Lý thuyết toán giải tích

một số lý thuyết về môn toán giải tích, giúp các bạn hiểu hơn và làm bài tập một cách dễ dàng, đơn giản và nhẹ nhàng hơn. giúp các bạn cảm thấy toán giải tích là 1 bộ môn không quá khó như chúng ta nghĩ

HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BỘ MƠN TỐN THS NGUYỄN THỊ THÚY HẠNH TỐN GIẢI TÍCH Hà Nội, tháng – 2019 Chương Hàm số biến số thực §1 Hàm số biến số thực 1.1 Định nghĩa hàm số biến số thực 1.2 Các hàm số sơ cấp 1.3 Giới hạn hàm số biến 1.4 Hàm số liên tục §2 Đạo hàm vi phân Ứng dụng đạo hàm vi phân cấp 11 2.1 Các định nghĩa 11 2.2 Đạo hàm hàm số sơ cấp 12 2.3 Các tính chất phép tốn đạo hàm 13 2.4 Vi phân 14 2.5 Các định lý hàm khả vi Ứng dụng đạo hàm vi phân cấp 15 §3 Đạo hàm vi phân cấp cao 16 3.1 Các định nghĩa 16 3.2 Các tính chất quy tắc 16 §4 Cơng thức khai triển Taylor, Maclaurin 19 4.1 Công thức khai triển Taylor, Maclaurin 19 4.2 Ứng dụng 19 BÀI TẬP CHƯƠNG 21 Chương Phép tính tích phân hàm biến 22 §1 Ngun hàm tích phân bất định 22 1.1 Các định nghĩa 22 1.2 Các tính chất bảng tích phân bất định cá hàm số thường gặp 22 1.3 Các phương pháp tính tích phân bất định 23 §2 Tích phân xác định 27 2.1 Định nghĩa Ý nghĩa hình học học 28 2.2 Điều kiện khả tích Các tính chất tích phân xác định 29 2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 30 2.4 Ứng dụng tích phân xác định 31 §3 Tích phân suy rộng loại 35 3.1 Khái niệm 35 3.2 Các tính chất dấu hiệu hội tụ 36 BÀI TẬP CHƯƠNG 39 Chương Chuỗi số chuỗi hàm 47 §1 Chuỗi số 47 1.1 Các định nghĩa 47 1.2 Các tính chất chuỗi số hội tụ 48 1.3 Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương 50 1.4 Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi đan dấu 50 1.5 Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi có dấu tùy ý 51 §2 Chuỗi hàm 53 2.1 Các khái niệm Quy tắc tìm miền hội tụ 53 2.2 Sự hội tụ chuỗi hàm lũy thừa Cơng thức tìm bán kính hội tụ 55 BÀI TẬP CHƯƠNG 61 Chương Hàm nhiều biến 64 §1 Khái niệm hàm nhiều biến 64 1.1 Định nghĩa miền xác định 64 1.2 Tính liên tục hàm nhiều biến 65 §2 Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Đạo hàm hàm số hợp, hàm số ẩn 66 2.1 Đạo hàm riêng cấp 66 2.2 Vi phân tồn phần Áp dụng vi phân tồn phần tính gần 66 2.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 67 2.4 Đạo hàm hàm số hợp, hàm số ẩn 68 §3 Cực trị hàm nhiều biến 72 3.1 Định nghĩa 72 3.2 Điều kiện cần đủ có cực trị 72 3.3 Cực trị có điều kiện (ĐỌC THÊM) 73 BÀI TẬP CHƯƠNG 74 Chương Tích phân bội hai (Tích phân kép) 75 §1 Tích phân kép 75 1.1 Khái niệm tích phân kép 75 1.2 Các tính chất tích phân kép 76 1.3 Cách tính tích phân kép 𝑫 𝒇𝒙, 𝒚𝒅𝒙𝒅𝒚 76 1.4 Đổi biến số tích phân kép 78 §2 Ứng dụng tích phân kép 79 2.1 Tính thể tích vật thể 79 2.2 Tính diện tích hình phẳng 80 2.3 Tính diện tích mặt cong 80 BÀI TẬP CHƯƠNG 81 Chương §0 Phương trình vi phân 82 Các khái niệm mở đầu 82 §1 Phương trình vi phân cấp 82 1.1 Các định nghĩa định lý mở đầu 82 1.2 Phương trình vi phân cấp với biến số phân ly 83 1.3 Phương trình vi phân cấp (đẳng cấp bậc không) 84 1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 84 §2 Phương trình vi phân cấp 85 2.1 Các định nghĩa định lý mở đầu 85 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 86 2.3 Phương trình tuyến tính cấp có hệ số không đổi 88 BÀI TẬP CHƯƠNG 90 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 Chương Hàm số biến số thực §1 Hàm số biến số thực 1.1 Định nghĩa hàm số biến số thực Định nghĩa (Ánh xạ): (1) Cho hai tập hợp 𝑋, 𝑌 Một tương ứng 𝑓: 𝑋 → 𝑌 gọi ánh xạ thỏa mãn phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 cho tương ứng với phần tử 𝑓(𝑥) ∈ 𝑌 Nói cách khác, tương ứng 𝑓: 𝑋 → 𝑌 ánh xạ thỏa mãn hai điều kiện: (i) ∀𝒙 ∈ 𝑿 𝐭𝐡ì 𝒇(𝒙) ∈ 𝒀 (ii) 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 𝒇(𝒙𝟏 ) = 𝒇(𝒙𝟐 ) Ta gọi tập X tập tạo ảnh, tập { 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 }: = 𝑓(𝑋): = 𝐼𝑚(𝑓) gọi tập ảnh ánh xạ f (2) Ánh xạ 𝑓 gọi đơn ánh : 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) kéo theo 𝑥1 = 𝑥2 (3) Ánh xạ 𝑓 gọi toàn ánh nếu: 𝑌 = 𝑓(𝑋) tức ( ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑥 ∈ 𝑋: 𝑓(𝑥) = 𝑦 ) (4) Ánh xạ 𝑓 gọi song ánh 𝑓 vừa đơn ánh, vừa toàn ánh Dễ thấy : 𝑓 song ánh : ∀𝑦 ∈ 𝑌, PT 𝑓(𝑥) = 𝑦 ln có nghiệm x (5) Nếu 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 song ánh tồn ánh xạ 𝑓 −1 : 𝑌 → 𝑋 , xác định sau: 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥 cho 𝑓(𝑥) = 𝑦 Ta gọi ánh xạ 𝑓 −1 ánh xạ ngược ánh xạ 𝑓 Định nghĩa (Hàm số): (1) Ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑌 gọi hàm số 𝑿, 𝒀 ⊂ ℝ Kí hiệu : 𝑦 = 𝑓(𝑥) : - Tập X gọi tập xác định (TXĐ), thường kí hiệu 𝑫𝒇 - Tập 𝒇(𝑿) hay 𝑰𝒎(𝒇) gọi tập giá trị (TGT) hàm số f - Giá trị 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 gọi biến số độc lập hay đối số - Giá trị 𝒇(𝒙) ∈ 𝑰𝒎(𝒇) gọi biến số phụ thuộc hay giá trị hàm số (2) Đồ thị C hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) mặt phẳng Oxy tập hợp điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) có hồnh độ 𝑥 ∈ 𝑋, tung độ 𝑦 = 𝑓(𝑥) Hay 𝑪𝒇 = {𝑴(𝒙; 𝒚) ∈ 𝑶𝒙𝒚 | 𝒙 ∈ 𝑿 ; 𝒚 = 𝒇(𝒙)} (3) Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm chẵn (∀𝑥 ∈ 𝑋 − 𝑥 ∈ 𝑋 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)) (4) Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm lẻ (∀𝑥 ∈ 𝑋 − 𝑥 ∈ 𝑋 𝑓(−𝑥) = − 𝑓(𝑥)) (5) Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm tuần hoàn : ∃ số thực 𝑇 ≠ để ∀𝑥 ∈ 𝑋, 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) Số 𝑇 > bé để 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) với ∀𝑥 ∈ 𝑋, gọi chu kì hàm số 𝑓 (6) Nếu 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝛷(𝑡) ta có hàm hợp 𝑦 = 𝑓 °𝛷 = 𝑓(𝛷(𝑡)) Toán Giải Tích –Chương Hàm số biến số Page NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 Chú ý: (1) Tập xác định 𝑫𝒇 hàm 𝑓 tập tất giá trị biến x để 𝑓(𝑥) xác định Tập giá trị 𝑰𝒎(𝒇) hàm 𝑓 tập tất giá trị y để PT 