Ứng dụng phần mềm GEOGEBRA để sáng tạo bài toán hình học giải tích từ bài toán gốc

Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích chia sẻ với các đồng nghiệp đang giảng dạy và các em học sinh một công cụ mạnh, một phương pháp mới trong việc sáng tạo ra các bài toán h

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Thực hiện đưa ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học trong trường phổ thông nhằm tăng cường hiệu quả dạy học, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích chia sẻ với các đồng nghiệp đang giảng dạy và các em học sinh một công cụ mạnh, một phương pháp mới trong việc sáng tạo ra các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng

Ngày nay, sự phát triển của công nghệ thông tin và máy vi tính ngày càng phổ biến cùng với sự xuất hiện ngày càng nhiều các phần mềm dành cho giáo dục đã tạo điều kiện phát triển dạy học theo hướng lấy học sinh làm trung tâm Người thầy đóng vai trò là người thiết kế, điều khiển, uỷ thác và thể chế hoá kiến thức, người học là người tự tổ chức hoạt động học của mình một cách chủ động, tích cực, tự giác, sáng tạo Việc khai thác và sử dựng các phương tiện dạy học là một việc làm

vô cùng quan trọng nhằm gia tăng sức mạnh của con người, tham gia hội nhập tri thức với các nước tiên tiến trong khu vực và trên thế giới Phương tiện dạy học, từ tài liệu in ấn và những đồ dùng dạy học đơn giản cho tới những phương tiện kỹ thuật hiện đại như thiết bị nghe nhìn, công nghệ thông tin và truyền thông, giúp thiết lập những tình huống chứa đựng ý đồ sư phạm, tổ chức hoạt động học tập, giảng dạy và giao lưu giữa giáo viên và học sinh Đặc biệt là việc ứng dụng phần mềm dạy học đang được ứng dụng rộng rãi vào quá trình giáo dục và đào tạo ở nhiều quốc gia trên thế giới và thu được kết quả cao Do đối tượng là học sinh THPT thi kỳ thi THPT Quốc gia với câu hình học giải tích trong mặt phẳng là câu phân loại Đây là một câu đòi hỏi trí tưởng tượng rất cao, rất cần có những phương pháp học và sáng tạo các bài tập để các em có thể tìm ra được lời giải Từ những

phân tích trên tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “ Ứng dụng phần mềm GEOGEBRA

để sáng tạo bài toán hình học giải tích từ bài toán gốc ”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- Nhằm mục đích chia sẻ với đồng nghiệp đang giảng dạy toán THPT ứng dụng phần mềm GEOGEBRA vào dạy và học môn hình giải tích

- Tạo hứng thú trong học môn hình đối với học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Phần mềm GEOGEBRA

- Khai thác bài toán gốc, một số tính chất hình học phẳng

- Học sinh THPT Thọ Xuân 5

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Tìm hiểu phần mềm trên mạng

- Tìm tài liệu tham khảo liên quan đến hình học phẳng

- Trao đổi với đồng nghiệp

-Áp dụng giảng dạy các lớp 12C1, 10A1 tại THPT Thọ Xuân 5

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận:

Hiện nay, các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc học toán, đặc biệt đối với phần hình học giải tích trong mặt phẳng ở câu phân loại trong kỳ thi THPT Quốc gia Để giúp các em tự tin hơn, tạo cho các em một sự đam mê, thích thú, tìm tòi, khám phá phát hiện kiến thức, để giải quyết vấn đề và thông qua đó để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác, phát hiện vấn đề, tìm và lĩnh hội kiến thức một cách chính xác

- Phát hiện tính chất hình học, dự đoán và từ các dữ kiện bài toán tìm mối liên hệ giữa các giả thiết tìm lời giải

