PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN 1 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP A B C D EF F'''' E'''' D'''' C''''B'''' A'''' CD A B S M N 2 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2 1 Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là[.]
PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP B' S C' D' A' F' N E' A B B C D A F E M D C KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2.2 Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 26 KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 3.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 3.2 Khối đa diện 3.2.1 Khái niệm: Khối đa diện loại {p,q} khối đa diện có tính chất: - Mỗi mặt đa giác p cạnh - Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Nhận xét: mặt khối đa diện đa giác 3.2.2 Bảng tóm tắt tính chất khối đa diện LOẠI {p;q} {3;3} {4;3} {3;4} TÊN Khối Tứ diện Khối Lục diện (Lập phương) Khối Tám mặt TÍNH CHẤT CÁC MẶT MẶT (M) Tam giác Hình vuông Tam giác ĐỈNH CẠNH M.p q M p 4 6 12 12 THỂ TÍCH V a3 12 V = a3 V a3 Mã Bính Mai - 0983889393 SỐ MẶT ĐỐI XỨN G Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R a R a R a 2 Trang 27 LOẠI {p;q} TÊN TÍNH CHẤT CÁC MẶT MẶT (M) Ngũ giác 12 ĐỈNH CẠNH M.p q M p 20 30 THỂ TÍCH SỐ MẶT ĐỐI XỨN G Bán kính mặt cầu ngoại tiếp (Bát diện đều) {5;3} {3;5} Khối 12 mặt V (15 5)a Khối 20 Tam giác (15 5)a 20 12 30 V mặt đều 12 Công thức liên quan số đỉnh (D), cạnh (C) mặt (M): - Hệ thức Euler: D + M = C + Hoặc: qD = 2C = pM 15 15 R R a a 15 10 3.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi - Kết 1: Cho khối tứ diện Khi Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều; Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) - Kết 2: Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện - Kết 3: Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN 4.1 Tam giác vuông AB AC BC AB BH BC AC CH BC AH BH CH 1 AB AC 2 AH 2 AH AB AC AB AC AC AB AC AB sin B cosB tanB cotB BC (đối/huyền); BC (kề/huyền); AB (đối/kề); AC (kề/đối) Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 28 4.2 Tam giác Đường cao: AH BK (caïnh) a 2 G trọng tâm tam giác Ta có: a AG AH 3 a GH AH Diện tích: 4.3 Tam giác thường S ABC ( caïnh) a 4 2 Định lý Cô-sin: a b c 2bc.cos A a b c 2 R Định lý Sin: sin A sin B sin C Diện tích: Ký hiệu R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC 1 S ABC a hb b hc c 2 ; 1 S ABC ab.sin C ac.sin B bc.sin A 2 ; S ABC abc pr 4R ; S ABC p( p a)( p b)( p c) với a b c (nửa chu vi) AC BD Đường chéo: AC BD (caïnh) a p 4.4 Hình vng Diện tích: S ABCD (cạnh) a Chu vi: p 4a M, N trung điểm CD, AD AM BN Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 29 4.5 Hình chữ nhật 2 Đường chéo: AC BD a b Diện tích: S ABCD a.b Chu vi: p 2(a b) 4.6 Hình thoi Đường chéo: AC BD ; AC 2 AI 2 AB.sin ·ABI 2a.sin ·ABI Diện tích: S ABCD AC.BD ; S ABCD 2 SABD 2 AB AD.sin A a sin A ˆ ˆ Đặc biệt: B D 60 S ABCD a2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 5.1 Khối chóp V Sđáy h Sđáy : Diện tích mặt đáy h : Độ dài chiều cao khối chóp Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 30 5.2 Khối chóp tam giác 5.3 Khối tứ diện 5.4 Khối chóp tứ giác Tất cạnh bên Đáy tam giác cạnh a Mặt bên tam giác cân SH ( ABC ) với H trọng tâm ABC a2 V h Thể tích: Góc cạnh bên mặt đáy: · SA, ABC SAH Góc mặt bên mặt đáy: · SAB , ABC SMH , với M trung điểm AB Khối tứ diện khối chóp tam giác có tất cạnh nhau, mặt tam giác a3 V 12 Thể tích: Tất cạnh bên Đáy hình vuông cạnh a SO ( ABCD ) với O tâm hình vng ABCD V h.a Thể tích: Góc cạnh bên mặt đáy: · SA, ABCD SAO Góc mặt bên mặt đáy: · SAB , ABCD SMO , với M trung điểm AB Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 31 5.5 Khối chóp có cạnh bên SA vng góc với mặt đáy: cạnh SA chiều cao Đáy tam giác Đáy tứ giác đặc biệt V SA.S ABC Thể tích: Góc cạnh bên mặt đáy: V SA.S ABCD Thể tích: Góc cạnh bên mặt đáy: · SB, ABC SBA · SC , ABC SCA · SB, ABCD SBA · SC , ABCD SCA 5.6 Khối chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy: đường cao SH SAB đường cao khối chóp Nếu SAB cân H trung điểm AB Đáy tam giác Đáy tứ giác đặc biệt Góc cạnh bên mặt đáy: · SA, ABC SAH · SC , ABC SCH Góc cạnh bên mặt đáy: · SA, ABCD SAH · SC , ABCD SCH Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 