Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 64 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======
LƢU THỊ HỒNG YÊN
ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO
VÀO DÃY SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH
HÀ NỘI, 2015
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận đƣợc
rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, nhờ đó
mà em đã tiếp thu đƣợc nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phƣơng pháp
học tập mới, bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán –
Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 – những ngƣời đã tận tình dạy dỗ em trong
bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Khuất Văn Ninh,
ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực
hiện đề tài nghiên cứu này.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên khóa luận này không tránh
khỏi những sai sót. Em rất mong nhận đƣợc sự giúp đỡ, góp ý phê bình của các
thầy cô và các bạn để khóa luận này đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Lưu Thị Hồng Yên
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của thầy giáo
Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình học tập,
nghiên cứu và thực hiện khóa luận.
Khi nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em có tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần: Tài liệu tham khảo.
Vì vậy em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên
cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Lƣu Thị Hồng Yên
Lưu Thị Hồng Yên
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................... 1
3. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................... 1
4. Cấu trúc ............................................................................................................. 2
NỘI DUNG ........................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 3
1.1 Sai số ............................................................................................................... 3
1.1.1 Số gần đúng .................................................................................................. 3
1.1.2 Sai số tuyệt đối ............................................................................................. 3
1.1.3 Sai số tƣơng đối ............................................................................................ 5
1.2 Một số định lí về dãy số .................................................................................. 6
1.3 Một số định lí về hàm số liên tục .................................................................... 9
1.4 Không gian metric ......................................................................................... 12
1.5 Nguyên lí ánh xạ co....................................................................................... 16
1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz ........................................................................... 16
1.5.2 Ánh xạ co .................................................................................................. 16
1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach ................................................................ 17
1.5.4 Ví dụ ........................................................................................................... 22
CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH ................................................................................................................. 25
2.1 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phƣơng trình đại số và siêu việt ..... 25
2.1.1 Bài toán ...................................................................................................... 25
2.1.2 Bậc hội tụ của dãy số ................................................................................ 29
2.1.3 Ví dụ ........................................................................................................... 30
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ .................................................................................... 49
Lưu Thị Hồng Yên
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
3.1 Phƣơng pháp lặp ............................................................................................ 49
3.1.1 Phƣơng pháp lặp để giải phƣơng trình đại số và siêu việt ......................... 49
3.1.2 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy số........... 50
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 59
Lưu Thị Hồng Yên
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ra đời vào cuối thế kỉ XVIII, Giải tích toán học có một vị trí quan trọng
trong chƣơng trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trƣờng
Đại học sƣ phạm và các trƣờng kĩ thuật. Đây là môn học hấp dẫn với các sinh
viên, khi giải quyết các bài toán ngƣời học gặp phải những tình huống , những
giả thiết phức tạp. Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về
toán học liên quan và kiến thức về phần mềm về lập trình tính toán.
Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện sớm trong Toán học giải tích. Lý
thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm – một môn học
cơ bản vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi. Nói đến lý
thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó
là: Nguyên lí ánh xạ co của Banach.
Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học. Nó dùng để
chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình đại số và siêu việt,
hệ phƣơng trình tuyến tính, phƣơng trình tích phân, phƣơng trình vi phân,…
Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “ Ứng dụng của
nguyên lí ánh xạ co vào dãy số ’’ nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm
phong phú thêm kiến thức của mình và ứng dụng trong giải toán ở THPT và đại
học.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Sự phát triển của Giải tích toán học nói riêng và của Toán học nói chung
đƣợc quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tính thực tiễn nhất định.
Nghiên cứu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào dãy số là mục đích chính
của khóa luận này.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận.
Lưu Thị Hồng Yên
1
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
+ Phƣơng pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.
4. Cấu trúc
Khóa luận bao gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chƣơng 2: Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phƣơng trình.
Chƣơng 3: Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy
số.
Lưu Thị Hồng Yên
2
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chƣơng này chúng ta sẽ trình bày về sai số, một số định lí về dãy số,
hàm số liên tục, không gian metric và nguyên lí ánh xạ co.
Tài liệu tham khảo của chƣơng này bao gồm các tài liệu: [1], [2], [4] và [5].
1.1 Sai số
1.1.1 Số gần đúng
Trong nhiều trƣờng hợp, ta không biết đƣợc giá trị đúng của các đại lƣợng
mà ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó.
Ta gọi a là số gần đúng của a nếu a không sai khác a nhiều.
Ví dụ 1.1
Theo tổng cục thống kê, đứng đầu một trong 5 tỉnh thành có sản lƣợng tôm
lớn nhất cả nƣớc năm 2014 là: Cà Mau là tỉnh có sản lƣợng tôm lớn nhất nƣớc
đạt hơn 116.000 tấn . Bạc Liêu giữ vị trí thứ hai với sản lƣợng 95.700 tấn. Ở vị
trí thứ ba là Sóc Trăng với sản lƣợng 67.312 tấn. Tiếp đến là Bến Tre có sản
lƣợng là 52.000 tấn và cuối cùng là Kiên Giang với 51.430 tấn.
Các số liệu trên là số gần đúng.
1.1.2 Sai số tuyệt đối
Giả sử a là số gần đúng của a . Giá trị a a phản ánh mức độ sai lệch
giữa a và a .
Ta gọi đại lƣợng : a a là sai số thực của a .
Nếu 0 thì a đƣợc gọi là số gần đúng thiếu của a .
Nếu 0 thì a đƣợc gọi là số gần đúng thừa của a .
Lưu Thị Hồng Yên
3
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Trên thực tế nhiều khi không biết a nên ta không tính đƣợc . Do đó ta
tìm cách ƣớc lƣợng sai số đó bằng một số dƣơng a nào đó thỏa mãn:
a a ≤ a
(1.1).
Ta gọi a thỏa mãn điều kiện (1.1) là sai số tuyệt đối của số gần đúng a ,
từ (1.1) có:
a a a a a
(1.2)
Rõ ràng a là sai số tuyệt đối của a thì mọi số a đều có thể xem là
sai số tuyệt đối của a . Vì vậy trong những điều kiện cụ thể ngƣời ta chọn a là
số dƣơng bé nhất có thể thỏa mãn (1.2). Do đó, một số gần đúng a của số đúng
a với sai số tuyệt đối a đƣợc viết đơn giản là:
a a a
(1.3)
Ví dụ 1.2
Xét số đúng a =
2 và giá trị gần đúng của nó là a = 1,41. Hãy cho biết
sai số tuyệt đối của nó.
Bài giải
Ta có (1,41)2 1,9881 2 suy ra 1,41 2 suy ra
2 1,41 0
(1,42)2 2,0164 2 suy ra 1,42 2 suy ra 2 1,42 0,01
Do đó: : a* a
2 1,41 0,01
Suy ra a = 0,01
Mặt khác 1,41 2 1,415 1,41 0,005
Do đó cũng có thể lấy sai số tuyệt đối của a là a = 0,005.
Lưu Thị Hồng Yên
4
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
1.1.3 Sai số tương đối
Cho số gần đúng a có số đúng a với sai số tuyệt đối a và giả sử a 0
Ta gọi sai số tƣơng đối của số gần đúng a là một số, kí hiệu a là tỉ số giữa sai
số tuyệt đối và a .
a
a
a*
(1.4)
Tuy nhiên vì số đúng a chƣa biết cho nên đại lƣợng a xác định bởi (1.4)
chỉ có ý nghĩa lí thuyết. Để đảm bảo tƣơng đối chính xác ngƣời ta thƣờng tính
toán a theo công thức sau ( điều kiện a 0 ):
a
Suy ra
a
a
(1.5)
a a . a
(1.6)
Các công thức (1.5) và (1.6) cho liên hệ giữa sai số tƣơng đối và sai số
tuyệt đối. Biết a thì (1.5) cho phép tính a , biết a thì (1.6) cho phép tính a .
Do (1.6) nên (1.3) cũng có thể viết a* a(1 a )
(1.7)
Ví dụ 1.3
Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta đƣợc a 10cm và b 1cm với
a b 0,01 . Khi đó ta có:
0,01
0,1%
10
0,01
b
1%
1
a
Suy ra : b 10 a
Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù a b . Nhƣ
vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tƣơng đối.
Lưu Thị Hồng Yên
5
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Nhận xét:
1. Sai số tuyệt đối cũng nhƣ sai số tƣơng đối của số gần đúng a của số
đúng a là không duy nhất.
Chẳng hạn, xem ví dụ 1.2 có a 2 , a 1,41 thì có thể lấy a 0,01
hoặc a 0,005 .
Từ đó ta có:
a
hoặc b
0,01
0,00792198582 0,792198582%
1,41
0,005
0,003546099291 0,3546099291%
1,41
2. Độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tƣơng đối.