𝑦 = 𝑓(𝑥) có nghiệm x (2) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ 𝑶(𝟎, 𝟎) làm tâm đối xứng (3) Nếu 𝑓 song ánh tập xác định hàm 𝑓 −1 tập giá trị 𝐼𝑚(𝑓) hàm 𝑓, tập giá trị hàm 𝑓 tập xác định hàm 𝑓 Ví dụ 1.1 Tìm tập xác định tập giá trị, vẽ đồ thị : (1) Hàm số 𝑓(𝑥) cho bảng số sau : 𝑥 −1 𝑓(𝑥) (2) Hàm số 𝑓(𝑥) cho công thức : 𝑓(𝑥) = { 𝑥 𝑥 < 𝑥 + 𝑥 ≥ 5 Ví dụ 1.2 (ĐỌC THÊM) Tìm tập xác định, tập giá trị hàm số Xét tính chẵn lẻ, tính tuần hồn hàm số (1) Tìm tập xác định √𝑥 𝑦1 = cos 𝜋𝑥 𝑦2 = ln(2𝑥 + 1) + √1 + 𝑥 ; (2) Tìm tập giá trị 𝑦3 = sin 𝑥 + cos 𝑥 (3) Xét tính chẵn lẻ 𝑦4 = √1 − 𝑥 + √1 + 𝑥 ; 𝑦5 = 2𝑥 − 2−𝑥 (4) Xét tính tuần hoàn hàm 𝑦6 = √tan 𝑥 Giải 𝑥≥0 𝑥≥0 𝑥 có nghĩa (1) ĐK để 𝑦1 xác định là: { √ ⟺ {𝜋𝑥 ≠ 𝜋 + 𝑘𝜋 ⟺ { 𝑥 ≠ 𝑘 + ; 𝑘 ∈ ℤ cos(𝜋𝑥) ≠ 2 Vậy TXĐ 𝑦1 𝐷1 = [0; +∞)\ {𝑘 + ; 𝑘 ∈ ℤ} Tương tự 𝑦2 TXĐ 𝑦2 𝐷2 = (− ; +∞) (2) Ta có 𝜋 𝜋 𝑦3 = √2 cos (𝑥 − ) ⟺ cos (𝑥 − ) = PT (*) có nghiệm x −1 ≤ 𝑦3 √2 ≤1 𝑦3 √2 (∗) hay −√2 ≤ 𝑦3 ≤ √2 Vậy tập giá trị hàm 𝑦3 𝐼𝑚(𝑓) = [−√2; √2] (3) TXĐ 𝑦4 𝐷4 = [−1; 1] Đặt 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 + √1 + 𝑥 Có ∀𝑥 ∈ 𝐷4 −𝑥 ∈ 𝐷4 𝑓(−𝑥) = √1 + 𝑥 + √1 − 𝑥 = 𝑓(𝑥) Vậy 𝑦4 hàm chẵn Tương tự, TXĐ 𝑦5 𝐷5 = (−∞; +∞) Đặt 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 2−𝑥 Có ∀𝑥 ∈ 𝐷5 −𝑥 ∈ 𝐷5 𝑔(−𝑥) = 2−𝑥 − 2𝑥 = −𝑔(𝑥) Vậy 𝑦5 hàm lẻ Toán Giải Tích –Chương Hàm số biến số Page NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 (4) Gọi 𝑇 chu kì hàm 𝑦6 Ta có : 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) ⟺ √tan (𝑥 + 𝑇) = √tan 𝑥 ⟺ tan(𝑥 + 𝑇) = tan 𝑥 ⟺ 𝑥 + 𝑇 = 𝑥 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 𝑇 = 𝑘𝜋 Vậy chọn số 𝑇 > bé 𝑇0 = 𝜋 Hay hàm 𝑦6 tuần hồn với chu kì 𝜋 1.2 Các hàm số sơ cấp (1) Hàm lũy thừa 𝑦 = 𝑥 𝛼 TXĐ, TGT phụ thuộc 𝛼 (𝛼 ∈ ℝ) (2) Hàm số mũ 𝑦 = 𝑎 𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1, 𝑎 ∈ ℝ) TXĐ: 𝐷𝑓 = ℝ TGT: 𝐼𝑚(𝑓) = (0; +∞) (Nhắc lại : 𝑎 𝑥+𝑦 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 ; (𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥.𝑦 ; 𝑎 −𝑥 = 𝑎𝑥 ; 𝑎 𝑥−𝑦 = 𝑎𝑥 𝑎𝑦 ; 𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥 ln 𝑎) (3) Hàm số logarit : 𝑦 = log 𝑎 𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1, 𝑎 ∈ ℝ) xác định sau : 𝑦 = log 𝑎 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑎 𝑦 (=> 𝑦 = log 𝑎 𝑥 hàm ngược hàm số 𝑦 = 𝑎 𝑥 ) TXĐ: 𝐷𝑓 = (0; +∞) TGT : 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ (Nhắc lại : 𝑥 log 𝑎 (𝑥 𝑦) = log 𝑎 |𝑥| + log 𝑎 |𝑦| log 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑛 log 𝑎 |𝑥| ; ; log 𝑎 (𝑦) = log 𝑎 |𝑥| − log 𝑎 |𝑦| ; ln x log 𝑎 𝑥 = ln a ; log 𝑎𝑛 𝑥 = 𝑛 log 𝑎 𝑥) (4) Các hàm số lượng giác : TXĐ : 𝐷𝑓 = ℝ TGT : 𝐼𝑚(𝑓) = [−1; 1] +) 𝑦 = sin 𝑥 ; 𝑦 = cos 𝑥 +) 𝑦 = tan 𝑥 TXĐ : 𝐷𝑓 = ℝ\ {2 + 𝑘𝜋} TGT : 𝐼𝑚(𝑓) = (−∞; +∞) +) 𝑦 = cot 𝑥 TXĐ : 𝐷𝑓 = ℝ\{𝑘𝜋} TGT : 𝐼𝑚(𝑓) = (−∞; +∞) 𝜋 (5) Các hàm số lượng giác ngược : 𝜋 𝜋 +) arcsin : [−1, 1] → [− ; ] , xác định sau : 𝑦 = arcsin 𝑥 ⟺ 𝑥 = sin 𝑦 +) arccos : [−1, 1] → [0; 𝜋 ] , xác định sau : 𝑦 = arccos 𝑥 ⟺ 𝑥 = cos 𝑦 𝜋 𝜋 +) arctan : (−∞; +∞) → (− ; ) , xác định sau : 𝑦 = arctan 𝑥 ⟺ 𝑥 = tan 𝑦 +) arccot : (−∞; +∞) → (0 ; 𝜋) , xác định sau : 𝑦 = arcccot 𝑥 ⟺ 𝑥 = cot 𝑦 1.3 Giới hạn hàm số biến Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định 𝑋, 𝑥0 điểm tụ 𝑋 Kí kiệu : 𝑼𝜺 (𝒙𝟎 ) = {𝒙 ∈ ℝ | |𝒙 − 𝒙𝟎 | < 𝜺} hay 𝑈𝜀 (𝑥0 ) = (𝑥0 − 𝜀; 𝑥0 + 𝜀), gọi lân cận 𝜀 điểm 𝑥0 Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số Page NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 (1) Điểm tụ: Điểm 𝑥0 gọi điểm tụ X ∀𝜀 > 0, ∃𝑥 ∈ 𝑋 mà 𝑥 ∈ 𝑈𝜀 (𝑥0 )\{𝑥0 } (2) Giới hạn điểm : 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒂 ⟺ { ∀ {𝑥𝑛 } ⊂ 𝑋, 𝒙𝒏 ≠ 𝒙𝟎 mà 𝒙𝒏 → 𝒙𝟎 dãy số 𝒇(𝒙𝒏 ) → 𝒂 } Ta nói 𝒙→𝒙𝟎 (3) Giới hạn phải, Giới hạn trái điểm : 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒂 ⟺ { ∀{𝑥𝑛 } ⊂ 𝑋, 𝒙𝒏 > 𝒙𝟎 mà 𝒙𝒏 → 𝒙𝟎 dãy số 𝒇(𝒙𝒏 ) → 𝒂 } Ta nói 𝒙→𝒙+ 𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒂 ⟺ { ∀{𝑥𝑛 } ⊂ 𝑋, 𝒙𝒏 < 𝒙𝟎 mà 𝒙𝒏 → 𝒙𝟎 dãy số 𝒇(𝒙𝒏 ) → 𝒂 } 𝒙→𝒙− 𝟎 (4) Giới hạn điểm vô cực: 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒂 Ta nói, 𝒙→∞ { ∀{𝑥𝑛 } ⊂ 𝑋 mà 𝒙𝒏 → ∞ dãy số 𝒇(𝒙𝒏 ) → 𝒂 } ⟺ (5) Giới hạn vô cực : Ta nói 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = ±∞ ⟺ { ∀{𝑥𝑛 } ⊂ 𝑋, 𝒙𝒏 ≠ 𝒙𝟎 mà 𝒙𝒏 → 𝒙𝟎 dãy số 𝒇(𝒙𝒏 ) → ±∞ } 𝒙→𝒙𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = ±∞ ⟺ { ∀{𝑥𝑛 } ⊂ 𝑋 mà 𝒙𝒏 → ∞ dãy số 𝒇(𝒙𝒏 ) → ±∞ } 𝒙→∞ Lưu ý : 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒂 ⟺ 𝒍𝒊𝒎+ 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎− 𝒇(𝒙) = 𝒂 𝒙→𝒙𝟎 𝒙→𝒙𝟎 𝒙→𝒙𝟎 Ví dụ 1.3 Tính giới hạn sau (1) lim(3𝑥 + 2) = 3.2 + = 𝑥→2 (2) 𝑙𝑖𝑚+ (𝑥+2).(𝑥−3) = +∞ (do 𝑥 > (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) >0) 𝑥→3 (3) 𝑙𝑖𝑚− (𝑥−2).(𝑥+3) = −∞ (do 𝑥 < (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) < 0) 𝑥→2 (4) lim cos 𝑥 = 𝑥→∞ 𝑥→0 Với 𝑥𝑛 𝑥𝑛′ 𝑥 −1 𝑥→1 𝑥−1 = lim(𝑥 + 1) = 𝑥→1 Đặt 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 (5) lim cos 𝑥 Với lim ; 𝜋 = + 2𝑛𝜋 𝑥𝑛 = 𝜋 = 2𝑛′𝜋 1 +2𝑛𝜋 𝜋 → 𝑓(𝑥𝑛 ) = cos 𝑥 = cos ( + 2𝑛𝜋) = → 𝑥𝑛′ = 2𝑛′𝜋 → 𝑛 𝑓(𝑥𝑛′ ) = cos 𝑥 = cos(2𝑛′𝜋) = → 𝑛′ Vậy lim cos 𝑥 khơng tồn giới hạn 𝑥→0 1.4 Tính chất phép toán giới hạn (1) Giới hạn hàm số 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) (nếu tồn tại) 𝒙→𝒙𝟎 (2) Giới hạn 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) tồn 𝒙→𝒙𝟎 Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒙+ 𝟎 𝒙→𝒙𝟎 Page NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒂 𝐥𝐢𝐦 |𝒇(𝒙)| = |𝒂| 𝐥𝐢𝐦 [𝒇(𝒙) − 𝒂] = 𝟎 (3) Nếu 𝒙→𝒙𝟎 𝒙→𝒙𝟎 𝒙→𝒙𝟎 (4) Giới hạn kẹp : 𝒇(𝒙) ≤ 𝒉(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) 𝐯ớ𝐢 ∀𝒙 ∈ 𝑼𝜺 (𝒙𝟎 )\{𝒙𝟎 } Nếu { 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒂 = 𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) 𝒍𝒊𝒎 𝒉(𝒙) = 𝒂 𝒙→𝒙𝟎 𝒙→𝒙𝟎 𝒙→𝒙𝟎 Hệ quả: Nếu |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑔(𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝜀 (𝑥0 )\{𝑥0 } 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 (5) Các phép toán : Nếu 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒂 , 𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) = 𝒃 (𝒂, 𝒃 ∈ ℝ) : 𝒙→𝒙𝟎 𝒙→𝒙𝟎 𝒍𝒊𝒎 { 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)} = 𝒂 ± 𝒃 (5.1) 𝒙→𝒙𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝒂 𝒃 (5.2) 𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) 𝒂 𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) = 𝒃 (𝒃 ≠ 𝟎) ; 𝒙→𝒙𝟎 1.5 Một số giới hạn có dạng vô định thường gặp : ∞ ∞ 𝐡𝐨ặ𝐜 ∞ − ∞ ; 𝟎 𝟎 𝐡𝐚𝐲 𝟎 ∞ ; 𝟏∞ 𝐯à 𝟎𝟎 ∞ (1) Dạng 1: ∞ Cách giải : Rút gọn tử, mẫu cho 𝒙𝒌 𝒂𝒙 để đưa dạng sau: (4) 𝑙𝑖𝑚 𝑞 𝑥 = (|𝑞| < 1) (1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑘 = +∞ (𝑘 > 0) 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ (2) (3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑥 𝑘 𝑙𝑖𝑚 𝑎 𝑥 𝑥→+∞ = (𝑘 > 0) (5) = + ∞ (𝑎 > 1) (6) 𝑙𝑖𝑚 ln 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥 𝑘 𝑎𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑥 𝑘 = (𝑘 > 0) = +∞ (𝑎 > 1, 𝑘 > 0) Lưu ý: Nếu 𝑥 → −∞ đổi dấu để 𝑥 → +∞ (2) Dạng 2: 0 hay ∞ Cách giải : Rút gọn nhân tử có giới hạn Cách khác : Đưa dạng : (2.1 dạng LG) (2.2 dạng mũ) lim sin 𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑒 𝑥 −1 lim 𝑥→0 𝑥 =1 lim (2.3 dạng loga) =1 ln(1+𝑥) 𝑥→0 (2.4 dạng lũy thừa) lim 𝑥→0 =1 𝑥 (1+𝑥)𝑘 −1 𝑥 =𝑘 Lưu ý : Nếu 𝑥 → ±∞ đổi biến số 𝑡 = 𝑥 để 𝑡 → (3) Dạng : 1∞ (Lưu ý: 𝑎+∞ = +∞ với 𝑎 > 𝑞 +∞ = với |𝑞| < 1) Cách giải : Đưa dạng sau : (3.1) 𝑥 𝑙𝑖𝑚 (1 + 𝑥) = 𝑒 𝑥→±∞ Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số (3.2) 𝑙𝑖𝑚(1 + 𝑥)𝑥 = 𝑒 𝑥→0 Page NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 𝟏 Lưu ý : Nếu 𝑥 → 𝑥0 mà 𝑢 → 1, 𝑣 → ∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒖𝒗 = 𝒍𝒊𝒎 (𝟏 + (𝒖 − 𝟏))𝒖−𝟏 𝒙→𝒙𝟎 𝒍𝒊𝒎 (𝒖−𝟏)𝒗 𝒆𝒙→𝒙𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒖−𝟏 (𝒖−𝟏)𝒗 𝒙→𝒙𝟎 = 𝟎 = 𝒆𝒙→𝒙𝟎 𝟏/𝒗 Từ đó, đưa giới hạn dạng 1∞ dạng 𝟎 Chú ý : ∞ 𝟎 (1) Ở Dạng 1: ∞ Dạng 3: 𝟎 áp dụng quy tắc Lopital (xem §2, Ứng dụng đạo hàm) để khử dạng vô định (2) Ở số dạng vô định không thỏa mãn điều kiện để áp dụng quy tắc Lopital nên không sử dụng quy tắc Lopital mà phải dùng giới hạn kẹp ∞ 𝟎 (3) Dạng: ∞ − ∞ Quy đồng mẫu số rút gọn trục thức mẫu đưa dạng ∞ ; 𝟎 𝐥𝐧 𝒖 Dạng: 𝟎𝟎 Nếu 𝑥 → 𝑥0 mà 𝑢 → 0, 𝑣 → áp dụng cơng thức : 𝒖𝒗 = 𝒆𝒗.𝐥𝐧 𝒖 = 𝒆𝟏/𝒗 , đưa ∞ dạng 𝟎𝟎 dạng ∞ 1.6 Hàm số liên tục Định nghĩa : (1) Hàm số 𝑓(𝑥) liên tục 𝑥 = 𝑥0 𝑓(𝑥) xác định lân cận 𝑈𝜀 (𝑥0 ) điểm 𝑥0 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 ) (C1.1) 𝒙→𝒙𝟎 𝑓(𝑥) xác định lân cận phải 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 ) (C1.1A) (2) Hàm số 𝑓(𝑥) liên tục phải 𝑥 = 𝑥0 𝑈𝜀 (𝑥0 ) ∩ {𝑥 > 𝑥0 } điểm 𝑥0 , 𝒙→𝒙𝟎 (3) Hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trái 𝑥 = 𝑥0 𝑈𝜀 (𝑥0 ) ∩ {𝑥 < 𝑥0 } điểm 𝑥0 , 𝑓(𝑥) xác định lân cận trái 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 ) (C1.1B) 𝒙→𝒙𝟎 (4) Hàm số 𝑓(𝑥) gọi liên tục khoảng (𝑎; 𝑏) 𝑓(𝑥) liên tục ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) (5) Hàm số 𝑓(𝑥) gọi liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] 𝑓(𝑥) liên tục ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏), liên tục trái 𝑏 liên tục phải 𝑎 Nhận xét : Đồ thị hàm số liên tục (𝑎; 𝑏) đường liền nét khoảng Ví dụ 1.4 (1) Xét tính liên tục hàm số sau điểm 𝑥 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 (3) sin(𝑥 −4) (2) 𝑝(𝑥) = { 𝑥−2 𝑥 ≠ (4) 𝑥 = 𝑥 𝑥 < 𝑥 + 𝑥 ≥ 2 ℎ(𝑥) = { 𝑥 𝑥 < −2𝑥 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) = { Giải (1) Tập xác định 𝐷𝑓 = ℝ Tại 𝑥 = 2, ta có 𝑓(2) = ; lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥 = Do hàm số 𝑓(𝑥) liên tục 𝒙 = 𝟐 𝑥→2 𝑥→0 Tốn Giải Tích –Chương Hàm số biến số Page 10 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 1.2 Các tính chất tích phân kép (1) : ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 (2) : ∬𝐷 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑘 ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 (k số) (3) : Nếu miền D chia thành hai miền 𝐷1 , 𝐷2 khơng dẫm lên : ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∬𝑫𝟏 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 + ∬𝑫𝟐 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 (C5.2) (4) : Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦) với ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 : ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤ ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 1.3 • Cách tính tích phân kép ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 Trường hợp 1: Miền D hình chữ nhật có cạnh song song với trục tọa độ Định lý (Fubini) : Giả sử 𝑫 = [𝒂, 𝒃] × [𝒄, 𝒅] tức là: 𝑫 = {(𝒙, 𝒚)|𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃, 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅} Hay D giới hạn đường thẳng 𝒙 = 𝒂 ; 𝒙 = 𝒃 ; 𝒚 = 𝒄 ; 𝒚 = 𝒅 𝑓: 𝐷 → ℝ hàm khả tích D Khi : +) Với 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], hàm 𝑧(𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 [𝑐, 𝑑] (1) Nếu { 𝑑 +) Hàm 𝐹(𝑥) = ∫𝑐 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 [𝑎, 𝑏] 𝒃 𝒅 ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∫𝒂 (∫𝒄 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚) 𝒅𝒙 : (C5.2A) +) Với 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑], hàm 𝑧(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 [𝑎, 𝑏] (2) Nếu { 𝑏 +) Hàm 𝐺(𝑦) = ∫𝑎 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 [𝑐, 𝑑] 𝒅 Ví dụ 5.1 Đáp số : 𝐼 = • 𝒃 ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∫𝒄 (∫𝒂 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙) 𝒅𝒚 : (C5.2B) Tính 𝐼 = ∬𝐷(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): ≤ 𝑥 ≤ 2, ≤ 𝑦 ≤ 1} 10 Trường hợp 2: Miền D hình chữ nhật cong dạng 1, tức 𝐷 bị chặn hai đường thẳng 𝒙 = 𝒂; 𝒙 = 𝒃 song song với trục 𝑂𝑦, hai đường cong 𝒚 = 𝒈𝟏 (𝒙) ; 𝒚 = 𝒈𝟐 (𝒙) Tốn Giải Tích – Chương Tích phân bội hai Page 76 