4. Cấu trú c
2.1.1 Bài toán
Xét phương trình f ( x ) = 0 (2.1)
Trong đó / là hàm một biến E —» R
Nghiệm của phương trình (2.1) là số thực <Ẹ thỏa mãn (2.1). Tức là khi thay
ệ vào X ở vết trái ta được f { ỉ ) = 0 (2.2)
Phương trình (2.1) trừ một số trường họp đặc biệt có công thức giải đúng, nói chung rất phức tạp. Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng. Thông thường quá trình giải phương trình (2.1) bao gồm 2 bước:
+ Bước giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm một khoảng đủ bé chứa nghiệm của f ( x) .
+ Bước giải hiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần th iế t.
Để giải gần đúng phương trình (2.1) ta sử dụng phương pháp lặp đơn mà bản chất của phương pháp này là vận dụng nguyên lí ánh xạ co của Banach.
+ Mô tả phương pháp
Xét phương trình (2.1) với giả thiết nó có khoảng tách nghiệm là [a,bỴ
Trước hết ta chuyển phương trình (2.1) về dạng phương trình tương đương với nó có dạng:
X = ọ(x) (2.3)
Sau đó chọn một số x0 E [a,b] làm xấp xỉ đầu tiên và tính dãy số (x;ỉ) theo quy tăc:
x„=<p(x„_,y, n = l,2,... (2.4)
Quá trình này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp ở đây gọi là phương pháp lặp, hàm (p ở đây gọi là hàm lặp.
+ Sự hội tụ
Định lí 2.1.1 Giả sử cp e c! b] sao cho
a,V;te[tì,Z?] thì (p{x) E [ci,b],
b, Vx G [ứ,/?] thì ịọ (x)| < q < 1. Khi đó
i, Phương trình (2.1) có nghiệm ị duy nhất trên [a,b].
ii, Phép lặp (2.4) hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng
1 - q n hoăc ---|xj \ - q Chứng minh i, Đặt X = [a,b],d(x, y) = |x - y|
Do 1 = ( - 00,+00) là không gian metric đầy, [«,£>] là tập đóng trong M nên [a,b] là một không gian metric đầy.
Xét hàm (Ọ xác định trên [a,b]. Theo điều kiện a,
<p(x) e [a,b] nên
Do đó hàm<p ánh xạ không gian metric đầy X =[«,£>] vào chính nó.
d (<p(x),<p(y)) = \(p(x) - ẹ (y )\ = <p(c).(x-y)\ = |<p(c)|.|x-y| < q \ x - y \ = q .d ( x, y ) = > d ( ọ ( x ) , ọ ( y ) ) < q j ì ( x , y )
Và theo nguyên lí ánh xạ co thì tồn tại một điếm bất động của hàm (p, kí hiệu là ặ thì:
<p{ệ) = £, (2.5)
Nên ệ là một nghiệm của phương trình (2.1) ii, <p{ệ) = ệ
x n = < p { x n-1) ; « = 1 , 2 , . . .
Trù’ từng vế của (2.5) cho (2.4) ta được:
ỉ ~ x„= <p{4)-<p{x»-\) (2-6)
Áp dụng công thức Lagrange ta có
ỉ ~ x„= <p'(c ) - ( ỉ (2 -7)
Với c = a + ỡ (£ — e[ữ,£>] Theo giả thiết b, ta có \(Ọ (c) < q < 1
Từ (2.7) ta suy ra: \ 4 - x n\=\<p{c)\\ẹ- x„_, \ < q \ ệ - x„_, I Vậy có \ ệ - x n\ < q \ệ - x„ _ \, \/n = \ , 2 , - (2.8) Do đó \ ệ - x n\ < q \ ệ - x n_t\ \ ệ - x , \ < q \ ặ - x \ \ ệ - x \ ^ q \ ệ - x 0\
Nhân vế với vế của các bất đẳng thức này, ta được:
Ị ỉ - X n ị ^ ý l ỉ - X o ị - (2-9)
Vì JC() và Ẹ, đã xác định, qn —» 0 khi n —>00
Do 0 < q < 1 nên vế phải (2.9) dần tới 0; và ta có:
- X I —» 0 k h i ỉ í - ^ c o
Vậy phép lặp (2.4) hội tụ và từ công thức (2.8) ta có:
\ ỉ ~ x.\ = ? |£ - * „ + * „ - - V l | =>|í - ^ 0 (1# - x , \ +k - *„-11)
< ^ { ì - q ) . \ ệ - x n\<q\xn - x n_\ (2.10)
Vì 1 - q > 0. Chia bất đẳng thức (2.10) cho (l - cf) ta được:
1 ^ 1 - 7 7 -l - q
Định lí được chứng minh.