3. Ngƣời ta thƣờng viết sai số tƣơng đối ở dạng phần trăm.
1.2 Một số định lí về dãy số
Định nghĩa 1.2.1
Dãy xn đƣợc gọi là dãy hội tụ nếu nó có giới hạn hữu hạn . Nói cách
khác, khi đó
lim xn a ; a ℝ
n
Ta còn nói xn hội tụ về a .
Dãy không hội tụ đƣợc gọi là dãy phân kỳ. Nhƣ vậy, nếu dãy phân kỳ thì
hoặc nó không có giới hạn, hoặc nó có giới hạn vô cùng.
Dãy số xn đƣợc gọi là dãy tăng (giảm) nếu với n ta có xn xn1
xn1 xn . Dãy số tăng hoặc dãy số giảm đƣợc gọi chung là dãy đơn điệu.
Dãy số xn đƣợc gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho n
ta có xn M .
Lưu Thị Hồng Yên
6
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Dãy số xn đƣợc gọi là bị chặn dƣới nếu tồn tại số thực m sao cho n
ta có xn m.
Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới đƣợc gọi là dãy bị chặn.
Dãy xn đƣợc gọi là dãy Cauchy nếu:
0, n0 ℕ sao cho n, m n0 ta có xm xn .
Các điều kiện hội tụ
Định lí 1.2.1 ( Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu )
a) Nếu dãy xn tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và
lim xn sup xn
n
n
b) Nếu dãy xn giảm và bị chặn dƣới thì nó hội tụ và
lim xn inf xn
n
n
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh phần a). Vì dãy xn tăng và bị chặn trên nên
sup xn
n
Đặt a sup xn . Khi đó 0, n0 ℕ sao cho:
n
a xn0 a
Lại vì dãy xn tăng nên xn xn0 , với n n0 và do đó
a xn0 xn a ; n n0
Vậy a xn , n n0 . Hay lim xn a (định lí đƣợc chứng minh).
n
Định lí 1.2.2 ( Điều kiện hội tụ của dãy bất kì )
Điều kiện cần và đủ để dãy xn hội tụ là dãy đó là dãy Cauchy.
Chứng minh
Điều kiện cần
Lưu Thị Hồng Yên
7
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Giả sử dãy xn hội tụ, tức là lim xn a . Thế thì,
n
với 0 cho trƣớc n0 ℕ sao cho xn a
xm a
2
2
với n n0 và
với m n0 . Từ đó suy ra rằng:
xn xm xn a a xm xn a a xm
2
2
với m, n n0
Tức là 0 , n0 ℕ, m, n n0 , xn xm .
Vậy xn là dãy Cauchy.
Điều kiện đủ
Trƣớc hết ta chú ý rằng xn bị chặn. Thật vậy, lấy cố định 0 thì theo
giả thiết n0 ℕ sao cho nếu n, m n0 thì xn xm .
hay xm xn xm
(1.8)
lấy cố định số n1 n0 , theo (1.8) ta có: xn1 xn xn1 với n n0
Điều đó chứng tỏ xn bị chặn.
Theo bổ đề Bolzano – Weierstrass, từ xn ta rút ra đƣợc một dãy con hội
tụ xnk sao cho lim xnk . Ta chứng minh rằng cũng chính là giới hạn của
k
xn .
Thật vậy, cho 0 nhỏ tùy ý, vì lim xnk nên n2 sao cho k n2 ta
k
xnk
có:
2
.
Mặt khác, theo giả thiết ta có thể chọn đƣợc số n3 sao cho với k n3 ta
xk xnk
có:
2
( với nk k ).
Do đó với k n0 max n2,n3 , ta sẽ có:
Lưu Thị Hồng Yên
8
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
xk xk xnk xnk
2
2
Vậy lim xn
n
1.3 Một số định lí về hàm số liên tục
Định lí 1.3.1
Nếu f ( x) và g ( x) liên tục tại x0 thì f ( x) g ( x) ; f ( x).g x ;
f ( x)
g ( x)
( với g ( x) 0 ) cũng liên tục tại x0 .
Chứng minh
Ta có, định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm thông qua giới hạn hàm số
nên ta có thể hoàn toàn chứng minh đƣợc định lí này. Đối với định lí về các
phép toán về giới hạn của hàm số áp dụng đƣợc khi các hàm số f ( x) và g ( x)
có giới hạn. Ta đi chứng minh cho một phép toán ( cộng ) trong định lí này còn
các phép toán khác chứng minh tƣơng tự.
Thật vậy:
Vì f ( x) và g ( x) liên tục tại x0 . Theo định nghĩa hàm số liên tục tại một
điểm ta có:
lim f ( x) f ( x0 ) và lim g ( x) g ( x0 )
x x0
x x0
Theo tính chất giới hạn hàm số ta có:
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) f ( x0 ) g ( x0 )
x x0
x x0
x x0
f ( x) g ( x) liên tục tại x0 (điều phải chứng minh).
Vậy định lí đƣợc chứng minh.
Định lí 1.3.2
Các hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm số lƣợng giác là liên tục trên tập xác
định của chúng.
Chứng minh
Lưu Thị Hồng Yên
9
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Định lí này sử dụng dấu hiệu đặc trƣng của hàm số liên tục để chứng minh.
a, f ( x) a1x n a2 x n1 ... an
TXĐ: D = ℝ
Lấy x0 là một điểm bất kì thuộc D. Cho x0 một số gia x ta có :
y f ( x0 x) f ( x0 )
n
n 1
= a1 x0 x a2 x0 x ... an - a1x0n a2 x0n1 ... an
= x . a1.g1 x a2 .g2 x ... an1
Suy ra : lim y lim x. a1g1 x a2 g 2 x ... an1 0
x0
x0
Theo tính chất đặc trƣng của hàm số liên tục thì
f x a1x n a2 x n1 ... an là liên tục tại x0 .
Do x0 là bất kì thuộc ℝ nên f x liên tục trên ℝ.
b, F x
f x
; g x 0.
g x
TXĐ: D ℝ \ x : g x 0
Lấy x0 là điểm bất kì thuộc D . Cho x0 một số gia x ta có :
y F x0 x F x0 =
f x0 x f x0
g x0 x g x0
f x0 x f x0 f x0 f x0
0
Khi đó: lim y lim
=
x0
x0 g x x
g
x
g
x
g
x
0
0
0
0
Vậy F x liên tục tại x0 . Do x0 bất kì nên F x liên tục trên D.
c, Các hàm số lượng giác.
y sin x
TXĐ: D = ℝ
Lấy x0 là một điểm bất kì thuộc D . Cho x0 một số gia x , ta có :
Lưu Thị Hồng Yên
10
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
x x x0
x0 x x0
y sin x0 x sin x0 = 2 cos 0
.sin
2
2
x
x
2cos x0
.sin
2
2
x
x
Khi đó: lim y lim 2.cos x0
= 2 cos x0 . 0 = 0
.sin
x0
x0
2
2
( vì x 0 nên
x
0)
2
Vậy y sin x liên tục tại x0 . Do x0 bất kì nên y sin x liên tục trên ℝ.
y cos x
TXĐ: D = ℝ
Lấy x0 là một điểm bất kì thuộc D. Cho x0 một số gia x , ta có:
x x x0
x0 x x0
y cos x0 x cos x0 2sin 0
.sin
2
2
x
x
2sin x0
.sin
2
2
x
x
Khi đó: lim y lim 2.sin x0
.sin
2.sin x0 .0 0
x0
x 0
2
2
( vì x 0 nên
x
0)
2
Vậy hàm số y cos x liên tục tại x0 . Do x0 bất kì nên hàm số y cos x
liên tục trên ℝ.
Chứng minh tƣơng tự đối với hàm tan x,cot x .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lí 1.3.3
Nếu hàm số y f x liên tục trên a, b thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất và mọi giá trị trung bình giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn
đó.
Lưu Thị Hồng Yên
11
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Hệ quả. Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn a, b và f a . f b 0 thì
tồn tại ít nhất một số c a, b : f c 0 .
Hay nói cách khác: Nếu hàm số f x liên tục trên a, b và
f a . f b 0 thì phƣơng trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trên a, b .
1.4 Không gian metric
+ Không gian metric
Định nghĩa 1.4.1
Ta gọi là không gian metric một tập hợp X cùng với một ánh xạ d từ
tích X X vào tập hợp số thực ℝ thỏa mãn các tiên đề sau đây:
(1) x, y X d x, y 0 , d x, y 0 x y ;
(2) x, y X d x, y d y, x ;
(3) x, y X d x, y d x, z d z, y ;
Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d x, y gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề (1), (2), (3) gọi
là hệ tiên đề metric.
Không gian metric đƣợc kí hiệu là M X , d .
Ví dụ 1.4
X ℝ, d x, y : x y ; x, y ℝ
(1.9)
(1.9) xác định cho ta một metric trên ℝ và gọi là metric tự nhiên trên ℝ.
Không gian metric tƣơng ứng đƣợc kí hiệu là ℝ1.