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 +) 𝑫 = {(𝒙, 𝒚): 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃, 𝒈𝟏 (𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝒈𝟐 (𝒙)} Định lý 1: Giả sử { +) 𝒈𝟏 (𝒙) ≤ 𝒈𝟐 (𝒙) với ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑓: 𝐷 → ℝ +) 𝑔1 (𝑥) 𝑔2 (𝑥) 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 [𝑎, 𝑏] hàm khả tích D Khi : +) Với 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], hàm biến 𝑧(𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 [𝑔1 (𝑥), 𝑔2 (𝑥)] Nếu { 𝑔 (𝑥) +) Hàm 𝐹(𝑥) = ∫𝑔 2(𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 [𝑎, 𝑏] : • 𝒃 𝒈 (𝒙) 𝟐 ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∫𝒂 (∫𝒈𝟏 (𝒙) 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚) 𝒅𝒙 (C5.3A) Trường hợp 3: Miền D hình chữ nhật cong dạng 2, tức 𝐷 bị chặn hai đường thẳng 𝒚 = 𝒄 ; 𝒚 = 𝒅 song song với trục Ox, hai đường cong 𝒙 = 𝒉𝟏 (𝒚) ; 𝒙 = 𝒉𝟐 (𝒚) +) 𝑫 = {(𝒙, 𝒚): 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅, 𝒉𝟏 (𝒚) ≤ 𝒙 ≤ 𝒉𝟐 (𝒚)} Định lý 2: Giả sử { +) 𝒉𝟏 (𝒚) ≤ 𝒉𝟐 (𝒚) với ∀𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] 𝑓: 𝐷 → ℝ (𝑦) (𝑦) [𝑐, +) ℎ1 ℎ2 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 𝑑] hàm khả tích D Khi : +) Với 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑], hàm biến 𝑧(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 [ℎ1 (𝑦), ℎ2 (𝑦)] Nếu { ℎ (𝑦) +) Hàm 𝐺(𝑦) = ∫ℎ 2(𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝐤𝐡ả 𝐭í𝐜𝐡 [𝑐, 𝑑] : 𝒅 𝒉 (𝒚) 𝟐 ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∫𝒄 (∫𝒉𝟏 (𝒚) 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙) 𝒅𝒚 (C5.3B) Chú ý: (1) Nếu 𝑓 hàm liên tục miền D Định lý 1, hai hàm 𝑔1 (𝑥), 𝑔2 (𝑥) liên tục [𝑎, 𝑏]; Định lý 2, hai hàm ℎ1 (𝑦), ℎ2 (𝑦) liên tục [𝑐, 𝑑] cơng thức (C5.3A) (C5.3B) (2) Giả sử miền lấy tích phân D nội tiếp hình chữ nhật [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑], có biên 𝜕𝐷 tiếp xúc với hình chữ nhật điểm 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄 (như hình vẽ) Giả sử cung MNP, MQP NMQ, NPQ có phương trình : 𝑦 = 𝑔1 (𝑥) , 𝑦 = 𝑔2 (𝑥) 𝑥 = ℎ1 (𝑦), 𝑥 = ℎ2 (𝑦) 𝒃 𝒈 (𝒙) 𝒅 𝒉 (𝒚) (𝑀𝑁𝑃, 𝑀𝑄𝑃) (𝑁𝑀𝑄, 𝑁𝑃𝑄) Thế thì: ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∫𝒂 (∫𝒈 𝟐(𝒙) 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚) 𝒅𝒙 = ∫𝒄 (∫𝒉 𝟐(𝒚) 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙) 𝒅𝒚 𝟏 𝟏 (C5.4) Công thức (C5.4) gọi cơng thức đổi thứ tự lấy tích phân Tốn Giải Tích – Chương Tích phân bội hai Page 77 NTTH – Bộ mơn TTƯD – HVNN 9-2019 Ví dụ 5.2 𝐼 = ∬𝐷(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 với Tính D miển giới hạn đường : 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑦 = 1, 𝑦 = 1.4 • Đổi biến số tích phân kép Đổi biến số hệ tọa độ Đề-cac (∗) { Nếu : 𝒙 = 𝒙(𝒖, 𝒗) 𝒚 = 𝒚(𝒖, 𝒗) thỏa mãn : +) 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣) hàm số liên tục +) Với (𝒙, 𝒚) ∈ 𝑫 (*) xác định điểm (𝒖, 𝒗) ∈ 𝑫′ ngược lại 𝒙′ 𝒙′𝒗 𝑫(𝒙,𝒚) +) Định thức: 𝑱 = 𝑫(𝒖,𝒗) = | 𝒖′ | ≠ 𝟎 (J định thức Jacobi 𝑥, 𝑦 𝑢, 𝑣) 𝒚𝒖 𝒚′𝒗 Khi ta có : ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∬𝑫′ 𝒇(𝒙(𝒖, 𝒗), 𝒚(𝒖, 𝒗)) | 𝑱 | 𝒅𝒖𝒅𝒗 (C5.5) Ví dụ 5.3 Tính tích phân miền 𝐷 xác định sau (1) Tính 𝐼 = ∬𝐷(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với D miền hình bình hành giới hạn đường 𝑦 = −𝑥, 𝑦 = −𝑥 + 3, 𝑦 = 2𝑥 − 1, 𝑦 = 2𝑥 + Tính 𝐾 = ∬𝐷 𝑒 (2) 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D miền xác định 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝟏 Giải Đáp số : 𝟏 𝑰 = −𝟏; 𝑲 = 𝟒 (𝒆 − 𝒆) (1) Miền D giới hạn đường 𝑥 + 𝑦 = ; 𝑥 + 𝑦 = ; 2𝑥 − 𝑦 = ; 2𝑥 − 𝑦 = −1 ⟺ 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)| ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 3; −1 ≤ 2𝑥 − 𝑦 ≤ 1} 𝑢+𝑣 𝑥= 𝑢 =𝑥+𝑦 𝑥𝑢′ Đổi biến số : { => { => 𝐽 = | 2𝑢−𝑣 𝑣 = 2𝑥 − 𝑦 𝑦𝑢′ 𝑦= Miền 𝐷 ⟺ 𝐷′ = {(𝑢, 𝑣)| ≤ 𝑢 ≤ 3; −1 ≤ 𝑣 ≤ 1} Vậy : −𝑢+2𝑣 𝐼 = ∬𝐷′ ( 1 1 1 𝑥𝑣′ | = |32 𝑦𝑣′ 3 1| = −3 −3 (𝑫′ hình chữ nhật) ) |− 3| 𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∫−1 (∫0 (−𝑢 + 2𝑣)𝑑𝑢) 𝑑𝑣 1 1 = ∫−1 ((− 𝑢2 + 2𝑣 𝑢)| ) 𝑑𝑣 = ∫−1 (− + 6𝑣) 𝑑𝑣 = (− 𝑣 + 𝑣 )| −1 𝑢+𝑣 𝑥= 𝑢 =𝑥−𝑦 𝑥𝑢′ (2) Đổi biến số : { 𝑣 = 𝑥 + 𝑦 => { −𝑢+𝑣 => 𝐽 = |𝑦 ′ 𝑢 𝑦= ′ 𝑢 1 1| =2 (𝑫 hình chữ nhật cong) 𝑢 𝑣 ′ Miền 𝐷 ⟺ 𝐷 = {(𝑢, 𝑣)| ≤ 𝑣 ≤ 1; −𝑣 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣} Vậy : 𝑥𝑣′ | = | 21 𝑦𝑣′ − = −𝟏 1 𝑢 𝑣 𝐾 = ∬𝐷′ (𝑒 𝑣 ) 𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∫0 (∫−𝑣 (𝑒 𝑣 ) 𝑑𝑢) 𝑑𝑣 = ∫0 ((𝑣 𝑒 𝑣 )| ) 𝑑𝑣 −𝑣 1 1 𝑣2 1 = ∫−1 (𝑒 − ) 𝑣𝑑𝑣 = (𝑒 − ) | = (𝑒 − ) 𝑒 𝑒 𝑒 Tốn Giải Tích – Chương Tích phân bội hai Page 78 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 • Đổi biến số hệ tọa độ cực Từ công thức đổi tọa độ (𝑥, 𝑦) hệ tọa độ Đe-cac Oxy sang tọa độ (𝑟, 𝜑) hệ tọa độ 𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝝋 (∗∗) { 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐯ớ𝐢 𝒓 > 𝟎, 𝟎 ≤ 𝝋 ≤ 𝟐𝝅 cực (𝑂, 𝑟, 𝜑) : ta có cơng thức : ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∬𝑫′ 𝒇(𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝝋 , 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝝋) 𝒓 𝒅𝒓𝒅𝝋 (C5.6A) : với (𝒙, 𝒚) ∈ 𝑫 (**) xác định điểm (𝒓, 𝝋) ∈ 𝑫′ ngược lại Chú ý: Trường hợp đặc biệt, miền D biểu diễn hệ tọa độ cực xác định : 𝜶 ≤ 𝝋 ≤ 𝜷, 𝒓𝟏 (𝝋) ≤ 𝒓 ≤ 𝒓𝟐 (𝝋) : 𝜷 𝒓 (𝝋) 𝟐 ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∫𝜶 (∫𝒓 (𝝋) 𝒇(𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝝋 , 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝝋) 𝒓 𝒅𝒓) 𝒅𝝋 𝟏 (C5.6B) Còn gốc O nằm miền 𝐷 tia xuất từ O cắt biên 𝜕𝐷 miền 𝐷 điểm có bán kính vectơ 𝒓(𝝋) : 𝟐𝝅 𝒓(𝝋) ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∫𝟎 (∫𝟎 𝒇(𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝝋 , 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝝋) 𝒓 𝒅𝒓) 𝒅𝝋 (C5.6C) Ví dụ 5.4 Tính 𝐼 = ∬𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D nửa đường trịn đơn vị nằm phía 𝑂𝑥 √1+𝑥 +𝑦 Giải Miền 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)| 