- Với GeoGebra chúng ta có thể học một cách nhanh chóng cách dựng hình điểm, đường thẳng… Chúng ta có thể tạo các phép dựng hình từ đơn giản đến phức tạp;

có thể đo lường các đối tượng, tích hợp các dữ liệu số và thậm chí có thể hiển thị lại quy trình dựng hình của mình GeoGebra được đánh giá là một phần mềm tuyệt vời nhất hiện nay cho việc nghiên cứu tương tác của hình học phẳng

Tuy nhiên hiện nay các tài liệu hướng dẫn về GeoGebra không nhiều và phần lớn các tài liệu này thường là mô tả và hướng dẫn sử dụng các công cụ của phần mềm Do đó người đọc rất lúng túng và khó có thể ứng dụng phần mềm này vào các bài toán cụ thể

2.2 Thực trạng của vấn đề:

Bên cạnh việc tiếp nhận kiến thức từ Giáo viên, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, phần mềm GeoGebra cho một thế giới sinh động kích thích trí tò mò, gợi nhu cầu tìm hiểu, khám phá kích thích học sinh chủ động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận và chiếm lĩnh tri thức

- GeoGebra cho phép tạo ra các đối tượng hình đa dạng cả trong phẳng và không gian bao gồm: điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn, véctơ, hình nón, hình chóp, hình cầu…cùng với các mối quan hệ phong phú như: quan hệ song song, quan hệ vuông góc, quan hệ thuộc,…Hơn nữa GeoGebra còn cung cấp các công cụ

để tạo ra những đối tượng hình học mới, quan hệ mới từ những đối tượng đã có chẳng hạn như: phép lấy trung điểm, mặt phẳng trung trực, phép quay, phép đối

Về tính năng GeoGebra cho phép người dùng có thể đặt tên cho đối tượng, thay đổi màu sắc, độ dày mỏng, kiểu bề mặt, che hoặc hiện các đối tượng

Như vậy GeoGebra cho phép dựng được hầu hết các hình trong chương trình Phổ thông nói chung

- Ngoài việc thay đổi dễ dàng các vị trí, kích thước của hình vẽ mà vẫn bảo toàn các cấu trúc của các đối tượng hình học thì GeoGebra còn cho phép tạo ra các chuyển động của các đối tượng theo một quy luật nào đó, đồng thời có thể để lại

‘‘vết’’ giúp thuận lợi cho việc nghiên cứu quỹ đạo (hay quỹ tích) của các đối tượng lên mặt phẳng, xoay hình bằng tay và tự động để có thể nhìn từ nhiều góc độ khác nhau

- Một trong những nguyên tắc quan trọng của việc lựa chọn phần mềm GeoGebra

là khả năng tương tác cao và tính thân thiện GeoGebra có một hệ thống câu lệnh rất dễ nhớ, được sắp xếp khoa học dưới dạng menu kết hợp với biểu tượng đồ họa minh họa và đã được Việt hoá Các chỉ thị thao tác của người sử dụng được thực hiện trực tiếp lên các đối tượng với độ chính xác rất cao, gần gũi với các thao tác thường ngày

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

2.3.1.Cài đặt phần mềm:

- Địa chỉ tải phần mềm: có thể tài file cài đặt tại địa chỉ Truy cập vào địa chỉ http:// www.geogebra.org/download sau đó chọn hệ điều hành của máy tính đang sử dụng (Windows)

-Tiến trình cài đặt phần mềm: cài đặt bình thường như mọi phần mềm ứng dụng

i) B1: Click chuột phải vào file cài đặt, chọn Run as administrator

ii) B2: Chọn next

iii) B3: Chọn I Agree

iv) B4: Chọn Install Chương trình bắt đầu cài đặt vào máy tính

Tiến trình cài đặt (mất khoảng vài phút)

v) B5: Chọn Finish để kết thúc quá trình cài đặt

Nếu chọn Run GeoGebra sẽ khởi động và chạy chương trình

Có thể chuyển sang giao diện tiếng Việt: chọn từ menu Options-Language-R-Z-Vietnamese/Tiếng Việt