Ví dụ 1.5
1
2
2
X ℝk , d x, y xi yi ; x x1, x2 ,..., xk ,
i 1
k
y y1, y2 ,..., yk ℝk
(1.10)
(1.10) đƣợc gọi là một metric trên ℝk và gọi là metric Ơclit trên ℝk.
Lưu Thị Hồng Yên
12
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Không gian metric kí hiệu là ℝk.
+ Sự hội tụ trong không gian metric
Định nghĩa 1.4.2
Cho không gian metric M X , d , dãy điểm xn X , điểm x0 X .
Dãy điểm xn gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian M khi
n , nếu 0 , n0 ℕ* , n n0 , d xn , xn0 , kí hiệu:
lim xn x0 hay xn x0 khi n
n
Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy xn trong không gian M .
Ví dụ 1.6
Sự hội tụ của một dãy điểm xn trong không gian ℝ1 là sự hội tụ của dãy
số thực đã biết trong giải tích toán học.
Ví dụ 1.7
Sự hội tụ của một dãy điểm trong Ca ,b tƣơng đƣơng với sự hội tụ đều của
dãy hàm liên tục trên đoạn a, b.
Ví dụ 1.8
Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Ơclit ℝk tƣơng đƣơng với sự
hội tụ theo tọa độ.
Thật vậy, giả sử dãy điểm x n = x1 , x2 ,..., xk
n
n
n
n 1,2,... hội tụ tới
điểm x x1, x2 ,..., xk trong ℝk. Theo định nghĩa:
0 , n0 ℕ*, n n0
n
x x
d x ,x
k
n
j
j 1
Suy ra x j x j ; n n0 ; j 1,2,..., k
n
Lưu Thị Hồng Yên
13
j
2
.
(1.11)
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
hội
Các bất đẳng thức (1.11) chứng tỏ với j 1,2,..., k dãy số thực x j
n
tụ tới số thực x j khi n sự hội tụ đó đƣợc gọi là sự hội tụ theo tọa độ.
Ngƣợc lại, giả sử dãy điểm x n = x1 , x2 ,..., xk
n
n
n
n 1,2,... hội tụ theo
tọa độ tới điểm x x1, x2 ,..., xk theo định nghĩa:
0 (với mỗi j 1,2,..., k ) , n j ℕ*, n n j , xj x j
n
k
.
Đặt n0 max n1 , n2 ,..., nk , thì n n0 ta có:
xj x j
n
n
xj xj
k
2
xj xj
j 1
n
x
k
j 1
n
j
j 1,2,..., k
;
k
2
k
;
j 1,2,..., k
2
xj
2 ; n n0
2
; n n0
Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo metric Ơclit của không gian ℝk.
+ Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.4.3
Cho hai không gian metric M1 X , d1 , M 2 Y , d2 , ánh xạ f từ không
gian M 1 đến không gian M 2 . Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 X nếu
0 0 x X : d1 x, x0 , d2 f x , f x0 .
Định nghĩa 1.4.4
Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A X , nếu ánh xạ f liên tục tại mọi
điểm x A . Khi A X thì ánh xạ f gọi là liên tục.
Định nghĩa 1.4.5
Lưu Thị Hồng Yên
14
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Ánh xạ f đƣợc gọi là liên tục đều trên tập A X nếu:
0 0 x, x' A : d1 x, x' d2 f ( x), f ( x' ) .
Dễ dàng thấy, nếu ánh xạ f liên tục đều trên tập A X , thì ánh xạ f liên
tục trên tập A .
+ Không gian metric đầy
Định nghĩa 1.4.6
Cho không gian metric M X , d . Dãy điểm xn X gọi là dãy cơ bản
trong M nếu:
0 , n0 ℕ*, m, n n0 , d xm , xn .
Hay lim d xm , xn 0
m ,n
Dễ thấy mọi dãy điểm xn hội tụ trong M đều là dãy cơ bản, vì:
Giả sử xn hội tụ đến x0
0 , n0 ℕ*, m n0 , d xm , x0 .
2
Mặt khác d xm , xn d xm , x0 d x0 , xn < ; m, n n0 .
2 2
Vậy 0 , n0 ℕ*, m, n n0 , d xm , xn .
Định nghĩa 1.4.7
Không gian metric M X , d gọi là không gian đủ nếu mọi dãy cơ bản
trong không gian này đều hội tụ.
Ví dụ 1.9
X ℝk với metric Ơclit là không gian metric đầy.
Giả sử
x ℝk là một dãy cơ bản, x x , x ,..., x , x
n
n
n
1
n
2
n
k
n
ℝk ; n ℕ*
0 , n0 ℕ*, m, n n0 , d x m , x n .
Lưu Thị Hồng Yên
15
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
m
xi x
i 1
k
hay là
n 2
i
1
2
; m, n n0
xi m xi n 2
k
2
i 1
( xi m xi n )2 2
| xi m xi n | ; m, n n0 ; i 1, k .
Suy ra với mỗi i {1,2,..., k } thì dãy xin là một dãy số thực thỏa mãn tiêu
chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số. Do đó dãy xin hội tụ i 1, k .
Đặt lim xin ; i 1, k ; x : ( x1, x2 ,..., xk )
n
dãy ( x n ) hội tụ theo tọa độ điểm đến x.
Suy ra ( x n ) hội tụ đến x trong ℝk.
1.5 Nguyên lí ánh xạ co
1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz
Định nghĩa 1.5.1
Cho X , d1 và Y , d 2 là các không gian metric trên trƣờng K .
Ánh xạ f : X , d1 Y , d2 đƣợc gọi là ánh xạ liên tục Lipschitz nếu có một
số L 0 sao cho d2 f x , f y Ld1 x, y ; x, y X .
Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng số Lipschitz. Nếu
f là ánh xạ liên tục Lipschitz thì nó là ánh xạ liên tục.
1.5.2 Ánh xạ co
Định nghĩa 1.5.2
Ánh xạ f từ không gian metric X , d X vào không gian metric Y , dY
đƣợc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số 0,1 sao cho:
x, y X ta đều có: dY f x , f y d X x, y .
Lưu Thị Hồng Yên
16
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Nhƣ vậy ánh xạ co là một trƣờng hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển
nhiên nó là liên tục.
1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach
Giả sử X là một không gian metric đủ và f : X X là một ánh xạ co của
X vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một
điểm x X sao cho f ( x) x .
Chứng minh
Lấy x0 là một điểm tùy ý thuộc X và đặt:
xn1 xn với n 0,1,2,...
xn là một dãy trong X .
Vì f là ánh xạ co từ X vào chính nó nên 0,1 thỏa mãn:
d f x1 , f x0 d x1, x0
Do đó ta có:
d x2 , x1 d f x1 , f x0
d x1, x0
d f x0 , x0
d x3 , x2 d f x2 , f x1
d x2 , x1
2d f x0 , x0
……………………………………………
d xn1, xn d f xn , f xn1 d xn , xn1 nd f x0 , x0
Khi đó p 1,2,...
d xn p , xn d xn p , xn p1 d xn p1, xn p2 ... d xn1, xn
Lưu Thị Hồng Yên
17
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
n p1 n p2 ... n d f ( x0 ), x0
n 1 ... p1 d f x0 , x0
1 p
d f x0 , x0
= .
1
n
n
d f x0 , x0
1
Vì 0,1 nên lim n 0 .
n
Suy ra lim d xn p , xn 0 ; p = 1,2,…
n
Do đó xn là một dãy cơ bản trong không gian metric đủ X , d .
xn hội tụ nên x X : lim xn x . Do đó:
n
d f x , f x d x , x
0 d f x , x d f x , xn d xn , x
n 1
n
d x, xn1 d xn , x 0; n
d f x ,x 0 f x x X.
Vậy x là điểm bất động của f .
x là duy nhất
Giả sử x* X sao cho f x* x* ta có:
0 d x* , x d f x* , f x d x* , x
0 1 d x* , x 0; [0,1)
d x* , x 0
x* x
Lưu Thị Hồng Yên
18
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Vậy x là điểm bất động duy nhất của f .
Định lí 1.5.1 ( Nguyên lí Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dần )
Không gian metric M X , d là không gian metric đầy khi và chỉ khi mọi
dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất.
Chứng minh
Điều kiện cần
Giả sử M X , d là một không gian metric đầy và Sn ; Sn : Sn an , rn ,
n ℕ là một dãy hình cầu đóng thắt dần bất kì trong M .
Ta có:
Sm Sn ; m n .
am Sn ; m n .
0 d am , an rn ; m n .
Do lim rn 0 suy ra lim d am , an 0.
m ,n
n
an là một dãy cơ bản trong không gian đầy M .
an hội tụ. Đặt a lim an . Ta chứng minh a là điểm chung duy nhất của
n
S .
n
Do am Sn , m n , n , S n là một tập đóng với mỗi nℕ ta có:
a : lim am
m
am Sn ; m n
a Sn ; n ℕ
a
Sn .
n 1
*Tính duy nhất
Lưu Thị Hồng Yên
19
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Giả sử b
Khóa luận tốt nghiệp
Sn , ta có a, b Sn ; n ℕ
n 1
0 d a, b d a, an d an , b 2r ; n ℕ
Chọn n thì 0 d a, b 0 d a, b 0
Suy ra a b.