𝑥 + 𝑦 = ; 𝑦 ≥ 0} Biểu diễn hệ tọa độ cực 𝐷 ⟺ 𝐷′ = {(𝑟, 𝜑)| ≤ 𝑟 ≤ 1; ≤ 𝜑 ≤ 𝜋} 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 1 Đổi biến số { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 => 𝑓(𝑥, 𝑦) = = √1+𝑟 => 𝐼 = ∬𝐷′ √1+𝑟 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 √1+𝑥 +𝑦 𝜋 Vậy : 𝐼 = ∫0 (∫0 𝜋 𝑟 √1+𝑟 𝜋 𝑑𝑟) 𝑑𝜑 = ∫0 ((√1 + 𝑟 )|0 ) 𝑑𝜑 = ∫0 (√2 − 1)𝑑𝜑 = 𝝅(√𝟐 − 𝟏) Tính ∬𝐷 √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với D miền xác định 𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 ≥ 0, 𝑥 + Ví dụ 5.5 𝑦 − ≤ 0, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 𝜋 (𝐷′ = {(𝑟, 𝜑) | sin 𝜑 ≤ 𝑟 ≤ , ≤ 𝜑 ≤ }) §2 Ứng dụng tích phân kép 2.1 Tính thể tích vật thể (ĐỌC THÊM) Cơng thức : Thể tích vật thể hình trụ mà mặt xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với 𝑂𝑧 tựa biên 𝜕𝐷, có đáy miền D mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, có mặt giới hạn mặt cong 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) liên tục 𝐷, mà 𝒇(𝒙, 𝒚) ≥ 𝟎 ∀(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑫 : 𝑽 = ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 (C5.7A) Ví dụ 5.6 Tính thể tích mặt trụ có đường sinh song song với 𝑂𝑧, đáy miền 𝐷 = [0,2] × [0,2] mặt giới hạn mặt cong 𝑧 = 16 − 𝑥 − 2𝑦 Tốn Giải Tích – Chương Tích phân bội hai Page 79 NTTH – Bộ mơn TTƯD – HVNN 9-2019 2.2 Tính diện tích hình phẳng 𝑺𝑫 = ∬𝑫 𝒅𝒙𝒅𝒚 Cơng thức : Diện tích hình phẳng D : Ví dụ 5.7 (C5.7B) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : a 𝑦 = + 𝑥 b 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 2𝑥 + 1+𝑥 𝑦+1 Hướng dẫn : a) 𝑆𝐷 = ∫−1 (∫2𝑥 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 = b) 𝑆𝐷 = ∫−2 (∫𝑦2 −3 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑦 (Áp dụng TH2 cơng thức (C5.3A-B)) 2.3 Tính diện tích mặt cong Cơng thức : Diện tích mặt cong có phương trình 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) giới hạn đường cong kín, có hình chiếu mặt mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 miền 𝐷, 𝑓(𝑥, 𝑦) hàm số liên tục có đạo hàm riêng liên tục D, : 𝟐 𝝈𝑫 = ∬𝑫 √𝟏 + [𝒛′𝒙 ]𝟐 + [𝒛′𝒚 ] 𝒅𝒙𝒅𝒚 (C5.7C) Ví dụ 5.8 Tính diện tích : Phần mặt nón 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 nằm mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = Phần mặt cong 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 nằm hai mặt phẳng 𝑧 = 𝑧 = Đáp số : a) 𝜎𝐷 = ∬𝐷 √1 + 1𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2𝜋√2 ; b) 𝜎𝐷 = ∬𝐷 √1 + 4𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Tốn Giải Tích – Chương Tích phân bội hai Page 80 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 BÀI TẬP CHƯƠNG Dạng 12: Tính tích phân kép hệ tọa độ Đe-cac miền hình chữ nhật, miền hình bình hành (đổi biến để đưa hình chữ nhật), với cận xác định cận phụ thuộc biến (bậc nhất) Bài 12: Tính tích phân kép (2) 𝐼 = ∬𝐷(2𝑥 − 3𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) : − ≤ 𝑥 ≤ 0, ≤ 𝑦 ≤ 2} Tính 𝐼 = ∬𝐷(3𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với D miền hình bình hành giới hạn đường (3) 𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑦 = 𝑥 + 2, 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑦 = 2𝑥 − với D miền giới hạn 𝑦 = 1, 𝑦 = 𝑥 ∬𝐷 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 (1) (4) (5) (6) với D miền giới hạn đường 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 𝑦2 ∬𝐷 𝑦(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ∬𝐷(𝑦 + 2)𝑑𝑥𝑑𝑦 , D miền giới hạn điểm 𝐴(−1,4); 𝐵(4,4); 𝐶(4,1); 𝐸(1,1) ∬𝐷(𝑥 − 𝑦) √𝑥 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 miền giới hạn đường: 𝑥 + 𝑦 = 1; 𝑥 − 𝑦 = −1; 𝑥 + 𝑦 = 1; 𝑥 + 𝑦 = −1 Dạng 13: Tính tích phân kép tọa độ cực Công thức : ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∬𝑫′ 𝒇(𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝝋 , 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝝋) 𝒓 𝒅𝒓𝒅𝝋 Bài 13: Tính tích phân sau : (1) ∬𝐷(2𝑥𝑦 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 với D hình trịn tâm 𝑂(0,0) bán kính 𝑟 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 (2) ∬𝐷 𝑥 +𝑦 2+1 với D giới hạn 𝑥 + 𝑦 ≤ (𝐷′ = {(𝑟, 𝜑) | ≤ 𝑟 ≤ 2, ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}) (3) ∬𝐷 √4 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ với D miền xác định 𝜋 (𝐷′ = {(𝑟, 𝜑) | ≤ 𝑟 ≤ cos 𝜑 , ≤ 𝜑 ≤ }) Dạng 14: Ứng dụng tích phân kép để tính diện tích (hình phẳng 𝑺𝑫 mặt cong 𝝈𝑫 ) Công thức : 𝑺𝑫 = ∬𝑫 𝒅𝒙𝒅𝒚 ; 𝟐 𝝈𝑫 = ∬𝑫 √𝟏 + [𝒛′𝒙 ]𝟐 + [𝒛′𝒚 ] 𝒅𝒙𝒅𝒚 𝐯ớ𝐢 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) Bài 14A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: (4) Tính diện tích miền mặt (1) 𝑥 = 4𝑦 − 𝑦 𝑥+𝑦 =6 𝑥 𝑥 phẳng nằm phía trục 𝑂𝑥, giới hạn (2) 𝑦 = , 𝑦 = − 𝑦 = trục đó, parabol 𝑦 = 4𝑥 (3) 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 8(6 − 𝑥)3 đường thẳng 𝑥 + 𝑦 = Bài 14B: Tìm cơng thức tính diện tích mặt cong : a Phần mặt nón 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 nằm hình hộp đứng có đáy mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 miền 𝐷 = [−1,1] × [−1,1] b Phần mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = nằm phần mặt trụ 𝑥2 + 𝑦2 = Tốn Giải Tích – Chương Tích phân bội hai Page 81 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 Chương Phương trình vi phân §0 Các khái niệm mở đầu (1) Một phương trình chứa đạo hàm vi phân nhiều hàm số cần tìm gọi phương trình vi phân Phương trình vi phân tổng quát có dạng : 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒚′ , … , 𝒚(𝒏) ) = 𝟎 (*) x biến số độc lập ; 𝑦 = 𝑦(𝑥) hàm số phải tìm ; 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛) đạo hàm (2) Cấp cao đạo hàm y có mặt phương trình gọi cấp phương trình (3) Phương trình vi phân gọi tuyến tính biểu thức vế trái 𝐹 bậc 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛) Dạng tổng quát phương trình vi phân tuyến tính cấp n : 𝒚(𝒏) + 𝒂𝟏 (𝒙) 𝒚(𝒏−𝟏) + … + 𝒂𝒏−𝟏 (𝒙) 𝒚′ + 𝒂𝒏 (𝒙) 𝒚 = 𝒃(𝒙) : 𝑎1 (𝑥), … , 𝑎𝑛 (𝑥), 𝑏(𝑥) hàm số cho trước (4) Nghiệm phương trình vi phân (*) hàm số có dạng 𝒚 = 𝝋(𝒙) xác định khoảng K đó, cho thay vào phương trình (*) ta đồng thức K (5) Giải phương trình vi phân tìm tất nghiệm Đồ thị nghiệm 𝒚 = 𝝋(𝒙) gọi đường cong tích phân phương trình Như vậy, giải phương trình vi phân tìm tất đường cong tích phân nó, đường cong xác định phương trình 𝒚 = 𝝋(𝒙) 𝒙 = 𝒙(𝒕) 𝝋(𝒙, 𝒚) = 𝟎 phương trình tham số { 𝒚 = 𝒚(𝒕) §1 Phương trình vi phân cấp 1.1 Các định nghĩa định lý mở đầu Định nghĩa : Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp : 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒚′ ) = 𝟎 (**) - 𝒚′ = 𝒇(𝒙, 𝒚) (C6.1A) Giải phương trình (**) với điều kiện đầu 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 tìm nghiệm 𝒚 = 𝒚(𝒙) thỏa điều kiện đầu, hay tìm đường cong tích phân qua điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) Bài tốn tìm nghiệm phương trình (**) thỏa mãn điều kiện đầu trên, gọi tốn Cauchy phương trình (**) Tốn Giải Tích – Chương Phương trình vi phân Page 82 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 Định lý (về tồn nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp : 𝒚′ = 𝒇(𝒙, 𝒚) Giả sử 𝑓(𝑥, 𝑦); 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (1) (𝑥, 𝑦) liên tục miền D mặt phẳng Oxy giả sử (𝑥0 , 𝑦0 ) điểm thuộc D Khi đó, lân cận điểm 𝑥 = 𝑥0 tồn nghiệm : 𝒚 = 𝒚(𝒙) phương trình (1) mà 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 Định nghĩa : (C6.1B) (1) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp hàm số 𝒚 = 𝝋(𝒙, 𝑪) 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) (1) C số tùy ý, thỏa mãn điều kiện sau: (i) (ii) Hàm y thỏa mãn phương trình vi phân (1) với giá trị C Với (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷, tìm giá trị 𝐶 = 𝐶0 cho hàm số 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶0 ) thỏa điều kiện đầu 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , tức 𝑦0 = 𝜑(𝑥0 , 𝐶0 ) Nghiệm 𝒚 = 𝝋(𝒙, 𝑪𝟎 ) thỏa điều kiện đầu 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , tức 𝑦0 = 𝜑(𝑥0 , 𝐶0 ) gọi nghiệm riêng (1) (1) Nếu ta khơng tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1) dạng tường minh 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) mà tìm dạng hàm ẩn xác định phương trình: 𝚽(𝒙, 𝒚, 𝑪) = 𝟎 ta gọi hệ thức tích phân tổng qt phương trình (1) Tương tự, hệ thức 𝚽(𝒙, 𝒚, 𝑪𝟎 ) = 𝟎 xác định từ tích phân tổng quát cách thay 𝐶 = 𝐶0 gọi tích phân riêng (1) (2) Các nghiệm phương trình (1) không nằm họ nghiệm tổng quát, gọi nghiệm kỳ dị 1.2 Phương trình vi phân cấp với biến số phân ly Dạng tổng quát : 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒈(𝒚)𝒅𝒚 (C6.2A) Cách giải : Lấy tích phân hai vế ta ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒈(𝒚)𝒅𝒚 hay 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑦) + 𝐶 Ví dụ 6.1 Giải phương trình vi phân cấp sau : (1) (1 + 𝑥)𝑦𝑑𝑥 + (1 − 𝑦)𝑥𝑑𝑦 = (3) 𝑥 (𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (𝑥 − 1)(𝑦 − 1)𝑑𝑦 = ′ (2) 𝑦 = 𝑥𝑦(𝑦 + 2) (4) 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑦 với điều kiện đầu : 𝑦(1) = Giải (1) TH1: Nếu 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ phương trình cho tương đương ( Tốn Giải Tích – Chương Phương trình vi phân 1+𝑥 𝑥 ) 𝑑𝑥 = ( 𝑦−1 𝑦 ) 𝑑𝑦 Page 83 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 1 Lấy tích phân hai vế, ta : ∫ (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑦) 𝑑𝑦 ⟺ ln|𝑥| + 𝑥 = 𝑦 − ln|𝑦| + 𝐶 ln|𝑥𝑦| + 𝑥 − 𝑦 = 𝐶 Hay tích phân tổng quát phương trình TH2 : Kiểm tra thấy, 𝑥 = 𝑦 = thỏa mãn phương trình Đó hai đường tích phân kỳ dị Chú ý: Các phương trình khuyết dạng 𝒚′ = 𝒇(𝒙) phương trình vi phân với biến số phân ly 1.3 𝒚′ = 𝒇(𝒚) (C6.2B) Phương trình vi phân cấp (đẳng cấp bậc không) 𝒚 𝒚′ = 𝒇 (𝒙 ) Dạng tổng quát : Đặt Cách giải : 𝑦 Thay : 𝑥 (C6.3A) u hàm số x 𝑦 = 𝑢 𝑥 = 𝑢 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 vào phương trình cho ta phương trình vi phân cấp với biến số phân ly sau : 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 = 𝑓(𝑢) ⟺ TH1 : 𝑓(𝑢) ≠ 𝑢 𝑑𝑢 𝑓(𝑢)−𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑓(𝑢) − 𝑢 Từ đó, ta có công thức nghiệm : 𝑑𝑢 ′ ln|𝑥| = ∫ 𝑓(𝑢)−𝑢 = Φ(𝑢) + 𝐶 ′ ⟺ 𝑥 = 𝑒 Φ(𝑢)+𝐶 𝑥 = 𝐶 𝑒 Φ(𝑦/𝑥) Hay tích phân tổng quát phương trình (1b) : 𝑦 TH2 : 𝑓(𝑢) = 𝑢 Tức phương trình (1b) có dạng 𝑦 ′ = 𝑥 ⟺ 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥 ⟺ ln|𝑦| = ln|𝑥| + 𝐶 ′ Hay nghiệm tổng quát (1b) : 𝑦 = 𝐶 ′ 𝑥 Chú ý : Phương trình dạng 𝑷(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑸(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 (C6.3B), 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑄(𝑥, 𝑦) hàm đẳng cấp (thuần nhất) bậc, phương trình Ví dụ 6.2 Giải phương trình vi phân đẳng cấp sau: 𝑦 𝑥+2𝑦 (1) 𝑦 ′ = 2𝑥−𝑦 ĐS: √𝑥 + 𝑦 = 𝐶 𝑒 2.arctan(𝑥) (2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1.4 = 4𝑥 +3𝑦 2𝑥𝑦 ĐS: 𝑦 + 4𝑥 = 𝐶 𝑥 (3) (2𝑥𝑦 − 5𝑦 )𝑑𝑥 + (3𝑦 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 𝑥−𝑦+1 (4) 𝑦 ′ = 𝑥+𝑦+3 Đáp số : 𝑦 + 2𝑥𝑦 − 𝑥 − 2𝑥 + 6𝑦 = 𝐶 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Dạng tổng quát: 𝒚′ + 𝒑(𝒙) 𝒚 = 𝒒(𝒙) (C6.4), 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) hàm số liên tục Nếu 𝑞(𝑥) ≡ phương trình 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) 𝑦 = gọi phương trình tuyến tính Nếu 𝑞(𝑥) ≢ phương trình 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) 𝑦 = 𝑞(𝑥) gọi phương trình tuyến tính khơng Tốn Giải Tích – Chương Phương trình vi phân Page 84 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 Cách giải : ✓ B1: Tìm nghiệm phương trình tuyến tính tương ứng : 𝒚′ + 𝒑(𝒙) 𝒚 = 𝟎 (C6.4A) - Dễ thấy : 𝑦 = nghiệm (C6.4A) - Với 𝑦 ≠ 0, (C6.4A) ⟺ 𝑑𝑦 𝑦 = −𝑝(𝑥) 𝑑𝑥 ⟺ ln|𝑦| = − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 ′ ⟺ 𝒚 = 𝑪 𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 Nghiệm tổng quát (C6.4A) là: 𝒚 = 