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm - một môn học cơ bản vừa mang tĩnh lý thuyết vừa mang tĩnh ứng dụng rộng rãi. Nói đến lý thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó là: Nguyên lí ánh xạ co của Banach. Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học. Nó dùng đê chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đại số và siêu việt, hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,... Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cún “ ú n g dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số ” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phũ thêm kiến thức của mình và ứng dụng trong giải toán ở THPT và đại học. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Sự phát triển của Giải tích toán học nói riêng và của Toán học nói chung được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tính thực tiễn nhất định. Nghiên cứu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số là mục đích chính của khóa luận này. 3. Phương pháp nghiên cún + Phương pháp nghiên cứu lý luận. Lưu Thị Hông Yên 1 K37Ả Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 + Phương pháp nghiên cún tống kết tài liệu. 4. Cấu trúc Khóa luận bao gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: ứ ng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình. Chưong 3: ứ ng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy Lưu Thị Hông Yên 2 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tôt nghiệp NỘI DUNG CHƯƠNG 1 K IÉ N TH Ứ C C H U Ẩ N BỊ Trong chưong này chúng ta sẽ trình bày về sai số, một số định lí về dãy số, hàm số liên tục, không gian metric và nguyên lí ánh xạ co. Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm các tài liệu: [1], [2], [4] và [5J. 1.1 Sai số 1.1.1 Số gần đúng Trong nhiều trường họp, ta không biết được giá trị đúng của các đại lượng mà ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó. Ta gọi a là số gần đúng của a nếu a không sai khác a nhiều. Ví dụ 1.1 Theo tổng cục thống kê, đúng đầu một trong 5 tỉnh thành có sản lượng tôm lớn nhất cả nước năm 2014 là: Cà Mau là tỉnh có sản lượng tôm lớn nhất nước đạt hon 116.000 tấn . Bạc Liêu giữ vị trí thứ hai với sản lượng 95.700 tấn. Ớ vị trí thứ ba là Sóc Trăng vói sản lượng 67.312 tấn. Tiếp đến là Ben Tre có sản lượng là 52.000 tấn và cuối cùng là Kiên Giang với 51.430 tấn. Các số liệu trên là số gần đúng. 1.1.2 Sai số tuyệt đối Giả sử a là số gần đúng của a . Giá trị a - a phản ánh mức độ sai lệch giữa a và ứ*. Ta gọi đại lượng A := a* - a là sai số thực của a . Neu A > 0 thì a được gọi là số gần đúng thiếu của a*. Nếu A < 0 thì a được gọi là số gần đúng thừa của a . Lmi Thị Hồng Yên 3 K3 7A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Trên thực tế nhiều khi không biết a nên ta không tính được À. Do đó ta tìm cách ước lượng sai số đó bằng một số dương A a nào đó thỏa mãn: a -a \< A a (1.1). Ta gọi A a thỏa mãn điều kiện (1.1) là sai số tuyệt đối của số gần đúng a , từ ( 1.1) có: a —Aa < a < a + Aa (1.2) Rõ ràng A a là sai số tuyệt đối của a thì mọi số A > Aa đều có thế xem là sai số tuyệt đối của a . Vì vậy trong những điều kiện cụ thế người ta chọn A a là số dương bé nhất có thể thỏa mãn (1.2). Do đó, một số gần đúng a của số đúng a với sai số tuyệt đối A (l được viết đơn giản là: a* = ci±A a (1-3) Ví dụ 1.2 Xét số đúng a = \ Ị Ĩ và giá trị gần đúng của nó là a = 1,41. Hãy cho biết sai số tuyệt đối của nó. Bài giải Ta có (1,41)-= 1,9881 < 2 suy ra 1,41 0 (1,42)2 =2,0164 > 2 suy ra 1,42 > V ĩsu y ra 2 -1 ,4 2 m. Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn. • Dãy (*„) được gọi là dãy Cauchy nếu: \ /6 > 0,3^0 € N sao cho \/n,m > n{) ta có \xm —xn\< s. * Các điều kiện hội tụ Định lí 1.2.1 ( Điều kiện hội tụ của dãy đon điệu ) a) Nếu dãy (xn) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và limx;ỉ = sup xn n - > 00 n b) Nếu dãy (xn) giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và limx,? = inf xn n Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh phần a). Vì dãy tăng và bị chặn trên nên supxn < +00 n Đặt a = supx;ỉ. Khi đó > 0,3n0 e M sao cho: n a - £ 0 _^>n0 g(x0 +Ax) g(x 0) J Aằv— g (x 0) Vậy / ( * o) 0 g (x 0) liên tục tại x0. Do x0 bất kì nên ^ ( x ) liên tục trên D. c, Các hàm so lượng giác. • ỵ = sin X TXĐ: D = R Lấy JC0 là một điểm bất kì thuộc D . Cho x0một số gia A x , ta có : Lim Thị Hồng Yên 10 K3 7A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Ay = sin (JC0 + Ax) - sin (jt0) = 2 cos xn + Ax + Xr x0 + Ax - x0 .sin . Ax .sin—— 2 - 2cos x0 + Khi đó: lim Ày = lim 2.COS *0 + Ax— >0 Ax— >0 Ax .sin— = 2 cosxn .0 = 0 Ax ( vì Ax —» 0 n ê n ------ >0) 2 Vậy y = sinx liên tục tại JC0. Do JC0 bất kì nên y = sinx liên tục trên R. • ỵ = cosx TXĐ: D = R Lấy JC0 là một điểm bất kì thuộc D. Cho JC0một số gia Ax, ta có: Xn Ay = cos(x0 + A x )-co s(x 0) = - 2 sin + Ax + X .sin x0 + Ax - x0 V = -2 sin Ax . Áx .sin—2 Khi đó: lim Ay = - lim 2.sin Ax— >() Ar->0 XQ Ax ^ . Ax _ . .... H---- - .sin—- = 2.sinx0.0 = 0 AX (v ì Ax —>0 n ê n ------ >0) 2 Vậy hàm số J = cosx liên tục tại JC0. Do JC0 bất kì nên hàm số 3; = cosx liên tục trên R. Chứng minh tương tự đối với hàm tanx,cotx. Vậy ta có điều phải chứng minh. Định lí 1.3.3 Neu hàm số ỵ = f ( x ) liên tục trên [a,b] thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi giá trị trung bình giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn Lim Thị Hồng Yên 11 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Hệ quả. Neu hâm so f licn tuc txcn đocin Ị^ÍZ,Z?J V3. f ^ 0 thi tồn tại ít nhất một số c e (ứ ,ử ): / ( c ) = 0. Hay nói cách khác: Neu hàm số / ( j t ) liên tục trên [a,b] và < 0 thì phương trình / ( * ) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a,b). 1.4 Không gian metric + Không gian metric Định nghĩa 1.4.1 Ta gọi là không gian metric một tập họp X ^ 0 cùng với một ánh xạ d từ tích X X X vào tập họp số thực M. thỏa mãn các tiên đề sau đây: (1) ( V j c , v e l ) í / ( i , ) ’) > 0 , = 0x = (2) ( V x ,jg X ) d ( x , y ) = d ( y , x ) ; (3) ('Vx, y G X ) d (x,y) < d ( x , z ) + d ( z , y ) ; Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d (*,;y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử X va ỵ . Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề (1), (2), (3) gọi là hệ tiên đề metric. Không gian metric được kí hiệu là M = Ví dụ 1.4 X =M, d(x,yy.= \x —y\; (1.9) (1.9) xác định cho ta một metric trên M. và gọi là metric tự nhiên trên M. Không gian metric tương ứng được kí hiệu là R 1. Ví dụ 1.5 i=l / ( 1. 10) y = ( y p ) ’2- - y * ) s Mk ( 1.10) được gọi là một metric trên Rk và gọi là metric ơclit trên R k. Lưu Thị Hông Yên 12 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Không gian metric kí hiệu là R k. + Sự hội tụ trong không gian metric Định nghĩa 1.4.2 Cho không gian metric M = ( x ,d ) , dãy điêm (*#I)c: X , điếm i 0 ẽ I . Dãy điếm (jr;i) gọi là hội tụ tới điêm x0 trong không gian M khi —»00, nếu V£ > 0, 3n0 GN*, \/n >n0, d [ x n,xn ) < £ , kí hiệu: limxw= x0 hay xn —>x0 khi n —>00 Điểm JC0 còn gọi là giới hạn của dãy (*„) trong không gian M . Ví dụ 1.6 Sự hội tụ của một dãy điểm (jtn) trong không gian IR1là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học. Ví dụ 1.7 Sự hội tụ của một dãy điểm trong C ụ b-ị tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Ví dụ 1.8 Sự