Điều kiện đủ
Giả sử không gian metric M X , d thỏa mãn tính chất: Một hình cầu
đóng thắt dần bất kì đều có điểm chung duy nhất, ta chứng minh không gian này
đầy.
Lấy một dãy cơ bản bất kì xn trong M , ta chứng minh dãy này hội tụ.
Ta có 0 , n0 ℕ*, n, m n0 , d xn , xm .
1
1
Với 1 , n1 ℕ*, n, m n1 , d xn , xm .
2
2
Với 2
1
1
, n2 ℕ*, n2 n1 , n, m n2 , d xn , xm 2
2
2
2
1
d xn2 , xn1 .
2
Với 3
1
1
, n3 ℕ*, n3 n2 , n, m n3 , d xn , xm 3
3
2
2
d xn3 , xn2
1
.
22
Lặp lại quá trình này vô hạn lần ta thu đƣợc dãy xnk là dãy con của dãy
xn
thỏa mãn: d xnk 1 , xnk
1
; k 1,2,...
2k
Lập một dãy hình cầu đóng:
S1 : S1 xn1 ,1
Lưu Thị Hồng Yên
20
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
1
S2 : S2 xn2 ,
2
……………………………………..
1
Sk : Sk xnk , k 1
2
……………………………………..
Ta chứng minh dãy trên là dãy hình cầu đóng thắt dần. Ta có
Sk 1 Sk ; k 1,2,...
Thật vậy với mỗi k ℕ* và x Sk 1 tùy ý. Ta có:
d x, xnk 1
1
2k
d xnk 1 , xnk
1
( theo cách xác định ).
2k
d x, xnk d x, xnk 1 d xnk 1 , xnk
1
1
1
k k 1
k
2
2
2
1
0
k 2k 1
x Sk Sk 1 Sk và lim
hay S k là một dãy hình cầu đóng thắt dần. Theo giả thiết tồn tại và duy nhất
a
k 1
Sk . Theo chứng minh phần thuận ta có a lim xnk .
k
Ta chứng minh lim xn a .
n
Thật vậy ta có 0 d xn , a d xn , xnk d xnk , a (*); n, k ℕ.
Do xn là dãy cơ bản lim d xn , xnk 0 và lim xnk a
n ,k
k
lim d xnk , a 0.
k
Chuyển qua giới hạn trong (*) khi n, k thì suy ra lim d xn , a 0 .
n
Vậy xn hội tụ đến a ( điều phải chứng minh ).
Lưu Thị Hồng Yên
21
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
1.5.4 Ví dụ
Ví dụ 1.10
f : 0,1 ℝ
x
1
f x x
3
1
Khi đó f là một ánh xạ co trên 0,1 với hệ số co .
3
Ví dụ 1.11
Cho T x x ; x ℝ và là một phần tử cố định thuộc ℝ. Khi đó f
không là ánh xạ co.
Ví dụ 1.12
Cho ánh xạ f ánh xạ nửa đoạn vào chính nó xác định bằng công thức:
1
f x x ; x 1,
x
f có phải là ánh xạ co hay không?
f có điểm bất động hay không? Vì sao?
Bài giải
Ta có [1, +) là tập con đóng của ℝ với metric d x, y x y .
Do đó 1, cùng với metric trên lập thành một không gian metric đầy.
Xét ánh xạ f : 1, 1,
x
f x x
1
x
Giả sử f là ánh xạ co f có điểm bất động duy nhất hay tồn tại duy nhất
x0 1, sao cho f x0 x0
x0
Lưu Thị Hồng Yên
1
x0
x0
22
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
1
0 (vô lí)
x0
Vậy f không có điểm bất động. Do đó f không là ánh xạ co.
Nguyên lí ánh xạ co trong không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian định chuẩn . Ta xác định một metric trên X theo
công thức:
d x, y x y ; x, y X
Nguyên lí ánh xạ co Banach đƣợc phát biểu trong không gian định chuẩn
nhƣ sau:
Giả sử M là tập đóng, khác rỗng trong không gian Banach X trên trƣờng
K và toán tử A : M M thỏa mãn:
Ax Ay k x y
(*)
x, y M , k cố định , k 0,1 . Khi đó các kết quả sau là đúng:
(i) Tồn tại và duy nhất nghiệm x của phƣơng trình x Ax.
(**)
(ii) Với mỗi x0 M đã cho, dãy ( xn ) tạo bởi xn1 Axn n 0,1,2,... hội tụ
đến nghiệm duy nhất x của phƣơng trình (**).
Ta chứng minh (ii)
Trƣớc hết, ta chỉ ra rằng ( xn ) là một dãy Cauchy.
Thật vậy, với mỗi n 0,1,2,... sử dụng (*) ta có:
xn1 xn Axn Axn1 k xn xn1 k Axn1 Axn2
k 2 xn1 xn2 ... k n x1 x0
Với n 1,2,... và m 1,2,... từ bất đẳng thức tam giác ta có:
xn xnm xn xn1 xn1 xn2 ... xnm1 xnm
xn xn1 xn1 xn2 ... xnm1 xnm
k n k n1 ... k nm1 x1 x0
Lưu Thị Hồng Yên
23
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
= k n 1 k k 2 ... k m1 x1 x0
k n.
1
x1 x0
1 k
Vì k 0,1 nên lim k n 0 .
n
Vậy dãy xn là dãy Cauchy, do X là không gian Banach nên dãy xn
hội tụ tới một phần tử x X hay xn x khi n
Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn X là nghiệm của phƣơng trình xn1 Axn .
Từ x0 M , x1 Ax0 , A M M và x1 M , bằng quy nạp ta đƣợc
xn1 Axn và xn M ; n 0,1,2,...
Vì M đóng nên xn M Ax M .
Từ (*) ta có:
Axn Ax k xn x 0 khi n
Cho n từ xn1 Axn ta có x Ax .
Điều phải chứng minh.
Lưu Thị Hồng Yên
24
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO
VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học. Nó dùng để
chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình đại số và siêu việt,
hệ phƣơng trình tuyến tính, phƣơng trình tích phân, phƣơng trình vi phân,…
Trong chƣơng này, chúng ta tập trung tìm hiểu về ứng dụng của nguyên lí
ánh xạ co vào giải phƣơng trình đại số và siêu việt, trên cơ sở lí thuyết trên áp
dụng vào giải một số bài tập cụ thể.
Tài liệu tham khảo của chƣơng này bao gồm các tài liệu [1], [2], [3] và [6].
2.1 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phƣơng trình đại số và siêu việt
Cơ sở lí thuyết là ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phƣơng trình đại
số và siêu việt.
Ta quan niệm nghiệm chính xác đƣợc hiểu là nghiệm giải trên máy tính.
2.1.1 Bài toán
Xét phƣơng trình f x 0
(2.1)
Trong đó f là hàm một biến ℝ ℝ
Nghiệm của phƣơng trình (2.1) là số thực thỏa mãn (2.1). Tức là khi thay
vào x ở vết trái ta đƣợc f 0
(2.2)
Phƣơng trình (2.1) trừ một số trƣờng hợp đặc biệt có công thức giải đúng,
nói chung rất phức tạp. Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng. Thông thƣờng quá
trình giải phƣơng trình (2.1) bao gồm 2 bƣớc:
+ Bƣớc giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm một khoảng đủ bé chứa nghiệm
của f ( x) .
+ Bƣớc giải hiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết .
Lưu Thị Hồng Yên
25
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Để giải gần đúng phƣơng trình (2.1) ta sử dụng phƣơng pháp lặp đơn mà
bản chất của phƣơng pháp này là vận dụng nguyên lí ánh xạ co của Banach.
+ Mô tả phƣơng pháp
Xét phƣơng trình (2.1) với giả thiết nó có khoảng tách nghiệm là a, b .
Trƣớc hết ta chuyển phƣơng trình (2.1) về dạng phƣơng trình tƣơng đƣơng với
nó có dạng:
x ( x)
(2.3)
Sau đó chọn một số x0 a, b làm xấp xỉ đầu tiên và tính dãy số xn theo
quy tắc:
xn xn1 ; n 1,2,...
(2.4)
Quá trình này có tính lặp đi lặp lại nên phƣơng pháp ở đây gọi là phƣơng
pháp lặp, hàm ở đây gọi là hàm lặp.
+ Sự hội tụ
Định lí 2.1.1 Giả sử C[1a ,b ] sao cho
a, x a, b thì x a, b,
b, x a, b thì ' x q 1.
Khi đó
i, Phƣơng trình (2.1) có nghiệm duy nhất trên a, b.
ii, Phép lặp (2.4) hội tụ, hơn nữa ta có ƣớc lƣợng
xn
hoặc
q
xn xn1 ,
1 q
qn
xn
x1 x0 .