𝑪𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 (𝑦 = nghiệm riêng với 𝐶 = 0) ✓ B2 : Tìm nghiệm tổng quát (C6.4) có dạng : 𝒚 = 𝑪(𝒙) 𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 phương pháp biến thiên số Lagrange Lấy đạo hàm hai vế, 𝑦 ′ 𝑦, vào (C6.4) ta có : [𝐶 ′ (𝑥) 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶(𝑥) (− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥)′ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ] + 𝑝(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑞(𝑥) ⟺ 𝐶 ′ (𝑥) 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑞(𝑥) ⟺ 𝐶 ′ (𝑥) = 𝑞(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ⟺ 𝐶(𝑥) = ∫ 𝑞(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐾 ✓ B3 : Nghiệm tổng quát (C6.4) : 𝒚 = 𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 [∫ 𝒒(𝒙) 𝒆∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝑲] Ví dụ 6.3 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: (3) 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥𝑒 𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = (1) (𝑥 + 1)𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = 𝑥 với 𝑦(0) = (2) (𝑥 + 1)𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = −𝑥 (4) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑒 −𝑥 , 𝑦(0) = −1 §2 Phương trình vi phân cấp 2.1 Các định nghĩa định lý mở đầu Định nghĩa : Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp hai : 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒚′ , 𝒚′′ ) = 𝟎 (***) - 𝒚′′ = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒚′ ) (C6.5A) Giải phương trình (***) với điều kiện đầu 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 ; 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦1 tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu, hay tìm đường cong tích phân qua điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) có hệ số góc tiếp tuyến đường cong 𝑀0 𝑦1 Bài tốn tìm nghiệm phương trình (***) thỏa mãn điều kiện đầu trên, gọi toán Cauchy phương trình (***) Định lý (về tồn nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp : 𝒚′′ = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒚′ ) Toán Giải Tích – Chương Phương trình vi phân (2) Page 85 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 Giả sử 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) ; 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) ; 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ′ (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) liên tục miền D ℝ3 giả sử (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦1 ) điểm thuộc D Khi lân cận điểm 𝑥 = 𝑥0 tồn nghiệm : 𝒚 = 𝒚(𝒙) phương trình (2) mà 𝒚(𝒙𝟎 ) = 𝒚𝟎 ; 𝒚′ (𝒙𝟎 ) = 𝒚𝟏 Định nghĩa (C6.5B) (1) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp hai 𝒚′′ = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒚′ ) (2) hàm số 𝒚 = 𝝋(𝒙, 𝑪𝟏 , 𝑪𝟐 ) 𝑪𝟏 , 𝑪𝟐 số tùy ý, thỏa mãn điều kiện sau: (i) Hàm 𝑦 thỏa mãn phương trình vi phân (2) với giá trị 𝐶1 , 𝐶2 (ii) Với (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦1 ) ∈ 𝐷, tìm giá trị 𝐶1 = 𝐶10 , 𝐶2 = 𝐶20 cho hàm số 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶10 , 𝐶20 ) thỏa điều kiện đầu 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 ; 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦1 Nghiệm 𝒚 = 𝝋(𝒙, 𝑪𝟎𝟏 , 𝑪𝟎𝟐 ) thỏa điều kiện đầu 𝒚(𝒙𝟎 ) = 𝒚𝟎 ; 𝒚′ (𝒙𝟎 ) = 𝒚𝟏 gọi nghiệm riêng (2) (2) Nếu ta khơng tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân (2) dạng tường minh 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 ) mà tìm dạng hàm ẩn xác định phương trình : 𝚽(𝒙, 𝒚, 𝑪𝟏 , 𝑪𝟐 ) = 𝟎 ta gọi hệ thức tích phân tổng qt phương trình (2) Tương tự, hệ thức 𝚽(𝒙, 𝒚, 𝑪𝟎𝟏 , 𝑪𝟎𝟐 ) = 𝟎 xác định từ tích phân tổng quát cách thay 𝐶1 = 𝐶10 ; 𝐶1 = 𝐶20 gọi tích phân riêng (2) (3) Các nghiệm phương trình (2) khơng nằm họ nghiệm tổng quát, gọi nghiệm kỳ dị 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Dạng tổng quát : 𝒚′′ + 𝒑(𝒙)𝒚′ + 𝒒(𝒙)𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥), 𝑓(𝑥) (C6.6A) hàm số liên tục Đặc biệt 𝒇(𝒙) ≡ 𝟎 phương trình 𝒚′′ + 𝒑(𝒙)𝒚′ + 𝒒(𝒙)𝒚 = 𝟎 gọi phương trình tuyến tính cấp (C6.6B) Nếu 𝒇(𝒙) ≢ 𝟎 (C6.6A) gọi phương trình tuyến tính khơng • Các tính chất phương trình : 𝒚′′ + 𝒑(𝒙)𝒚′ + 𝒒(𝒙)𝒚 = 𝟎 Định lý 1: Nếu 𝒚𝟏 (𝒙), 𝒚𝟐 (𝒙) hai nghiệm phương trình (C6.6B) 𝑪𝟏 𝒚𝟏 (𝒙) + 𝑪𝟐 𝒚𝟐 (𝒙) với 𝐶1 , 𝐶2 số nghiệm (C6.6B) Tốn Giải Tích – Chương Phương trình vi phân (C6.7) Page 86 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 Định nghĩa : 𝒚 (𝒙) (1) Hai hàm số 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥) gọi độc lập tuyến tính đoạn [𝑎 ; 𝑏] tỉ số 𝒚𝟏 (𝒙) ≠ 𝒌 (𝑘 𝟐 số) đoạn Trái lại, ta nói chúng phụ thuộc tuyến tính 𝒚𝟏 𝒚𝟐 (2) Kí hiệu 𝑾(𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 ) = |𝒚′ 𝒚′ | = 𝒚𝟏 𝒚′𝟐 − 𝒚𝟐 𝒚′𝟏 gọi định thức Wronsky 𝟏 𝟐 hai hàm số 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥) Định lý : Nếu nghiệm 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥) phương trình (C6.6B) độc lập tuyến tính [𝑎 ; 𝑏] định thức 𝑾(𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 ) ≠ 𝟎 điểm đoạn Định lý : Nếu 𝒚𝟏 (𝒙), 𝒚𝟐 (𝒙) hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình (C6.6B) nghiệm tổng qt (C6.6B) : 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒚𝟏 (𝒙) + 𝑪𝟐 𝒚𝟐 (𝒙) với 𝐶1 , 𝐶2 số tùy ý (C6.8) Định lý : Nếu 𝑦1 (𝑥) ≠ nghiệm riêng (C6.6B) ta có nghiệm riêng 𝑦2 (𝑥) phương trình độc lập tuyến tính với 𝑦1 (𝑥) có dạng : 𝒚𝟐 (𝒙) = 𝒚𝟏 (𝒙) 𝒖(𝒙) • với 𝑢(𝑥) hàm số (C6.9) Các tính chất phương trình khơng : 𝒚′′ + 𝒑(𝒙)𝒚′ + 𝒒(𝒙)𝒚 = 𝒇(𝒙) (C6.6A) Định lý : Nghiệm tổng qt phương trình khơng (C6.6A) tổng nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (C6.6B) nghiệm riêng Tức là, nghiệm tổng quát (C6.6A) : ̅ + 𝒚∗ 𝒚=𝒚 (C6.10) ̅ nghiệm tổng quát phương trình (C6.6B), 𝒚∗ nghiệm : 𝒚 riêng (C6.6A) Định lý (nguyên lý chồng nghiệm) : Cho phương trình: 𝒚′′ + 