Tóm tắt kiến thức trọng tâm từng bài cho các em khối 12 chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT 2023. Tài liệu hệ thống toàn bộ công thức cần nhớ, các dạng bài tập thường gặp từ nhận biết đến vận dụng giúp các em vững vàng khi ôn tập môn Toán
PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH A LỚP 10 I Quy tắc xét dấu đa thức: Bậc f (x) ax b a 0 x : “trái trái, phải cùng” x0 f(x) trái f (x) ax bx c a 0 Bậc hai : * Vô nghiệm: x f(x) x * Có nghiệm kép : x x0 f(x) cùng * Có nghiệm phân biệt: “trong trái, ngồi cùng” x x1 x2 f(x) trái f (x) ax bx cx d a 0 Bậc ba * Có nghiệm: xét dấu bậc * Có nghiệm: tìm nghiệm đơn rời xét dấu bậc (qua nghiệm kép không đổi dấu) * Có nghiệm: x x1 x2 x3 f(x) trái Quy tắc chung cho đa thức: - Tìm nghiệm đa thức trái f x ax n a1 x n an - Sắp xếp nghiệm từ nhỏ đến lớn x1 x2 xn x ; - Trong khoảng từ n đa thức dấu với hệ số a Qua nghiệm đơn đa thức đổi dấu, qua nghiệm kép đa thức không đổi dấu (Có thể kết hợp máy tính để xét dâu) II Dấu nghiệm phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = (a 0) (*) với = b2 – 4ac (’ = b’2 – ac) Khi đó: b c S = x1 + x2 =P = x1.x2 = x x a a + Viet: (*) có hai nghiệm , a 0 + (*) có hai nghiệm phân biệt Mã Bính Mai - 0983889393 Trang a 0 P + (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔a c 0, a * ax2 + bx + c < 0, ∀ x * ax2 + bx + c ¿ * ax2 + bx + c ¿ a ∀ x 0 0, a 0, ∀ x 0 IV Giải phương trình thường gặp Điều kiện xác định: f x f x f ( x) ³ xác định xác định f ( x) ¹ f ( x) > xác định Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: f x |A|=B⇔¿ {B≥0¿¿¿ |A|=|B|⇔¿ [ A=B [ ¿ [ A=−B Phương trình chứa ẩn dấu căn: A 0 ( hoaëc B 0) A B A B √ A=B⇔ { B≥0 A=B2 B LỚP 11 I Cấp số cộng: * ( un ) cấp số cộng ⇔ u n+1=u n+ d * Số hạng tổng quát: un = u1 + ( n - 1) d * Tính chất: ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Û a + c = 2b * Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: Mã Bính Mai - 0983889393 Trang n(u1 + un ) ; n(n - 1) S n = nu1 + d Sn = II Cấp số nhân: u * ( n ) cấp số nhân Û un+1 = un q n- * Số hạng tổng quát: un = u1.q * Tính chất: ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Û a.c = b Sn = * Tổng n số hạng đầu cấp số nhân: u Sn = 1- q * Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: u (1- q n ) 1- q III Đạo hàm Bảng tóm tắt công thức đạo hàm: Hàm số sơ cấp Hàm hợp C ' =0 1) ( ) (C: số) x ' =1 2) ( ) n / x 3) 4) n / u * nx n-1 ; n ( x )/ x * / n.u n 1.u ' u / u' u / 1 1 5) x x 1 u' u * u 6) sin x ' cos x * sin u ' 7) cos x ' sin x * cos u ' = u '.sin u 7) 8) tan x ' 1 tan x cos x cot x ' 1 (1 cot x) sin x * * e ' e 9) a ' a ln a 10) x 11) log x' / u' cos u u' sin u u u x ln a Mã Bính Mai - 0983889393 cot u u x a tan u ' e ' u '.e * a ' u '.a ln a * x x u '.cos u * Trang log u a u' u' u ln a 12) ln x ' 1x ln u ' uu' * Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức / ad bc ax b cx d cx d / ax bx c dx ex