1 q
Chứng minh
i, Đặt X a, b , d x, y x y
Lưu Thị Hồng Yên
26
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Do ℝ (, ) là không gian metric đầy, a, b là tập đóng trong ℝ nên
a, b là một không gian metric đầy.
Xét hàm xác định trên a, b . Theo điều kiện a,
( x) a, b nên a, b a, b .
Do đó hàm ánh xạ không gian metric đầy X a, b vào chính nó.
d x , y x y
= ' c . x y
= ' c . x y
q. x y
= q.d x, y
d x , y q.d x, y
Và theo nguyên lí ánh xạ co thì tồn tại một điểm bất động của hàm , kí
hiệu là thì:
(2.5)
Nên là một nghiệm của phƣơng trình (2.1)
ii,
xn xn1 ; n 1,2,...
Trừ từng vế của (2.5) cho (2.4) ta đƣợc:
xn = xn1
(2.6)
Áp dụng công thức Lagrange ta có
xn = ' c . xn1
(2.7)
Với c a xn1 a, b
Theo giả thiết b, ta có ' c q 1
Lưu Thị Hồng Yên
27
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Từ (2.7) ta suy ra:
xn = ' c . xn1 q xn1
Vậy có
xn q xn1 ; n 1,2,...
Do đó
xn q xn1
(2.8)
xn1 q xn2
…………………………..
x2 q x1
x1 q x0
Nhân vế với vế của các bất đẳng thức này, ta đƣợc:
xn q n x0 .
(2.9)
Vì x0 và đã xác định, q n 0 khi n
Do 0 q 1 nên vế phải (2.9) dần tới 0; và ta có:
xn 0 khi n
Vậy phép lặp (2.4) hội tụ và từ công thức (2.8) ta có:
xn = q xn xn xn1
xn q xn xn xn1
(1 q). xn q xn xn1
(2.10)
Vì 1 q 0 . Chia bất đẳng thức (2.10) cho 1 q ta đƣợc:
xn
q
. xn xn1
1 q
Định lí đƣợc chứng minh.
Lưu Thị Hồng Yên
28
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
2.1.2 Bậc hội tụ của dãy số
Định nghĩa 2.1.1
Số ℝ, 0 gọi là bậc hội tụ của dãy xn đến giới hạn x* nếu tồn tại
hằng số c 0 sao cho
lim
n
xn1 x*
xn x
c
*
Từ đó ta có tốc độ hội tụ của phƣơng pháp sử dụng nguyên lí ánh xạ co
Banach là bậc 1 hay tốc độ hội tụ tuyến tính.
Chứng minh
Ta có xn1 x* xn x* ' c . xn x* ; xn c x*
xn1 x*
Suy ra
xn x
*
' c .
Khi n thì xn x* c x*
Do đó lim
n
xn1 x*
xn x
*
' x* .
bậc hội tụ 1
xn có bậc hội tụ bằng nếu lim
n
xn1 x*
xn x*
c 0.
Định lí 2.1.2
Nếu hàm f x liên tục trên ℝ. Giả sử tồn tại 2 điểm a, b sao cho
f a . f b 0 . Theo định lí Bolzano - Cauchy thì c a, b thỏa mãn
f c 0 .
Lưu Thị Hồng Yên
29
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Sơ đồ khối của phép lặp đơn như sau:
Interation
Input
no
yes
Print
End
2.1.3 Ví dụ
Ví dụ 2.1
Bằng phƣơng pháp lặp đơn, giải phƣơng trình sau
x5 x 10 0 ; n 6
Lưu Thị Hồng Yên
30
(2.11)
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Bài giải
Đặt f x x5 x 10 ; f x 0
Ta có f 1 = -10; f 2 = 20.
Suy ra f 1 . f 2 < 0 nên [1,2] là khoảng tách nghiệm.
Phƣơng trình đã cho tƣơng ứng với x 5 x 10.
Đặt x 5 x 10 . Ta kiểm tra điều kiện để là ánh xạ co.
1
' x
5
5
x 10
4
1
5
5
2 10
4
0,0274 1 ; x [1,2]
Suy ra ' x q 1, ( q = 0,0274 ) với x [1,2].
Mặt khác, với x [1,2] thì 1 x 2 nên [1,2] [1,2].
Do đó là ánh xạ co nên x sao cho là nghiệm của phƣơng
trình đã cho. Khi đó ta có công thức lặp sau:
xn1 5 xn 10 ; n 1,2,... ; x [1,2]
Chọn x0 = 1 ta có
x1 x0 1,615394266
x2 x1 1,633077485
x3 x2 1,63357442
x4 x3 1,633588376
x5 x4 1,633588768
x6 x5 1,633588779
Vậy nghiệm của phƣơng trình (2.11) là x* x6 1,633588779
Trong Maple ta dùng câu lệnh sau để giải phƣơng trình (2.11)
[> fsolve(x^5-x-10,{x});
Kết quả:
Lưu Thị Hồng Yên
31
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
{x = 1.633588779}
Phác họa đồ thị hàm số:
[> plot(x^5-x-10,x=-2..2);
Bảng đánh giá sai số:
n
0
1
2
xn
1
1,615394266
1,633077485
x*
1,633588779
1,633588779
1,633588779
n xn x*
0.633588779
0,018194513
0.000511294
Lưu Thị Hồng Yên
32
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
3
4
5
6
1,63357442
1,633588376
1,633588768
1,633588779
1,633588779
1,633588779
1,633588779
1,633588779
0,000014359
0,000000403
0,000000011
0,00000000
Ví dụ 2.2
Giải phƣơng trình sau bằng phƣơng pháp lặp đơn
x3 2 x 100 0; n 6
(2.12)
Bài giải
Đặt f x x3 2 x 100
Có f 4 = -28 ; f 5 = 35
f 4 . f 5 < 0 phƣơng trình (2.12) có một nghiệm 4,5 .
Ta chọn a, b 4,5
Có 3 cách đƣa phƣơng trình (2.12) về dạng phƣơng trình (2.3)
x3
a, x 1 x ,1 x 50 ; x [4,5].
2
b, x 2 x ,2 x
100 2
; x [4,5].
x2 x
c, x 3 x ,3 x 3 100 2 x ; x [4,5].
Ta lần lƣợt kiểm tra 2 điều kiện là ánh xạ co. Ta có :
3x 2
; max 1' x 37,5 1.
a, x
2 x[4,5]
'
1
b, 2' x
c, 3' x
200 2
2 ; 2' 5 1,52 1.
3
x
x
2
3. 3 100 2 x
Lưu Thị Hồng Yên
2
;
33
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
3' x
Khóa luận tốt nghiệp
2
3. 100 2 x
3
2
2
3. 100 2.5
3
2
0,0033 1; x [4,5].
Suy ra | 3' x | q 1,(q 0,0033) với x [4,5].
Mặt khác: x [4,5] thì 4 3 x 5 nên suy ra 3 4,5 4,5 .
Do đó 3 là ánh xạ co nên tồn tại điểm x = sao cho 3 là nghiệm
của phƣơng trình (2.12). Dãy xn đƣợc xác định nhƣ sau:
xn1 3 100 2 xn ; n 0,1,2,... ; x [4,5].
Chọn x0 = 5, theo công thức lặp trên ta có:
x1 3 x0 4,481404747
x2 3 x1 4,498554112
x3 3 x2 4,49798909
x4 3 x3 4,498007008
x5 3 x4 4,498007094
x6 3 x5 4,498007114
Vậy nghiệm của phƣơng trình (2.12) là x* x6 4,498007114
Trong Maple ta dùng câu lệnh sau để giải phƣơng trình (2.12)
[> fsolve(x^3+2*x-100,{x});
Kết quả:
{x = 4.498007114}
Phác họa đồ thị hàm số:
[> plot(x^3+2*x-100,x=-8..10);
Lưu Thị Hồng Yên
34
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Bảng đánh giá sai số:
n
0
1
2
xn
5
4,481404747
4,498554112
x*
4,498007114
4,498007114
4,498007114
n xn x*
0,501992886
0,016602367
0,000546998
3
4
5
6
4,49798909
4,498007008
4,498007094
4,498007114
4,498007114
4,498007114
4,498007114
4,498007114
0,000018024
0,000000106
0,00000002
0,000000000
Lưu Thị Hồng Yên
35
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 2.3
Bằng phƣơng pháp lặp đơn giải phƣơng trình sau ( n = 8 ).
sin x cos x 4 x 0
(2.13)
Bài giải
Đặt f x = sin x cos x 4 x
Ta có f 0 = 1; f = -5,283185307
2
f 0 . f < 0.
2
Vậy khoảng tách nghiệm của phƣơng trình là 0, .