𝒑(𝒙)𝒚′ + 𝒒(𝒙)𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) Nếu 𝑦1 (𝑥) nghiệm riêng phương trình 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) ; 𝑦2 (𝑥) nghiệm riêng 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) : 𝒚 = 𝒚𝟏 (𝒙) + 𝒚𝟐 (𝒙) (C6.11) nghiệm riêng phương trình cho • Phương pháp biến thiên số (tìm nghiệm tổng quát phương trình khơng nhất) Tốn Giải Tích – Chương Phương trình vi phân Page 87 NTTH – Bộ mơn TTƯD – HVNN 9-2019 B1 : Tìm nghiệm : 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒚𝟏 (𝒙) + 𝑪𝟐 𝒚𝟐 (𝒙) nghiệm tổng quát phương trình (C6.6B) B2 : Tìm hai hàm số 𝐶1 (𝑥), 𝐶2 (𝑥) thỏa mãn hệ { 𝑪′𝟏 𝒚𝟏 + 𝑪′𝟐 𝒚𝟐 = 𝟎 𝑪′𝟏 𝒚′𝟏 + 𝑪′𝟐 𝒚′𝟐 = 𝒇(𝒙) B3 : Kết luận, nghiệm tổng quát phương trình khơng (C6.6A) là: 𝒚 = 𝑪𝟏 (𝒙) 𝒚𝟏 (𝒙) + 𝑪𝟐 (𝒙) 𝒚𝟐 (𝒙) 2.3 • (C6.12) Phương trình tuyến tính cấp có hệ số khơng đổi (hệ số hằng) Phương trình với hệ số Dạng tổng quát : 𝒚′′ + 𝒑 𝒚′ + 𝒒 𝒚 = 𝟎 với p, q hai số (C6.13) Cách giải : B1: Giải phương trình đặc trưng (C6.13) : 𝒌𝟐 + 𝒑 𝒌 + 𝒒 = 𝟎 (∗) B2 : Kết luận : - Nếu (*) có nghiệm thực 𝑘1 , 𝑘2 phân biệt nghiệm tổng quát (C6.13) : ̅ = 𝑪𝟏 𝒆𝒌𝟏 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝒌𝟐 𝒙 𝒚 - - Nếu (*) có nghiệm thực 𝑘1 = 𝑘2 nghiệm tổng quát (C6.13) : ̅ = (𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒙) 𝒆𝒌𝟏 𝒙 𝒚 (C6.14B) Nếu (*) có nghiệm phức 𝑘1 , 𝑘2 liên hợp 𝑘1 = 𝑎 + 𝑖𝑏; 𝑘2 = 𝑎 − 𝑖𝑏 nghiệm tổng quát (2b) : ̅ = (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒃𝒙 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒃𝒙)𝒆𝒂.𝒙 𝒚 (C6.14C) Ví dụ 6.4 Giải phương trình tuyến tính : 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 5𝑦 = Đáp số : • (C6.14A) 𝑦̅ = (𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥)𝑒 𝑥 Phương trình khơng với hệ số Dạng tổng quát : 𝒚′′ + 𝒑 𝒚′ + 𝒒 𝒚 = 𝒇(𝒙) với 𝑝, 𝑞 hai số (C6.15) Cách giải dạng (C6.15) với 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒂𝒙 𝑷𝒏 (𝒙): B1: Giải phương trình đặc trưng (C6.15): 𝒌𝟐 + 𝒑 𝒌 + 𝒒 = 𝟎 (∗) Tìm nghiệm tổng ̅ phương trình tương ứng quát 𝒚 B2 : Tìm nghiệm riêng 𝒚∗ phương trình khơng sau : Tốn Giải Tích – Chương Phương trình vi phân Page 88 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 - Nếu hệ số a hàm 𝑓(𝑥) không nghiệm phương trình đặc trưng tìm nghiệm riêng (C6.15) có dạng (bằng phương pháp hệ số bất định) : 𝒚∗ = 𝒆𝒂𝒙 𝑸𝒏 (𝒙) - (C6.15A) Nếu hệ số a nghiệm đơn phương trình đặc trưng tìm nghiệm riêng (C6.15) có dạng (bằng phương pháp hệ số bất định) : 𝒚∗ = 𝒙 𝒆𝒂𝒙 𝑸𝒏 (𝒙) - (C6.15B) Nếu a nghiệm kép phương trình đặc trưng tìm nghiệm riêng (C6.15) có dạng (bằng phương pháp hệ số bất định) : 𝒚∗ = 𝒙𝟐 𝒆𝒂𝒙 𝑸𝒏 (𝒙) B3 : Kết luận : Nghiệm phương trình (C6.15) : Lưu ý : (C6.15C) ̅ + 𝒚∗ 𝒚=𝒚 hai đa thức bậc 𝑄𝑛 (𝑥) 𝑃𝑛 (𝑥) Ví dụ 6.5 Giải phương trình vi phân cấp tuyến tính với hệ số : ′′ ′ (1) 𝑦 + 3𝑦 − 4𝑦 = 𝑥 (2) 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1) (3) 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 𝑥 𝑒 3𝑥 Đáp số : 𝑥 (1) 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −4𝑥 − − 16 (𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃1 (𝑥) với 𝑎 = 0; 𝑛 = 1; 𝑄𝑛 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑚) (2) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝑥 𝑒 𝑥 (𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃1 (𝑥) với 𝑎 = 1; 𝑛 = 1; 𝑄𝑛 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑚) (3) 𝑦 = (𝐶1 𝑥 + 𝐶2 ) 𝑒 3𝑥 + 𝑥3 𝑒 3𝑥 (𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃1 (𝑥) với 𝑎 = 3; 𝑛 = 1; 𝑄𝑛 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑚) Tốn Giải Tích – Chương Phương trình vi phân Page 89 NTTH – Bộ môn TTƯD – HVNN 9-2019 BÀI TẬP CHƯƠNG Dạng 15: Giải phương trình vi phân cấp (Biến số phân ly, phương trình vi phân đẳng cấp, phương trình vi phân tuyến tính) Bài 15A: Giải phương trình vi phân cấp với biến số phân ly : 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒈(𝒚)𝒅𝒚 a 𝑦 𝑦 ′ cos 𝑥 = ln 𝑦 d √1 − 𝑥 𝑦 ′ = + 𝑦 b (1 + 𝑦 )𝑑𝑥 = (1 + 𝑥 )𝑦𝑑𝑦 c 𝑥𝑦𝑦 ′ = √1 + 𝑦 1−𝑦 𝑦 ′ = 𝑥2 (1 + 𝑥 ) 𝑦 ′ − 3𝑥𝑦 = e f Bài 15B: Giải phương trình vi phân (đẳng cấp) : 𝑦 a 𝑦 ′ = 𝑥− b c 𝑥 𝑦 ′ = 𝑦 (1 + ln 𝑦 − ln 𝑥) ; 𝑦(1) = 𝑒 𝑦 𝑦 (𝑥 − 𝑦 cos 𝑥 ) 𝑑𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑦 = √𝑥𝑦 ; 𝑥≥0 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 𝑒 −𝑥 cos 𝑥 𝑦 𝑦 ′ − 𝑥.ln 𝑥 = (𝑥 + 1) ln 𝑥 𝑦′ − 𝑦 = 𝑒 𝑥 d e f 𝑥−𝑦 d 𝑦 ′ = 𝑥+𝑦 ; 𝑦(1) = e f (𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑦 = 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 (𝑥 − 𝑦)𝑦𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 Bài 15C: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp : a b c 𝒚 𝒚 ′ = 𝒇 (𝒙 ) 𝒚′ + 𝒑(𝒙) 𝒚 = 𝒒(𝒙) 2𝑦 𝑦 ′ + 𝑥+3 = 𝑥 𝑦 ′ + 2𝑦 = 4𝑥 cos 𝑥 𝑦 ′ − sin 𝑥 𝑦 = 2𝑥 sin 𝑥 Bài 15D: Giải phương trình vi phân cấp (ĐỌC THÊM) a 𝑦 ′ = 𝑦 − 3𝑦 𝑥2 b 𝑦 ′ = 3𝑥 −𝑦 c d e f 𝑦𝑦 ′ − 3𝑦 = 𝑦 ′ 𝑦 ′ = 𝑒 𝑥−𝑦 𝑦 ′ − 𝑥𝑦 = −2𝑥 𝑦 𝑦 ′ − 𝑥 = sin 𝑥 g h 𝑥𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦+𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑥−𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦 i j k 𝑦 ′ + 𝑥 ln 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 𝑦 𝑦 𝑥𝑦 ′ ln 𝑥 = 3𝑥 + 𝑦 ln 𝑥 l m n o (1 + 𝑥)𝑦𝑑𝑥 + (1 − 𝑦)𝑥𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + (𝑥 + 1)𝑦 = 3𝑥 𝑒 −𝑥 (2𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 − (𝑥 + 2𝑦 − 3)𝑑𝑦 = 1−3𝑥−3𝑦 𝑦 ′ = 1+𝑥+𝑦 p 𝑦′ − 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑥 Dạng 16: Giải phương trình vi phân cấp với hệ số (Không chồng chất nghiệm) Dạng tổng quát : Dạng đặc biệt : 𝒚′′ + 𝒑 𝒚′ + 𝒒 𝒚 = 𝒇(𝒙) với 𝑝, 𝑞 hai số 𝒚′′ + 𝒑 𝒚′ + 𝒒 𝒚 = 𝒆𝒂𝒙 𝑷𝒏 (𝒙) với 𝑝, 𝑞 hai số Bài 16A: Giải phương trình vi phân cấp sau: a b c 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑥 + d e f 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ = 2𝑒 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 2𝑥 (𝑥 − 2) Toán Giải Tích – Bài tập chương Phương trình vi phân Page 90