hội tụ của một dãy điếm trong không gian ơclit Mk tương đương với sự hội tụ theo tọa độ. Thật vậy, giả sử dãy điểm x ^ = j ( n = 1,2,...) hội tụ tới điểm x = (x{,x2,...,xk) trong Mk. Theo định nghĩa: \ /6 > 0, 3n0 e N*, \/n > n() Suy ra —Xj Vố* > 0, 3nữ e N \ Vm,n > n0, d (V",x nì < s. Lưu Thị Hông Yên 15 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tôt nghiệp hay là i=1 =>Ix rn —x" \< £ ; V m,n > n{); ỉ = 1,k . Suy ra với mỗi i E { 1 , 2 thì dãy là một dãy số thực thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số. Do đó dãy ( x ') hội tụ Vỉ = l,k . Đặt lim x"; i = ì,k; x:=(xị,x2,...,xk) => dãy (x") hội tụ theo tọa độ điểm đến X. Suy ra (x'!) hội tụ đến X trong R k. 1.5 Nguyên lí ánh xạ co 1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz Định nghĩa 1.5.1 Cho ( x , d }) và ( Y,d2) là các không gian metric trên trường K. Ánh xạ / : ( x , d }) —» (Y,d2) được gọi là ánh xạ liên tục Lipschitz nếu có một số L > 0 sao cho ¿/2( / ( x ) , / ( y ) ) < L d 1(x ,y ); \/x ,y& X. Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đắng thức trên gọi là hang so Lipschitz. Neu / là ánh xạ liên tục Lipschitz thì nó là ánh xạ liên tục. 1.5.2 Ánh xạ co Định nghĩa 1.5.2 Ánh xạ f từ không gian metric ( x , d ỵ ) vào không gian metric ( y ,dy) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số a e [0,1) sao cho: \ / x , ỵ e X ta đều có: d y ự ( x ) , f ( y Ỵ ) < a d ỵ ( x , y ) . Lim Thị Hồng Yên 16 K3 7A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Như vậy ánh xạ co là một trường họp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên nó là liên tục. 1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach Giả sử X là một không gian metric đủ và / : X —» X là một ánh xạ co của X vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x e l sao cho f ( x ) = x. Chứng minh Lấy Jt0 là một điểm tùy ý thuộc X và đặt: *»+1 = ỉp { x n ) với «=0,1,2,... =>(*„) là một dãy trong X. Vì / là ánh xạ co từ X vào chính nó nên Ba e [0,1) thỏa mãn: d ự (x]) , f ( x 0) ) < a d ( x ], x0) Do đó ta có: d ( x 2,xt ) = d ự ( x t ) , f ( x 0)) < a d (x,,x0) = a d ự ( x 0),x0) d ( x ỉ ,x2) = d ự ( x 2) , f ( x í)) < a d [ x 2, x ^ = a 2d ( f ( x 0),x0) d ) = d (/(* ,)> /(* „ -! )) ^ a d i X„’Xn->) ^ 00 Suy ra nlim d (x —>00 \ r ,x„)/ = 0; V p= 1,2,... Do đó (*„) là một dãy cơ bản trong không gian metric đủ ( x , d). > ( x ) hội tụ nên 3x00 0 < d Ị / ( x ) , x Ị < í / Ị / ( x ) , x nj + í/(x n,x) = đ [ f { x ) j { x „ _ S ) + d{x,~x) < a d [ x , x ll_^ + d [ x lì, x ^ ^ ừ , n —» co = > ế /Ị/Ịx ),x j = 0 fị^x^ = x e X . Vậy ;t là điêm bât động của f. • JC là duy nhất Giả sử X* G X sao cho / (V Ị = X* ta có: 0 < dỤ* ,x^ = d[^f < ad 0 < (l-ỡ r)ú ^ x * ,x )< 0 ;a e[0,l) => d o Lim Thị Hồng Yên —0 X* = x 18 K3 7A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Vậy Jt là điểm bất động duy nhất của / . Định lí 1.5.1 ( Nguyên lí Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dần ) Không gian metric M = ( x ,d) là không gian metric đầy khi và chỉ khi mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất. Chứng minh • Điều kiện cần Giả s ừ M = ( X , d ) là một không gian metric đầy và i s ì; Sn := Sn(ứ/;,r ), V/1 G M l à một dãy hình cầu đóng th ắ t d ầ n b ấ t k ì trong M. Ta có: Sm c= Sn ; Vm > n . =^>am c= Sn; Vm > n . =>000 m,n— >00 => (ữ;i) là một dãy cơ bản trong không gian đầy M . => (an) hội tụ. Đặt a - lim a . Ta chứng minh a là điểm chung duy nhất của n —>00 (í). Do am cz 5n, Vm > n , V/2, 5;ỉ là một tập đóng với mỗi n e N ta có: I a := lim m— »00 í> ứ G 5 ;ỉ; VrtẽM GO ^ a e f ì 5»/7=1 *Tính duy nhất Lini Thị Hồng Yên 19 K3 7A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 