2
Bằng phƣơng pháp lặp giải phƣơng trình
sin x cos x 4 x 0 x
Đặt x =
Chọn x0
sin x cos x
4
sin x cos x
4
2
ta có :
x1 x0 0,25
x2 x1 0,304079095
x3 x2 0,313384433
x4 x3 0,314893915
x5 x4 0,315136211
x6 x5 0,315175036
x7 x6 0,315181256
x8 x7 0,315182252
Vậy nghiệm của phƣơng trình là x* x8 0,315182252
Lưu Thị Hồng Yên
36
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Trong Maple ta dùng câu lệnh sau để giải phƣơng trình (2.13)
[> fsolve(sin(x)+cos(x)-4*x,{x});
Kết quả:
{x = 0.3151824428}
Phác họa đồ thị hàm số:
[> plot(sin(x)+cos(x)-4*x,x=-2..2);
Bảng đánh giá sai số:
n
0
1
2
xn
2
0,25
0,304079095
x*
0,3151824428 0,3151824428
0,3151824428
n xn x*
1,255613884
0,011103347
Lưu Thị Hồng Yên
0,065182442
37
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
3
4
5
0,313384433
0,314893915
0,315136211
0,3151824428
0,3151824428
0,3151824428
0,0017980098
0,0002885278
0,0000462318
6
7
8
0,315175036
0,315181256
0,315182252
0,3151824428
0,3151824428
0,3151824428
0,0000074068
0,0000011868
0,0000001908
Ví dụ 2.4
Giải phƣơng trình x3 3x2 1 0
(2.14)
Bài giải
Đặt f x x3 3x 2 1; f x 0
Ta tìm các khoảng tách nghiệm.
Ta có f 1 3 ; f 0 1; f 1 1; f 2 3 ; f 3 1 .
Vì:
f 1 . f 0 < 0
f 0 . f 1 < 0
f 2 . f 3 < 0
Vậy phƣơng trình (2.14) có 3 nghiệm tƣơng ứng thuộc các khoảng (-1,0),
(0,1) và (2,3).
Trường hợp 1:
Ta có
x3 3x 2 1 0
x 2 x 3 1 0
Lưu Thị Hồng Yên
38
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
x
Khóa luận tốt nghiệp
1
; x 1,0 .
3 x
Phƣơng trình trở thành
x x
1
.
3 x
1
Ta có x : 1,0 1,0 và ' x
2
3 x
3
1
: q 1 ,
2 27
x 1,0 .
Do đó phƣơng trình có nghiệm 1,0 .
Chọn xấp xỉ ban đầu x0 1 .
Theo phƣơng pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp đƣợc xây dựng nhƣ sau:
xn1 xn
1
; n 0.
3 xn
Khi đó:
x1 x0 0,5 .
x2 x1 0,534522483
x3 x2 0,531905677
x4 x3 0,532102686
x5 x4 0,53208746
x6 x5 0,532088964
x7 x6 0,53208888
Ta có x7 0,532088886 x7 .
Vậy nghiệm xấp xỉ của phƣơng trình là x* 0,53208888
Trường hợp 2:
Ta có
Lưu Thị Hồng Yên
x3 3x 2 1 0
39
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
x 2 x 3 1 0
x
1
; x 0,1 .
3 x
Phƣơng trình trở thành
x x
1
.
3 x
1
Ta có x : 0,1 0,1 và ' x
2
3 x
3
1
4 2
: q 1 ;
x 0,1 .
Do đó phƣơng trình có nghiệm 0,1 .
Chọn xấp xỉ ban đầu x0 1 .
Theo phƣơng pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp đƣợc xây dựng nhƣ sau:
xn1 xn
1
; n 0.
3 xn
x1 x0
1
0,707106781 .
2
Khi đó:
x2 x1 0,660401551
x3 x2 0,653776548
x4 x3 0,652852864
x5 x4 0,652724392
x6 x5 0,652706529
Ta có x6 0,652704045 x6 .
Vậy nghiệm xấp xỉ của phƣơng trình là x* 0,652706529
Lưu Thị Hồng Yên
40
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Trường hợp 3:
Ta có
x3 3x 2 1 0
x 2 x 3 1 0
x 3
1
; x 2,3 .
x2
Phƣơng trình trở thành
x x 3
1
.
x2
Ta có x : 2,3 2,3 và ' x
2 1
: q 1 ; x 2,3 .
x3 4
Do đó phƣơng trình có nghiệm 2,3 .
Chọn xấp xỉ ban đầu x0 3 .
Theo phƣơng pháp lặp, dãy xấp xỉ liên tiếp đƣợc xây dựng nhƣ sau:
xn1 xn 3
1
; n 0.
xn2
Khi đó:
x1 x0 2,888888889 .
x2 x1 2,880177515
x3 x2 2,879451589
x4 x3 2,8793908
x5 x4 2,879385707
x6 x5 2,879385281
x7 x6 2,879385245
Ta có x7 2,879385242 x7 .
Vậy nghiệm xấp xỉ của phƣơng trình là x* 2,879385245
Trong Maple ta dùng câu lệnh sau để giải phƣơng trình (2.14)
Lưu Thị Hồng Yên
41
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
[> fsolve(x^3-3*x^2+1,{x});
Kết quả:
{x = -0.5320888862}, {x = 0.6527036447}, {x = 2.879385242}
Phác họa đồ thị hàm số:
[> plot(x^3-3*x^2+1,x=-2..4);
Bảng đánh giá sai số:
Trường hợp 1:
n
0
1
2
xn
1
0,707106781
0,660401551
x*
0,6527036447 0,6527036447
0,6527036447
n xn x*
0,3472966355 0,054403136
0,0076979063
Lưu Thị Hồng Yên
42
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
3
4
5
6
0,653776548
0,652852864
0,652724392
0,652706529
0,6527036447
0,6527036447 0,6527036447
0,6527036447
0,0010729033
0,0001492193 0,0000207473
0,0000028843
n
0
1
2
xn
-1
0,5
0,534522483
x*
-0,5320888862 -0,5320888862 -0,5320888862
n xn x*
0,467911113
Trường hợp 2:
0,032088886
0,002433597
3
4
5
0,531905677
0,532102686
0,53208746
-0,5320888862
-0,5320888862
-0,5320888862
0,0001832092
0,0000137998
0,0000014262
6
7
0,532088964
0,53208888
-0,5320888862
-0,5320888862
0,0000000778
0,0000000062
Lưu Thị Hồng Yên
43
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Trường hợp 3:
n
0
1
2
xn
3
2,888888889
2,880177515
x*
2,879385242
2,879385242
2,879385242
n xn x*
0,120614758
0,009503638
0,000792273
3
4
5
2,879451589
2,8793908
2,879385707
2,879385242
2,879385242
2,879385242
0,000066347
0,000052276
0,000000465
6
7
2,879385281
2,879385245
2,879385242
2,879385242
0,000000039
0,000000003
Ví dụ 2.5
Dùng phƣơng pháp lặp đơn giải phƣơng trình sau với độ chính xác 104
x2 e x 10 0
(2.15)
Bài giải
Đặt f x x 2 e x 10
Có f 2 14 e2 > 0 và f 3 19 e3 < 0.
Suy ra f 2 . f 3 0 nên [2,3] là khoảng tách nghiệm.
Có các cách đƣa phƣơng trình về dạng x x nhƣ sau:
Lưu Thị Hồng Yên
44
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
1
2
i, x 1 x e 10 ; x 2,3
x
e x 10
ii, x 2 x
; x 2,3
x
iii, x 3 x ln x 2 10 ; x 2,3
Ta lần lƣợt kiểm tra 2 điều kiện là ánh xạ co. Ta có :
i, 1' ( x)
1 x
1
e 10 e x ; | 1' 3 | e3 10 e3 101 1.
2
2
3 1 e3 10
xe x e x 10
'
; 2 3
ii, ( x)
1.
x
3
'
2
iii, 3' ( x)
2x
2x
2.3
6
'
;
|
(
x
)
|
q 1 ; x 2,3
3
x2 1
x 2 10 32 10 19
6
Suy ra | 3' ( x) | q 1 ; q với x 2,3.
19
Mặt khác: x 2,3 thì 2 3 ( x) 3 nên suy ra 3 2,3 2,3.
Do đó 3 là ánh xạ co nên tồn tại điểm x = sao cho 3 ( ) là nghiệm
của phƣơng trình trên. Dãy ( xn ) đƣợc xác định nhƣ sau:
xn1 3 xn ln xn2 10 , n 0,1,2,... ; x 2,3
Chọn x0 = 2, theo công thức lặp trên ta có:
x1 3 ( x0 ) ln 22 10 2,63905733
Vậy ta có x0 2 , q
6
, x1 x0 0,6391
19
Bây giờ ta sẽ tìm số bƣớc lặp để đạt tới độ chính xác 104 .
qn
Ta có công thức đánh giá sai số: xn
x1 x0
1 q
Giải bất đẳng thức:
Lưu Thị Hồng Yên
45
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
n
qn
6 0,6391
x1 x0 .
104 n 8
6
1 q
19 1
19
Do đó ta có:
x1 3 ( x0 ) ln 22 10 2,63905733
x2 3 ( x1 ) 2,831130211
x3 3 ( x2 ) 2,891221301
x4 3 ( x3 ) 2,910128666
x5 3 ( x4 ) 2,916085467
x6 3 ( x5 ) 2,917962846
x7 3 ( x6 ) 2,918554596
x8 3 ( x7 ) 2,918741122
x9 3 ( x8 ) 2,918799918
Vậy nghiệm gần đúng của phƣơng trình là x* 2,918799918 với độ chính
xác 104 .
Dùng Maple ta dùng câu lệnh sau để giải phƣơng trình (2.15)
[> fsolve(x^2-exp(x)+10,{x});
Kết quả:
{x = 2.918826982}
Phác họa đồ thị hàm số:
[> plot(x^2-exp(x)+10,x=-2..3);
Lưu Thị Hồng Yên
46
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Bảng đánh giá sai số:
n
0
1
2
xn
2
2,63905733
2,831130211
x*
2,918826982
2,918826982
2,918826982
n xn x*
0,918826982
0,279769652
0,087696771
3
4
5
6
2,891221301
2,910128666
2,916085467
2,917962846
2,918826982
2,918826982
2,918826982
2,918826982
0,027605681
0,008698316
0,002741515
0,000864136
Lưu Thị Hồng Yên
47
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
7
8
9
2,918554596
2,918741122
2,918799918
2,918826982
2,918826982
2,918826982
0,000272386
0,00008586
0,000027064
Lưu Thị Hồng Yên
48
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
CHƢƠNG 3
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
3.1 Phƣơng pháp lặp
Xét phƣơng trình x Ax
(3.1)
Với toán tử A tác dụng trong không gian metric đủ X . Giải phƣơng trình
(3.1) có nghĩa là tìm phần tử x D A bất động với toán tử A.
3.1.1 Phương pháp lặp để giải phương trình đại số và siêu việt
Giả sử phải giải phƣơng trình
f x 0
(3.2)
Trong đó f là hàm số xác định trên đoạn a, b , bằng một cách nào đó ta
đƣa phƣơng trình (3.2) về dạng tƣơng đƣơng
x x
(3.3)
Giả sử x thỏa mãn điều kiện Lipschitz
x2 x1 k x2 x1
Với hằng số 0 k 1 và ánh xạ đoạn a, b vào trong nó. Khi đó x là
một ánh xạ co và dãy các giá trị x0 , x1 x0 ,…, xn1 xn ,…
( Với x0 tùy ý, x0 a, b ) sẽ hội tụ duy nhất về nghiệm của phƣơng trình
(3.3) và do đó là nghiệm của phƣơng trình (3.2).
Giả sử k1 f ' x k2 , x a, b . Khi đó để xác định hàm x nhƣ sau:
Xét hàm: x x f x ; 0 .
(3.4)
Để đƣa về phƣơng trình (3.3), ta có ' x 1 f ' x và do đó
1 k2 ' x 1 k1
Lưu Thị Hồng Yên
49
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Từ đó chỉ cần chọn sao cho thỏa mãn điều kiện 1 1 k2 và
1 k1 1 Hiển nhiên chỉ cần 0
2
thì cả hai bất đẳng thức đồng thời đƣợc
k2
thực hiện.
3.1.2 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy số
Cho dãy số xn . Nếu dãy xn có dạng xn1 xn ; n 0,1,2,...
Đây là dãy số thƣờng gặp trong các bài toán về giới hạn dãy số. Dãy số này
sẽ hoàn toàn xác định khi biết và giá trị ban đầu x0 . Do vậy sự hội tụ của dãy
số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số và x0 . Một đặc điểm quan trọng
khác của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm
của phƣơng trình x x . Chúng ta có một số kết quả cơ bản nhƣ sau:
Định nghĩa 3.1.1
Cho tập D ℝ và D là tập đóng trong ℝ.
Ánh xạ : D D đƣợc gọi là ánh xạ co trên D nếu tồn tại số thực q ,
0 q 1 sao cho x y q x y ; x, y D .
Định lí 3.1.1
Nếu là co trên D thì dãy số xn xác định bởi x0 a D, xn1 xn
hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D của phƣơng trình
x x .
Ví dụ 3.1
Cho dãy số xn xác định bởi
xn1 3
1
. Hãy tìm lim xn .
n
xn2
Bài giải
Đặt x 3
Lưu Thị Hồng Yên
1
với x 2,3 . Ta có:
x2
50
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
' x
Khóa luận tốt nghiệp
2
0 ; x 2,3.
x3
Và x 3
1 26
; x 2,3
x2 9
Nên xn là dãy tăng và bị chặn trên bởi
26
, do đó nó có giới hạn.
9
Giả sử b là giới hạn của dãy số thì ta có:
b 3
1
b3 3b2 1 0
2
b
b 2,879385242 là thỏa mãn.
Vậy lim xn 2,879385242
n
Ví dụ 3.2
Cho dãy số xn xác định bởi
x0 0 , xn1
1
. Hãy tìm lim xn .
n
4 xn
Bài giải
Tính toán trực tiếp ta thấy 0 x2 1 , x3 x2
Đặt x
1
với x 0,1 .
4 x
' x
1
4 x
2
0; x 0,1.
Vì x
1
là hàm số tăng và ánh xạ 0,1 vào 0,1 .
4 x
Và x
1
1
; x 0,1 .
4 x 3
Nên xn n2 là dãy tăng và bị chặn trên bởi
1
, do đó nó có giới hạn.
3
Giả sử a là giới hạn của dãy số thì ta có:
Lưu Thị Hồng Yên
51
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
a
Khóa luận tốt nghiệp
1
4a
a 2 4a 1 0
a 2 3 0,267949192 ( vì a 2 3 loại ).
Vậy lim xn 0,267949192
n
Ví dụ 3.3
Cho dãy số xn xác định bởi
xn1 3 xn
1
. Hãy tìm lim xn
n
2
Bài giải
Đặt x 3 x
' x
1
với x 1,2 .
2
1
1
33 x
2
Và x 3 x
2
0 ; x 1,2.
1 35
; x 1,2 .
2
2
Nên xn là dãy tăng và bị chặn trên bởi
3
5
, do đó nó có giới hạn.
2
Giả sử c là giới hạn của dãy số thì ta có:
c 3 c
1
2
c3 c
1
2
c3 c
1
0
2
c 1,191487884 là thỏa mãn.
Lưu Thị Hồng Yên
52
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Vậy lim xn 1,191487884
n
Ví dụ 3.4
Cho dãy số xn xác định bởi
xn1 3 1000 xn . Hãy tìm lim xn
n
Bài giải
Đặt x 3 1000 x với x 9,10 .
' x
1
3 1000 x
3
2
0 ; x 9,10.
Và x 3 1000 x 3 990 ; x 9,10 .
Nên xn là dãy giảm và bị chặn dƣới bởi
3
990 , do đó nó có giới hạn.
Giả sử d là giới hạn của dãy số thì ta có:
d 3 1000 d
d 3 1000 d
d 3 d 1000 0
d 9,96667 là thỏa mãn.
Vậy lim xn 9,96667
n
Ví dụ 3.5
Cho dãy số xn xác định bởi
xn1
1
xn 1
. Hãy tìm lim xn
n
Bài giải
Đặt x
Lưu Thị Hồng Yên
1
với x 0,1 .
x 1
53
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
1
' x
2
Và x
x 1
3
Khóa luận tốt nghiệp
0 ; x 0,1
1
1
; x 0,1 .
x 1
2
Nên xn là dãy giảm và bị chặn dƣới bởi
1
, do đó nó có giới hạn.
2
Giả sử là giới hạn của dãy số thì ta có:
1
1
2
1
1
3 2 1 0
0,754877666
Vậy lim xn 0,754877666
n
Ví dụ 3.6
Cho dãy số xn xác định bởi
xn1 3 2 xn2 4 xn 7 . Hãy tìm lim xn
n
Bài giải
Đặt x 3 2 x 2 4 x 7 với x 3,4 .
' x
4x 4
33 2x 4x 7
2
2
0 ; x 3,4
Và x 3 2 x 2 4 x 7 3 55 ; x 3,4 .
Nên xn là dãy tăng và bị chặn trên bởi
3
55 , do đó nó có giới hạn.
Giả sử là giới hạn của dãy số thì ta có:
Lưu Thị Hồng Yên
54
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
3 2 2 4 7
3 2 2 4 7
3 2 2 4 7 0
3,631980806 là thỏa mãn.
Vậy lim xn 3,631980806
n
Ví dụ 3.7
Cho dãy số xn xác định bởi
xn1
8
. Hãy tìm lim xn .
n
x 3xn 14
2
n
Bài giải
Đặt x
' x
8
với x 1,0 .
x 2 3x 14
16 x 24
x2 3x 14
Và x
2
0 ; x 1,0 .