32 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 6.1 Khối lăng trụ thường Hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành V Sđáy h Thể tích: S đáy : Diện tích mặt đáy h : Chiều cao khối chóp 6.2 Khối lăng trụ đứng: có cạnh bên vng góc với đáy, cạnh bên chiều cao Đáy tam giác Đáy tứ giác 6.3 Khối lăng trụ đều: lăng trụ đứng có đáy đa giác 6.5 Khối hộp chữ 6.6 Khối lập phương: 6.4 Khối hộp: khối lăng nhật: khối lăng trụ có tất mặt hình trụ có mặt hình bình đứng có đáy hình vng hành chữ nhật V abc Mã Bính Mai - 0983889393 V a3 Trang 33 Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 34 TỈ SỐ THỂ TÍCH Dạng 7.1 Tỉ số thể tích hình chóp tam giác: Hình S Cho S.ABC, đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác điểm S A' VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' VS ABC SA SB SC C' B' A Lưu ý: áp dụng đáy tam giác C B 7.2 Tỉ số thể tích hình chóp tứ giác có đáy S hình bình hành: A' Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình D' B' P cắt cạnh hành tâm O Mặt phẳng O' C' A D SA, SB, SC , SD, SO A ', B ', C ', D ' O ' SA SB SC SD SO a, b, c, d , e SB ' SC ' SD ' SO ' Đặt SA ' Khi đó: a) a c b d 2e O B C S M VS A ' B 'C ' D ' a b c d V 4abcd S ABCD b) N A D Đặc biệt: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M, N trung điểm B C SA, SB VS MNCD VS ABCD Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 35 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: d P , Q d O, Q với O (P ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo d a, b AB nhau: với AB a; AB b a A O P Q H b B Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 38 8.3 Bài toán xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Dạng bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên Ví dụ: tính d(A,(SBC)) - (SBC) (ABC) có giao tuyến BC S H - Từ chân đường cao điểm A dựng AM BC - Dựng AH SM - d(A,(SBC)) = AH C A M B Sử dụng khoảng cách song song OA / / , đó: Giả sử d O, d A, Sử dụng tỉ lệ khoảng cách Giả sử MN cắt mặt phẳng (P) điểm K, đó: d N , P NK d M , P MK Sử dụng thể tích khối chóp 3V V B.h h B A d(A,(SBC))= S 3.V SΔSBC C A' B Hình Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 39 PHẦN II MẶT TRỊN XOAY I MẶT NĨN Sự tạo thành Quay tam giác SMO quanh cạnh góc vng SO đường gấp khúc SMO tạo thành hình nón trịn xoay: Các yếu tố liên quan - Đỉnh: S - Mặt đáy: hình trịn tâm O - Bán kính đáy: r = OM = OA = OB - Chiều cao: h = SO (SO trục hình nón) - Đường sinh: l = SM = SA = SB - Góc đỉnh hình nón: · · 2 MSO ASB Công thức cần nhớ Ta có: h2 + r2 = l2 V r 2h - Thể tích: - Diện tích xung quanh: Sxq rl - Diện tích tồn phần: Stp Sxq Sd rl r Thiết diện * Thiết diện vng góc với trục (song song đáy) hình trịn bán kính r’ * Thiết diện qua trục tam giác ASB cân S, có cạnh bên đường sinh, cạnh đáy đường kính 2r S SAB rh * Thiết diện qua đỉnh không chứa trục tam giác cân BSC, thiết diện cắt đáy theo dây cung BC Khi đó: + Góc thiết diện đáy: S r' l h A O · SBC , ABC SHO r B M với H trung điểm BC · SO, ( SBC ) OSH + Góc trục thiết diện: + Khoảng cách từ tâm mặt đáy đến thiết diện là: d O, SBC OK với OK SH Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 40 II MẶT TRỤ Sự tạo thành Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB đường gấp khúc ADCB tạo thành hình trụ trịn xoay: Các yếu tố liên quan - Hai đáy hai hình trịn có bán kính r = AD = BC - Đường sinh đường cao nhau: l = h = AB = CD Công thức cần nhớ - Thể tích: V r h - Diện tích xung quanh: Sxq 2 rl - Diện tích tồn phần: Stp Sxq 2Sd 2 rl 2 r Thiết diện i) Thiết diện vng góc với trục hình trịn bán kính r ii) Thiết diện chứa trục hình chữ nhật ABCD có kích thước đường sinh đường kính, A có diện tích S 2rh iii) Thiết diện song song với trục hình chữ nhật AEFD có: + Khoảng cách trục thiết diện là: d OO ', AEFD OI với OI AE O I B E l h D r O' 2 + Diện tích thiết diện là: SAEFD 2 r OI h C F III MẶT CẦU Sự tạo thành Cho điểm O cố định r > S(O;r) = {M| OM = r} B O A r M Công thức cần nhớ Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện Mặt cầu ngoại tiếp đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa V r 3 - Thể tích khối cầu: diện - Thiết diện qua tâm mặt cầu: đường tròn tâm O, bán kính r - Diện tích mặt cầu: S 4 r Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 41 Mặt cầu nội tiếp đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O;r) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu O (P), h=OH khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) Ta có: h r Mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung h r Mặt phẳng (P) tiếp h r Mặt phẳng (P) mặt xúc mặt cầu (S) H (H tiếp điểm, (P) tiếp diện) cầu (S) cắt theo giao tuyến đường trịn (C) có tâm H 2 bán kính r ' r h Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S(O;r) đường thẳng d Gọi H hình chiếu O d, h=OH khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến đường thẳng d Ta có: h r Đường thẳng d mặt h r Đường thẳng d tiếp h r Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) khơng có điểm chung xúc mặt cầu (S) H (H tiếp điểm, d tiếp tuyến) cầu (S) hai điểm Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 42 Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp đa diện: * Phương pháp chung - Bước 1: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Trong mp chứa cạnh bên dựng đường trung trực d cạnh bên cắt I Ta có I tâm mặt cầu; R = IA = IS = … bán kính mặt cầu * Bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện thường gặp Kí hiệu: R bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện, R’ bán kính mặt cầu nội tiếp đa diện Loại Minh họa Cơng thức 6.1 Hình chóp có Cho S.ABCD có ABCD hình Tâm mặt cầu trung điểm SC đỉnh nhìn đoạn thẳng vng SA ( ABCD) SC R góc Bán kính: vng 6.2 Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy S h R R 2 Trong đó: Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy, h chiều cao hình chóp d C A Rd a 3 + cạnh a: + vuông: Rd = 1/2 cạnh huyền B + Hình vng cạnh a: a 2 + Hình chữ nhật cạnh a, b: Rd a b 2 Rd Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 43 6.3 Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy Mặt bên thường tam giác cân, đều, vuông GT R R R Trong đó: Rb, Rd bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên, mặt đáy; GT giao tuyến mặt bên mặt đáy b 6.4 Hình chóp S d b2 2h Trong đó: b cạnh bên, h chiều cao hình chóp R C A * Tứ diện cạnh a: O R B a 6.5 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước a,b,c R 6.6 Hình lập phương cạnh a A' D' a b c2 Mặt cầu ngoại tiếp: a Mặt cầu nội tiếp: a R' R B' C' A B O D C Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 44 PHẦN III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.1 Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc Ox : Trục trục hồnh, có vectơ đơn vị i (1;0;0) Oy Trục : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1;0) k Oz : Trục trục cao, có vectơ đơn vị (0;0;1) Điểm O(0; 0;0) gốc tọa độ u xi y j zk u ( x; y; z ) 1.2 Tọa độ vectơ: Vectơ a ( a ; a ; a ), b (b1; b2 ; b3 ) Ta có: Cho a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) ka ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 b1 a b a2 b2 a b 3 a b a b a b a b a a12 a22 a22 1 2 3 a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) a phương b a kb (k R) a1 kb1 a a a a2 kb2 , (b1 , b2 , b3 0) b1 b2 b3 a kb 2 a a a12 a22 a32 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a , b ) a b a1 a22 a32 b12 b22 b32 Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; y B ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có: AB ( xB xA ; yB y A ; zB z A ) AB ( xB x A ) ( y B y A ) ( z B z A ) Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x x x y y B yC z A z B zC x x y yB z A zB M A B; A ; G A B C ; A ; 2 3 1.3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trục tọa độ Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Điểm Điểm Chiếu vào Ox M ( xM ; yM ; zM ) ắắ ắ ắắ đ M1 ( xM ;0;0) ( Giữ nguyên x ) Chiếu vaøo Oy M ( xM ; yM ; zM ) ¾¾ ¾ ¾¾ ® M (0; yM ;0) ( Giữ nguyên y ) Chiếu vào Oz M ( x ; y ; z ) ắắ ắ ắắ đ M (0;0; z ) M M M ( Giữ nguyên z ) M Điểm Đối xứng điểm qua trục tọa độ Điểm Điểm Chiếu vào Oxy M ( xM ; yM ; zM ) ¾¾ ¾ ¾ ¾® M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyên x , y ) Chiếu vào Oyz M ( xM ; yM ; zM ) ắắ ắ ắ ắđ M2 (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y , z ) Chiếu vào Oxz M ( x ; y ; z ) ắắ ắ ắ ắđ M ( x ;0; z ) M M M ( Giữ nguyên x, z ) M M Điểm Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 45