3C Giả sử b e Pl Sn, ta có a,b e Sn ; 0O thì 0 < d (a,b) < 0 => d (a,b) = 0 Suy ra a=b. • Điều kiện đủ Giả sử không gian metric M = ( x , d ) thỏa mãn tính chất: Một hình cầu đóng thắt dần bất kì đều có điểm chung duy nhất, ta chứng minh không gian này đầy. Lấy một dãy cơ bản bất kì (jtn) trong M , ta chứng minh dãy này hội tụ. Ta có V ^ > 0 , 3/7()eN*, \/n,m > n(), d [ x n,xm^ < s. Với \/£| = —, 3«J eN*, Vw,m>np d ( x n,xfn) < —. Với V£2 = — , B/ĩ2 gM , n2 >n], \/n ,m > n 2, d [ x n,xm)< — Lặp lại quá trình này vô hạn lần ta thu được dãy Lưu Thị Hồng Yên 20 ) là dãy con của dãy K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp S2 s 2 ’V o V SkrSk ^nk’ V 1 ì z y Ta chứng minh dãy trên là dãy hình cầu đóng thắt dần. Ta có Sk ;Vỉc= 1,2,... Thật vậy với mỗi /c e M* và e 5A+1 tùy ý. Ta có: ¿/(jc \ nk+l ,x nk /) ) < d (x,xnttí) + d (x„i(i ,x„k)XG s , => s A..-+Ic 5',k và lim— —- = 0 2*-l hay ^ là một dãy hình cầu đóng thắt dần. Theo giả thiết tồn tại và duy nhất 00 a € P l Sk . Theo chứng minh phần * th u ậ n ta có a = limX . * k —H O k Ta chứng minh linut = a . n —K C Thật vậy ta CÓ 0 < d ( x n, a ) < d ( x n,xn^ + d [ x n ,a\ (*); \ / n ,k e N . Do (x,) là dãy cơ bản lim d\x„,x„ 1= 0 và \imxn =a v nJ J n,k->ao V n nk ) k_x0; nk =>lim d(x„ ,a) = 0. V nk Ị Chuyển qua giới hạn trong (*) khi n , k —>co thì suy ra lim d (x ,a) = 0. / ỉ —»00 v Vậy (x/;) hội tụ đến a ( điều phải chứng minh ). Lưu Thị Hồng Yên 21 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1.5.4 Ví dụ Ví dụ 1.10 Khi đó / là một ánh xạ co trên [0,1] với hệ số CO a = —. Ví dụ 1.11 Cho T (x) = x + a \ X [l,+oo) f ( x ) =x +— X Giả sử / là ánh xạ co => / có điêm bất động duy nhất hay tồn tại duy nhất x0 ] Theo giả thiết b, ta có \(Ọ(c) < q < 1 Lưu Thị Hông Yên 27 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Từ (2.7) ta suy ra: \ 4 - x n\=\|í - ^ 0 (1# - x , \ + k - *„-11) < ^ { ì - q ) . \ ệ - x n\ 0. Chia bất đẳng thức (2.10) cho (l - cf) ta được: 1 ^ 1 - 7l 7- qĐịnh lí được chứng minh. Lưu Thị Hồng Yên 28 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2.1.2 Bậc hội tụ của dãy số Định nghĩa 2.1.1 Số a e R, a > 0 gọi là bậc hội tụ của dãy xn đến giới hạn Jt* nếu tồn tại hằng số c ^ 0 sao cho lim /7 — »00 x n+l ~ x =c X.. - X Từ đó ta có tốc độ hội tụ của phương pháp sử dụng nguyên lí ánh xạ co Banach là bậc 1 hay tốc độ hội tụ tuyến tính. Chứng minh Ta có ) - c X bậc hội tụ a = 1 xn có bậc hội tụ bằng a nếu lim n —>zo X n+ \ ~ x -X Định lí 2.1.2 Neu hàm f ( x ) liên tục trên M. Giả sử tồn tại 2 điểm a,b sao cho < 0 . Theo định lí Bolzano - Cauchy thì 3c e(a,b ) thỏa mãn /(c ) = 0 . Lim Thị Hồng Yên 29 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Sơ đồ khỏi của phép lặp đơn như sau: 2.1.3 Ví dụ Ví dụ 2.1 Bằng phương pháp lặp dơn, giải phương trình sau X 5 - X - 1 0 = 0 ; 77 = 6 Lưu Thị Hồng Yên 30 (2 . 11) K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Bài giải Đặt f ( x ) = x 5—JC—10; f ( x ) = 0 Ta có /(1 )= -1 0 ; / ( 2 ) = 20. Suy ra / ( l ) . / ( 2 ) < 0 nên [1,2] là khoảng tách nghiệm. Phương trình đã cho tương ứng với X = ĩfx + 10. Đặt ọ ( x ) = \Jx + 10. Ta kiểm tra điều kiện để 1. JC JC c’ [...]