8
4
; x 1,0 .
x 3x 14 7
2
Nên xn là dãy tăng và bị chặn trên bởi
4
, do đó nó có giới hạn.
7
Giả sử b là giới hạn của dãy số thì ta có:
b
8
b 2 3b 14
b3 3b2 14b 8 0
b 0,701562118 là thỏa mãn.
Vậy lim xn 0,701562118
n
Ví dụ 3.8
Cho dãy số xn xác định bởi
Lưu Thị Hồng Yên
55
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
xn1 3 3xn2 14 xn 8 . Hãy tìm lim xn
n
Bài giải
Đặt x 3 3x2 14 x 8 với x 5,6 .
' x
6 x 14
3 3x 14 x 8
2
3
2
0 ; x 5,6.
Và x 3 3x 2 14 x 8 3 200; x 5,6 .
Nên xn là dãy tăng và bị chặn trên bởi
3
200 , do đó nó có giới hạn.
Giả sử m là giới hạn của dãy số thì ta có:
m 3 3m2 14m 8
m3 3m2 14m 8
m3 3m2 14m 8 0
5,70156219 là thỏa mãn.
Vậy lim xn 5,701562119
n
Ví dụ 3.9
Cho dãy số xn xác định bởi
xn1
1
. Hãy tìm lim xn
n
3 xn
Bài giải
Đặt x
1
với x 0,1 .
3 x
' x
1
2
Và x
3 x
3
0 ; x 0,1.
1
1
; x 0,1 .
3 x
2
Lưu Thị Hồng Yên
56
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
Nên xn là dãy tăng và bị chặn trên bởi
1
, do đó nó có giới hạn.
2
Giả sử a là giới hạn của dãy số thì ta có:
a
1
3 a
a2
1
3 a
a3 3a 2 1 0
a 0,652703644 là thỏa mãn.
Vậy lim xn 0,652703644
n
Lưu Thị Hồng Yên
57
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
KẾT LUẬN
Dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của thầy Khuất Văn Ninh, em đã hoàn thành đề
tài đúng kế hoạch và đạt đƣợc mục đích nghiên cứu đề ra.
Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận “ Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co
vào dãy số’’. Nội dung chính của khóa luận đƣợc đề cập đến là:
1. Trình bày kiến thức bổ trợ về số gần đúng và sai số, một số định nghĩa,
định lí quan trọng về dãy số; hàm số liên tục; không gian metric và nguyên lí
ánh xạ co của Banach.
2. Nêu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào một số bài toán giải phƣơng
trình đại số, phƣơng trình siêu việt và áp dụng vào giải một số bài tập cụ thể.
3. Ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào giải một số bài toán về dãy số.
4. Xây dựng số phƣơng trình và giải bằng phần mềm Maple.
Tuy nhiên do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi
thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp quý báu của
thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Khuất Văn Ninh,
thầy cô trong tổ Giải tích, các thầy cô trong khoa Toán trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
cùng các bạn sinh viên đã giúp em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Ngƣời thực hiện
Lƣu Thị Hồng Yên
Lưu Thị Hồng Yên
58
K37A Sư phạm Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khóa luận tốt nghiệp
TÀI LIỆU THAM KHẢO
A. Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Minh Chƣơng, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn
Tuấn, Nguyễn Tƣờng (2001), Giải tích số, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên
Maple, Nhà xuất bản Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội.
[4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Khoa học và Kĩ thuật.
[5] Trần Đức Long, Hoàng Quốc Toàn, Nguyễn Đình Sang (2000), Giáo trình
Giải tích tập 1, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
B. Tiếng Anh
[6] Jeffrey R.Chasnov (2012), Introduction to numerical methods, Lecture
notes for Math 3311, the Hong Kong University of Science and Technology.
Lưu Thị Hồng Yên
59
K37A Sư phạm Toán
[...]... trung tìm hiểu về ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co vào giải phƣơng trình đại số và siêu việt, trên cơ sở lí thuyết trên áp dụng vào giải một số bài tập cụ thể Tài liệu tham khảo của chƣơng này bao gồm các tài liệu [1], [2], [3] và [6] 2.1 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phƣơng trình đại số và siêu việt Cơ sở lí thuyết là ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phƣơng trình đại số và siêu việt Ta... 0 khi n Cho n từ xn1 Axn ta có x Ax Điều phải chứng minh Lưu Thị Hồng Yên 24 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH Nguyên lí ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong Toán học Nó dùng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình đại số và siêu việt, hệ phƣơng trình tuyến tính, phƣơng trình tích... đƣợc gọi là ánh xạ liên tục Lipschitz nếu có một số L 0 sao cho d2 f x , f y Ld1 x, y ; x, y X Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng số Lipschitz Nếu f là ánh xạ liên tục Lipschitz thì nó là ánh xạ liên tục 1.5.2 Ánh xạ co Định nghĩa 1.5.2 Ánh xạ f từ không gian metric X , d X vào không gian metric Y , dY đƣợc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số 0,1... Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Nhƣ vậy ánh xạ co là một trƣờng hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên nó là liên tục 1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co của Banach Giả sử X là một không gian metric đủ và f : X X là một ánh xạ co của X vào chính nó thì có duy nhất một điểm bất động nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x X sao cho f ( x) x Chứng minh Lấy x0 là một điểm tùy ý thuộc X và đặt:... thì dãy xin là một dãy số thực thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số Do đó dãy xin hội tụ i 1, k Đặt lim xin ; i 1, k ; x : ( x1, x2 , , xk ) n dãy ( x n ) hội tụ theo tọa độ điểm đến x Suy ra ( x n ) hội tụ đến x trong ℝk 1.5 Nguyên lí ánh xạ co 1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz Định nghĩa 1.5.1 Cho X , d1 và Y , d 2 là các không gian metric trên trƣờng K Ánh xạ. .. q Định lí đƣợc chứng minh Lưu Thị Hồng Yên 28 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2.1.2 Bậc hội tụ của dãy số Định nghĩa 2.1.1 Số ℝ, 0 gọi là bậc hội tụ của dãy xn đến giới hạn x* nếu tồn tại hằng số c 0 sao cho lim n xn1 x* xn x c * Từ đó ta có tốc độ hội tụ của phƣơng pháp sử dụng nguyên lí ánh xạ co Banach là bậc 1 hay tốc độ hội tụ tuyến tính Chứng minh... hội tụ đến a ( điều phải chứng minh ) Lưu Thị Hồng Yên 21 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1.5.4 Ví dụ Ví dụ 1.10 f : 0,1 ℝ x 1 f x x 3 1 Khi đó f là một ánh xạ co trên 0,1 với hệ số co 3 Ví dụ 1.11 Cho T x x ; x ℝ và là một phần tử cố định thuộc ℝ Khi đó f không là ánh xạ co Ví dụ 1.12 Cho ánh xạ f ánh xạ nửa đoạn vào chính nó xác định bằng... x0 x0 22 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1 0 (vô lí) x0 Vậy f không có điểm bất động Do đó f không là ánh xạ co Nguyên lí ánh xạ co trong không gian định chuẩn Giả sử X là không gian định chuẩn Ta xác định một metric trên X theo công thức: d x, y x y ; x, y X Nguyên lí ánh xạ co Banach đƣợc phát biểu trong không gian định chuẩn nhƣ sau: Giả sử M là tập đóng,... Một số định lí về dãy số Định nghĩa 1.2.1 Dãy xn đƣợc gọi là dãy hội tụ nếu nó có giới hạn hữu hạn Nói cách khác, khi đó lim xn a ; a ℝ n Ta còn nói xn hội tụ về a Dãy không hội tụ đƣợc gọi là dãy phân kỳ Nhƣ vậy, nếu dãy phân kỳ thì hoặc nó không có giới hạn, hoặc nó có giới hạn vô cùng Dãy số xn đƣợc gọi là dãy tăng (giảm) nếu với n ta có xn xn1 xn1 xn Dãy số tăng... hoặc dãy số giảm đƣợc gọi chung là dãy đơn điệu Dãy số xn đƣợc gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho n ta có xn M Lưu Thị Hồng Yên 6 K37A Sư phạm Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dãy số xn đƣợc gọi là bị chặn dƣới nếu tồn tại số thực m sao cho n ta có xn m Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới đƣợc gọi là dãy bị chặn Dãy xn đƣợc gọi là dãy Cauchy ... chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phƣơng trình Chƣơng 3: Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải số toán dãy số Lưu Thị Hồng Yên K37A Sư phạm Toán Trường... ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH 25 2.1 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co vào giải phƣơng trình đại số siêu việt 25 2.1.1 Bài toán 25 2.1.2 Bậc hội tụ dãy. .. Nguyên lí ánh xạ co 16 1.5.1 Ánh xạ liên tục Lipschitz 16 1.5.2 Ánh xạ co 16 1.5.3 Nguyên lí ánh xạ co Banach 17 1.5.4 Ví dụ 22 CHƢƠNG ỨNG