 Giao diện sau khi chuyển sang tiếng Việt:

2.3.2 Hướng dẫn sử dụng một số chức năng chính:

- Lựa chọn môi trường làm việc: Khi khởi động chương trình sẽ xuất hiện bảng phối cảnh dùng để lựa chọn môi trường làm việc Có 3 chế độ thường sử dụng đó

là: Đại số & Đồ thị; Hình học; Vẽ đồ họa 3D Ta sẽ chọn 1 trong 3 môi trường này

để làm việc (mặc định là Đại số & Đồ thị) Ta có thể cho ẩn/hiện bảng phối cảnh bằng cách click chuột vào biểu tượng mũi tên ở cạnh phải của cửa sổ để chọn lại

một môi trường làm việc khác Trong chế độ Đại số & Đồ thị có thanh Nhập lệnh

ở dưới cùng của cửa sổ dùng để nhập lệnh trực tiếp khi vẽ hình, tính toán

- Menu Hồ sơ: dùng để Tạo file mới (Tạo mới); mở file có sẳn (Mở); xuất bản

(Xuất bản) thành file định dạng khác (hình ảnh, html, tex,…) để chèn vào các file văn bản khác

- Thanh công cụ: dùng để thực hiện hầu hết các thao tác dựng hình

i) Công cụ Chọn: dùng để chọn đối tượng; di chuyển đối tượng; quay đối tượng

quanh 1 điểm

ii) Công cụ vẽ điểm: Vẽ điểm bất kỳ, điểm trên một đối tượng đã vẽ trước đó, điểm

là giao điểm của 2 đối tượng có trước, điểm là trung điểm của một đoạn thẳng xác định bởi 2 đầu mút cho trước

2.3.3 Ứng dụng phần mềm để sáng tạo các bài toán hình giải tích trong hình

học phẳng.

Bài toán gốc 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của IB và CD Chứng minh tam giác AMN vuông cân tại M

Giải:

Lấy E là trung điểm AB, khi đó AEND là

hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính DE

Vì EM là đường trung bình của tam giác ABI

nên EM//AI, mà AI  IB  EMIB  EMD=90  0

 M thuộc đường tròn đường kính DE,

cũng là đường tròn đường kính AN   0

Đa giác AFMND nội tiếp được nên MAN=MDN 45    0

(hai góc cùng chắn cung MN

Vì vậy tam giác AMN vuông cân tại M

Nhận xét: Từ bài toán 1 trong hình học phẳng ta dùng phần mềm GeoGebra ta vẽ

hình Ở bài toán 1 có ΔAMNAMN vuông cân tại M nên từ giả thiết này và căn cứ hình vẽ

từ phần mềm GeoGebra ta có bài toán hình giải tích

N

M

I

A

 Bài toán hình giải tích từ bài toán gốc 1:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi 15 9;

4 4

M  

 ,

1

2;

2

N   

  lần lượt là trung điểm của IB và CD Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABDC, biết A nằm trên đường thẳng 2x y   2 0

Giải: Ta chứng minh AM MN như bài toán gốc

Ta có 7; 11

MN    

 phương trình đường thẳng AM:7x 11y 51 0 

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 7 11 51 0 1 1; 4

A

Gọi điểm B a b ;   4BM 15 4 ;9 4  a  b

và điểm D x y D; D BDx D a y; D b



Do BD 4BM  D15 3 ;9 3  a  b

.Mặt khác BCAD C29 5 ;5 2  a  b

 

, điểm N là trung điểm DC 29 5 14 5;

  Theo giả thiết 2; 1

2

N   

  nên ta có:

29 5

a

a











Vậy A1;4 , B5;3 , C4; 1 ,   D0;0

Bài toán gốc 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm BC, H là hình

chiếu vuông góc của A trên BD, I là trung điểm DH Chứng minh: AIIM

Giải:

Gọi N là trung điểm AD, khi đó ABMN là hình chữ

nhật nội tiếp đường tròn đường kính NB

Vì NI là đường trung bình của tam giác ADH nên

NI//AH  NIIB   0

đường kính BN (cũng là đường tròn đường kính AM)

Nhận xét: Từ bài toán gốc 2 trong hình học phẳng ta dùng phần mềm GeoGebra ta

vẽ hình Ở bài toán gốc 2 có AIIM nên từ giả thiết này và căn cứ hình vẽ từ phần mềm GeoGebra ta có bài toán hình giải tích

I

N

B

A

 Bài toán hình giải tích từ bài toán gốc 2:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng x y   3 0, đỉnh B thuộc đường thẳng x 2y 1 0  Điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên BD, 1; 2 , 9;1

I  M 

    lần lượt là trung điểm DH, BC Xác định toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết hoành độ điểm B nguyên dương

Giải: Ta chứng minh AIIM như bài toán gốc 2.

Ta có IM  4; 1  

khi đó ta có phương trình AI:4x y  2 0 

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 4 0 1 1;4

A

Gọi điểm 2 1;  2 ; 4 , 7 2 ;1

2

B b b  AB b b BM   b  b

2

2

b loai

b













 

Phương trình đường thẳng AH: x  1 0.Phương trình đường thẳng BD: y  2 0 Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: 1 1;2

2

x

H y













Do I là trung điểm DH D0; 2 C4;0

Vậy A1;4 , B5;2 , C4;0 , D0; 2

2.3.3.2 Sử dụng tính chất trực tâm trong tam giác:

Bài toán gốc 3: Cho hình thang vuông ABCD (A D 90     0) có CD=2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D trên AC, M là trung điểm HC

Chứng minh BMDM

Giải:

Gọi E là trung điểm DH, khi đó ME là đường

trung bình của tam giác HDC  ME//CD và

1

ME= CD

2 Vì vậy ME//AB và ME=AB

 ABME là hình bình hành  BM//AE (1)

Ta có DE là đường cao của tam giác AMD

Mặt khác ME//CD nên MEAD

 ME là đường cao của tam giác AMD

Do đó E là trực tâm tam giác AMD

 AEDM (2) Từ (1) và (2) suy ra BMDM

Nhận xét: Từ bài toán gốc 3 trong hình học phẳng ta dùng phần mềm GeoGebra ta

vẽ hình Ở bài toán gốc 3 ta đã chứng minh BMDM nên từ giả thiết này và căn

cứ hình vẽ từ phần mềm GeoGebra ta có bài toán hình giải tích

H B

D A

C

 Bài toán hình giải tích từ bài toán gốc 3:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD(A D 90     0) có CD=2AB và đỉnh D1;0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D lên đường chéo AC Điểm 17 4;

5 5

M  

  là trung điểm HC Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C, biết đỉnh B thuộc đường thẳng  : 5x 3y 9 0 

Giải: Ta chứng minh BMDM như bài toán gốc 3.

Phương trình đường thẳng BM:6x 2y 22 0 

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: 6 2 22 0 3; 2

x y

B

x y









Gọi I là giao điểm AC và BD Ta có 1 2 7 4;

AB IB

DI IB I

CD IC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Phương trình đường thẳng AC: x 2y 5 0 

Phương trình đường thẳng DH: 2x y   2 0

Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: 2 5 0 9, 8 9 8; 5;0

x y

x y



Từ CI                             2IA A1; 2

Vậy: A1;2 , B3;2 , C5;0

Bài toán gốc 4 : Cho tam giác ABC cân tại A có I là tâm đường tròn ngoại tiếp, G

là trọng tâm Gọi D là trung điểm AB, E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: EIDG

Giải:

Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, A

D khi đó E là giao điểm của DN và CK

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

nên I là giao điểm của AM với đường trung trực cạnh AB

Xét tam giác DGE có: GIDN Mặt khác, vì G, E

lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ADC

Vì vậy GI và DI là các đường cao của tam giác DGE,

do đó I là trực tâm của tam giác DGE EIDG

Nhận xét: Từ bài toán gốc 4 trong hình học phẳng ta dùng phần mềm GeoGebra ta

vẽ hình Ở bài toán gốc 4 ta đã chứng minh EIDG nên từ giả thiết này và căn

cứ hình vẽ từ phần mềm GeoGebra ta có bài toán hình giải tích

E

K

N G

I D

M

A

 Bài toán hình giải tích từ bài toán gốc 4:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC cân tại A, D là trung điểm AB Biết rẳng

;1 , 3;

I  E 

    lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếpABC, trọng tâm ADC Các điểm 3; 2 , 1;0

2

P  Q  

  lần lượt thuộc các đường thẳng DC, AB Tìm toạ độ các đỉnh của ABC, biết rằng hoành độ D có toạ độ nguyên

Giải: Ta chứng minh EIDG như bài toán gốc

Phương trình DC đi qua P và vuông góc với EI là: 2x y  4 0 

Gọi D a ; 4 2  aDC, do

2

1

6

a

a loai







 



 

1;2

D

 Phương trình AB đi qua D, Q là: 4x 3y  2 0

Phương trình AM đi qua I và vuông góc DE là: 3x y  6 0 

Toạ độ A AB AM  A4;6 Do điểm D là trung điểm AB  B 2; 2  

Phương trình BC đi qua B và vuông góc AM là: x 3y  8 0

Toạ độ C BC DC C4; 4  

Vậy A4;6 , B 2; 2 ,   C4; 4 ,   D1; 2

Bài toán gốc 5: Cho ABC vuông tại A, đường cao AD Gọi E là chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh A của ACD Chứng minh: AB=BE

Giải:

Vì ABC CAD do đó: BAD ACD 

Mặt khác:

BAE BAD DAE AEB EAC ECA   

Do đó: BAE BEA    BA BE

Nhận xét: Từ bài toán gốc 5 trong hình học phẳng ta dùng phần mềm GeoGebra ta

vẽ hình trong hình học phẳng Ở bài toán gốc 5 có AB=BE nên từ giả thiết này và căn cứ hình vẽ từ phần mềm GeoGebra ta có bài toán hình giải tích

 Bài toán hình giải tích từ bài toán gốc 5:

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao

AD Gọi 11; 1

6

E   

 là chân đường phân giác hạ từ A của ACD Biết điểm B   1; 1

và điểm A nằm trên đường thẳng x 3y 4 0  Tìm toạ độ các đỉnh của ABC

Giải: Vì ABC  CAD do đó: BAD ACD 

Mặt khác: BAE BAD DAE AEB EAC ECA    ,     

Do đó: BAE BEA    BA BE

E D A

Phương trình đường tròn tâm B bán kính BE là: x 12y 12  8

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:      

1;1

A

x y









Phương trình đường thẳng AC: x y  2 0 

Phương trình đường thẳng BC: y  1 0

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 2 0 3 3; 1

C

Vậy A1;1 , C3; 1  

Bài toán gốc 6: Cho ABC vuông tại B với đường cao BM Gọi D là điểm đối xứng với A qua M Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên BC

Chứng minh MI=MB

Giải:

Tứ giác BMDI nội tiếp BIM BDM mà tam

giác ABD cân tại B BAD BAM   MBI  BDM

Vậy MBI  MIB MI MB

Nhận xét: Từ bài toán gốc 6 trong hình học phẳng ta dùng phần mềm GeoGebra ta

vẽ hình trong hình học phẳng Ở bài toán gốc 6 có MI=MB nên từ giả thiết này và căn cứ hình vẽ từ phần mềm GeoGebra ta có bài toán hình giải tích

I

D M

B