... trung tìm hiểu về ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt, trên cơ sở lí thuyết trên áp dụng vào giải một số bài tập cụ thể Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm các tài liệu [1], [2], [3] và [6J 2.1 Úng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt Cơ sở lí thuyết là ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số và siêu việt Ta... Cho n —>00 từ X M= Ajcn ta có X= A x /7 + 1 Điều phải chứng minh Lim Thị Hồng Yên 24 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tôt nghiệp CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o V À O G IẢ I P H Ư Ơ N G T R ÌN H Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học Nó dùng đế chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đại số và siêu việt, hệ phương trình tuyến tính, phương trình... phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Như vậy ánh xạ co là một trường họp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên nó là liên tục 1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach Giả sử X là một không gian metric đủ và / : X —» X là một ánh xạ co của X vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x e l sao cho f ( x ) = x Chứng minh Lấy Jt0 là một điểm tùy ý thuộc... qĐịnh lí được chứng minh Lưu Thị Hồng Yên 28 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2.1.2 Bậc hội tụ của dãy số Định nghĩa 2.1.1 Số a e R, a > 0 gọi là bậc hội tụ của dãy xn đến giới hạn Jt* nếu tồn tại hằng số c ^ 0 sao cho lim /7 — »00 x n+l ~ x =c X - X Từ đó ta có tốc độ hội tụ của phương pháp sử dụng nguyên lí ánh xạ co Banach là bậc 1 hay tốc độ hội tụ tuyến tính Chứng minh... Hồng Yên 21 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1.5.4 Ví dụ Ví dụ 1.10 Khi đó / là một ánh xạ co trên [0,1] với hệ số CO a = — Ví dụ 1.11 Cho T (x) = x + a \ X 0 sao... chứng minh) Vậy định lí được chứng minh Định lí 1.3.2 Các hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng Chứng minh Lưu Thị Hông Yên 9 K37Ả Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Định lí này sử dụng dấu hiệu đặc trung của hàm số liên tục để chứng minh a, f ( x ) = axx n + a2x n~ + + an TXĐ: D = R Lấy JC() là một điểm bất kì thuộc D Cho Jt0 một số. .. X Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đắng thức trên gọi là hang so Lipschitz Neu / là ánh xạ liên tục Lipschitz thì nó là ánh xạ liên tục 1.5.2 Ánh xạ co Định nghĩa 1.5.2 Ánh xạ f từ không gian metric ( x , d ỵ ) vào không gian metric ( y ,dy) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số a e [0,1) sao cho: \ / x , ỵ e X ta đều có: d y ự ( x ) , f ( y Ỵ ) < a d ỵ ( x , y ) Lim Thị Hồng Yên 16 K3 7A Sư phạm Toán. .. 1.2 Một số định lí về dãy số Định nghĩa 1.2.1 • Dãy (*„) được gọi là dãy hội tụ nếu nó có giới hạn hữu hạn Nói cách khác, khi đó limxw- a \ ứ e l n— Ta còn nói (x ) hội tụ về ứ • Dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ Như vậy, nếu dãy phân kỳ thì hoặc nó không có giới hạn, hoặc nó có giới hạn vô cùng • Dãy số (jtn) được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với \/n ta có xn ^ x„;, Dãy số tăng hoặc dãy số giảm... giảm được gọi chung là dãy đơn điệu • Dãy số (x,;) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho V« ta có JC < M Lmi Thị Hồng Yên 6 K3 7A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp • Dãy số (x„) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho V/2 ta có xn > m Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn • Dãy (*„) được gọi là dãy Cauchy nếu: \ /6 > ... Cấu trúc Khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: ứ ng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình Chưong 3: ứ ng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải số toán dãy Lưu Thị... mang tĩnh ứng dụng rộng rãi Nói đến lý thuyết điểm bất động không nhắc đến kết kinh điển nó, là: Nguyên lí ánh xạ co Banach Nguyên lí ánh xạ co có nhiều ứng dụng Toán học Nó dùng đê chứng minh... Ví d ụ 22 CHƯƠNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ c o VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 25 2.1 ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phương trình đại số siêu việt 25 2.1.1 Bài to n