f a b a x 2 d e d c b x f e dx ex f 2 Qui tắc tính đạo hàm: ¿ * Cộng, trừ: ( u±v± ±w ) =u'±v'± ±w ' * Nhân: u.v ’ u’.v u.v’ * Chia: u ¿ u' v−u v' = v v2 ( v 0 ) () Phương trình tiếp tuyến: Hệ số góc tiếp tuyến điểm M ( x ; y 0) thuộc đồ thị hàm số y=f ( x ) f ' ( x ) y f '( x0 ) x x0 y0 Phương trình tiếp tuyến M ( x ; y 0) có dạng C LỚP 12 CHƯƠNG I: HÀM SỐ I Tính đơn điệu hàm số Lý thuyết Tự luận Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm y’ Tìm nghiệm y’ = điểm y’ khơng xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên kết luận Trắc nghiệm casio - qynhập hàm số Cho x = X - rmột vài giá trị khoảng đề cho - Nếu kết > đồng biến - Nếu kết < nghịch biến Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K (khoảng, đoạn, khoảng) f’(x) = xảy số hữu hạn điểm K Khi đó: a) f '( x ) 0, x K f(x) đồng biến K b) f '( x ) 0, x K f(x) nghịch biến K Lưu ý: Nếu f '( x ) 0, x K f(x) khơng đổi K K gọi chung khoảng đơn điệu hàm số Mã Bính Mai - 0983889393 Trang c f Lưu ý: Tìm m để hàm số bậc y ax3 bx cx d a 0 đơn điệu 2 + Tính y ' 3ax 2bx c tam thức bậc hai có biệt thức ' b 3ac a y ' 0, x ' 0 + Để hàm số đồng biến a y ' 0, x ' 0 + Để hàm số nghịch biến + Nếu a có chứa m phải xét trường hợp a 0 a 0 Mã Bính Mai - 0983889393 Trang II Cực trị hàm số Nhận dạng điểm cực trị hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có bảng biến thiên đồ thị (C) sau: Bảng biến thiên Dấu hiệu 1) Nếu f ' x0 0 f ' x không xác định x đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x x điểm cực đại hàm số f ' x0 0 f ' x 2) Nếu không xác định x đổi dấu từ âm sang dương qua x x điểm cực tiểu hàm số Chú ý: hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm khơng xác định Đồ thị Mã Bính Mai - 0983889393 Trang Cách tìm điểm cực trị hàm số Tự luận Quy tắc 1: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm y’ Giải phương trình y’ = để tìm nghiệm tìm điểm y’ khơng xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên, từ suy điểm cực trị Quy tắc 2: hàm số có đạo hàm cấp hai Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm y’ Giải phương trình y’ = để tìm nghiệm xi y '' f '' x Bước 3: Tính đạo hàm cấp hai tính f '' xi Trắc nghiệm casio d x Sử dụng chức dx để tính đạo hàm hàm số điểm x0 Nhập hàm số, cho x = X rx0 kết nghi ngờ x0 điểm cực trị r x0 - 0.1 dương r x0 + 0.1 âm x0 điểm cực đại r x0 - 0.1 âm r x0 + 0.1 dương x0 điểm cực tiểu Bước 4: Dựa vào dấu sau: f '' xi kết luận f '' xi + Nếu xi điểm cực đại hàm số f '' xi + Nếu xi điểm cực tiểu hàm số Cực trị hàm số bậc ba 2 Cho hàm số: y ax bx cx d có đạo hàm y ' 3ax 2bx c ' b 3ac - Để hàm số có cực đại, cực tiểu y ' 0 có nghiệm phân biệt ' - Để hàm số có khơng cực trị y ' 0 vơ nghiệm có nghiệm kép ' 0 - Đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu: + Cách 1: Tìm tọa độ điểm cực đại cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B y mx n y ' Ax B + Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: Phần dư phép chia y Ax B phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu 2c 2b bc y xd 9a 9a + Cách 3: Công thức : - Khoảng cách điểm cực trị: Mã Bính Mai - 0983889393 AB 4k 16k b 3ac k a 9a với Trang Cực trị hàm số y ax bx c a 0 y ' 4ax 2bx 2 x 2ax b y ax bx c Cho hàm số: có đạo hàm - Hàm số có cực trị ab 0 - Hàm số có cực trị ab (a b trái dấu) b b A(0; c), B ; , C ; 2a 4a 2a 4a y ax bx c - Giả sử hàm số có cực trị Khi đó: + Tam giác ABC ln cân A y cos BAC b3 8a b3 8a + + Tam giác ABC vuông cân 8a + b3 = + Tam giác ABC 24a + b3 = + + S ABC b5 32a A x O B C S ABC S 32a S b5 0 -III Giá trị lớn – Giá trị nhỏ hàm số Lý thuyết Giá trị lớn nhất: Giá trị nhỏ nhất: M max f ( x) [a ;b ] m min f ( x) [a ; b ] Tự luận Tìm GTLN – GTNN hàm số tập xác định ta dựa vào bảng biến thiên Để tìm GTLN – GTNN hàm số f(x) liên tục [a;b] ta làm sau: Bước 1: Tìm y’ Tìm điểm xi khoảng (a,b) mà đạo hàm khơng xác định Bước 2: Tính f(x1); f(x2); ;f(xi); f(a); f(b) Bước 3: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN (GTNN) cần tìm -Mã Bính Mai - 0983889393 Trang Trắc nghiệm Casio Mode (Table) Start Giá trị a End: Giá trị b Step: Càng mịn tốt, tùy đoạn đề cho Nhìn vào kết f(x) dự đoán kết GTLN, GTNN IV Đường tiệm cận Lý thuyết Tiệm cận đứng: Minh họa đồ thị (hoặc BBT) Đường thẳng x x0 tiệm y f x cận đứng nếu: lim f x x x0 lim f x x x0 lim f x x x0 lim f x x x0 Tiệm cận ngang: Đường thẳng y y0 tiệm cận ngang y f x lim f x y0 x lim f x y0 x nếu: Lưu ý: Hàm đa thức khơng có đường tiệm cận d a ax b x y y cx d có TCĐ: c TCN: c Hàm phân thức bậc c bậc c t Khi tính giới hạn ( x ) để tìm tiệm cận ngang hàm số dạng phân thức Hàm số a0 x a1 x m am y b0 x n b1 x n bn m a0 0, b0 0; m 1, n 1; m, n y ax b cx dx e a 0, c 0 Mã Bính Mai - 0983889393 m=n mn c0 Trang Tiệm cận ngang a y b0 y 0 Khơng có Khơng có y a c Casio lim y - Tính x nhập hàm số CALC x vô nhỏ ( x 10 ) lim y - Tính x nhập hàm số CALC x vô lớn ( x 10 ) y Khi tìm tiệm cận đứng hàm số dạng mẫu mà nghiệm tử f x g x ta tìm những điểm x0 nghiệm IV Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Hàm số bậc ba y ax bx cx d (a 0) 1.1 Tập xác định: D 1.2 Sự biến thiên: 2 - Đạo hàm: y ' 3ax 2bx c ; ' b 3ac - Tính đơn điệu: tìm nghiệm y ' 0 lập bảng biến thiên - Số cực trị: hàm số có cực trị khơng có cực trị + Nếu ' 0 hàm số khơng có cực trị + Nếu ' hàm số có hai điểm cực trị x1 ; x2 2b x1 x2 3a x x c 3a Theo vi – et ta có - Đường tiệm cận: Đồ thị hàm bậc ba khơng có đường tiệm cận 1.3 Đồ thị: a 0 a 0 y ' 0 có hai nghiệm phân biệt hay ' y O y ' 0 có nghiệm kép hay ' 0 y x O y y O x O Mã Bính Mai - 0983889393 x Trang 10 x Trong đó: f(x) hàm số đề cho, g(x) tiếp tuyến vừa viết Giải hệ thơng thường phương pháp Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 16 CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LÔGARIT I Lũy thừa Định nghĩa luỹ thừa Số mũ * Nguyên dương: n Số mũ * Nguyên âm: n m (m , n * ) n Hữu tỉ: * Vô tỉ: lim rn (rn , n ) Cơ số a a 0 Luỹ thừa a a.a a (n thừa số a) a 0 a n a 0 a n n am a 0 a lim a rn n a 1 an m Tính chất luỹ thừa Với a > 0, b > 0, m, n ta có: am a m a n a m n ; a m n ; (a m )n a m.n ; (ab) n a n b n an So sánh số: a : am an m n ; n an a ; n b b a : am an m n So sánh số mũ: với a b ta có: am bm m ; am bm m Định nghĩa tính chất thức n n n *, n 2, b Định nghĩa: a b b a Tính chất: a na n m n m n a n a ; b nb; ab n a n b ; m n a m.n a Chú ý: n + Khi n lẻ, số thực a có bậc n Kí hiệu a + Khi n chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối - II Hàm số luỹ thừa y x ( số) Số mũ nguyên dương nguyên âm Mã Bính Mai - 0983889393 Tập xác định D D D \ 0 Trang 17 Đồ thị 0; D 0; số không nguyên n n Chú ý: Hàm số y x không đồng với hàm số y x (n *) ' x * Đạo hàm: x ' ; u u 1.u ' * Tính chất: 1) Đờ thị qua điểm (1;1) 2) Khi hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến 3) Đồ thị hàm số tiệm cận Khi hàm số có tiệm cận ngang Ox, tiệm cận đứng Oy -III Lôgarit Định nghĩa: Với a > 0, a 1, b > ta có: log a b a b lg b log b log10 b Logarit thập phân: n 1 e lim 2, 718281 ln b log e b (với n ) Logarit tự nhiên (logarit Nepe): Tính chất: Cho a > 0, b > 0, a ¿ Ta có log a a 1; log a 0; a log a b =b ; log a ( aα ) =α Quy tắc tính Cho ba số dương a, b , b2, a ¿ , α loga(b1.b2) = logab1 + logab2 log a tùy ý ta có: b1 =log a b1 −log a b2 b2 ( ) α log a n√ b= log a b log b =α log b n a a Đặc biệt Đổi số: Cho ba số dương a, b, c, với a≠1 ; c ¿ Ta có Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 18 lo g a b Đặc biệt log a b= lo g c b lo g c a (b≠1) log b a ; log α b= log a b a α ( α≠0 ) Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 19 IV Hàm số mũ hàm số lôgarit x Hàm số mũ y a (a > 0, a 1) D Tập xác định: Tập giá trị: T (0; ) Đạo hàm: a x a x ln a ; a u au ln a.u e x e x ; eu eu u Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến Đồ thị hàm số nhận Ox làm tiệm cận ngang nằm phía Ox Hàm số lôgarit y log a x (a > 0, a 1) D (0; ) Tập xác định: Tập giá trị: Đạo hàm: T log a x x ln a ; ln x log a u ln u u u u ln a x; u Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến Đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng nằm phía bên phải Oy Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 20 ... x0 ) x x0 y0 Phương trình tiếp tuyến M ( x ; y 0) có dạng C LỚP 12 CHƯƠNG I: HÀM SỐ I Tính đơn điệu hàm số Lý thuyết Tự luận Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm y’ Tìm nghiệm... đầu cấp số nhân: u Sn = 1- q * Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: u (1- q n ) 1- q III Đạo hàm Bảng tóm tắt cơng thức đạo hàm: Hàm số sơ cấp Hàm hợp C '' =0 1) ( ) (C: số) x '' =1 2) ( ) n / x 3) ... b5 32a A x O B C S ABC S 32a S b5 0 -III Giá trị lớn – Giá trị nhỏ hàm số Lý thuyết Giá trị lớn nhất: Giá trị nhỏ nhất: M max f ( x) [a ;b ] m min f ( x) [a ; b ] Tự luận